新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積第2課時球的表面積和體積課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積第2課時球的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．知道球的表面積和體積的計算公式，會計算球的表面積和體積數(shù)學(xué)運算2．能用公式解決簡單的實際問題數(shù)學(xué)建模、直觀想象|自學(xué)導(dǎo)引|

球的表面積和體積1．球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝________，即球的表面積等于它的大圓面積的______倍．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝________．4πR2

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特別提醒對球的體積和表面積的幾點認(rèn)識(1)從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．(2)由于球的表面不能展開成平面，所以，球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式的推導(dǎo)方法是不一樣的．(3)球的表面積恰好是球的大圓(過球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍．【預(yù)習(xí)自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)球的體積之比等于半徑比的平方． (

)(2)長方體既有外接球又有內(nèi)切球． (

)(3)球面展開一定是平面的圓面． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)體積比應(yīng)為半徑比的立方，故(1)錯誤．(2)長方體不一定有內(nèi)切球，故(2)錯誤．(3)球面展不成平面，故(3)錯誤．|課堂互動|題型1球的表面積與體積

(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；1．如果兩個球的體積之比為8∶27，那么兩個球的表面積之比為__________．【答案】4∶9【解析】根據(jù)球的體積及表面積公式可知，兩個球的體積之比等于半徑之比的立方，表面積的比等于半徑之比的平方，因為兩個球的體積之比為8∶27，所以兩個球的半徑之比為2∶3，所以兩個球的表面積之比為4∶9．【答案】B球截面兩個關(guān)注點，一個注意點(1)有關(guān)球的截面問題，關(guān)注兩點：①截面是圓面；②過截面圓的圓心與球心的連線垂直于截面．(2)注意一個直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個直角三角形，滿足勾股定理．2．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于__________．【答案】16π題型3與球有關(guān)的切、接問題方向1球的外切正方體問題將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為 (

)【答案】A

方向2球的內(nèi)接長方體問題

一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為__________．【答案】14π方向3球的內(nèi)接正四面體問題

若棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，求球的表面積．方向4球的內(nèi)接圓錐問題

球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為__________．方向5球的內(nèi)接直棱柱問題設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

(

)【答案】B常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點等．(2)解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計算．3．一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球，在圓錐里又有一個內(nèi)切球．求：(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐里內(nèi)切球的體積．易錯警示問題考慮不全面致誤

已知半徑為10的球的兩個平行截面圓的周長分別是12π和16π，則這兩個截面圓間的距離為__________．錯解：2易錯防范：錯解中由于對球的結(jié)構(gòu)把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面而導(dǎo)致錯誤．事實上，兩個平行截面既可以在球心的同側(cè)，也可以在球心的兩側(cè)．易錯防范：錯解中由于對球的結(jié)構(gòu)把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面而導(dǎo)致錯誤．事實上，兩個平行截面既可以在球心的同側(cè)，也可以在球心的兩側(cè)．正解：設(shè)球的大圓為圓O，C，D為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過點C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8．|素養(yǎng)達(dá)成|1．球的表面積、體積及基本性質(zhì)是解決有關(guān)問題的重要依據(jù)，它的軸截面圖形以及球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法．2．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．(體現(xiàn)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng))1．(題型1)直徑為6的球的表面積和體積分別是 (

)A．144π，144π

B．144π，36πC．36π，144π

D．36π，36π【答案】D【答案】D3．(題型3)(多選)(2023年重慶模擬)下列說法正確的有 (

)A．棱柱所有的面都是平行四邊形B．正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為3∶1D．以等腰梯形的一條腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺【答案】BC4．(題型3)(2023年西安期中)若各頂點都在一個球面上的正