小學奧數(shù)題庫《應用題》經(jīng)典還原問題基本知識點-5星題（含解析）全國通用版

應用題-經(jīng)典應用題-還原問題基本知

識點-5星題

課程目標

知識點__________________考試要求具體要求________________________考察頻率

還原問題基本知識點^B-1.了解還原問題的基本概念。^7>?-

2.能夠運用倒推法來求解還原問

題。______________________________

知識提要

還原問題基本知識點

?概念

還原問題：已知一個數(shù)，經(jīng)過某些運算之后，得到了一個新數(shù)，求原來的數(shù)是多少的應用

問題。

它的解法常常是以新數(shù)為基礎，按運算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫做逆推法或

還原法

?方法：倒推法

口訣：加減互逆，乘除互逆，要求原數(shù)，逆推新數(shù)

在解題過程中注意兩個相反：一是運算次序與原來相反；二是運算方法與原來相反.

關鍵：從最后結果出發(fā)，向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加

為減，變減為加，變乘為除，變除為乘.列式時還要注意運算順序，正確使用括號.

精選例題

還原問題基本知識點

1.甲、乙、丙三人一起去釣魚，他們將釣得的魚放在一個魚簍中，就在原地躺下休息，結果

都睡著了.甲先醒來，他將魚簍中的魚平均分成3份，發(fā)現(xiàn)還多一條，就將多的這條魚扔回河

中，拿著其中的一份魚回家了.乙隨后醒來，他將魚簍中現(xiàn)有的魚平均分成3份，發(fā)現(xiàn)還多一

條，也將多的這條魚扔回河中，拿著其中的一份魚回家了.丙最后醒來，他也將魚簍中的魚平

均分成3份，這時也多一條魚.這三個人至少釣到條魚.

【答案】25

【分析】假設丙分成三份后，每份有ɑ條魚，所以乙拿走一份后還有（3α+l）條，那么乙

沒有分魚，甲拿走一份之后還有[∣（3α+l）+U條，同理甲沒分魚之前，即3個人釣的總數(shù)

為｛|[|（3。+1）+1]+1卜條，根據(jù)整除的性質α的最小值為3,一共有25條魚.

2.如有a#b新運算，a#b表示a、b中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如；2#7=1,

8#3=2,9#16=7,21#2=1.如（21#（21#X））=5,則X可以是.（X小于50）

【答案】13,29,37.

【分析】這是一道把數(shù)論、定義新運算、倒推法、解方程等知識結合在一起的綜合題.可采

用枚舉與篩選的方法.

第一步先把（21#x）看成一個整體y.對于21#y=5,這個式子，一方面可把21作被

除數(shù)，則y等于（21-5）=16的大于5的約數(shù)，有兩個解8與16；另一方面可把21作除數(shù),

這樣滿足要求的數(shù)為26,47…，即形如21N+5這樣的數(shù)有無數(shù)個.但必須得考慮，

這些解都是由y所代表的式子（21#x）運算得來，而這個運算的結果是必須小于其中的每一個

數(shù)的，也就是余數(shù)必須比被除數(shù)與除數(shù)都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.現(xiàn)

在只剩下8,與16.

第二步求：（21#X）=8與（21#X）=I6.對于（21#X）=8可分別解得，把21作被除

數(shù)時：X=13,把21作除數(shù)時為：X=29,50,…形如21N+8的整數(shù)（N是正整數(shù)）.

對于（21#X）=I6,把21作被除數(shù)無解，21作除數(shù)時同理可得：X=37,58…所有

形如21N+16這樣的整數(shù).（N是正整數(shù)）.所以符合條件的答案是13,29,37.

3.如圖，有三只小老鼠發(fā)現(xiàn)一堆花生米，商量好第二天來平分.第二天，第一只老鼠最早來

到，它發(fā)現(xiàn)花生米無法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿著自己的一份走

了.第二只和第三只老鼠隨后依次來到，遇到同樣的問題，也采取了同樣的方法，都是吃掉一

粒后，把花生米分成三份，拿走其中的一份.那么，這堆花生米至少有粒.

【答案】25

【分析】設最后剩的兩份為2x,那么第三只老鼠所要處理的花生米總數(shù)為3x+l,第二只

老鼠所要處理的花生米總數(shù)為

3x+1

×3+l,

第一只老鼠所耍處理的花生米總數(shù)為

∕3x+1\1

1—2—x3+l)x]X3+l,

首先由于第三只老鼠處理的花生米3x+1為第二只老鼠分配以后的兩份，所以一定為偶數(shù),

即：X為奇數(shù)，同理，

3x+1

-^―×3+l

也為偶數(shù)，綜上：對于X為奇數(shù)進行試數(shù)即可，最小久=3,滿足上述條件，此時這堆花生米

總數(shù)為

3x+1x3+l)xgx3+l=25(粒).

2

4.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太

多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時

哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準備挑幾塊磚？

【答案】16

【分析】先用“和差”解法求出弟弟最后挑幾塊磚：

(26-2)÷2=12(塊).

再用倒推法求出弟弟最初準備挑幾塊磚.

[(26-[26-(12+5)]×2}×2=16(塊).

答：弟弟最初準備挑磚16塊.

5.甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶

倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時

甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？

【答案】4；10

【分析】解題關鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個油桶各裝

油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油

15X2-14=16（千克）.

又已知“甲、乙兩個油桶所剩油''及''這時甲桶油恰是乙桶油的3倍就可以求出甲、乙兩個油

桶最后有油多少千克.

求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前

甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.

解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？

15×2-14=16（千克）；

②乙桶油剩多少千克？

16÷（3+1）=4（千克）；

③甲桶油剩多少千克？

4×3=12（千克）；

用倒推法畫圖如下：

甲桶油乙桶油

最后有油：124

從乙桶倒油前：