力學(xué)(漆安慎-杜嬋英)習(xí)題解答

./質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程為：,求質(zhì)點(diǎn)軌跡并用圖表示.解：⑴軌跡方程為的直線.xy5xyxy5xy5/35/42.1.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程為.⑴求質(zhì)點(diǎn)軌跡；⑵求自t=-1到t=1質(zhì)點(diǎn)的位移。解：⑴由運(yùn)動學(xué)方程可知：,所以,質(zhì)點(diǎn)是在z=2平面內(nèi)的第一像限的一條雙曲線上運(yùn)動。⑵。所以,位移大?。?.1.3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程為.⑴求質(zhì)點(diǎn)軌跡；⑵求質(zhì)點(diǎn)自t=0至t=1的位移.解：⑴,消去參數(shù)t得：⑵Rθ2.2.1雷達(dá)站于某瞬時測得飛機(jī)位置為Rθ0.75s后測得,R1,R2均在鉛直面內(nèi),求飛機(jī)瞬時速率的近似值和飛行方向〔α角〕θ1R1θ1R1R2ΔRθ1θ2α據(jù)正弦定理：yx0x1x22.2.2一圓柱體沿拋物線軌道運(yùn)動,拋物線軌道為y=x2/200<長度：毫米>。第一次觀察到圓柱體在yx0x1x2解：由于Δt很小,所以,,其中,。其大小；與x軸夾角αv230αv230°v1=90km/hv2=70km/hΔv西北解：對矢量三角形應(yīng)用余弦定理：,由正弦定理：2.2.6⑴,R為正常數(shù),求t=0,π/2時的速度和加速度。⑵,求t=0,1時的速度和加速度〔寫出正交分解式〕。解：⑴⑵；102030102030102030°45°120°-10-200x<m>t<s>abc解：質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動的速度,在x-t圖像中為曲線斜率。由于三種圖像都是直線,因此三種運(yùn)動都是勻速直線運(yùn)動,設(shè)直線與x軸正向夾角為α,則速度對于a種運(yùn)動：對于b種運(yùn)動：對于c種運(yùn)動：2.3.2質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程為x=acost,a為正常數(shù),求質(zhì)點(diǎn)速度和加速度,并討論運(yùn)動特點(diǎn)〔有無周期性,運(yùn)動X圍,速度變化情況等〕解：顯然,質(zhì)點(diǎn)隨時間按余弦規(guī)律作周期性運(yùn)動,運(yùn)動X圍：跳傘運(yùn)動員的速度為,v鉛直向下,β,q為正常量,求其加速度,討論時間足夠長時〔即t→∞〕速度、加速度的變化趨勢。解：因?yàn)関>0,a>0,所以,跳傘員做加速直線運(yùn)動,但當(dāng)t→∞時,v→β,a→0,說明經(jīng)過較長時間后,跳傘員將做勻速直線運(yùn)動。v<km/h>v<km/h>v=v0cosπx/5x<km>1.5v02.3.4直線運(yùn)行的高速列車在電子計(jì)算機(jī)控制下減速進(jìn)站。列車原運(yùn)行速率為v0=180km/h,其速率變化規(guī)律如圖所示。求列車行至x=1.5km時的加速度。解：,將v0=180km/h,x=1.5km代入ABaA0.5gABaA0.5g0x解：設(shè)整個繩長為L,取圖示坐標(biāo)o-x,則3xA+<-4xB>=L對時間求兩次導(dǎo)數(shù),3aA=4aB,所以aB=3aA/4=3×0.5g/4=3g/82.3.6質(zhì)點(diǎn)沿直線的運(yùn)動學(xué)方程為x=10t+3t2.⑴將坐標(biāo)原點(diǎn)沿o-x正方向移動2m,運(yùn)動學(xué)方程如何？初速度有無變化？⑵將計(jì)時起點(diǎn)前移1s,運(yùn)動學(xué)方程如何？初始坐標(biāo)和初速度發(fā)生怎樣的變化？加速度變不變？解：x=10t+3t2,v=dx/dt=10+6t,a=dv/dt=6,t=0時,x=0,v=10⑴將坐標(biāo)原點(diǎn)向x軸正向移動2m,即令x'=x-2,x=x'+2,則運(yùn)動學(xué)方程為：x'=10t+3t2-2,∵v'=dx'/dt=10+6t,∴v'=v⑵將計(jì)時起點(diǎn)前移1s,即令t'=t+1,t=t'-1,則運(yùn)動學(xué)方程變?yōu)椋簒=10<t'-1>+3<t'-1>2=10t'–10+3t'2-6t'+3=4t'+3t'2–7v'=dx/dt'=4+6t',t'=0時,x=-7,v'=4,加速度a不變。質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)時開始計(jì)時,沿x軸運(yùn)動,其加速度ax=2t<cms-2>,求在下列兩種情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程,出發(fā)后6s時質(zhì)點(diǎn)的位置、在此期間所走過的位移與路程。⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小為9cm/s,方向與加速度方向相反。解：⑴⑵令vx=0,由速度表達(dá)式可求出對應(yīng)時刻t=3,由于3秒前質(zhì)點(diǎn)沿x軸反向運(yùn)動,3秒后質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動,所以路程：2.4.2質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動瞬時速度的變化規(guī)律為：vx=-3sint,求t1=3至t2=5時間內(nèi)的位移。解：2.4.3一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,其瞬時加速度的變化規(guī)律為ax=-Aω2cosωt.在t=0時,vx=0,x=A,其中A,ω均為正常數(shù)。求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程。解：,2.4.4飛機(jī)著陸時為盡快停止采用降落傘制動,剛著陸時,t=0時速度為v0,且坐標(biāo)x=0,假設(shè)其加速度為ax=-bvx2,b=常量,求飛機(jī)速度和坐標(biāo)隨時間的變化規(guī)律。解：2.4.5在195m長的坡道上,一人騎自行車以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡,另一自行車同時以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡,問：⑴經(jīng)多長時間兩人相遇？⑵兩人相遇時各走過多長的路程？解：以上坡者出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)沿其前進(jìn)方向建立坐標(biāo)o-x,用腳標(biāo)1表示上坡者,用腳標(biāo)2表示下坡者。兩人的加速度實(shí)際上是相同的：xx0195a1a2v10v20根據(jù)勻變速直線運(yùn)動公式：⑴令x1=x2,可求得相遇時間：5t=195-1.5t,t=195/6.5=30s⑵對于上坡者,在相遇期間做的不一定是單方向直線運(yùn)動,據(jù)上坡者的速度表達(dá)式：v1=5-0.2t,令v1=0,求得對應(yīng)時刻t=25s,所以,上坡者在25s前是在上坡,但25s后卻再下坡。因此,上坡者在30s內(nèi)走過的路程：對于下坡者,因?yàn)樽鰡畏较蛑本€運(yùn)動,所以30s內(nèi)走過的路程：210x210x解：設(shè)每節(jié)車廂長為L,以地為參考系,以人所在點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)o-x,以第一節(jié)車廂的前端點(diǎn)為研究對象,t=0時,前端點(diǎn)的坐標(biāo)x=0,速度v=0,據(jù)勻加速運(yùn)動公式：,令x=L,求得：,∴令x=6L,可求得第6節(jié)車廂尾端通過人時所需時間t6：令x=7L,可求得第7節(jié)車廂尾端通過人時所需時間t7：因此,第7節(jié)車廂通過人所需時間：yh02.4.7在同一鉛直線上相隔h的兩點(diǎn)以同樣速率v0上拋二石子,但在高處的石子早tyh0解：以地為參考系,建立圖示坐標(biāo)o-y。據(jù)題意,設(shè)t=0時,上面石子坐標(biāo)y1=h,速度v1=v0；t=t0時,下面石子坐標(biāo)y2=0,v2=v0解法1：根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律,可知解法2：可根據(jù)速度、加速度的導(dǎo)數(shù)定義和初始條件,通過積分得到⑴、⑵,然后求解。2.4.8電梯以1.0m/s的勻速率下降,小孩在電梯中跳離地板0.50m高,問當(dāng)小孩再次落到地板上時,電梯下降了多長距離？解：以電梯為參考系,小孩相對電梯做豎直上拋運(yùn)動,他從起跳到再次落到地板所需時間,是他從最高處自由下落到地板所需時間的2倍。由自由落體運(yùn)動公式：,可求得從最高出落到地板所需時間：,所以小孩做豎直上拋所需時間為0.64s,在此時間內(nèi)電梯對地下落距離：L=1.0×0.64=0.64m質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動,其加速度為,位置和速度的初始條件為：t=0時,,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程并畫出軌跡。解：xyxy2.5.2在同一豎直面內(nèi)的同一水平線上A、B兩點(diǎn)分別以30o、60o為發(fā)射角同時拋出兩球,欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點(diǎn),求A、B兩點(diǎn)間的距離。已知小球在A點(diǎn)的發(fā)射速度vA=9.8米/秒。YvAOvBO30o60oASBx解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)系,取發(fā)射時刻為計(jì)時起點(diǎn),兩點(diǎn)間距離為S,初始條件如圖所示。據(jù)斜拋規(guī)律有：滿足題中條件,在最高點(diǎn)相遇,必有vAy=vBy=0,xA=xBxyA60°30xyA60°30°v0解：以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn),建立圖示坐標(biāo)o-x,斜拋物體的軌跡方程為〔見教材〕：本題,α=60°,v0=150m/s,A點(diǎn)坐標(biāo)xA,yA應(yīng)滿足軌跡方程,所以：①另外,根據(jù)圖中幾何關(guān)系,可知：,代入①中,有：2.5.4轟炸機(jī)沿與鉛直方向成53°俯沖時,在763m的高度投放炸彈,炸彈在離開飛機(jī)5.0s時擊中目標(biāo),不計(jì)空氣阻力：⑴轟炸機(jī)的速率是多少？⑵炸彈在飛行中通過的水平距離是多少？⑶炸彈擊中目標(biāo)前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？xy0v053xy0v053°⑴令t=5.0s,y=763m,由④可求得轟炸機(jī)的速率：⑵將v0代入①中,可求得炸彈擊中目標(biāo)時速度的水平分量：令t=5,由②可求得炸彈擊中目標(biāo)時速度的豎直分量：2.5.5雷達(dá)監(jiān)測員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體,在某一時刻,他給出這樣的信息：⑴拋射體達(dá)到最大高度且正以速率v沿水平方向運(yùn)動；⑵觀測員到拋射體的直線距離是l；⑶觀測員觀測拋體的視線與水平方向成θ角。問：⑴拋射體命中點(diǎn)到觀測者的距離D等于多少？⑵何種情況下拋體飛越觀察員的頭頂以后才命中目標(biāo)？何種情況下拋體在未達(dá)到觀察員以前就命中目標(biāo)？xyxyoθvl命中點(diǎn)觀測者x1x2設(shè)命中時間為t1,由自由落體公式：命中點(diǎn)x坐標(biāo)為：,由圖中幾何關(guān)系,觀測者的x坐標(biāo)：。所以,觀測者與命中點(diǎn)間的距離：當(dāng)x1<x2,即時,則拋體在未達(dá)到觀察員前即命中目標(biāo)。當(dāng)x1>x2,即時,則拋體在飛越觀察員后才命中目標(biāo)。2.6.1列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛,在我們所討論的時間X圍內(nèi),其運(yùn)動學(xué)方程為S=80t-t2〔m,s〕,t=0時,列車在圖中O點(diǎn),此圓弧形軌道的半徑r=1500m,求列車駛過O點(diǎn)以后前進(jìn)至1200m處的速率與加速度。東北O(jiān)Sτa東北O(jiān)Sτaτanaαv令S=1200,由①可求得對應(yīng)時間：將t=60代入②中,v=-40,不合題意,舍去；將t=20代入②中,v=40m/s,此即列車前進(jìn)到1200m處的速率。2.6.2火車以200米/小時的速度駛?cè)雸A形軌道,其半徑為300米。司機(jī)一進(jìn)入圓弧形軌道立即減速,減速度為2g。求火車在何處的加速度最大？最大加速度是多少？解：沿火車運(yùn)動的圓形軌道建立弧坐標(biāo)o-s,t=0時,s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。據(jù)題意aτ=-2g,v=v0+aτt=v0-2gt,an=v2/R=<v0–2gt>2/R?！郺=<aτ2+an2>1/2=[4g2+<v0–2gt>4/R2]1/2,顯然,t=0時,a最大,斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道上運(yùn)動,當(dāng)斗車達(dá)到圖中所示位置時,軌道曲率半徑為150m,斗車速率為50km/h,切向加速度aτ=0.4g,求斗車的加速度。nτanτa30°加速度與切向單位矢量夾角：B120mCBvuLvω1uαω2AA第一次渡河矢量圖第二次渡河矢量圖2.8.1飛機(jī)在某高度的水平面上飛行,機(jī)身的方向是自東北向西南,與正西夾15o角,風(fēng)以100km/h的速率自西南向東北方向吹來,與正南夾45o角,結(jié)果飛機(jī)向正西方向運(yùn)動,求飛機(jī)相對于風(fēng)的速度與相對于地面的速度。北東45°15°v風(fēng)地v機(jī)地v北東45°15°v風(fēng)地v機(jī)地v機(jī)風(fēng)2.8.3一卡車在平直路面上以恒速度30米/秒行駛,在此車上射出一個拋體,要求在車前進(jìn)60米時,拋體仍落回到車上原拋出點(diǎn),問拋體射出時相對于卡車的初速度的大小和方向,空氣阻力不計(jì)。解：以卡車為參考系,設(shè)拋體初速為v0,由于要落回原拋出點(diǎn),故方向只能豎直向上,即拋體相對車只能作豎直上拋運(yùn)動。取向上方向?yàn)檎?拋體相對車任意時刻速度v=v0-gt⑴由題意,拋體落回原地所需時間t=60/30=2<s>,落到車上時的速度v=-v0,把數(shù)值代入⑴中,可求得v0=9.8m/s.2.8.4河的兩岸互相平行,一船由A點(diǎn)朝與岸垂直的方向勻速駛?cè)?經(jīng)10min到達(dá)對岸C點(diǎn)。若船從A點(diǎn)出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直地到達(dá)彼岸的B點(diǎn),需要12.5min。已知BC=120m.求：⑴河寬L；⑵第二次渡河時船的速度；⑶水流速度v.解：以船為運(yùn)動質(zhì)點(diǎn),水為動系,岸為靜系,由相對運(yùn)動公式由第一次渡河矢量圖可知：v=BC/t1=120/600=0.2m/s,⑴u=L/t1⑵,L=ut1⑶.由第二次渡河矢量圖可知：ω2=L/t2⑷,cosα=ω2/u⑸,v=usinα⑹.把⑵、⑷代入⑸,求得cosα=t1/t2=600/750=4/5,sinα=<1-cos2α>1/2=3/5⑺把⑴、⑺代入⑹,求得u=0.2×5/3=1/3<m/s>.再把u的數(shù)值代入⑶,求得L=600/3=200<m>.答：河寬200米,水流速度0.2米/秒；第二次渡河時,船對水的速度是1/3米,與河岸垂直方向所成角度α=arccos<4/5>=36o52’.2.8.5圓形公路與沿半徑方向的東西向公路相交如圖,某瞬時汽車甲向東以20km/h的速率行駛,汽車乙在θ=30°的位置向東北方向以速率20km/h行駛,求此瞬時甲車相對乙車的速度。v1v2v1v2v12v130°,顯然矢量三角形為等邊三角形,所以,v12=20km/h,方向向東偏南60°第三章基本知識小結(jié)⒈牛頓運(yùn)動定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn),牛頓第二定律是核心。矢量式：分量式：⒉動量定理適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系。導(dǎo)數(shù)形式：微分形式：積分形式：〔注意分量式的運(yùn)用〕⒊動量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系。若作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和始終為零,則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動量保持不變。即〔注意分量式的運(yùn)用〕⒋在非慣性系中,考慮相應(yīng)的慣性力,也可應(yīng)用以上規(guī)律解題。在直線加速參考系中：在轉(zhuǎn)動參考系中：⒌質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動定理⑴⑵〔注意分量式的運(yùn)用〕3.5.1質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程為〔單位：米,秒〕,求證質(zhì)點(diǎn)受恒力而運(yùn)動,并求力的方向大小。解：∵,為一與時間無關(guān)的恒矢量,∴質(zhì)點(diǎn)受恒力而運(yùn)動。F=<242+122>1/2=12N,力與x軸之間夾角為：3.5.2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程為：,a,b,ω為正常數(shù),證明作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。證明：∵,∴作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。3.5.3在脫粒機(jī)中往往裝有振動魚鱗篩,一方面由篩孔漏出谷粒,一方面逐出秸桿,篩面微微傾斜,是為了從較低的一邊將秸桿逐出,因角度很小,可近似看作水平,篩面與谷粒發(fā)生相對運(yùn)動才可能將谷粒篩出,若谷粒與篩面靜摩擦系數(shù)為0.4,問篩沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和篩面發(fā)生相對運(yùn)動？解：以地為參考系,設(shè)谷物的質(zhì)量為m,所受到的最大靜摩擦力為,谷物能獲得的最大加速度為∴篩面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2,才能使谷物與篩面發(fā)生相對運(yùn)動。m2m2m1Fμ1Fμ23.5.3題圖3.5.4題圖3.5.4桌面上疊放著兩塊木板,質(zhì)量各為m1,m2,如圖所示,m2和桌面間的摩擦系數(shù)為μ2,m1和m2間的摩擦系數(shù)為μ1,問沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來。解：以地為參考系,隔離m1、m2,其受力與運(yùn)動情況如圖所示,xymxym1gf1N1a1a2N2N1'm2gFf1'f2其中,N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2,選圖示坐標(biāo)系o-xy,對m1,m2分別應(yīng)用牛頓二定律,有解方程組,得要把木板從下面抽出來,必須滿足,即yN2a2xN1'=N1yN2a2xN1'=N1αm2gαx'N1a'f*=m1a2y'm1gαm1m2α解：以相對地面向右作加速直線運(yùn)動的斜面為參考系〔非慣性系,設(shè)斜面相對地的加速度為a2〕,取m1為研究對象,其受力與運(yùn)動情況如左圖所示,其中N1為斜面對人的支撐力,f*為慣性力,a'即人對斜面的加速度,方向顯然沿斜面向下,選如圖所示的坐標(biāo)系o'-x'y',應(yīng)用牛頓第二定律建立方程：再以地為參考系,取m2為研究對象,其受力與運(yùn)動情況如右圖所示,選圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第二定律建立方程：〔1〕、〔2〕、〔3〕聯(lián)立,即可求得：m1m2F在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為m1,mm1m2Ff1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2解：以地為參考系,隔離m1,m2,受力與運(yùn)動情況如圖示,其中：f1=μN(yùn)1=f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2①+②可求得：將a代入①中,可求得：Tf1N1m1ga1TTf1N1m1ga1Tf2N2m2ga2T'm3ga3CAB解：以地為參考系,隔離A,B,C,受力與運(yùn)動情況如圖示,其中：f1=μN(yùn)1=μm1g,f2=μN(yùn)2=μm2g,T'=2T,由于A的位移加B的位移除2等于C的位移,所以〔a1+a2〕/2=a3.對A,B,C分別在其加速度方向上應(yīng)用牛頓第二定律：①,②,③聯(lián)立,可求得：3.5.8天平左端掛一定滑輪,一輕繩跨過定滑輪,繩的兩端分別系上質(zhì)量為m1,m2的物體〔m1≠m2〕,天平右端的托盤上放有砝碼.問天平托盤和砝碼共重若干,天平才能保持平衡？不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量與軸承摩擦,繩不伸長。m1m2解：隔離m1m1m2T'm1gaT'm1gaT'm2gaTT'T'所以,天平右端的總重量應(yīng)該等于T,天平才能保持平衡。0.050.080.050.08t<s>F<N>Fmax0解：由F—t圖可知：[斜截式方程y=kx+b,兩點(diǎn)式方程<y-y1>/<x-x1>=<y2-y1>/<x2-x1>]由動量定理：可求得Fmax=245Nt<s>F<N>t<s>F<N>9820解：根據(jù)推力F-t圖像,可知F=4.9t〔t≤20〕,令F=mg,即4.9t=2×9.8,t=4s因此,火箭發(fā)射可分為三個階段：t=0—4sYY2Y10為第一階段,由于推力小于重力,火箭靜止,v=0,y=0；t=4—20s為第二階段,火箭作變加速直線運(yùn)動,設(shè)t=20s時,y=y1,v=vmaxYY2Y10第二階段的動力學(xué)方程為：F-mg=mdv/dt第三階段運(yùn)動學(xué)方程令v=0,由〔1〕求得達(dá)最大高度y2時所用時間〔t-20〕=32,代入〔2〕中,得y2-y1=5030y2=ymax=5030+1672=6702<m>3.5.13拋物線形彎管的表面光滑,沿鉛直軸以勻角速率轉(zhuǎn)動,拋物線方程為y=ax2,a為正常數(shù),小環(huán)套于彎管上。⑴彎管角速度多大,小環(huán)可在管上任一位置相對彎管靜止？⑵若為圓形光滑彎管,情況如何？xymgNaαω解：以固定底座為參考系,設(shè)彎管的角速度為ωxymgNaαω在圖示坐標(biāo)下應(yīng)用牛頓二定律的分量式：①/②得：tgα=ω2x/g③；由數(shù)學(xué)知識：tgα=dy/dx=2ax；所以,若彎管為半徑為R的圓形,圓方程為：x2+<R-y>2=R2,即代入③中,得：xxhlmgNyaαα設(shè)有供實(shí)驗(yàn)用的高速列車環(huán)形鐵路,回轉(zhuǎn)半徑為9km,將要建設(shè)的京滬列車時速250km/h,若在環(huán)路上作此項(xiàng)列車實(shí)驗(yàn)且欲使鐵軌不受側(cè)壓力,外軌應(yīng)比內(nèi)軌高多少？設(shè)軌距1.435m.解：以地為參考系,把車廂視為質(zhì)點(diǎn),受力與運(yùn)動情況如圖示：車廂速度v=250km/h=69.4m/s,加速度a=v2/R；設(shè)軌矩為l,外軌比內(nèi)軌高h(yuǎn),有選圖示坐標(biāo)o-xy,對車箱應(yīng)用牛頓第二定律：①/②得：,兩邊平方并整理,可求得h：3.5.15汽車質(zhì)量為1.2×10kN,在半徑為100m的水平圓形彎道上行駛,公路內(nèi)外側(cè)傾斜15°,沿公路取自然坐標(biāo),汽車運(yùn)動學(xué)方程為s=0.5t3+20t<m>,自t=5s開始勻速運(yùn)動,問公路面作用于汽車與前進(jìn)方向垂直的摩擦力是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)直向內(nèi)側(cè)？解：以地為參考系,把汽車視為質(zhì)點(diǎn),受力與運(yùn)動情況如圖示：v=ds/dt=1.5t2+20,v|t=5=1.5×52+20=57.5m/s,an=v2/R=57.52/100=33yαxαyαxα=15°αfNmgan②/①得：,說明摩擦力方向與我們事先假設(shè)方向相反,指向內(nèi)側(cè)?！痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢羦+EBxy解：帶電粒子在場中受兩個力的作用：電場力F1=qE,方向向下；磁場力F2=qvB,方向向上F2=qvBFF2=qvBF1=qEv●●●●●●EBsv●●●●●●EBs1s2s●●●●●●●●B0r解：由3.5.16題可知,通過速度選擇器的粒子的速度是v=E/B,該粒子在B0磁場中受到洛侖茲力的作用做勻速圓周運(yùn)動,其向心加速度為an=v2/r,由牛頓第二定律：3.5.18某公司欲開設(shè)太空旅館。其設(shè)計(jì)為用32m長的繩聯(lián)結(jié)質(zhì)量相等的兩客艙,問兩客艙圍繞兩艙中點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度多大,可使客艙感到和在地面上那樣受重力作用,而沒有"失重"的感覺。解：3.5.20圓柱A重500N,半徑RA=0.30m,圓柱B重1000N,半徑RB=0.50m,都放置在寬度L=1.20m的槽內(nèi),各接觸點(diǎn)都是光滑的,求A、B間的壓力與A、B柱與槽壁和槽底間的壓力。NBABNB'NBNANABAααmBgmAgLAABCAB=RA+RB=0.8αααCB=L-RA-RB=0.4yxo解：隔離A、B,其受力情況如圖所示,選圖示坐標(biāo),運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)平衡方程,有通過對△ABC的分析,可知,sinα=0.4/0.8=0.5∴α=30o,cosα=/2,分別代入〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕中,即可求得：NB=288.5N,NB'=1500N,NA=288.5N,NAB=577N.圖表示哺乳動物的下頜骨,假如肌肉提供的力F1和F2均與水平方向成45°,食物作用于牙齒的力為F,假設(shè)F,F1和F2共點(diǎn),求F1和F2的關(guān)系以與與F的關(guān)系。FxFFxF1F2yααx方向,F1cosα-F2cosα=0,F1=F2y方向,F1sinα+F2sinα-F=0,3.5.22四根等長且不可伸長的輕繩端點(diǎn)懸于水平面正方形的四個頂點(diǎn)處,另一端固結(jié)于一處懸掛重物,重量為W,線與鉛垂線夾角為α,求各線內(nèi)X力。若四根線均不等長,知諸線之方向余弦,能算出線內(nèi)X力嗎？解：設(shè)四根繩子的X力為T1,T2,T3,T4,由于對稱,顯然,T1=T2=T3=T4=T；設(shè)結(jié)點(diǎn)下邊的拉力為F,顯然F=W.在豎直方向上對結(jié)點(diǎn)應(yīng)用平衡條件：4Tcosα-W=0,T=W/<4cosα>若四根線均不等長,則T1≠T2≠T3≠T4,由于有四個未知量,因此,即使知道各角的方向余弦,也無法求解,此類問題在力學(xué)中稱為靜不定問題。ααθ3.6.1小車以勻加速度a沿傾角為α的斜面向下運(yùn)動,擺錘相對小車保持靜止,求懸線與豎直方向的夾角〔分別自慣性系和非慣性系求解〕。θf*=maθf*=maayxTW=mgα解得〔2〕以小車為參考系〔非慣性系〕,小球除受重力W、拉力T外,還受慣性力f*的作用<見上圖虛線表示的矢量>,小球在三個力作用下靜止,據(jù)牛頓第二定律：解得m1m1m2f1*f2*aa1'a2'm1gm2g3.6.2升降機(jī)內(nèi)有一裝置如圖示,懸掛的兩物體的質(zhì)量各為m1,m2且m1≠m2,若不計(jì)繩與滑輪質(zhì)量,不計(jì)軸承處摩擦,繩不可伸長,求當(dāng)升降機(jī)以加速度a〔方向向下〕運(yùn)動時,兩物體的加速度各是多少？繩內(nèi)的X力是多少？解：以升降機(jī)為參考系,隔離m1,m2,受力與運(yùn)動情況如圖示,T為繩中X力,f1*=m1a,f2*=m2a,a1'=a2'=a'為m1、m2相對升降機(jī)的加速度.以向下為正方向,由牛頓二定律,有：解得：設(shè)m1、m2的加速度分別為a1、a2,根據(jù)相對運(yùn)動的加速度公式,寫成標(biāo)量式：,將a’代入,求得：3.6.3圖示為柳比莫夫擺,框架上懸掛小球,將擺移開平衡位置而后放手,小球隨即擺動起來。⑴當(dāng)小球擺至最高位置時,釋放框架使它沿軌道自由下落,如圖a,問框架自由下落時,擺錘相對于框架如何運(yùn)動？⑵當(dāng)小球擺至平衡位置時,釋放框架,如圖b,小球相對框架如何運(yùn)動？小球質(zhì)量比框架小得多。ababTf*WθTf*W⑴小球擺至最高位置時釋放框架,小球相對框架速度v=0,所以法向加速度an=v2/l=0〔l為擺長〕；由于切向合力Fτ=Wsinθ-f*sinθ=0,所以切向加速度aτ=0.小球相對框架的速度為零,加速度為零,因此小球相對框架靜止。⑵小球擺至平衡位置時釋放框架,小球相對框架的速度不為零,法向加速度an=v2/l≠0,T=man；在切向方向小球不受外力作用,所以切向加速度aτ=0,因此,小球速度的大小不變,即小球在拉力T的作用下相對框架做勻速圓周運(yùn)動。mgNmgNf=μ0Nf*=mω2r解：設(shè)摩托車在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的最小角速度為ω,以摩托車本身為參考系,車受力情況如圖示,運(yùn)動狀態(tài)靜止。在豎直方向應(yīng)用平衡條件,μ0N=mg①在水平方向應(yīng)用平衡條件,N=mω2r②①/②得：最小線速度ωWfC*fωWfC*fK*Nf0解：⑴可把小盤當(dāng)作質(zhì)點(diǎn),小盤相對雨傘做勻速圓周運(yùn)動,與傘相對地的轉(zhuǎn)向相反。⑵以傘為參考系,小盤質(zhì)點(diǎn)受5個力的作用：向下的重力W,與扇面垂直的支持力N,沿傘面向上的靜摩擦力f0,此外還有離心慣性力fC*和科氏慣性力fk*,方向如圖所示。把這些力都考慮進(jìn)去,即可保持牛頓第二定律的形式不變,小盤正是在這些力的作用下相對傘做勻速圓周運(yùn)動。fk*×fk*×vω60°fC*解：以地球?yàn)閰⒖枷?導(dǎo)彈除受重力作用外,還要受離心慣性力和科氏慣性力的作用。離心慣性力的方向在速度與重力加速度平面內(nèi),不會使導(dǎo)彈前進(jìn)方位偏離,而科氏慣性力的方向垂直速度、重力加速度平面〔指向紙面〕,要使導(dǎo)彈偏離前進(jìn)方向。由于導(dǎo)彈速度較大,目標(biāo)又不是很遠(yuǎn),可近似認(rèn)為導(dǎo)彈做勻速直線運(yùn)動,導(dǎo)彈擊中目標(biāo)所需時間t=6000/400=15s,在此時間內(nèi)導(dǎo)彈在科氏慣性力作用下偏離目標(biāo)的距離：就下面兩種受力情況：⑴〔N,s〕,⑵〔N,s〕分別求出t=0,1/4,1/2,3/4,1時的力并用圖表示；再求t=0至t=1時間內(nèi)的沖量,也用圖表示。xyF<0>F<1/4>F<1/2>xyF<0>F<1/4>F<1/2>F<3/4>F<1>12120xyxy12120Iα,與x軸夾角α=arctgIy/Ix=arctg2=63.5°xyF<0>F<1/4>xyF<0>F<1/4>F<1/2>F<3/4>F<1>1210IxIxy12120α,與x軸夾角α=arctgIy/Ix=arctg0.5=26.5°3.7.2一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面上運(yùn)動,其位置矢量為：,求質(zhì)點(diǎn)的動量。解：質(zhì)點(diǎn)速度：質(zhì)點(diǎn)動量：大?。悍较颍号cx軸夾角為θ,tgθ=py/px=-ctgωt·b/a3.7.3自動步槍連發(fā)時每分鐘可射出120發(fā)子彈,每顆子彈質(zhì)量為7.9g,出口速率為735m/s,求射擊時所需的平均力。解：槍射出每法子彈所需時間：Δt=60/120=0.5s,對子彈應(yīng)用動量定理：3.7.4棒球質(zhì)量為0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投來,經(jīng)棒擊球后,球沿水平成30o飛出,速率為80m/s,球與棒接觸時間為0.02s,求棒擊球的平均力。v解：以地為參考系,把球視為質(zhì)點(diǎn),30ov0由動量定理,,畫出矢量圖,由余弦定理,,代入數(shù)據(jù),可求得F=881N.由正弦定理mvFΔt,代入數(shù)據(jù),30oα求得mv0Mm3.7.5質(zhì)量為M的滑塊與水平臺面間的靜摩擦系數(shù)為μ0,質(zhì)量為m的滑塊與M均處于靜止,繩不可伸長,繩與滑輪質(zhì)量可不計(jì),不計(jì)滑輪軸摩擦。問將m托起多高,松手后可利用繩對M沖力的平均力拖動M？設(shè)當(dāng)m下落h后經(jīng)過極短的時間Δt后與繩的鉛直部分相對靜止。Mm解：以地為參考系,選圖示坐標(biāo),先以m為研究對象,它被托起h,再落y回原來位置時,速度大小為,x在Δt極短時間內(nèi)與繩相互作用,速度又變?yōu)榱?設(shè)作用在m上的平均沖力為F,相對沖力,重力作用可忽略,則由質(zhì)點(diǎn)動量定理有：,∴再以M為研究對象,由于繩、輪質(zhì)量不計(jì),軸處摩擦不計(jì),繩不可伸長,所以M受到的沖力大小也是F,M受到的最大靜摩擦力為fmax=μoMg,因此,能利用繩對M的平均沖力托動M的條件是：F≥fmax,即3.7.6質(zhì)量m1=1kg,m2=2kg,m3=3kg,m4=4kg,m1,m2和m4三個質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)順次是：<x,y>=<-1,1>,<-2,0>,<3,-2>,四個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心坐標(biāo)是：<x,y>=<1,-1>,求m3的位置坐標(biāo)。解：由質(zhì)心定義式：,有m1Xm1XFxFxm1m2以岸為參考系,把車、船當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)系,該系在水平方向只受纜繩的拉力F的作用,應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動量定理,有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N〔2〕用質(zhì)心運(yùn)動定理解：F=<m1+m2>ac,據(jù)質(zhì)心定義式,有：<m1+m2>ac=m1a1+m2a2,a1為車對岸的加速度,a1=<v-0>/Δt=v/Δt,a2為船對地的加速度,據(jù)題意a2=0,∴ac=a1m1/<m1+m2>,代入a1,ac=m1v/[<m1+m2>Δt],∴F=m1v/Δt=1500N〔3〕用牛頓定律解：a2=0a1m2m1m2m1受力與運(yùn)動情況：其中f為靜摩擦力,a1=v/Δt,對兩個質(zhì)點(diǎn)分別應(yīng)用牛頓二定律：a2a'x汽車質(zhì)量m1=1500kg,駁船質(zhì)量m2=6000kg,當(dāng)汽車相對船靜止時,由于船尾螺旋槳的轉(zhuǎn)動,可使船載著汽車以加速度0.2msa2a'x解：⑴用質(zhì)心定理求解車相對船無論靜止還是運(yùn)動,螺旋槳的水平推力不變,即車、船系統(tǒng)所受外力不變,由質(zhì)心運(yùn)動定理可知,車運(yùn)動時的質(zhì)心加速度與車靜止時的質(zhì)心加速度相等aC=0.2m/s2設(shè)車運(yùn)動時相對船的加速度為a',相對地的加速度為a1,船相對地的加速度為a2,由相對運(yùn)動公式：①由質(zhì)心定義式可知：②將①代入②中,可得：,取船前進(jìn)方向?yàn)檎?代入數(shù)據(jù)：m/s2⑵用質(zhì)點(diǎn)系動量定理求解設(shè)船所受的水平推力為F,在車靜止時,可把車、船當(dāng)作質(zhì)量為<m1+m2>的質(zhì)點(diǎn),加速度為a=0.2,由牛頓第二定律：設(shè)車運(yùn)動時相對船的加速度為a',相對地的加速度為a1,船相對地的加速度為a2,由相對運(yùn)動公式：對車、船應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動量定理的導(dǎo)數(shù)形式：令①=②,,取船前進(jìn)方向?yàn)檎?代入數(shù)據(jù)：m/s23.8.3氣球下懸軟梯,總質(zhì)量為M,軟梯上站一質(zhì)量為m的人,共同在氣球所受浮力F作用下加速上升,當(dāng)人以相對于軟梯的加速度am上升時,氣球的加速度如何？x解：由質(zhì)心定理：F-<m+M>g=<m+M>aC①x設(shè)人相對地的加速度為a1,氣球相對地的加速度為a2,由相對運(yùn)動公式：a1=am+a2,由質(zhì)心定義式可知：〔m+M〕aC=ma1+Ma2=m<am+a2>+Ma2②①②聯(lián)立,可求得：3.8.4水流沖擊在靜止的渦輪葉片上,水流沖擊葉片曲面前后的速率都等于v,設(shè)單位時間投向葉片的水的質(zhì)量保持不變等于u,求水作用于葉片的力。-vv解：以水為研究對象,設(shè)在Δt時間內(nèi)質(zhì)量為Δ-vv由牛頓第三定律,水作用葉輪的力F'=-F=2uvm2m2xm1解：以地為參考系,選圖示坐標(biāo)o-x,設(shè)人的質(zhì)量為m1=70kg,人相對地的速度為v1,相對船的速度為v1’,它們的方向顯然與x軸同向；設(shè)船的質(zhì)量為m2=210kg,船相對地的速度為v2,〔方向顯然與x軸相反〕；據(jù)相對運(yùn)動的速度變換公式,人對地的速度v1=v1’+v2m1由于不計(jì)水的阻力,所以在水平方向上,人與船構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系動量守恒,有：m1v1+m2v2=0,即m1<v1’+v2>+m2v2=0,可求得v2=-v1’m1/<m1+m2>,將上式兩邊同時乘上相互作用時間Δt,v2Δt=s2為船相對地的位移,v1’Δt=s1’=3.2m,即s2=-s1’m1/<m1+m2>=-3.2×70/<70+210>=-0.8m3.8.6炮車固定在車廂內(nèi),最初均處于靜止,向右發(fā)射一枚彈丸,車廂向左方運(yùn)動,彈丸射在對面墻上后隨即順墻壁落下,問此過程中車廂移動的距離是多少？已知炮車和車廂總質(zhì)量為M,彈丸質(zhì)量為m,炮口到對面墻壁的距離為L,不計(jì)鐵軌作用于車廂的阻力。xLMv'mV解：以地為參考系,建立圖示坐標(biāo)o-x,設(shè)彈丸出口時相對車的速度為v’,對地的速度為vxLMv'mV由于不計(jì)路軌對車的摩擦阻力,所以,在水平方向,彈、車組成的質(zhì)點(diǎn)系動量守恒,有MV+mv=0,將v代入,MV+m<v’+V>=0,V=-v’m/<m+M>設(shè)彈發(fā)出到與車壁相碰所用時間為Δt,用Δt乘上式兩邊,得：VΔt=-v’Δtm/<m+M>,其中：v’Δt=-L,VΔt即為車在此過程中前進(jìn)的距離S,∴S=Lm/<m+M>3.8.7載人的切諾基和桑塔納汽車質(zhì)量各為m1=165×10kg,和m2=115×10kg,各以速率v1=90km/h和v2=108km/h向東和向北行駛,相撞后連在一起滑出,求滑出的速度,不計(jì)摩擦m1v1vm1v1v2m2vx<東>y<北>α向x軸投影：向y軸投影：與x軸夾角yvv2v145o45o45oxv3v3.9.1一枚手榴彈投出方向與水平面成45o,投出的速率為25m/s,在剛要接觸與發(fā)射點(diǎn)同一水平面的目標(biāo)時爆炸,設(shè)分成質(zhì)量相等的三塊,一塊以速度v3鉛直朝下,一塊順爆炸處切線方向以v2=15m/s飛出,一塊沿法線方向以v1飛出,求v1和v3,不計(jì)空氣阻力。解：以地為參考系,把手榴彈視為質(zhì)點(diǎn)系,由于在爆炸過程中,彈片所受的重力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于彈片之間的沖力,因而在爆炸過程中可忽略重力作用,認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)系動量守恒。設(shè)手榴彈質(zhì)量為m,爆炸前速度為v,由動量守恒,有：,投影方程：,即解得：3.9.2鈾238的核〔質(zhì)量為238原子質(zhì)量單位〕放射一個α粒子〔氦原子的核,質(zhì)量為4.0原子質(zhì)量單位〕后蛻變?yōu)殁Q234的核,設(shè)鈾核原來是靜止的,α粒子射出時的速率為1.4×107m/s,求釷核反沖的速率。解：由動量守恒,有3.9.3三只質(zhì)量均為M的小船魚貫而行,速度都是v,中間一船同時以水平速度u<相對于此船>把兩質(zhì)量均為m的物體拋到前后兩只船上,問當(dāng)兩物體落入船后,三只船的速度各如何？解：以岸為參考系,MvMvMv以船前進(jìn)的方向?yàn)樽鴺?biāo)的正方向；設(shè)物體拋出M+mv3M-2mv2M+mv1后,前邊船、中間船、后邊船的速度變?yōu)関1、v2、v3,船的質(zhì)量與速度變化情況如上圖所示；在物體拋出的過程中,這個系統(tǒng)的總動量是守恒的,因此：前邊船的動量變化應(yīng)該等于中間船拋過來的物體的動量,即<M+m>v1-Mv=m<u+v>,其中<u+v>是向前拋出物相對岸的速度,由此式可求得：v1=v+um/<m+M>,說明前邊船速度變快。同樣,后邊船的動量變化也應(yīng)該等于中間船拋過來的物體的動量,即<M+m>v3-Mv=m<-u+v>=m<v-u>,其中〔v-u〕是向后拋出物相對岸的速度,由此式可求得：v3=v-um/<m+M>,說明后邊船速度變慢。中間船的動量變化應(yīng)該等于拋出物的動量之和,即<M-2m>v2-Mv=m<u+v>+m<v-u>,由此式可求得：v2=v,說明中間船的速度沒有發(fā)生變化。第四章基本知識小結(jié)⒈功的定義式：直角坐標(biāo)系中：自然坐標(biāo)系中：極坐標(biāo)系中：⒉重力勢能彈簧彈性勢能靜電勢能⒊動能定理適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系⒋機(jī)械能定理適用于慣性系⒌機(jī)械能守恒定律適用于慣性系若只有保守內(nèi)力做功,則系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變,⒍碰撞的基本公式對于完全彈性碰撞e=1對于完全非彈性碰撞e=0對于斜碰,可在球心連線方向上應(yīng)用牛頓碰撞公式。⒎克尼希定理絕對動能=質(zhì)心動能+相對動能應(yīng)用于二體問題u為二質(zhì)點(diǎn)相對速率4.2.2本題圖表示測定運(yùn)動體能的裝置。繩拴在腰間沿水平展開跨過理想滑輪,下懸重物50kg,人用力向后蹬傳送帶而人的質(zhì)心相對于地面不動,設(shè)傳送帶上側(cè)以2m/s的速率向后運(yùn)動,問運(yùn)動員對傳送帶做功否？功率如何？解：人作用在傳送帶上的力有向下的壓力和水平向后的靜摩擦力,壓力方向與傳送帶位移方向垂直,所以壓力不做功,但靜摩擦力方向與傳送帶位移方向相同,所以靜摩擦力對傳送帶做正功。分析人受力情況,由質(zhì)心定理可知,人與傳送帶之間的靜摩擦力的大小f=mg,所以,人對傳送帶做功的功率為：N=fv=mgv=50×9.8×2=9.8×102〔瓦〕k2=0k2＞0k2＜0df/dlk1l4.2.3一非線性拉伸彈簧的彈性力的大小為表示彈簧的伸長量,k1為正,⑴研究當(dāng)k2＞0、k2<0和kk2=0k2＞0k2＜0df/dlk1l解：彈簧的勁度df/dl=k1+3k2l2.k2=0時,df/dl=k1,與彈簧的伸長量無關(guān)；當(dāng)k2>0時,彈簧的勁度隨彈簧伸長量的增加而增大；k2<0時,彈簧的勁度隨彈簧伸長量的增加而減小。在以上三種情況中,勁度df/dl與彈簧伸長量l的關(guān)系如圖所示。F一細(xì)線系一小球,小球在光滑水平桌面上沿螺旋線運(yùn)動,線穿過桌中心光滑圓孔,用力F向下拉繩,證明力F對線做的功等與線作用于小球的拉力所做的功,線不可伸長。F證明：以圓孔為頂點(diǎn)建立極坐標(biāo),設(shè)小球的位置由r1,θ1變?yōu)閞2,θ2,由于忽略繩的質(zhì)量、伸長,不計(jì)摩擦,所以繩對球的拉力T=F4.2.5一輛卡車能夠沿著斜坡以15km/h的速率向上行駛,斜坡與水平面夾角的正切tgα=0.02,所受阻力等于卡車重量的0.04,如果卡車以同樣的功率勻速下坡,卡車的速率是多少？解：設(shè)卡車勻速上坡時,速率為v,牽引力為F,功率為N,由質(zhì)點(diǎn)平衡方程有,F=<0.04+sinα>mg,∴N=Fv=<0.04+sinα>mgv設(shè)卡車勻速下坡時,速率為v’,牽引力為F',功率為N',由質(zhì)點(diǎn)平衡方程有F'+mgsinα=0.04mg,F'=<0.04-sinα>mg,∴N'=<0.04-sinα>mgv'.令N'=N,即〔0.04+sinα〕mgv=<0.04-sinα>mgv',可求得：v'=v<0.04+sinα>/<0.04-sinα>.利用三角函數(shù)關(guān)系式,可求得：sinα≈tgα=0.02,∴v'=3v=3×15×103/602m/s=12.5m/s.4m3mAB4m3mABTxθ解：以A為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)o-x,木塊由A到B,只有拉力T做功：設(shè)木塊到達(dá)B時的速度為v,由動能定理：,方向向右4.3.2質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上,不可伸長的輕繩跨過固定的光滑小環(huán),孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F,F=60N,木塊在A處有向上的速度v0=2m/s,求木塊被拉至B時的速度。0.5my0.5mBθ0.5mFNFWAAx解：以地為參考系,建立圖示坐標(biāo)A-xy,木塊在由A到B的運(yùn)動過程中受三個力的作用,各力做功分別是：AN=0；AW=-mg<yB-yA>=-1.2×9.8×0.5=-5.88J；F大小雖然不變,但方向在運(yùn)動過程中不斷變化,因此是變力做功。由動能定理：代入數(shù)據(jù),求得vB=3.86m/s.kl4.3.3質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連,最初m處于使彈簧既未壓縮也未伸長的位置,并以速度v0向右運(yùn)動,彈簧的勁度系數(shù)為k,物體與支撐面間的滑動摩擦系數(shù)為μ求證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離l為klmm證明：質(zhì)點(diǎn)m由彈簧原長位mm置運(yùn)動到最遠(yuǎn)位置l,彈力F和滑動摩擦力f對質(zhì)點(diǎn)做負(fù)功,導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)動能由mv02/2變?yōu)?。根據(jù)動能定理：AF+Af=0-mv02/2……①其中,,代入①中,并整理,有：kl2+2μmgl-mv02=0.這是一個關(guān)于l的一元二次方程,其根為：,負(fù)根顯然不合題意,舍去,所以,4.3.4圓柱形容器內(nèi)裝有氣體,容器內(nèi)壁光滑,質(zhì)量為m的活塞將氣體密封,氣體膨脹前后的體積各為V1,V2,膨脹前的壓強(qiáng)為p1,活塞初速率為v0.⑴求氣體膨脹后活塞的末速率,已知?dú)怏w膨脹時氣體壓強(qiáng)與體積滿足pv=恒量.⑵若氣體壓強(qiáng)與體積的關(guān)系為pvγ=恒量,γ為常量,活塞末速率又如何？p,vmSxp,vmSx⑴若pV=p1V1,⑵若pVγ=p1V14.3.5o'坐標(biāo)系與o坐標(biāo)系各對應(yīng)軸平行,o'相對o沿x軸以v0做勻速直線運(yùn)動.對于o系質(zhì)點(diǎn)動能定理為：,v1,v2沿x軸,根據(jù)伽利略變換證明：對于o'系,動能定理也取這種形式。證明：由伽利略變換：x=x'+v0t,v=v'+v0,Δx=Δx'+v0Δt①v1=v1'+v0,v2=v2'+v0②,將①②代入中,有據(jù)動量定理：所以,4.3.6在質(zhì)量分析器中〔詳見教材〕,電量為e的離子自離子源A引出后,在加速管中受到電壓為U的電場加速.設(shè)偏轉(zhuǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,偏轉(zhuǎn)半徑為R.求證在D漂移管中得到的離子的質(zhì)量為m=eB2R2/2U.證明：正離子從離子源A引出后,在加速管中受到電壓為U的電場加速,正離子動能的增量等于電場力對正離子所做的功,即,mv2/2-0=eU,∴v=<2eU/m>1/2正離子在半徑為R的彎管中受到洛侖茲力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn),若能進(jìn)入漂移管道,根據(jù)牛頓二定律必須滿足：qvB=mv2/R,也就是,eB=mv/R,將v=<2eU/m>1/2代入,并將方程兩邊平方,得：e2B2=2meU/R2,∴m=eB2R2/2U.y4.3.7輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體,圓柱體又套30olv1在可沿水平方向移動的框架內(nèi),框架30o槽沿鉛直方向,框架質(zhì)量為200g.自o懸線靜止于鉛直位置開始,框架在水Fx平力F=20.0N作用下移至圖中位置,v2求圓柱體的速度,線長20cm,不計(jì)摩擦。解：設(shè)繩長l,圓柱質(zhì)量m1,框架質(zhì)量m2,建立圖示坐標(biāo)o-xy；據(jù)題意,圓柱在o點(diǎn)時,圓柱和框架的速度均為零；圓柱在圖示位置時,設(shè)圓柱的速度為v1,方向與線l垂直,框架的速度為v2,方向水平向右,由圓柱與框架的套接關(guān)系,可知v2=v1x,v1y=v1xtg30o圓柱體m1與框架m2構(gòu)成一質(zhì)點(diǎn)系,此質(zhì)點(diǎn)系在從豎直位置運(yùn)動到圖示位置的過程中,只有重力W1=m1g和拉力F做功：其中,AW1=-m1gl<1-cos30o>=-0.13J,AF=Flsin30o=2J,由質(zhì)點(diǎn)系動能定理,有代入數(shù)據(jù),v1x2=4.3,v1y2=<v1xtg30o>2=1.44∴v1=<v1x2+v1y2>1/2=2.4m/s.oxlk1k24.4.1兩個僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組,彈簧1和彈簧2的勁度系數(shù)各為k1,k2,它們自由伸展的長度相差loxlk1k2解：規(guī)定兩個彈簧處在坐標(biāo)原點(diǎn)時的彈性勢能為零；彈簧2的勢能表達(dá)式顯然為：；彈簧1的勢能：當(dāng)0≤x≤l時,當(dāng)x<0時,4.5.1滑雪運(yùn)動員自A自由下落,經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達(dá)平臺C時,其速度vc剛好在水平方向,已知A、B兩點(diǎn)的垂直距離為25m.坡道在B點(diǎn)的切線方向與水平面成30o角,不計(jì)摩擦,求：⑴運(yùn)動員離開B處的速率vB；⑵B、C的垂直高度差h與溝寬d；⑶運(yùn)動員到達(dá)平臺時的速率vc.vc30oAdH=25m解：運(yùn)動員在整vc30oAdH=25mvBvBh力做功,故機(jī)械能守恒,h取B點(diǎn)為勢能零點(diǎn)?！適gH=mvB2/2∴運(yùn)動員由B到C作斜拋運(yùn)動,據(jù)題意,C點(diǎn)即為最高點(diǎn)。由斜拋運(yùn)動規(guī)律可知,vc=vBcos30o=19.1m/s∵mvB2/2=mvc2/2+mgh∴h=<vB2-vc2>/2g=6.3m；由豎直方向的速度公式可求跨越時間：∵0=vBsin30o-gt∴t=vB/2g=1.13s,由水平方向的位移公式可求得跨越距離d=vBcos30ot=21.6m.裝置如圖所示,球的質(zhì)量為5kg,桿AB長1m,AC長0.1m,A點(diǎn)距o點(diǎn)0.5m,彈簧的勁度系數(shù)為800N/m,桿AB在水平位置時恰為彈簧自由狀態(tài),此時釋放小球,小球由靜止開始運(yùn)動,求小球到鉛垂位置時的速度,不計(jì)彈簧質(zhì)量與桿的質(zhì)量,不計(jì)摩擦。ABCoABCo,可求得：4.5.3物體Q與一勁度系數(shù)為24N/m的橡皮筋連接,并在一水平<光滑>圓環(huán)軌道上運(yùn)動,物體Q在A處的速度為1.0m/s,已知圓環(huán)的半徑為0.24m,物體Q的質(zhì)量為5kg,由橡皮筋固定端至B為0.16m,恰等于橡皮筋的自由長度.求:⑴物體Q的最大速度;⑵物體Q能否達(dá)到D點(diǎn),并求出在此點(diǎn)的速度.解:物體Q在整個運(yùn)動過程中,只有彈簧的彈力做功,所以機(jī)械能守恒.總能量E=代入數(shù)據(jù),求得E=3.63JQA⑴在B點(diǎn),彈簧的勢能全部轉(zhuǎn)化為動能,所以,在該點(diǎn)速度最大.CmVB2/2=E,vB=<2E/m>1/2=1.2m/sBDC⑵在D點(diǎn)的彈性勢能,Ep=k<2R>2/2=2kR2=2×24×0.242=2.76∵Ep<E∴物體Q能達(dá)到D點(diǎn).mvD2/2=E-Ep,vD=[2<E-Ep>/m]1/2代入數(shù)據(jù),求得vD=0.58m/s4.6.1盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言,當(dāng)α粒子和氫原子相碰時,可使之迅速運(yùn)動起來.按正碰考慮很容易證明,氫原子速度可達(dá)α粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射α粒子能量的64%.試證明此結(jié)論<碰撞是完全彈性的,且α粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍>.證明:設(shè)氫原子質(zhì)量為m,碰前速度為零,碰后速度vH',α粒子質(zhì)量為4m,碰前速度為vα,碰后速度為vα'.根據(jù)完全彈性碰撞基本公式：即,⑴＋⑵×4,得8vα=5vH',∴vH'=8vα/5=1.6vα4.6.2m為靜止車廂的質(zhì)量,質(zhì)量為M的機(jī)車在水平軌道上自右方以速率v滑行并與m碰撞掛鉤.掛鉤后前進(jìn)了距離s然后靜止。求軌道作用于車的阻力。vmM解：整個過程可分為兩個階段：mM第一階段,機(jī)車與車廂發(fā)生完全非彈性碰撞而獲得共同速度v’,由于軌道阻力遠(yuǎn)小于沖力,可認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)v’系動量守恒,Mv=<M+m>v’,v’=Mv/<M+m>f第二階段,機(jī)車與車廂掛鉤后,在摩擦阻力的作用下向前移動了s,速度由v’變?yōu)榱?由動能定理,有–fs=0-<M+m>v’2/2,將v’代入,可求得4.6.3兩球具有相同的質(zhì)量和半徑,懸掛于同一高度.靜止時,兩球恰能接觸且懸線平行.碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e.若球A自高度h1釋放,求該球彈回后能達(dá)到的高度。又問若二球發(fā)生完全彈性碰撞,會發(fā)生什么現(xiàn)象,試描述之。h1h1ABxA由h1高處運(yùn)動到水平位置獲得的速度vA,可由能量守恒方程求出：mgh1=mvA2/2∴vA=設(shè)A,B兩球碰后速度分別為vA'和vB',根據(jù)非完全彈性碰撞的基本公式,有即,可求得,設(shè)A球彈回后的最大高度為h,根據(jù)能量守恒,mvA'2=mgh若為完全彈性碰撞,則e=1,由〔1〕,〔2〕可知：vA'=0,vB'=vA,即,碰后A球靜止,B球以A球原來的速度向右運(yùn)動；B球達(dá)到h1高度返回后,又把能量、動量、速度全部傳給A球,周而復(fù)始,這種傳遞永遠(yuǎn)進(jìn)行下去。4.6.4質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg,用1m長的繩子懸掛著的擺,子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度,問擺沿鉛直方向升起若干？mv0vmv0vVMl由動量守恒：,可得由能量守恒：4.6.5一質(zhì)量為200g的框架,用一彈簧懸掛起來,使彈簧伸長10cm,今有一質(zhì)量為200g的鉛快在高30cm處從靜止開始落進(jìn)框架,求此框架向下移動的最大距離,彈簧質(zhì)量不計(jì),空氣阻力不計(jì)。hmm解：框架靜止時,彈簧伸長Δl=0.1m,由平衡條件mg=kΔl,求得：k=mg/Δl=0.2hmm鉛塊落下h=30cm后的速度v0,可由能量守恒方程求出：設(shè)鉛快與框架碰后的共同速度為v,由動量守恒：設(shè)框架下落的最大距離為x,由機(jī)械能守恒：,進(jìn)行整理并代入數(shù)據(jù),可得x的一元二次方程：4.6.6質(zhì)量為m1=0.790kg和m2=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈簧相連,置于光滑水平桌面上,最初彈簧自由伸X。質(zhì)量為0.01kg的子彈以速率v0=100m/s沿水平方向射于m1內(nèi),問彈簧最多壓縮了多少？m0m1m2解：整個過程可分為兩個階段v0m0m1m2處理。第一階段：子彈射入m1內(nèi),發(fā)生完全非彈性碰撞,動量守恒,設(shè)子彈質(zhì)量為m0,子彈與m1獲得的共同速度為v,則有m0v0=<m1+m0>v∴v=v0m0/<m1+m0>〔1〕第二階段：子彈與m1以共同速度v開始壓縮彈簧至m1與m2有相同的速度V,壓縮結(jié)束；在此過程中,由m0,m1,m2組成的質(zhì)點(diǎn)系,其動量、能量均守恒,設(shè)彈簧最大壓縮量為l.由動量守恒,有：由能量守恒:將⑴、⑵代入⑶中,可求得：v0v0m1m2hSv解：設(shè)鳥被子彈擊中后與子彈共有的速度為v,由動量守恒：由平拋運(yùn)動公式,可求得子彈落地時間：,所以,水平距離S=vt=10×1=10m4.6.8在一鉛直面內(nèi)有一光滑軌道,左邊是一個上升的曲線,右邊是足夠長的水平直線,兩者平滑連接,現(xiàn)有A、B兩個質(zhì)點(diǎn),B在水平軌道上靜止,A在曲線部分高h(yuǎn)處由靜止滑下,與B發(fā)生完全彈性碰撞。碰后A仍可返回上升到曲線軌道某處,并再度滑下,已知A、B兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和m2,球A、B至少發(fā)生兩次碰撞的條件。vAvBA解：設(shè)碰前mA的速度vAvBABv0h為v0,碰后mA、mBBv0h別為vA、vB,方向如圖示。由能量守恒,有mAgh=mAv02/2,v0=<2gh>1/2<1>根據(jù)完全彈性碰撞基本公式,有⑴,⑵,⑶聯(lián)立求解,得發(fā)生兩次碰撞的條件是：vA>vB,即mB-mA>2mAmB>3mAv0lABCv0lABCD解：以地為參考系,設(shè)v10,v1為鋼球與AC端碰撞前后的速度,v20,v2為鐵箱碰撞前后的速度,據(jù)題意,v10=0,v20=v0.對于完全彈性碰撞,碰前接近速度等于碰后分離速度：v0=v1-v2,分離速度v1-v2也就是碰后球相對箱的速度v',所以鋼球由AC端運(yùn)動到BD端所需時間為：4.6.10兩車廂質(zhì)量均為M,左邊車廂與其地板上質(zhì)量為M的貨箱共同向右以v0運(yùn)動,另一車廂以2v0從相反方向向左運(yùn)動并與左車廂碰撞掛鉤,貨箱在地板上滑行的最大距離為l,求：⑴貨箱與車廂地板間的摩擦系數(shù)；⑵車廂在掛鉤后走過的距離,不計(jì)車地間摩擦。Mv02v0MM解：整個過程可分為兩個階段：第一階段是兩個車對撞獲得共同速度v〔向左〕,由動量守恒：M<2vMv02v0MM第二階段是兩節(jié)車廂以速度v在摩擦力作用下與貨箱發(fā)生相對移動,移動距離是l,最后都靜止下來。在此過程中,一對滑動摩擦力做功之和為：Af=-μmgl,對質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用動能定理：設(shè)貨箱相對車的速度為v',顯然,v'=v0+v=2v+v=3v,兩邊同乘摩擦力作用時間Δt,即為對應(yīng)的距離,l=3d,d=l/34.7.1質(zhì)量為M的氘核以速率u與靜止的質(zhì)量為2M的α粒子發(fā)生完全彈性碰撞。氘核以與原方向成90o角散射。⑴求α粒子的運(yùn)動方向,⑵用u表示α粒子的末速度,⑶百分之幾的能量由氘核傳給α粒子？y解：以氘核碰前速度u和碰后速度u'的方向建立圖示坐標(biāo)0-xy;設(shè)α粒子碰后速度為y由動量守恒：,投影式為u’x：Mu=2Mvx∴vx=u/2<1>uxy：0=Mu’+2Mvy∴vy=-u’/2<2>θv由能量守恒,將⑴、⑵代入⑶中,可求得⑷⑴將〔4〕代入〔2〕中,求得,v與x軸的夾角,θ=arctgvy/vx=arctg<=-30o⑵⑶4.7.2桑塔納車的總質(zhì)量m1=113×10kg,向北行駛,切諾基車的總質(zhì)量m2=152×10kg,向東行駛。兩車相撞后連成一體,沿東偏北θ=30o滑出d=16m而停止。路面摩擦系數(shù)μ=0.8。該地段規(guī)定車速不得超過80km/h.問哪輛車違背交通規(guī)則？因碰撞損失多少動能？解：設(shè)碰撞前,桑塔納和切諾基的北速度分別為v1,v2.在發(fā)生完全非彈性碰撞v2vm1m2過程中,可認(rèn)為動量守恒,有θ東m1m2向北投影：v1向東投影：碰后兩車連在一起,以速度v滑行d后停止,應(yīng)用動能定理,由〔3〕可求得,分別代入⑴、⑵中,可求得,∵v2>80km/h∴切諾基汽車違反交通規(guī)則。損失動能ΔEk=m1v12+m2v22–<m1+m2>v2ABCDABCDv1v1v2xy解：球每次彈起的速度v1都相同,每次落地的速度v2也相同,由能量守恒：由牛頓碰撞公式：在水平方向動量守恒：由①②③可求得：平拋公式：令vy=v2y,由④可求得球從彈起到落地的時間：代入⑤中即可求得球的水平速度：令vy=0,由④可求得球達(dá)最大高度所需時間：代入⑥中即可求得球所能達(dá)到的最大高度：第五章基本知識小結(jié)⒈力矩力對點(diǎn)的力矩力對軸的力矩⒉角動量質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量⒊角動量定理適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系⑴質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)的角動量對時間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對該點(diǎn)的力矩之和⑵質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對某軸的角動量對時間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對該軸的力矩之和⒋角動量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系⑴若作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對某點(diǎn)的力矩之和始終為零,則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的角動量保持不變⑵若作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對某軸的力矩之和始終為零,則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對該軸的角動量保持不變⒌對質(zhì)心參考系可直接應(yīng)用角動量定理與其守恒定律,而不必考慮慣性力矩。5.1.1我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)高度d近=439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度d遠(yuǎn)=2384km,地球半徑R地=6370km,求衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度之比。解：衛(wèi)星在繞地球轉(zhuǎn)動過程中,只受地球引力〔有心力〕的作用,力心即為地心,引力對地心的力矩為零,所以衛(wèi)星對地心的角動量守恒m月v近〔d近+R地〕=m月v遠(yuǎn)〔d遠(yuǎn)+R地〕v近/v遠(yuǎn)=〔d遠(yuǎn)+R地〕/〔d近+R地〕=〔2384+6370〕/〔439+6370〕≈1.295.1.2一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著的空間曲線運(yùn)動,其中a、b與ω皆為常數(shù)。求此質(zhì)點(diǎn)所受的對原點(diǎn)的力矩。解：5.1.3一個具有單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在力場中運(yùn)動,其中t是時間。該質(zhì)點(diǎn)在t=0時位于原點(diǎn),且速度為零。求t=2時該質(zhì)點(diǎn)所受的對原點(diǎn)的力矩。解：據(jù)質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式,5.1.4地球質(zhì)量為6.0×1024kg,地球與太陽相距149×106km,視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn),它繞太陽做圓周運(yùn)動,求地球?qū)τ趫A軌道中心的角動量。解：5.1.5根據(jù)5.1.2題所給的條件,求該質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量。解：5.1.6根據(jù)5.1.3題所給的條件,求質(zhì)點(diǎn)在t=2時對原點(diǎn)的角動量。解：5.1.7水平光滑桌面中間有一光滑小孔,輕繩一端伸入孔中,另一端系一質(zhì)量為10g小球,沿半徑為40cm的圓周作勻速圓周運(yùn)動,這時從孔下拉繩的力為10-3N。如果繼續(xù)向下拉繩,而使小球沿半徑為10cm的圓周作勻速圓周運(yùn)動,這時小球的F速率是多少？拉力所做的功是多少？解：設(shè)小球的質(zhì)量為m=10×10-3kg,原來的運(yùn)動半徑為R1=40cm,運(yùn)動速率為v1;后來的運(yùn)動半徑為R2=10cm,運(yùn)動速率為v2.先求小球原來的速率v1：據(jù)牛頓第二定律,F=mv12/R1,所以,由于各力對過小孔的豎直軸的力矩為零,所以小球?qū)υ撦S的角動量守恒,mv1R1=mv2R2,v2=v1R1/R2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s在由R1→R2的過程中,只有拉力F做功,據(jù)動能定理,有5.1.8一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動,其位置矢量為,其中a、b和ω是正常數(shù),試以運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)觀點(diǎn)證明該質(zhì)點(diǎn)對于坐標(biāo)原點(diǎn)角動量守恒。證明：⑴運(yùn)動學(xué)觀點(diǎn)：顯然與時間t無關(guān),是個守恒量。⑵動力學(xué)觀點(diǎn)：∵,∴該質(zhì)點(diǎn)角動量守恒。400mm400mm5.1.9質(zhì)量為200g的小球v0B以彈性繩在光滑水平面上與固AB30o定點(diǎn)A相連。彈性繩的勁度系數(shù)為8N/m,其自由伸展長度為600mm.最初小球的位置與速度v0如圖所示。當(dāng)小球的速率變?yōu)関時,它與A點(diǎn)的距離最大,且等于800mm,求此時的速率v與初速率v0.解：設(shè)小球B的質(zhì)量m=0.2kg,原來與固定點(diǎn)A的距離r0=0.4m,當(dāng)速率為v時,與A點(diǎn)距離r=0.8m,彈性繩自由伸展的長度為d=0.6m.小球B的速率由v0→v的過程中,作用在小球B上的力對過A點(diǎn)軸的力矩之和始終為零,因而小球?qū)點(diǎn)的角動量守恒,有r0mv0sin30o=rmv<最大距離時,〔1〕另外,在此過程中,只有保守內(nèi)力〔繩的彈力〕做功,因而能量守恒,為求解方便,將⑴⑵化簡,并代入已知數(shù)據(jù)可得：解此方程組,求得：v0≈1.3m/sv≈0.33m/s5.1.10一條不可伸長的細(xì)繩穿過鉛直放置的、管口光滑的細(xì)管,一端系一質(zhì)量為0.5g的小球,小球沿水平圓周運(yùn)動。最初l1=2m,θ1=30o,后來繼續(xù)向下拉繩使小球以θ2=60o沿水平圓周運(yùn)動。求小球最初的速度v1,最后的速度v2以與繩對小球做的總功。解：隔離小球,受力情況如圖示,l2應(yīng)用牛頓第二定律,有：θFθ2l1θ1Fmgθ1F當(dāng)θ=θ1時當(dāng)θ=θ2時,由于作用質(zhì)點(diǎn)上的力對管軸的力矩始終等于零,∴角動量守恒：,將〔4〕式和三角函數(shù)值代入,可求得：將v2代入〔4〕中,可求得l2=0.8m,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動能定理：5.2.2理想滑輪懸掛兩質(zhì)量為m的砝碼盤。用輕線拴住輕彈簧兩端使它處于壓縮狀態(tài),將此彈簧豎直放在一砝碼盤上,彈簧上端放一質(zhì)量為m的砝碼。另一砝碼盤上也放置質(zhì)量為m的砝碼,使兩盤靜止。燃斷輕線,輕彈簧達(dá)到自由伸展?fàn)顟B(tài)即與砝碼脫離。求砝碼升起的高度,已知彈簧勁度系數(shù)為k,被壓縮的長度為l0.m解：設(shè)滑輪半徑為R,彈簧釋放后,m彈簧上邊的砝碼獲得的速度為v,方向向上,左邊砝碼盤獲得的速度為v',方向向下,顯然右邊砝碼盤與砝碼獲得的m速度大小也是v',但方向向上〔如圖示〕。vv’m把左盤、左盤上的砝碼和右盤與盤mm中砝碼視為一個質(zhì)點(diǎn)系,作為研究對象。v'在彈簧釋放過程中,作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對滑輪軸的力矩之和始終為零,故質(zhì)點(diǎn)系對滑輪軸的角動量守恒,規(guī)定垂直紙面向外的角動量為正,則有：-mvR+mv’R+2mv’R=0,即v=3v'<1>另外,在此過程中,只有彈簧的彈力和重力做功,因而質(zhì)點(diǎn)系能量守恒,忽略重力勢能的微小變化,則有：,即左盤中的砝碼脫離彈簧獲得速度v后做豎直上拋運(yùn)動,達(dá)到最大高度h時速度為零,據(jù)能量守恒,由⑴⑵可求得v2=3kl02/4m,代入⑶中得：h=3kl02/8mg5.2.3兩個滑冰運(yùn)動員的質(zhì)量各為70kg,以6.5m/s的速率沿相反方向滑行,滑行路線間的垂直距離為10m,當(dāng)彼此交錯時,各抓住10m繩索的一端,然后相對旋轉(zhuǎn)。⑴在抓住繩索一端之前,各自對繩索中心的角動量是多少？抓住之后是多少？⑵它們各自收攏繩索,到繩長為5m時,各自的速率如何？⑶繩長為5m時,繩內(nèi)X力多大？⑷二人在收攏繩索時,各自做了多少功〉⑸總動能如何變化？解：設(shè)每個運(yùn)動員的質(zhì)量為m=70kg,收mvd繩前相對繩中心o的距離為d=d1=5m,速率d為v=v1=6.5m/s；當(dāng)把繩收攏為d=d2=2.5m時,od速率v=v2.d⑴對繩中心o點(diǎn)的角動量各為vmL=mv1d1=70×6.5×5=2275kgm2/s〔抓住繩索前后角動量相同〕⑵把兩個運(yùn)動員視為一個質(zhì)點(diǎn)系,在收繩過程中,質(zhì)點(diǎn)系對o軸的角動量守恒,有2mv1d1=2mv2d2∴v2=v1d1/d2=6.5×5/2.5=13m/s⑶把某一運(yùn)動員視為質(zhì)點(diǎn),作為研究對象,由牛頓第二定律,繩中X力F=mv22/d2=70×132/2.5=4732N⑷由質(zhì)點(diǎn)動能定理,每人所做的功均為：⑸總動能增大了ΔEk=2×4436=8872J第七章基本知識小結(jié)⒈剛體的質(zhì)心定義：求質(zhì)心方法：對稱分析法,分割法,積分法。⒉剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量定義：平行軸定理Io=Ic+md2正交軸定理Iz=Ix+Iy.常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：〔略〕⒊剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理⒋剛體對軸的角動量和轉(zhuǎn)動定理⒌剛體的轉(zhuǎn)動動能和重力勢能⒍剛體的平面運(yùn)動=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程：〔不必考慮慣性力矩〕動能：⒎剛體的平衡方程,對任意軸7.1.2汽車發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)速在12s內(nèi)由1200rev/min增加到3000rev/min.⑴假設(shè)轉(zhuǎn)動是勻加速轉(zhuǎn)動,求角加速度。⑵在此時間內(nèi),發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？解：⑴⑵對應(yīng)的轉(zhuǎn)數(shù)=7.1.3某發(fā)動機(jī)飛輪在時間間隔t內(nèi)的角位移為。求t時刻的角速度和角加速度。解：7.1.4半徑為0.1m的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,在圓盤平面內(nèi)建立o-xy坐標(biāo)系,原點(diǎn)在軸上,x和y軸沿水平和鉛直向上的方向。邊緣上一點(diǎn)A當(dāng)t=0時恰好在x軸上,該點(diǎn)的角坐標(biāo)滿足θ=1.2t+t2<θ:rad,t:s>。⑴t=0時,⑵自t=0開始轉(zhuǎn)45o時,⑶轉(zhuǎn)過90o時,A點(diǎn)的速度和加速度在x和y軸上的投影。yA解：oxA⑴t=0時,⑵θ=π/4時,由θ=1.2t+t2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/s⑶θ=π/2時,由θ=1.2t+t2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s7.1.5鋼制爐門由兩個各長1.5m的平行臂ACAB和CD支承,以角速率ω=10rad/s逆時針轉(zhuǎn)動,求臂與鉛直成45o時門中心G的速度和加BD·速度?！そ猓阂驙t門在鉛直面內(nèi)作平動,所以門中G心G的速度、加速度與B點(diǎn)或D點(diǎn)相同,而B、D兩點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動,因此,方向指向右下方,與水平方向成45o；,方向指向右上方,與水平方向成45o7.1.6收割機(jī)撥禾輪上面通常裝4到壓板6個壓板,撥禾輪一邊旋轉(zhuǎn),一邊隨收割機(jī)前進(jìn)。壓板轉(zhuǎn)到下方才發(fā)揮作用,一方面把農(nóng)作物壓向切割器,一方面把切下來切割器的作物鋪放在收割臺上,因此要求壓板運(yùn)動到下方時相對于作物的速度與收割機(jī)前進(jìn)方向相反。已知收割機(jī)前進(jìn)速率為1.2m/s,撥禾輪直徑1.5m,轉(zhuǎn)速22rev/min,求壓板運(yùn)動到最低點(diǎn)擠壓作物的速度。解：撥禾輪的運(yùn)動是平面運(yùn)動,其上任一點(diǎn)的速度等于撥禾輪輪心C隨收割機(jī)前進(jìn)的平動速度加上撥禾輪繞輪心轉(zhuǎn)動的速度。壓板運(yùn)動到最低點(diǎn)時,其轉(zhuǎn)動速度方向與收割機(jī)前進(jìn)速度方向相反,壓板相對地面〔即農(nóng)作物〕的速度負(fù)號表示壓板擠壓作物的速度方向與收割機(jī)前進(jìn)方向相反。7.1.7飛機(jī)沿水平方向飛行,螺旋槳尖端所在半徑為150cm,發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速2000rev/min.⑴槳尖相對于飛機(jī)的線速率等于多少？⑵若飛機(jī)以250km/h的速率飛行,計(jì)算槳尖相對地面速度的大小,并定性說明槳尖的軌跡。解：⑴槳尖相對飛機(jī)的速度：⑵槳尖相對地面的速度：,飛機(jī)相對地面的速度與螺旋槳相對飛機(jī)的速度總是垂直的,所以,顯然,槳尖相對地面的運(yùn)動軌跡為螺旋線7.1.8桑塔納汽車時速為166km/h,車輪滾動半徑為0.26m,發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速與驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速比為0.909,問發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn)？解：設(shè)車輪半徑為R=0.26m,發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速為n1,驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速為n2,汽車速度為v=166km/h。顯然,汽車前進(jìn)的速度就是驅(qū)動輪邊緣的線速度,,所以：7.2.2在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置。⑴圓錐體為勻質(zhì)