河北省“名校聯(lián)盟”2023年高二年級上冊數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

河北省“名校聯(lián)盟”2023年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知點(diǎn)A為直線2x+y-10=0上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).則以Q4為直徑的圓除過定點(diǎn)（0,0）外還過定點(diǎn)（）

A.（10,0）B.（0,10）

C.（2,4）D.（4,2）

22

2.已知雙曲線C：與_==13>0,》>0）,斜率為1的直線/與雙曲線。交于不同的A,3兩點(diǎn)，且線段A3的中點(diǎn)為

a

P（2,4）,則雙曲線的漸近線方程為（）

A.V=±2%B.y=±-x

2

C.y=+yflxD.y=±X

3.設(shè)｛。/（“6"^是等差數(shù)列，d是其公差，S,是其前"項的和.若55<條，S6=S,>S,,則下列結(jié)論不正確的

是（）

A.d<0B.%=0

c.s9>s5D.S6與S7均為S〃的最大值

4.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”

其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、

丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）

A.24錢B,3錢

54

3錢D.±2錢

53

22

5.設(shè)雙曲線與橢圓G：L+匕=1有公共焦點(diǎn)B.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A。,。），設(shè)P為雙曲線與橢圓G的

一個交點(diǎn)，則/耳「鳥的余弦值為（）

32

A.-B.-

53

34

c.一D.-

45

6.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,A,5是拋物線上兩點(diǎn)，若|叫=2叫，若A5的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,則A尸的

中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.1B.2

C.3D.4

7.三棱柱ABC—A笈G中，AB=a^AC=6，AA=c,若4M=2MC一則AM=()

12217

A.—a~\—b7+cB.—aH—b+c

3333

122-U

C.—aH—br+cD.—ci—b+c

3333

8.某次生物實驗6個小組的耗材質(zhì)量（單位:千克）分別為1.71,1.58,1.63,1.43,1.85,1.67,則這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)是（）

A.1.63B.1.67

C.1.64D.1.65

9.已知A（3,2）,點(diǎn)歹為拋物線V=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在拋物線上移動，為使|尸川+忸盟取得最小值，則點(diǎn)P的坐

標(biāo)為（）

A.（0,0）B.（2,2）

10.已知函數(shù)g（x）=；x2—2alnx-2x在（0,+。）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.(-oo,0)B.[0,+oo)

1

—,+ooD.-00,-1

2I2

11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

A.54B.45

C.27D.81

12.拋物線％=2y2的準(zhǔn)線方程為。

A.x——B.x=—

82

11

C.y=—D.y=—

82

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.命題“若。>0,則二元一次不等式x+ay-120表示直線x+ay-1=0的右上方區(qū)域（包含邊界）”的條件P：

,結(jié)論4：，它是命題（填“真”或“假”）.

14.等差數(shù)列前3項的和為30,前6項的和為100,則它的前9項的和為.

15.直線x—y—5=。被圓一/+/一4x+4y+6=0所截得的弦的長為

16.已知命題。：\/%6凡％2+2%+。20恒成立；q：3xeR,x2-ax+l<Q,若P，F(xiàn)均為真，則實數(shù)。的取值范

圍__________

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某項目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補(bǔ)貼額x（單位：百萬元）與該項目的經(jīng)濟(jì)回報y（單位：千萬元）之間存

在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

補(bǔ)貼額X（單位：百萬元）23456

經(jīng)濟(jì)回報y（單位：千萬元）2.5344.56

（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程卞=菽+&；

（2）為高質(zhì)量完成該項目，決定對負(fù)責(zé)該項目的7名工程師進(jìn)行考核.考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3人合格.現(xiàn)從這7名工程

師中隨機(jī)抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.

,J(x,-x)(x-y)-

參考公式：b=上―；-------------,a=y-bx

￡(受-可2

i=l

18.(12分)已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)(4,0),且圓心在x軸上.

(1)求圓。的方程；

(2)已知直線/：3x+4y—11=。與圓C相交于A、5兩點(diǎn)，求所得弦長|A目的值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax?+1,(a>0),g(x)=x3+bx

(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線，求a,b的值

(2)當(dāng)a=3力=-9時，若函數(shù)/(x)+g(x)在區(qū)間［k,2］上的最大值為28,求k的取值范圍

2

20.(12分)已知拋物線C：y2=2px(">0)的焦點(diǎn)R與曲線E：三—V=i的右焦點(diǎn)重合.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若拋物線C上的點(diǎn)尸滿足|尸耳=6,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

21.(12分)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛&｝滿足。1+/+。3=9,且q+1,%+1，%+3構(gòu)成等比數(shù)列也｝的

前三項.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項公式；

(2)設(shè)c“=1+2log,bn,求數(shù)列的前〃項和Tn.

［a.qj

22.(10分).ABC中，內(nèi)角A、B、。所對的邊為“、b、c,Z，sinA=cos5.

(1)求角3的大小；

(2)若。、b、。成等差數(shù)列，且求邊長。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】設(shè)08垂直于直線2x+y-10=0,可知圓恒過垂足3；兩條直線方程聯(lián)立可求得B點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)08垂直于直線2x+y—10=0,垂足為3,則直線08方程為：V=gx,

由圓的性質(zhì)可知：以。A為直徑的圓恒過點(diǎn)3,

2x+V-10=0r=4

由1得：0,..?以Q4為直徑的圓恒過定點(diǎn)（4,2）.

'=寸[y=2

故選：D.

2、C

b

【解析】設(shè)人（九1，%）,5（々,%），代入雙曲線方程相減后可求得一，從而得漸近線方程

a

1

-±

相減得工。,

【詳解】設(shè)4（和力）,3（招,當(dāng)）,貝卜

又線段AB的中點(diǎn)為尸（2,4）,的斜率為1,

玉一%b（另+%）

.?.1=Y，個=0,.?.漸近線方程為y=±0x

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的漸近線方程，已知弦的中點(diǎn)（或涉及到中點(diǎn)），可設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙

曲線方程后作差，作差后式子中有直線的斜率，弦中點(diǎn)坐標(biāo)，有。力.這種方法叫點(diǎn)差法

3、C

【解析】由已知條件可以得出小〉0，%=0，。8<0,即可得公差2<0,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前"項的和

的性質(zhì)可判斷每個選項的正誤，進(jìn)而可得正確選項.

【詳解】由S5vs6可得力=S6—S5>0,

由S6=S7可得％=S7-S6=0,故選項B正確；

由§7>Sg可得0g=-邑<0,

因為公差〃=%-。6<。，故選項A正確,

S9-S5=a6+0y+a^+09=2（%+網(wǎng)）=20g<0,

所以SgVSs，故選項C不正確；

由于｛%｝是等差數(shù)列，公差d<0,a6>0,%=0,為<。，

所以S6=S?都是S"的最大值，故選項D正確；

所以選項C不正確，

故選：C

4、D

【解析】根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決

【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為外,%，。3，%，a5

則可,&，。3，%，生成等差數(shù)列，設(shè)公差為“

%+a。+%+&+%=5,

%+。2=4+。4+。5

整理上面兩個算式，得：

ax+2d=1

勾+8d=0'

■4

%

解得，

d=——

,6

412

:.a$=q+4d=—+4x(—-)=—

故選：D

5、A

【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出尸耳,尸耳的長度，從而根據(jù)余弦定理求出/耳卜鳥的余

弦值

_2

【詳解】由題得，雙曲線中c=2,a=l,所以5=6,雙曲線方程為：X2-2-=1.假設(shè)P在第一象限，根據(jù)橢圓

3

PE+PF,=8=5

和雙曲線的定義可得：nJn/c,解得：八二，與月=4,所以根據(jù)余弦定理，

[即-P6=2[PF2=3

/廠八廠25+9-163

cosZFiPF2=-----=—

故選：A

6、C

【解析】結(jié)合拋物線的定義求得由此求得線段A戶的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

【詳解】拋物線方程為y2=4x,則2p=4,p=2,

由于AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,結(jié)合拋物線的定義可知|人耳+忸同=3x2=6,

即\AF\+；|A司=6n\AF\=4,

所以線段A廠的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為絲網(wǎng)=2土士=3.

22

故選：C

7、A

【解析】利用空間向量線性運(yùn)算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.

【詳解】解：由A3=a，AC=b^AA=C，若4M=2同?！?/p>

得AM=AAl+AlCl+ClM

=AAl+AC+^C1B}

1

=AAl+AC+-CB

=AAl+AC+^AB-AC

=M+|AC+|AB

=L+L+c.

33

故選：A.

AB

8、D

【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【詳解】由題設(shè)，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：1.43,1.58,1.63,L67J.7LL85,

，中位數(shù)為L63；67465.

故選：D.

9、B

【解析】設(shè)點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為d,根據(jù)拋物線的定義可知|必+|尸耳=|必+d,即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短求

出

二

TT

1

設(shè)點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為d,準(zhǔn)線方程為x=-

29

-1L

所以PA+PE=E4+dNAB=3+—=:當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為A3與拋物線的交點(diǎn)時，|PA|+|P同取得最小值，此

2N

時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）

故選：B

10、D

【解析】根據(jù)題意參變分離得到2〃4好一2%,求出了（力=犬—2x的最小值，進(jìn)而求出實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】由題意得：g'(x)=x—出―220在(0,+。)上恒成立，即2a＜必—2%,其中/(x)=x2-2x=(x-l)2-1

X

在x=l處取得最小值，/(%)^=/(1)=-1,所以2aW—1,解得：

故選：D

11、B

【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個三棱錐而成，直觀圖如圖所示，

所以該幾何體的體積為3x3x6-LLX3X3X6=45

32

故選B

點(diǎn)睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.

12、A

,1

【解析】將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式V='X,即可得到答案；

1

【詳解】拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)29=-x,

???準(zhǔn)線方程為X=-

8

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①.a＞0②.二元一次不等式x+ay-1之0表示直線％+毆-1=0的右上方區(qū)域(包含邊界)③.真

【解析】由二元一次不等式的意義可解答問題.

【詳解】因為。＞0,二元一次不等式x+ay-12。所表示的區(qū)域如下圖所示：

所以在a〉0的條件下，二元一次不等式x+ay-120表示直線x+ay-l=O的右上方區(qū)域（包含邊界），此命題是真

命題.

故答案為：。>0；二元一次不等式x+ay-120表示直線x+1=0的右上方區(qū)域（包含邊界）；真

14、210

【解析】依題意，S3、S6-S3,S9-$6成等差數(shù)列，從而可求得答案

【詳解】???等差數(shù)列｛“"｝的前3項和為30,前6項和為100,即$3=30,56=100,

又S3、S6-S3、S9-S6成等差數(shù)列，：.1（?6-S3）=（?9-?6）+?3,即140=的-100+30,

解得$9=210.

故答案：210

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練利用S3、s6-s3,S9-s$成等差數(shù)列是關(guān)鍵，屬于中檔題

15、76

【解析】圓V+/一4x+4y+6=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式方程（x—2丫+（y+2『=2,圓心（2,—2）到直線x—y—5=0的

距離為d=R-、）；21—5]=等,圓的半徑為0,因此所求弦長為=?

考點(diǎn)：L圓的方程；2.直線被圓截得的弦長的求法；

16、[1,2]

【解析】根據(jù)題意得到命題。為真命題，4為假命題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，命題〃，F(xiàn)均為真命題，可得命題，為真命題，4為假命題，

由命題p：\/%eR,%2+2%+Q?0恒成立，可得'=22—4a<0,解得aNl；

又由命題4：116氏,%2—。％+1<0為假命題，可得八2=（—4）2—4<0,解得一2WaW2,

所以lWaW2,即實數(shù)a的取值范圍為[1,2].

故答案為：[1,2].

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）9=。.85%+0.6

12

（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：—

【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式直接求解即可，

(2)由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,然后求各自對應(yīng)的概率，從而可求得分布列和期望

【小問1詳解】

_2+3+4+5+6._2.5+3+4+4.5+6.

x=----------------------=4,y=-----------------------=4.

55

2

^(x;-x)(y;-y)=(-2)x(-1.5)+(-l)x(-l)+0x0+lx0.5+2x2=8.5,-x)=4+1+0+1+4=10.

i=li=l

5

/.b=------------------------=0.85,a=4—0.85x4=0.6.

￡(王-可2

i=l

f=0.85%+0.6.

【小問2詳解】

由題意可知，X的可能取值為0,L2,3.

P(X=0)=fUf，P(X=l)=^=||,P(X=2)=^=||

JJK-xyJJJJ

3

P(X=3)=WC=—4,

*35

X分布列為

X0123

112184

P

35353535

.412

￡X=0x—+lx—+2x—+3x—=

35353535T

18、(1)(x-2)2+y2=4；(2)2G.

【解析】(1)根據(jù)條件可以確定圓心坐標(biāo)和半徑，寫出圓的方程；

(2)先求圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求弦長

【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2,0),半徑為2.則圓的方程為(龍—2)2+_/=4；

(2)圓心(2,0)至!]/的距離為d,a=i,1^12y/2-d~=273.

』”=r

【點(diǎn)睛】圓的方程求解方法：

(1)直接法：確定圓心，求出半徑，寫出方程；

(2)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的方程，可以是標(biāo)準(zhǔn)方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.

19＞〃=/?=3左＜—3

【解析】⑴求a,b的值，根據(jù)曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(l,c)處具有公共切線，可知切點(diǎn)處的函數(shù)

值相等，切點(diǎn)處的斜率相等，列方程組，即可求出。涉的值；(2)求k的取值范圍.冼求出/(x)+g(x)的解析式，由

已知。=3/=-9時，設(shè)/(x)=/(x)+g(x)=x3+3x2—9x+l,求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而可得心-3時,

函數(shù)F(九)在區(qū)間［仁2］上的最大值為--3)=28；-3〈左＜2時，函數(shù)尸(%)在在區(qū)間伏,2］上的最大值小于28,由

此可得結(jié)論

試題解析：⑴/(x)=2依,g'(X)=+》,因為曲線y=/⑺與曲線y=g⑴在它們的交點(diǎn)(1,C)處具有公共切

線，所以2a=3+Z?,a+l=l+b=c,所以。=。=3;

(2)當(dāng)"=3力=一9時，g(x)=x3-9x,/(x)+g(x)=x3+3x2-9x+l,令

F(x)=/(x)+g(x),則尸(x)=3f+6x—9=3(x+3)(x—1),令/(x)=0,得石=—3,%=L所以尸(%)在

(-8,-3)與(1,+s)上單調(diào)遞增，在(-3,1)上單調(diào)遞減，其中尸(-3)=28為極大值，所以如果在區(qū)間［4,2］最大值為

28,即區(qū)間包含極大值點(diǎn)%=-3,所以ZW—3

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性與最值

20、(1)J/="；⑵(4,4⑹或(4,-4碼.

【解析】(1)求出雙曲線E的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出。的值，即可得出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)刀(入，外)，由拋物線的定義求出與的值，代入拋物線。的方程可求得先的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2

【詳解】(1)由雙曲線方程土—V=1可得標(biāo)=3,片=1,

3'

所以02=/+〃=4,解得C=2.

則曲線E的右焦點(diǎn)為(2,0),所以々=2,p=4.

因此，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=8x；

⑵設(shè)戶(司，幾)，由拋物線的定義及已知可得附=%+5=/+2=6,解得/=4.

代入拋物線方程可得此=8x4=32,解得為=±40,

所以尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,4