八年級數(shù)學(xué)下冊講義（人教版）：二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固（教師版）

第04課二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四則運算.3、了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.知識精講知識精講知識點01二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.注意：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.注意：（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當(dāng)取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2）被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.注意：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.注意：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點02二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：注意：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.注意：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.能力拓展能力拓展考法01二次根式的定義【典例1】在式子①，②，③，④，⑤中，二次根式有_____________個．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.依次分析即可.【詳解】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.①是二次根式；②是二次根式；③不是二次根式；④，二次根式無意義，故④不是二次根式；⑤，因為，所以1-x0，故⑤是二次根式.二次根式有①②⑤三個.故答案為3.【點睛】本題考查二次根式的定義.【典例2】當(dāng)____時，二次根式取最小值，其最小值為_________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知最小值為0，進而求得的值．【詳解】，當(dāng)-1時，二次根式取最小值，其最小值為0．故答案為：-1,0【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式有意義的條件，理解二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典例3】如果分式有意義，那么x的取值范圍是_______．【答案】且x≠4【解析】【分析】根據(jù)分式的分母不等于零和二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)進行解答．【詳解】∵二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，∴2x+3≥0，解得x≥-，又分母不等于零，∴x≠4，∴x≥-且x≠4．故答案為x≥-且x≠4．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，該題屬于易錯題，同學(xué)們往往忽略了分母不等于零這一條件，錯解為x≥-．【即學(xué)即練】二次根式有意義的條件是_______．【答案】x≥0且x≠9【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)要大于等于0，以及分式有意義的條件：分母不為0，計算求解即可.【詳解】解：∵二次根式有意義∴且∴且故答案為：且.【點睛】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識點進行求解.【即學(xué)即練】當(dāng)_____時，式子有意義．【答案】3≤x＜5．【解析】【分析】根據(jù)二次根式和分式的意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式組求解．【詳解】根據(jù)題意，得：，解得：3≤x＜5．【點睛】本題考查了的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù)．【即學(xué)即練】當(dāng)x＝______時，二次根式取最小值.【答案】－1【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，可得答案．【詳解】由二次根式取最小值，得x+1=0，解得x=-11，當(dāng)x=-1時，二次根式取最小值，最小值為0，故答案為-1．【點睛】本題考查了二次根式的定義，利用二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)得出方程是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】函數(shù)的自變量x的取值范圍是__________．【答案】x≥2且x≠3【解析】【分析】根據(jù)分式分母不為0、二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列式計算即可．【詳解】解：由題意得，x?2>0，3-x≠0,解得，x≥2且x≠3．故答案為：x≥2且x≠3．【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，掌握分式有意義的條件、二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】若，則的值是_________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求x，再求出y，然后相加計算即可得解．【詳解】解：由題意得，﹣2﹣x≥0且3x+6≥0，解得x≤﹣2且x≥﹣2，∴x＝﹣2，∴y＝6，∴x+y＝﹣2+6＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，熟練掌握二次根式有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵．考法02二次根式的性質(zhì)【典例4】若a＜1，化簡＝___．【答案】﹣a【解析】【分析】根據(jù)a的范圍，a﹣1＜0，化簡二次根式即可．【詳解】解：∵a＜1，∴a﹣1＜0，＝|a﹣1|﹣1＝﹣（a﹣1）﹣1＝﹣a＋1﹣1＝﹣a．故答案為：﹣a．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，對于的化簡，應(yīng)先將其轉(zhuǎn)化為絕對值形式，再去絕對值符號，即．【即學(xué)即練】若3，m，5為三角形的三邊長，則化簡的結(jié)果為________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系判斷2-m和m-8的正負，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵3，m，5為三角形的三邊長，∴5-3<m<5+3，∴2<m<8，∴2-m<0，m-8<0，∴=-(2-m)+(m-8)=-2+m+m-8=2m-10．故答案為：2m-10．【點睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】已知，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得，求解即可．【詳解】解：∵，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】已知a，b，c為三角形三邊，則=______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理、二次根式的性質(zhì)計算即可．【詳解】由三角形的三邊關(guān)系定理得：則故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理、二次根式的運算，掌握理解三角形的三邊關(guān)系定理是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】已知，化簡得____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡即可求得答案.【詳解】∵0<a<1，∴>1，∴===，故答案為.【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練】若為△ABC的三邊，化簡=_______．【答案】2c【解析】【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得a、b、c的關(guān)系，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【詳解】∵a，b，c是三角形的三邊,兩邊之和大于第三邊

∴b+ca，a-（b+c）0，即a-b-c0同理a-b+c0∴=b+c-a+a+c-b=2c.故答案為2c.【點睛】本題考查的知識點是二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次根式的性質(zhì)與化簡.【即學(xué)即練】已知：a＜0，化簡=_____．【答案】-2【解析】【詳解】分析：首先將二次根式進行化簡，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出，從而求出a=－1，然后將其代入得出代數(shù)式的值．詳解：原式=，∵，∴，解得：a=±1，∵a＜0，∴a=－1，∴原式=0－2=－2．點睛：本題主要考查的是二次根式的化簡法則，屬于中等難度的題型．解決這個問題的關(guān)鍵就是根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出a的值．【典例5】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x3－6x＝___．【答案】x(x-)(x+)【解析】【分析】先根據(jù)提公因式法進行因式分解,再根據(jù)平方差公式進行因式分解即可求解.【詳解】x3－6x,=x(x2-6),=x(x-)(x+),故答案為:x(x-)(x+).【點睛】本題主要考查實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握因式分解的方法.【即學(xué)即練】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：=_________【答案】2（x+）（x-）．【解析】【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子寫成x2-（）2，符合平方差公式的特點，可以繼續(xù)分解．【詳解】2x2-6=2（x2-3）=2（x+）（x-）．故答案為2（x+）（x-）．【點睛】本題考查實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解的式子的結(jié)果一般要分到出現(xiàn)無理數(shù)為止．考法03二次根式的乘除法【典例6】計算：=______；×÷=______.【答案】3【解析】【分析】能化簡的先化簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算.【詳解】解：（1）==；（2）×÷===3.故答案為(1).(2).3【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】=________..【答案】a【解析】【詳解】∵a>0,b>0,∴=.故答案是：a.【即學(xué)即練】計算的結(jié)果是__．【答案】3【解析】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：==3．故答案為3．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】化簡：3··＝____________.【答案】【解析】【分析】利用二次根式的乘除法則運算即可.【詳解】3··=3·×=【點睛】本題考查了二次根式的乘法運算，相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待．【即學(xué)即練】計算的結(jié)果是______．【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】．故答案為．【點睛】考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．考法04最簡二次根式【典例7】，，，四個二次根式中，是同類二次根式的是_____．【答案】,【解析】【分析】可先將各二次根式化為最簡，然后根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同即可作出判斷．【詳解】＝，＝5，＝3，＝5，∴，是同類二次根式．故答案為，．【點睛】此題主要考查同類二次根式的定義，屬于基礎(chǔ)題，化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．【典例8】若最簡二次根式和能合并,則a的值為___.【答案】2【解析】【分析】最簡同類二次根式可以合并，即被開方數(shù)相同.【詳解】最簡二次根式和能合并，可知被開方數(shù)相同=解得故答案為2【點睛】本題考查最簡二次根式的定義以及同類二次根式的定義.【即學(xué)即練】若最簡二次根式與能合并成一項，則a＝_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二次根式能合并，可得同類二次根式，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)相同，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】解：，由最簡二次根式與能合并成一項，得a+1＝2．解得a＝1．故答案是：1．【點睛】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．【即學(xué)即練】若是正整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是_____【答案】3【解析】【分析】根據(jù)是正整數(shù)，化簡即可求出根式的值.【詳解】解：,若是正整數(shù)，即是正整數(shù)，由根式的性質(zhì)可知,當(dāng)n=3時,,∴正整數(shù)n的最小值是3.【點睛】本題考查了根式的化簡,屬于簡單題,熟悉根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【典例9】分母有理化：＝_____．【答案】+．【解析】【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．據(jù)此作答．【詳解】解:==+．故答案為+．【點睛】本題考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．【即學(xué)即練】化為最簡根式的結(jié)果_______．【答案】【解析】【分析】分子和分母都乘以，即可得出答案．【詳解】==，故答案為．【點睛】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，知道的有理化因式是解此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】化簡_________________．【答案】【解析】【分析】將分子x-y化成，再約分即可.【詳解】==.故答案為.【點睛】本題考查的知識點是分式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的化簡.考法05二次根式的加減法【典例10】計算：_____________．【答案】0【解析】【分析】合并同類二次根式實際是把同類二次根式的系數(shù)相加，而根指數(shù)與被開方數(shù)都不變．【詳解】解：原式=3=0．故答案為：0．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，應(yīng)先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．【即學(xué)即練】計算______．【答案】【解析】【分析】先進行二次根式的化簡，然后合并．【詳解】解：原式．故答案為．【點睛】本題考查了二次根式的加減法，正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】化簡的結(jié)果是______________.【答案】【解析】【詳解】分析：先把各根式化簡，然后進行合并即可得到結(jié)果．詳解：原式=+3﹣+6=+3+．點睛：本題主要考查二次根式的加減，掌握二次根式的加減法法則是解題的關(guān)鍵．考法06二次根式的混合運算【典例11】計算的結(jié)果為_______【答案】5【解析】【分析】把第一個括號內(nèi)的二次根式化簡，再把括號中的每一項分別與相除，然后把所得結(jié)果相加即可．【詳解】原式=（）÷（）=﹣1+6=5．故答案為5．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算的順序是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】計算=__________．【答案】【解