專題10 填空壓軸重點題（解析版）備戰(zhàn)2024年福建中考數(shù)學真題模擬題

第第頁專題10填空壓軸重點題一、填空題1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線經(jīng)過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線，開口向上，根據(jù)已知條件得出點在對稱軸的右側(cè)，且，進而得出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，∵分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，假設(shè)點在對稱軸的右側(cè)，則，解得，∴∴點在點的右側(cè)，與假設(shè)矛盾，則點在對稱軸的右側(cè)，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，拋物線與x軸交于C，D兩點，其中n＞0，若AD＝2BC，則n的值為．【答案】8【分析】先求出拋物線與x軸的交點，拋物線與x軸的交點，然后根據(jù)，得出，列出關(guān)于n的方程，解方程即可?！驹斀狻拷猓喊褃=0代入得：，解得：，，把y=0代入得：，解得：，，∵，∴，∴，即，，令，則，解得：，，當時，，解得：，∵，∴不符合題意舍去；當時，，解得：，∵，∴符合題意；綜上分析可知，n的值為8．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)題意用n表示出，列出關(guān)于n的方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別是邊上的動點，點E不與A，B重合，且，G是五邊形內(nèi)滿足且的點．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①與一定互補；②點G到邊的距離一定相等；③點G到邊的距離可能相等；④點G到邊的距離的最大值為．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【分析】①利用四邊形內(nèi)角和為即可求證；②過作，證明即可得結(jié)論；③分別求出G到邊的距離的范圍，再進行判斷；④點G到邊的距離的最大值為當時，GE即為所求．【詳解】①四邊形是矩形,四邊形內(nèi)角和為①正確．②如圖：過作，又即點G到邊的距離一定相等②正確．③如圖：過作而所以點G到邊的距離不可能相等③不正確．④如圖：當時，點G到邊的距離的最大④正確．綜上所述：①②④正確．故答案為①②④．【點睛】本題考查了動點問題，四邊形內(nèi)角和為，全等三角形的證明，點到直線的距離，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，熟悉矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD=BC且AD∥BC，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延長線于F點，則CF=．【答案】2【分析】首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2＝∠3，∠1＝∠F，然后求出∠1＝∠3，∠4＝∠F，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AD＝DE，CE＝CF，根據(jù)平行四邊形對邊相等代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【詳解】解：如圖，∵AD=BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AE平分∠DAB，∴∠1＝∠2，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，又∵∠3＝∠4（對頂角相等），∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，∴AD＝DE，CE＝CF，∵AB＝5，AD＝3，∴CE＝DC?DE＝AB?AD＝5?3＝2，∴CF＝2．故答案為2．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等角對等邊，整體難度不大，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）如圖，為平行四邊形外一點，連接，，分別交邊于點，，使，，，若，，則的長為．【答案】【分析】過，由平行四邊形的性質(zhì)可證得，，是等邊三角形，進而可知，，，，利用狗勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：過，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造直角三角形市解決本題的關(guān)鍵．6．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，，，，，為實數(shù)，當及時（其中），函數(shù)值均為5，當時，函數(shù)值為，當時，函數(shù)值為，則．【答案】0【分析】先根據(jù)題意得到二次函數(shù)對稱軸為直線，進而得到點和都在二次函數(shù)圖像上，由于點和的中點坐標為，即可證明點和關(guān)于對稱軸對稱，則，即可得到．【詳解】解：∵當及時（其中），函數(shù)值均為5，∴二次函數(shù)對稱軸為直線，∵當時，函數(shù)值為，當時，函數(shù)值為，∴點和都在二次函數(shù)圖像上，∵點和的中點坐標為，∴點和的中點在二次函數(shù)的對稱軸上，∴點和關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴，故答案為：0．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確推出點和關(guān)于對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵．7．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知直線與x軸，y軸交于A，B兩點，與雙曲線交于E，F(xiàn)兩點．若，且則b的取值范圍是．【答案】【分析】作軸，軸，與交于D，先利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到A點坐標為，B點坐標為，易得為等腰直角三角形，則，所以，且為等腰直角三角形，則，設(shè)F點橫坐標為t，代入，則縱坐標是，則F的坐標是，E點坐標為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到，解得，這樣可確定F點坐標為，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到，由，即可求得b的取值范圍．【詳解】解：作軸，軸，與交于D，如圖，∵直線與x軸，y軸交于A，B兩點，∴A點坐標為，B點坐標為，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，設(shè)F點橫坐標為t，代入，則縱坐標是，則F的坐標是：，E點坐標為，∴，解得：，∴F點坐標為，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，．8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學?？寄M預測）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P在邊AB上，PE⊥PC交AD于點E，點F在CP上且PF=PE，G為EF的中點，若點P沿著AB方向移動（不與A重合），則下列結(jié)論正確的是．（填序號即可）①∠CEP與∠CPB可能相等；②點G的運動路徑是圓??；③點G到AD、AB的距離相等；④點G到AB的距離的最大值為2．【答案】①③④【分析】證明Rt△APE∽Rt△BCP，推出，再證明Rt△PCE∽Rt△BCP，即可判斷①；證明A、E、G、P四點共圓，推出點G在線段AC上，即可判斷②；利用點G在線段AC上，即可判斷③和④．【詳解】解：①當點P是AB的中點時，∠CEP與∠CPB可能相等，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，∴∠EAP=∠EPC=∠PBC=90°，AP=PB=2，∴∠APE+∠CPB=90°，∠PCB+∠CPB=90°，∴∠APE=∠PCB，∴Rt△APE∽Rt△BCP，∴，∵，∴，又∠EPC=∠PBC=90°，∴Rt△PCE∽Rt△BCP，∴∠CEP=∠CPB，∴∠CEP與∠CPB可能相等，故①正確；②連接AC，PG，∵PE⊥PC，∴∠EPF=90°，∵PF=PE，∴△EPF是等腰直角三角形，∴∠PEF=45°，∵G為EF的中點，∴GE=GP=GF，∴∠EGP=90°，∵∠DAB=∠EGP=90°，∴A、E、G、P四點共圓，∴∠GEP=∠GAP=45°，∴點G在線段AC上，故②不正確；③∵AC是正方形ABCD的對角線，即AC是∠DAB的平分線，∴點G到AD、AB的距離相等；故③正確；④當點P與點B重合時，點G到AB的距離最大，最大值為2．故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題考查了四點共圓的知識，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．9．（2023·福建福州·福建省福州延安中學校考二模）如圖上，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長為.【答案】2或/或2【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作，，連接OB，則OD⊥AC，∵，∴∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴∴②如圖，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：2或．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進行求解是解題的關(guān)鍵．10．（2023·福建廈門·廈門一中校考一模）如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B（點B不與點M重合）．若AB⊥OM于點B，則k的值為．【答案】【分析】過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，設(shè)OC=x，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得點B(x，x)，點A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)列方程，解方程即可求解．【詳解】解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，如圖：∵△OMN是邊長為10的等邊三角形，∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，設(shè)OC=x，則OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)=2x-5，∴OD=ON-DN=15-2x，∴點B(x，x)，點A(15-2x，2x-5)，∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B，∴x?x=(15-2x)(2x-5)，解得x=5(舍去)或x=3，∴點B(3，)，∴k=9．故答案為：9．【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．11．（2023·福建三明·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，點M為內(nèi)一個定點，，，經(jīng)過點M的弦交于點C，連接．在下列結(jié)論中：①為直角三角形；②與相似；③若平分，則四邊形為矩形；④若，則．其中正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【答案】①③④【分析】①延長交于點D，連接，取的中點，連接，過點O作交于點，證明點與點M重合，即可證明為直角三角形；②要使與相似，則或，由于或都是變化的，可判斷②不正確；③證明與重合，得到與為的直徑，利用圓周角定理即可判斷；④連接，證明是等邊三角形，據(jù)此即可判斷．【詳解】解：①延長交于點D，連接，取的中點，連接，過點O作交于點，∵為的直徑，，∴，，∵點O是的中點，∴是的中位線，∴，∴，，又，∴點與點M重合，∴為直角三角形，故①正確；②∵，∴，要使與相似，則或，但是，是經(jīng)過點M的弦，或都是變化的，不能等于，故與不可能相似，故②錯誤；③若平分，則，∵，∴是等邊三角形，∴，又，∴與重合，即弦經(jīng)過圓心O，∴與為的直徑，∴，∴四邊形為矩形，故③正確；④∵，，∴，，∴，連接，同理得是等邊三角形，∴，∵，∴，故④正確；綜上，①③④正確，故答案為：①③④．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定，矩形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．12．（2023·福建·模擬預測）如圖，在矩形中，，，點、分別在邊、上（不與端點重合），且于點．若，則．【答案】【分析】根據(jù)題意得出四點共圓，結(jié)合題意得出是等腰直角三角形，設(shè)，證明得出，勾股定理得出，證明得出，進而根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴四點共圓，∵，∴，∴是等腰直角三角形，設(shè)，∵，，∴∴解得：，∴，則,∴又∵∴∴∴∴,故答案為：．【點睛】本題考查了角所對的弦是直徑，相似三角形的性質(zhì)與判定，求余弦，證明，是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建福州·福建省福州屏東中學校考一模）如圖，在正方形中，對角線，相交于點，是線段上的動點（點F不與點O，D重合）連接，過點F作分別交，于點H，G，連接交于點M，作交于點E，交于點N．有下列結(jié)論：①當時，；②；③時，；④．其中正確的是（填序號）．【答案】①②③【分析】①正確．利用面積法證明即可；②正確．如圖3中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則，，，，證明，利用勾股定理，即可解決問題；③正確．如圖2中，過點作于，于，連接．想辦法證明，再利用相似三角形的性質(zhì)，解決問題即可；④錯誤．假設(shè)成立，推出，顯然不符合條件．【詳解】解：如圖1中，過點作于．，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，故①正確，過點F作，如圖所示：∴四邊形是矩形，∵，∴，在正方形中，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴，如圖3中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則，，，，∵，，∵，，，，，，，，，，，，，，∵，，O為的中點，∴，即，∴，∵，∴；，，，，，故②正確，如圖2中，過點作于，于，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，即，，故③正確，假設(shè)成立，，，，顯然這個條件不成立，故④錯誤，故答案為：①②③．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．14．（2023·福建福州·?？寄M預測）下表記錄了二次函數(shù)中兩個變量與的組對應(yīng)值，…………其中．根據(jù)表中信息，當時，直線與該二次函數(shù)圖像有兩個公共點，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意分別代入點，，可求出二次函數(shù)的解析式，【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過，∴拋物線對稱軸為直線，∴，，將代入得，，解得，∴，∴時，，當時，直線與該二次函數(shù)圖像有兩個公共點，如圖所示，

將代入二次函數(shù)得，，將代入二次函數(shù)得，，∴當時，直線與該二次函數(shù)圖像有兩個公共點，滿足題意，故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與直線的綜合，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，直線與圖像交點的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2023·福建寧德·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形沿折疊，使頂點B落在上點處；再將矩形展平，沿折疊，使頂點B落在上點G處，連接．小明發(fā)現(xiàn)可以由繞某一點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則°．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角等于對應(yīng)邊所在直線的夾角求直線與的夾角即可．【詳解】延長與交于點，∵可以由繞某一點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵將矩形沿折疊，使頂點B落在上點處，∴四邊形是正方形，∴，∴，故答案為：【點睛】本題考查矩形的折疊，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)角等于對應(yīng)邊所在直線的夾角．16．（2023·福建廈門·廈門市第十一中學?？级＃┤鐖D，已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象，點，點與點均在反比例函數(shù)的圖象上，點在直線上，四邊形是平行四邊形，則點的坐標為．【答案】（，）【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出點坐標，再利用平行四邊形的性質(zhì)假設(shè)出點坐標，進而表示出點坐標，即可代入反比例函數(shù)解析式得出答案．【詳解】解：反比例函數(shù)過點，，反比例函數(shù)解析式為：，點在反比例函數(shù)的圖象上，，解得：，，點在直線上，設(shè)點坐標為：，點，，點向下平移3個單位，再向右平移3個單位，即可得到點，四邊形是平行四邊形，點向下平移3個單位，再向右平移3個單位，即可得到點，點在反比例函數(shù)的圖象上，，解得：（負數(shù)不合題意），故點坐標為：（，）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合及平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意表示出點坐標是解題的關(guān)鍵．17．（2023·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交于、兩點，點是第三象限反比例函數(shù)上一點，且點在點的左側(cè)，線段交軸的正半軸于點，若的面積是，則點的坐標是．【答案】【分析】過作軸的平行線交于點，聯(lián)立正比例函數(shù)與反比例函數(shù)求得，，得到的解析式為，利用的面積即可求得點的坐標【詳解】聯(lián)立，解得：，，設(shè)，：，則，解得：，，：過作軸的平行線交于點，則，，即：，解得，，．【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式及三角形的面積，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和兩個函數(shù)的交點是解決問題的關(guān)鍵18．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學?？家荒＃佄锞€的對稱軸是直線，該拋物線與x軸兩個交點的距離為4，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，則a的取值范圍是．【答案】【分析】先利用對稱軸得出，再利用拋物線與x軸兩個交點的距離得出a與c之間的數(shù)量關(guān)系，從而將方程表示成只含有字母參數(shù)a的一元二次方程，已知該方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到一個不等式；將方程轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)表達式的形式，然后把和分別代入這個函數(shù)表達式中，分和兩種情況，利用函數(shù)圖象及性質(zhì)，得到不等式組，然后與上面由根與系數(shù)的關(guān)系得到的不等式進行聯(lián)立，求解即可．【詳解】∵拋物線的對稱軸是直線，∴，即．∵拋物線的對稱軸是直線，該拋物線與x軸兩個交點的距離為4，∴該拋物線與x軸兩個交點的坐標分別為，，將點的坐標代入，得，∴方程可轉(zhuǎn)化為．∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，∴．將方程轉(zhuǎn)化成g關(guān)于x的函數(shù)為．把代入，得；把代入，得．當時，解得；當時，無解．綜上可知，a的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：二次函數(shù)跟x軸的交點的橫坐標，就是相對應(yīng)的一元二次方程的根，還考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解不等式組、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識，注意數(shù)形結(jié)合．19．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，和的平分線，相交于點，交于點，交于點，過點作于點，連接．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②若，，則；③；④當時，．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③④【分析】過O作，，交、于點G、H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得到，即可判斷①②，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，可得，結(jié)合即可判斷③，在上截取，當時，由③可得，即可得到，即可判斷④，即可得到答案；【詳解】解：過O作，，交、于點G、H，∵和的平分線，相交于點，，，，∴，∴平分角，故①正確；∵，，∴，故②錯誤；在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，在上截取，∵和的平分線，相交于點，平分角，∴，，，在與，，，∴，∴，∴，在與，，∴，∴，∴，故④正確，故答案為：①③④；【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵作輔助線．20．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，點A是拋物線與的公共頂點，過點A的直線與拋物線，的另一個交點分別為B，C，若，則的值是．

【答案】【分析】根據(jù)，可知點B的橫坐標是點C橫坐標的二倍，設(shè)出它們的橫坐標，代入函數(shù)解析式，利用縱坐標的關(guān)系列出方程即可求解．【詳解】解：因為點A是拋物線與的公共頂點，過點A的直線與拋物線，的另一個交點分別為B，C，且，所以，點B的橫坐標是點C橫坐標的二倍，設(shè)出它們的橫坐標分別為，，則縱坐標為，，所以，，化簡得，，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩個點橫坐標的關(guān)系，代入函數(shù)解析式求解．21．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）如圖，在正方形中，的平分線交邊于點，點在邊上，，連接分別交和于點、，動點在上，于點，連接，則下列結(jié)論正確的是：①；②；③；④若，則的最小值是.其中正確的是.（填寫序號）

【答案】①②④【分析】證明出，即可判斷①；證明出和為等腰三角形即可判斷②；連接EH，先證明，即可證明出為等腰直角三角形，即可判斷③；過點P作于點M，過點H作于點N．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和垂線段最短可判斷出的最小值為HN的長．再證明為為等腰直角三角形，且，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴DA=AB，．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，即，故①正確；∵的平分線交邊于點E，∴．又∵，，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴，故②正確；如圖，連接EH，

∵DE=DE，，，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，故③錯誤；如圖，過點P作于點M，過點H作于點N．

∵的平分線交邊于點E，∴，∴，∴的最小值為HN的長．∵，∴為等腰直角三角形．∵，∴，∴的最小值為，故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及勾股定理等知識．熟練掌握各知識點是解題關(guān)鍵．22．（2023年江蘇省蘇州市吳中、吳江、相城區(qū)九年級數(shù)學第一次調(diào)研試題）如圖，在矩形中，，，是上一個動點，過點作，垂足為，連接，取中點，連接，則線段的最小值為．【答案】/0.75【分析】建立如圖所示的直角坐標系，求得，設(shè)，求得，，利用兩點間的距離公式得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，據(jù)此即可求解．【詳解】解，在矩形中，建立平面直角坐標系，坐標原點為點B，如圖，過作于，交于，∵，，∴，，∴，∴，設(shè)，∴，，，，∴，∵點為的中點，∴，，∴，∵，∴當時，有最小值，最小值為，∴線段的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，建立坐標系，構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．23．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長為8，是邊上的動點（不與，重合），與關(guān)于直線對稱，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，.現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②的最小值為；③當時，；④當為中點時，所在直線垂直平分.其中一定正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】②③【分析】如圖，連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，．求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；【詳解】解：如圖，連接，與關(guān)于所在的直線對稱，，按順時針方向繞點旋轉(zhuǎn)得到，，，，，故①錯誤；當時，有最小值，此時，，，三點共線，即有最小值時，點在對角線上，，，，，，，，故②正確；在和中，，（SAS），，∵四邊形是正方形，．，，在Rt中，，，故③正確；當為中點時，，，又，，點不在的垂直平分線上，所在直線不會垂直平分，故④錯誤；故答案為：②③．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．24．（2023·福建廈門·廈門市湖里中學校考模擬預測）如圖，在邊長為2的正方形中，點E，F(xiàn)分別為，邊上的動點（不與端點重合），連接，，分別交對角線于點P，Q．點E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持，連接，，．以下結(jié)論：①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若過點B作，垂足為H，連接，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④⑤【分析】連接BD，延長DA到M，使AM=CF，連接BM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可判斷①正確；通過證明，，可證明②正確；作，交AC的延長線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，通過證明，可判斷③錯誤；通過證明，，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明④正確；當點B、H、D三點共線時，DH的值最小，分別求解即可判斷⑤正確．【詳解】如圖1，連接BD，延長DA到M，使AM=CF，連接BM，四邊形ABCD是正方形，垂直平分BD，，，，，故①正確；，，，，，即，，，，，，，故②正確；如圖2，作，交AC的延長線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，，，，，，即，，故③錯誤；如圖1，四邊形ABCD是正方形，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，故④正確；如圖1，當點B、H、D三點共線時，DH的值最小，，，，，，故⑤正確；故答案為：①②④⑤．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點并準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左邊，拋物線（其中），與x軸交于C，D兩點，點C在點D的左邊．若，則t的取值范圍為．【答案】【分析】先求得A、B、C、D坐標，進而得到，，分、、三種情況，去絕對值和解不等式組即可求解．【詳解】解：∵拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左邊，∴由得或，∴，，∵拋物線（其中），與x軸交于C，D兩點，點C在點D的左邊，∴由得或，∴，，∴，，∵，∴，又，當時，則，解得，不合題意，舍去；當時，則，解得，符合題意；當時，則，解得，不合題意，舍去，綜上，滿足條件的t值為．故答案為：【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點問題、解一元一次不等式組、去絕對值、坐標與圖形等知識，理解題意，正確列出不等式組以及分類討論思想的運用是解答的關(guān)鍵．26．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）拋物線與軸有兩個交點，其中一個交點為，且．以下結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正確的結(jié)論是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②③④【分析】利用二次函數(shù)的對稱性可判斷①；利用根的判別式可判斷②；利用特殊件的三角函數(shù)值可判斷③和④．【詳解】∵對稱軸是直線，一個交點為，且，∴另一個交點橫坐標，∴，故①正確；∵拋物線與軸有兩個交點，∴，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴時，，∴，∴．①由①知，當時，，∴∴，∴．②，得，∴，故③正確；∵，，∴時，，∴，∴．∵，∴，故④正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標軸的交點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦（不是直徑），將沿翻折交于點．若，，則＝．【答案】【分析】設(shè)翻折前點的對應(yīng)點是點，連接、、、、，易證四邊形是菱形，得到，推出，證明，得到，進而得到進行求解即可．【詳解】解：設(shè)翻折前點的對應(yīng)點是點，連接、、、、，如圖：則：∴，∵，∴∴，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，即：∴，∴∵，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，同弧所對的圓周角相等，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．28．（2023·福建廈門·福建省同安第一中學?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形中，點A，C在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，點B在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，連接并延長交x軸于點D，若，則的值是．【答案】【分析】作軸于，軸于，由，即可得出，即，設(shè)，，則，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，代入即可證得結(jié)論．【詳解】解：作軸于，軸于，，，，，，設(shè)，，則，，四邊形是平行四邊形，且原點向右平移個單位，向上平移個單位得到，點向右平移個單位，向上平移個單位得到，，，點在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，，，故答案為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是表示出、、的坐標．29．（2023·福建三明·?？家荒＃cE在邊長為2正方形的邊上（且點E不與點A，B重合），線段是線段繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接有下列結(jié)論：①；②；③；④的面積的最大值為1．其中正確結(jié)論的序號是【答案】①③/③①【分析】作交的延長線于點J，證明，推出是等腰直角三角形，得到，可證明①；設(shè)，推出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④；利用三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)可判斷③；根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可判斷②．【詳解】解：作交的延長線于點J，∵線段是線段繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故①正確；設(shè)，則，∴，∵，∴當時，有最大值為；故④不正確；∵，，∴，即，∴，∴；故③正確；∵，∴，∵不一定等于，∴不一定等于；故②不正確；綜上，正確的有①③，故答案為：①③．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．30．（2023·福建寧德·?？级＃┱叫沃?，，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接并延長交于點，則．【答案】/【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，推導出是等邊三角形，得到，，，解直角三角形得到，，過作，進而得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是正方形，，把邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，過點作垂直于點，，．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形，屬于中考?？碱}型．31．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知點A在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，點B在x軸的正半軸上，若是等腰三角形，且腰長為5，則的長為多少？現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是．（只填正確的序號）【答案】①②③【分析】分兩種情況：（1）和（2），先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式、兩點之間的距離公式可求出點的坐標，再利用兩點之間的距離公式即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當時，是等腰三角形，符合題意；（2）當時，是等腰三角形，符合題意；，設(shè)點的坐標為，，，解得或，或（舍去）或或（舍去），當時，，則，當時，，則，綜上，或或，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰三角形的定義、兩點之間的距離公式、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，若對于范圍內(nèi)的任意自變量，都有，則的取值范圍是．【答案】【分析】先將解析式化成頂點式，然后根據(jù)題意可得可求得的取值范圍，再結(jié)合可知，進而得到可得，最后再結(jié)合即可解答．【詳解】解：∵∴，即，解得：或，∵∴∴，即，解得：又∵∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次不等式、等式的性質(zhì)等知識點，理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．33．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）若拋物線（，）經(jīng)過，兩點，則下列結(jié)論：①；②；③當時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．其中結(jié)論一定正確的有．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③/③①【分析】先用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式、，再根據(jù)可知，則，則成立，即可判定①；將、代入可得，再分和兩種情況確定的正負，即可判定②；先求出拋物線的對稱軸，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定③．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∵，∴，，∴，∴成立，即①正確；將、代入可得：，當時，；當時，，∴不一定成立，即②不一定正確；∵∴拋物線的對稱軸，∴拋物線開口向上，當時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．即③正確．故答案為①③．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等知識點，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．34．（2023·福建莆田·校考一模）如圖，△ABC中，，，，點D在邊AC上運動（不與A，C重合）以BD為邊作正方形BDEF，使點A在正方形BDEF內(nèi)，連接EC，則下列結(jié)論：①；②CD的長度可能是AD的長度的2倍；③點F到直線AB的距離為a；④△CDE面積的最大值是．其中正確的結(jié)論是（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【答案】②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BD=DE，∠BDE=90°，當時，，則△BCD不全等于△EDC，故①錯誤；當∠ABD=∠CBD=30°時CD=2AD，故②正確；過點F作FG⊥AB于G，證明△FGB≌△BAD，即可判斷③正確；過點E作EH⊥AC于H，則∠H=90°，證明△DHE≌△BAD，得到EH=AD，利用三角函數(shù)求出AD、AC，根據(jù)公式求出△CDE的面積，利用二次函數(shù)的最值解答故④正確．【詳解】解：∵四邊形BDEF是正方形，∴BD=DE，∠BDE=90°，∵CD=CD，∴當時，，此時，則△BCD不全等于△EDC，故①錯誤；當∠ABD=∠CBD=30°時，BD=2AD，∠CBD=∠C，∴BD=CD，∴CD=2AD，故②正確；過點F作FG⊥AB于G，則∠FGB=90°，∵四邊形BDEF是正方形，∴BF=BD，∠DBF=∠BAC=90°，∴∠GFB+∠FBG=∠FBG+∠ABD=90°，∴∠GFB=∠ABD，∴△FGB≌△BAD，∴FG=AB，故③正確；過點E作EH⊥AC于H，則∠H=90°，∵四邊形BDEF是正方形，∴DE=BD，∠BDE=∠BAC=90°，∴∠ADE+∠ADB=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ADE=∠ABD，∴△DHE≌△BAD，∴EH=AD，∵，，∴CD=AC-AD=，∴S△CDE===∴△CDE面積的最大值是，故④正確．故答案為：②③④．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值問題，綜合掌握各知識點并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．35．（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，正方形如圖擺放，點的坐標為，點的坐標為，點在反比例函數(shù)圖像上，將正方形沿軸負方向平移個單位長度后，點恰好落在該函數(shù)圖像上，則的值是．

【答案】【分析】如圖，作軸于，軸于，證明得到，，則，用同樣方法可得，再根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征得到，再計算出自變量的值為所對應(yīng)的函數(shù)值，然后確定平移的距離．【詳解】解：如圖，作軸于，軸于，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，，∵，，∴，，點的坐標為，點的坐標為，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵點在反比例函數(shù)圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，∵點的橫坐標為，當時，，∴點平移到點恰好落在該函數(shù)圖像上，即點向下平移個單位，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)關(guān)系式，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征：反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像是雙曲線，圖像上的點的橫縱坐標的積是定值，即，也考查了平移變換和全等三角形的判定和性質(zhì)．36．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，，，，AC，BD交于點G，點O是AC中點．延長AD，BC交于點E，點F在CE上，．則下列結(jié)論成立的是（直接填寫序號）．①直線DF是⊙O的切線；②是等腰三角形；③圖中共有3個等腰三角形；④連接OE，則．【答案】①②④【分析】連接OD，利用已知條件可以證明，即可知①正確；證明，即可知②正確；根據(jù)等腰三角形的判定可知、、、是等腰三角形，故③錯誤；作交于點H，找出，，即可求出，故④正確．【詳解】解：連接OD，∵ABCD內(nèi)接于圓O，且，∴，∵，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴直線DF是⊙O的切線，故①正確；∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰三角形；故②正確；∵，，∴、是等腰三角形，∵，且，∴是等腰三角形，∵是等腰三角形，∴圖中共有4個等腰三角形，故③錯誤；作交于點H，∵，∴，∵，∴，∵，∵是等腰直角三角形，設(shè)，則，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故④正確；綜上所述正確的有①②④．故答案為：①②④【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，角平分線，切線的判定定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，正切值，難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點并理清角之間的關(guān)系．37．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與雙曲線交于A，B兩點，直線與雙曲線的另一個交點為C．現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①一定是直角三角形；②一定不是等腰直角三角形；③存在實數(shù)k，使得；④對于任意的正數(shù)k，都存在b，使得．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【分析】連接，令與軸，軸分別交于，，聯(lián)立兩個解析式，可得，進而求得，，由此可得，可知，由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可知點與點關(guān)于原點對稱，得，則，進而求得，即可可判斷①；由直線，可得，可知為等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可可判斷②；可知，根據(jù)反比例函數(shù)與坐標軸不相交，可知，即可可判斷③；可知，，求得，，進而可得，可知，當時，關(guān)于的方程都有解，即可判斷④．【詳解】解：連接，令與軸，軸分別交于，，

聯(lián)立，整理得，解得：，，則，，∴，則，∴，∵直線與雙曲線的另一個交點為C，則點與點關(guān)于原點對稱，∴，則，∵，∴，∴為直角三角形，故①正確；對于直線，當時，，當時，，則，∴為等腰直角三角形，∴，由三角形外角可知，，∴一定不是等腰直角三角形，故②正確；∵為等腰直角三角形，∴，∵反比例函數(shù)與坐標軸不相交，∴，則，不可能存在實數(shù)使得，故③錯誤；∵，，∴，由，∴，則，當時，關(guān)于的方程都有解，∴對于任意的正數(shù)k，都存在b，使得，故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，一元二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．38．（2023·福建龍巖·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，Rt的直角頂點B在x軸的正半軸上，點O與原點重合，點A在第一象限，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過OA的中點C，交于點D，連接．若的面積是1，則k的值是．【答案】/【分析】連接OD，過C作，交x軸于E，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到，根據(jù)OA的中點C，利用△OCE∽△OAB得到面積比為1：4，代入可得結(jié)論．【詳解】解：連接OD，過C作，交x軸于E，∵∠ABO＝90°，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C，，∴，，2OC=OA，∵，∴△OCE∽△OAB，∴，∴，∴，∴k＝，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．39．（2023·福建廈門·廈門雙十中學?？既＃cA，B，C，D順次在直線l上，，以為邊向下作等邊，以為底邊向上作等腰，當?shù)拈L度變化時，與的面積差S始終保持不變，則a，b滿足數(shù)量關(guān)系．【答案】【分析】過點F作于點G，過點E作于點H，連接，分別利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，設(shè)，分別表示出與的面積，從而可得，再根據(jù)當?shù)拈L度變化時，S始終保持不變，可得，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點F作于點G，過點E作于點H，連接，∵是等邊三角形，，

∴，∵，，是等腰三角形，∴，，在中，，設(shè)，則，，∴，∵當?shù)拈L度變化時，S始終保持不變，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角形的面積計算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，點在直線上，垂直軸于點，垂直軸于點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若，則的值為．【答案】或【分析】根據(jù)直線的關(guān)系式求出與坐標軸交點坐標，即點A，點，設(shè)出點，利用相似三角形的性質(zhì)可得x、y之間的關(guān)系，根據(jù)面積的比得出另一個關(guān)于x、y的關(guān)系式，聯(lián)立可求出x、y的值，進而求出答案．【詳解】解：如圖所示：∵直線與軸交于點A，與軸交于點，∴把、代入得：，，∴，，即