九年級數(shù)學下冊教學：相似三角形的性質(zhì)

新知一覽圖形的相似相似三角形相似相似三角形的性質(zhì)位似位似圖形的概念及畫法平面直角坐標系中的位似相似三角形應用舉例相似三角形的判定27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性質(zhì)第二十七章相似復習引入1.相似三角形的判定方法有哪些？?定義：對應邊成比例，對應角相等的兩個三角形相似.?平行于三角形一邊的直線與另外兩邊相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相似.?三邊成比例的兩個三角形相似.?兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.?兩角分別相等的兩個三角形相似.?一組直角邊和斜邊成比例的兩個直角三角形相似.2.三角形除了三個角，三條邊外，還有哪些要素?如果兩個三角形相似，那么，對應的這些要素有什么關(guān)系呢？高中線角平分線周長面積

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，它們的對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？相似三角形對應線段的比ABCA'B'C'合作探究∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B

=∠B'．解：如圖，分別作出△ABC和△A'B'C'

的高AD和A'D'．

則∠ADB=∠A'D'B'=90°．

∴△ABD∽△A'B'D'．A'B'C'D'∴

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，求它們對應邊

BC和

B′C′上的高之比．CABD

仿照求高的比的過程，當△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k時，求它們對應中線的比、對應角平分線的比.試一試：類似地，還可以證明相似三角形的對應中線、對應角平分線的比也等于相似比.相似三角形對應高的比等于相似比.一般地，我們有：相似三角形對應線段的比等于相似比.歸納：解：∵△ABC∽△DEF，

DEFH例

1

已知△ABC∽△DEF，BG、EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC=6，EF=4，BG=4.8.

求EH.∴(相似三角形對應角平分線的比等于相似比).∴，解得

EH=3.2.AGBC典例精析1.如果兩個相似三角形的對應高的比為2:3，那么對應角平分線的比是

，對應邊上的中線的比是

______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3:4，若BC邊上

的高AD=12cm，則B'C'邊上的高A'D'＝______.2:32:316cm練一練

相似三角形的周長比也等于相似比嗎？為什么？想一想：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此

AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'.從而歸納：相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形面積的比

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，那么它們的面積比是多少？合作探究ABCA'B'C'由前面的結(jié)論，我們有D'DABCA'B'C'分別作

BC，B′C′

邊上的高

AD和

A′D′.故相似三角形的面積的比等于相似比的平方．歸納：1.已知兩個三角形相似，請完成下列表格：相似比2…k周長比…面積比10000…試一試：24100100kk22.把一個三角形變成和它相似的三角形：(1)如果邊長擴大為原來的5倍，那么面積擴大為原來的______倍；(2)如果面積擴大為原來的100倍，那么邊長擴大為原來的______倍.25103.兩個相似三角形的一對對應邊分別是35cm、14cm.(1)若它們的周長差為60cm，這兩個三角形的周長

分別是______________；(2)若它們的面積之和是58cm2，這兩個三角形的面積分別是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，ABCDEF∴例

2

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.∴△DEF∽△ABC，相似比為1∶2.∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為ABCDEF

如果兩個相似三角形的面積之比為2∶7，較大三角形一邊上的高為7，那么較小三角形對應邊上的高為_____.

練一練例

3

如圖，D，E分別是

AC，AB上的點，已知△ABC的面積為

100cm2，且

，求四邊形

BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為

3:5，∴面積比為

9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

，

又∵△ABC的面積為

100

cm2，∴△ADE的面積為

36cm2.∴四邊形

BCDE的面積為

100－36=64(cm2).BCADE

如圖，△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.當D點為AB中點時，求S四邊形BFED:S△ABC的值.ABCDFE練一練解：∵DE∥BC，D為AB中點，∴△ADE∽△ABC．

∴即相似比為1:2，面積比為1:4.又∵EF∥AB，ABCDFE∴△EFC∽△ABC，相似比為∴面積比為1:4.設(shè)S△ABC

=4，則S△ADE

=1，S△EFC

=1，S四邊形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四邊形BFED:S△ABC=2:4=1.判斷對錯：(1)一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這個三角形的周長也擴大為原來的5倍．()(2)一個四邊形的各邊長擴大為原來的9倍，這個四邊形的面積也擴大為原來的9倍．()√×3.

連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在

△ABC和

△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，AP，DQ是中線，若

AP=2，則

DQ

的值為()A．2B．4C．1D.C4.兩個相似三角形對應的中線長分別是

6cm和

18cm，若較大三角形的周長是

42cm，面積是

12cm2，則較小三角形的周長____cm，面積為

cm2.____145.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴AE:EC=2:3．則AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25．∴S△ABC=25．∴△ADE∽△EFC．又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF．6.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB、AC于點D、E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC．ABCDE【分析】由題意可得△ADE∽△ABC，要求它們的面積比，可先求出其相似比．觀察得到△ADE與△DCE同高，易得

AE與

CE

的比，進而求解．解：過點D作AC的