2022-2023學年湖南省部分校高三（上）入學數(shù)學試卷

2022-2023學年湖南省部分校高三（上）入學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）復數(shù);~~7=（）

1+1

A.-1-/B.-1+ZC.1+zD.1-i

2.（5分）已知集合4={4?-2工-3<0},3={x|y=/g（x-1）},則AA3=（）

A.（3,+8）B.（-1,+8）C.（-1,1）D.（1,3）

3.（5分）已知邊長為2的等邊△ABC,O為其中心，對①|6+辰*+211=6；②幾.A=2；

@\OA+05+0C|=0；?3AO.OB=2這四個等式，正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（5分）自5月初，麓山之巔觀日出在抖音走紅后，每天都有上千人披星戴月登頂岳麓山

一311

看日出，登頂游客中外地游客占二，外地游客中有:乘觀光車登頂，本地游客中有:乘觀光

車登頂，乘觀光車登頂?shù)钠眱r為20元.若某天有1200人登頂觀日出，則觀光車營運公

司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是（）

A.4800元B.5600元C.6400元D.7200元

yJ31

5.（5分）已知函數(shù)/（x）=cos2-^-+]~sinuir—2（3>0）,xER,若/（尤）在區(qū)間（n,2ir）

內沒有零點，則3的取值范圍是（）

55511

A.（0,——]B.（0,——]U[—,—）

1212612

55511

C.（0,-]D.（0,—1U[-,—]

612612

6.（5分）有一個圓臺型的密閉盒子（表面不計厚?。?，其母線與下底面成60°角，且母線

長恰好等于上下底半徑之和，在圓臺內放置一個球，當球體積最大時，設球的表面積為

Si,圓臺的側面積為52,則（）

A.51>S2B.S1VS2

C.51=52D.無法確定Si與S2的大小

7.(5分)已知函數(shù)/(%)=)(|x—2|+1)—X2_：久+5,則/(-1)，/"),/(2，)的大小

關系是（）

A./(-1)</(29</(?)B./(-1)<于(￡)<f(20

C.f(?)</(-1)(29D.f(20<f(?)</(-1)

4

點

=3=-相

8.（5分）在△ABC中，AB3N分別在邊AB,8c移動,

且MN=BN,沿MN將△8MN折起來得到棱錐B-AMNC,則該棱錐的體積的最大值是

（）

16V216V316>/6309

A.----B.----C.----D.---

151515128

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

（多選）9.（5分）如圖正方體ABC。-A出1C1D1的棱長為m以下結論正確的是（）

A.異面直線4。與A8i所成的角為60°

B.直線4。與3。垂直

C.直線4。與BD1平行

12

D.三棱錐A-A1C。的體積為:尸

6

（多選）10.（5分）已知函數(shù)/Q）=*a/+2x-3/nx（aeR）,下列說法正確的是（）

A.a>-上寸/（X）存在單調遞增區(qū)間

B.4一期寸/（工）存在兩個極值點

C.aW—捉/（x）為減函數(shù)的充要條件

D.VizeR,f（x）無極大值

（多選）ll.（5分）已知A,B是拋物線C：y2=4x上兩動點，尸為拋物線C的焦點，則（）

A.直線A8過焦點尸時,|AB|最小值為4

B.直線過焦點尸且傾斜角為60°時（點A在第一象限），\AF]^2\BF\

C.若48中點M的橫坐標為3,則最大值為8

D.點A坐標（4,4）,且直線AF,AB斜率之和為0,AF與拋物線的另一交點為。，則

直線8。方程為：4x+8y+7=0

（多選）12.（5分）將〃2個數(shù)排成〃行〃列的一個數(shù)陣.如圖：該數(shù)陣第一列的〃個數(shù)從

上到下構成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個數(shù)從左到右構成以m為公比的等比數(shù)

歹U（其中，">0）.已知411=2,413=461+1,記這/個數(shù)的和為S.下列結論正確的有（）

41%2。13a\n

41%2a23ain

032a33%

A.

18.103X318+5

B.乙卜=1akk—

C.atj=（3i-1）x3，

1

D.S=in（3n+l）（3n-l）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（/+當6的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）.

14.（5分）在平面直角坐標系X。），中，圓C的方程為/+），2-8X+15=0,若直線），=日-2

上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值

是.

15.（5分）在△ABC中，tan8=4tanA,則當8-A取最大值時，sinC=.

%2y2

16.（5分）過雙曲線方一白=l（a>0,b>0）的右焦點尸作其中一條漸近線的垂線，垂足

a'

為。，直線"2與雙曲線的左、右兩支分別交于點M,N,若|MQ=3|QN|,則雙曲線的

離心率是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知數(shù)列｛劭｝中ai=l.M（1,1）,An（2,an）,Bn（3,2a”+i-3）為直角坐

標平面上的點.對任意〃€N*,M、An.B”三點共線.

（1）求數(shù)列｛m｝的通項公式；

?11113

（2）求證：----+-----+-----+…+-------<-.

01^3a2a4a3a5anan+24

18.(12分)某公園要建造如圖所示的綠地0A8C,。4、0c為互相垂直的墻體，已有材料

可建成的圍欄A8與BC的總長度為12米，且/BA0=/BC0.設/84。=a(0<a<J).

(1)當4B=3,a=需時，求AC的長；

(2)當A8=6時，求0A8C面積S的最大值及此時a的值.

19.(12分)如圖，在直角4204中，P010A,PO=2OA=4,將△POA繞邊尸。旋轉到

△P08的位置，使NAOB=90°,得到圓錐的一部分，點C為而上的點，且祀就

(1)求點0到平面以B的距離；

(2)設直線PC與平面方B所成的角為⑴，求simp的值.

20.(12分)某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設備進行了技術改造，為了對比技術改造后

的效果，采集了技術改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度(單位：天)數(shù)據(jù)，整理

如下：

改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,

20,24,21.

改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,

37,38,36.

(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗分析判斷技術改造前

后的連續(xù)正常運行時間是否有差異？

技術改造設備連續(xù)正常運行天數(shù)合計

超過30不超過30

改造前

改造后

合計

（2）工廠的生產(chǎn)設備的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)設備的生產(chǎn)維護費用包括正常維

護費和保障維護費兩種.對生產(chǎn)設備設定維護周期為7天（即從開工運行到第kT天，髭N*）

進行維護.生產(chǎn)設備在一個生產(chǎn)周期內設置兒個維護周期，每個維護周期相互獨立.在

一個維護周期內，若生產(chǎn)設備能連續(xù)運行，則只產(chǎn)生一次正常維護費，而不會產(chǎn)生保障

維護費；若生產(chǎn)設備不能連續(xù)運行，則除產(chǎn)生一次正常維護費外，還產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)

測算，正常維護費為0.5萬元/次，保障維護費第一次為0.2萬元/周期，此后每增加一次

則保障維護費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設備一個生產(chǎn)周期（以120天計）內的維護方案：

T=30,k=l,2,3,4.以生產(chǎn)設備在技術改造后一個維護周期內能連續(xù)正常運行的頻

率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內生產(chǎn)維護費的分布列及均值.

附:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7022.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

y2=-----兒)------------(其中〃=a+b+c+d)

/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'31n"十。十，十"

XV

21.（12分）設為，尸2分別是橢圓C：—4-77=1（〃＞力＞。）的左、右焦點，M是。上一

點，MF2與x軸垂直，直線M為與C的另一個交點為N,且直線MN的斜率為巡.

4

（1）求橢圓C的離心率;

（2）設D（0,1）是橢圓C的上頂點，過D任作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C

于A、B兩點（異于點。），過點。作線段AB的垂線，垂足為Q,判斷在y軸上是否存

在定點凡使得IRQI的長度為定值？并證明你的結論.

22.（12分）已知函數(shù)/。）=嚶.

（1）判斷函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,3n）上極值點的個數(shù)并證明；

（2）函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）上的極值點從小到大分別為XI,X2,X3,x”,

設即=f（X"）,S"為數(shù)列｛“"｝的前”項和.

①證明：41+。2<0;

②問是否存在〃6N*使得S"20?若存在，求出〃的取值范圍；若不存在，請說明理由.

2022-2023學年湖南省部分校高三（上）入學數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）復數(shù);~;=（）

A.-1-1B.-1+zC.1+zD.1-i

■自〃依,一2t-2i(l-i)__2i(I)_

【解答】解：—(1+0(1-0=-2-=T

故選：A.

2.(5分)已知集合A={x|/-2x-3V0},B={x|y=/g(x-1)},則ADB=()

A.(3,+oo)B.(-1,+8)C.(-1,1)D.(1,3)

【解答】解：；A={x|-l<x<3},8={.很>1},

：.AC\B=(1,3).

故選：D.

3.（5分）已知邊長為2的等邊△ABC,O為其中心，對①|旗+BC+CA\=6；②6.品'=2；

@\OA+OB+OC\=0；④.茄=2這四個等式，正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如圖，

'：AB+BC+CA=0,：.\AB+BC+CA\=|0|=0,故①錯誤;

AB-AC=\AB\\AC\cos/.BAC=2X2X1=2,故②正確;

為等邊△48C的中心，.?.(￡!+而+兒=3,可得|小+而+兒|=0,故③正確;

->to9ZQ

由己知求得|。*=|OB|=天篇3=竿，且NAOB=120°,

：.3AO■OB=-3OA?扇=-3X竽X竽X(—》=2,故④正確.

正確的個數(shù)是3.

故選：C,

A

4.（5分）自5月初，麓山之巔觀日出在抖音走紅后，每天都有上千人披星戴月登頂岳麓山

311

看日出，登頂游客中外地游客占口外地游客中有:乘觀光車登頂，本地游客中有了乘觀光

536

車登頂，乘觀光車登頂?shù)钠眱r為20元.若某天有1200人登頂觀日出，則觀光車營運公

司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是（）

A.4800元B.5600元C.6400元D.7200元

【解答】解:從登頂觀日出的人中任選一人，他是乘觀光車登頂?shù)母怕蔖=|x|+|x|=

□□□O

4

田

則觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是1200x2x20=6400（元）.

故選：C.

5.(5分)已知函數(shù)/(x)=cos2—+—sincox-(o)>0),xER,若/(無)在區(qū)間(IT,2n)

22，

內沒有零點,則3的取值范圍是（）

55511

A.(0,—]B.(0,—]U[-,----)

1212612

55511

C.(0,-]D.(0,—IU[-,—]

612612

函數(shù)f(x)=COS2-^V3.

【解答】解:+—sincox-1=|cos€Dx+孚Sin3x=sin(3x+分,

22226

可得7=普，->Tt,0-fCx）在區(qū)間（m2n）內沒有零點，函數(shù)的圖象如圖兩

種類型，結合三角函數(shù)可得:

37T+>07T3+石N7T

O或

2371+NW7T20)71+看427r

故選：D.

6.（5分）有一個圓臺型的密閉盒子（表面不計厚薄），其母線與下底面成60°角，且母線

長恰好等于上下底半徑之和，在圓臺內放置一個球，當球體積最大時，設球的表面積為

Si,圓臺的側面積為S2,則（）

A.Si>S2B.S1VS2

C.Si=S2D.無法確定Si與S2的大小

【解答】解：如圖所示，過點。作OELAB于點E,設圓臺上下底的半徑分別為a,b,

由其母線與下底面成60°角，且母線長伶好等于上下底半徑之和，

貝!]AE=C￡)="，BE=b-a,DB=a+b,J3.a+b=2(b-a),解得：b=3a,

故4c=DE—-V3(/?-a)=2V5a,

取AC中點O,過點。作OHLBO于點H,連接。8,OD,

則由勾股定理得：0D=7OC2+CD2=2a,BO=\/OA2+AB2=2^3a,

又_8。2,由勾股定理逆定理可得：OB上OD,

所以OH=寫黑=弛答電=y/3a,

DU4Q

故滿足條件的圓臺正好有一個與其上下底面及側面都相切的內切球,

此球體積最大且半徑是次。，表面積1=127m2,

圓臺上下底的半徑分別為a,3a,母線長為4小

側面積S2=7r(a+3a)-4a=16na2,

則S1VS2.

故選：B.

7.（5分）已知函數(shù)/（%）=配（|%-2|+1）—％2_：乂+5,則八-1），/⑺，/⑵）的大小

關系是（）

A./(-1)</(29<f(e2)B./(-1)<f(e2)<f(20

C.f(?)</(-1)勺⑵)D.f(20<f(?)</(-1)

11

【解答】解：/(%)=ln(\x-2|+1)-目壬=)(|x-2|+l)-e

人T人TJ|X-Z|7+r1

1

令f=|x-2|,Z>0,則g(Z)=ln(r+1)/>0,

*日7TT4且/10—2t(產(chǎn)+1)2+2￡

求導可得y=H——5——2=-i----?——2>0,

"1(t2+iy(t+l)(t2+l)z

則g(r)在(0,+8)上單調遞增.

又/(-1)=g(3),f(e2)=gCe2-2),f(2，)=g(2°-2),

因為/-2>2限2>3,所以g(e2-2)>g(2“-2)>g(3),

故答案為：A.

8.（5分）在△ABC中，AB=5,AC=3,tarh4T，點M,N分別在邊AB,BC移動，

且MN=BN,沿MN將△8MN折起來得到棱錐B-AMNC,則該棱錐的體積的最大值是

（）

16V216V316^6309

A.----B.----C.----D.---

151515128

【解答】解：由tan4=匏cosA=|,由余弦定理得CB=4,

則△ABC是直角三角形，C為直角，對MN的任何位置，當面加%8_1_面4^7（7時，此時

的點B到底面AMNC的距離最大，此時/NM8即為MB與底面AMNC所成的角，

設BM=2x,

31323

在△MNB中，tanB=.,S^MNB=,2%?%-tanB=~^x,sin乙NMB=sinB—引

點B到底面AMNC的距離4=MBsin/NMB=罟，

則%-4MNC=|孰ABC-SaNB)h=j(6-1x2)-^=當段(0<T4|),

V，-9X2+249,,2昆,2底、

VB-AMNC~10-10。+3)(“3)'

令V'B-AMNC=0,解得X=±號^，可得下表：

r2V62\/62V65

X(0,—)(一，一)

3332

V'B-AMNC+0-

VBAMNCt極大值1

故當x=竽時，該棱錐的體積最大，為噤.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

（多選）9.（5分）如圖正方體ABC。-AIBICIOI的棱長為小以下結論正確的是（）

A.異面直線4。與所成的角為60°

B.直線4。與BCi垂直

C.直線A1D與引力平行

1a

D.三棱錐A-4c。的體積為一。3

6

【解答】解：如圖所示，建立空間直角坐標系.

A(a,0,0),Ai(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B\(〃,a,a),

*.ArD=(-a,0,-a),ABr=(0,a,a).

T—1

cosVA[D,ABX>=

|4；DH晶I42a'y[2a2'

:兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°1，

...異面直線4。與AB1所成的角為60°.

B.Ci(0,a,a),B(a,a,0).

—>—>

2

ArD-BC1=(-a,0,-〃)?(-a,0,a)=/-a=0.

?,?直線Ai。與8。垂直.

C.D\(0,0,a).

22

VA?BDr=(-a,0,-〃)?(-a,-a,a)=a-a=0,，直線A\D與BD\垂直,

不平行；

111

D.三棱錐A-A\CD的體積％t遇。=xa2?a=ga3.

綜上可知：只有C不正確.

故選：ABD.

(多選)10.(5分)已知函數(shù)/(%)='a/+2%-3lnx(aGR),下列說法正確的是()

A.。>一4時/(萬)存在單調遞增區(qū)間

B.a>-寺時/(x)存在兩個極值點

C.a<—提/(x)為減函數(shù)的充要條件

D.Vd-GR,f(x)無極大值

【解答】解：f'(x)=ax+2—|="M棄心，存在單調遞增區(qū)間，

即/(x)>0在(0,+8)有解，即=3(今2—2(3在(0,+8)有解，

又y=3(*)2—2$=3?—扔一寺最小值為一4，故a>—④，A正確;

a>-押，函數(shù)y=a?+2x-3的判別式A=12a+4>0,存在兩個零點，

但=-1，故在。>0時XI,%2異號，只有一個值是/（X）=0的解，

即/（乃=也笠心只有一個變號零點，f（x）只有一個極值點，B錯誤；

于（x）為減函數(shù)，即/'（x）=°可”-340恒成立，

則a<0且△=12a+440,故a《一可，C正確；

當一上VaVO時，八x）=a%2學_3,

函數(shù)y=a?+2x-3的判別式A=12a+4>0,存在兩個零點，且與*2=—1>0,xi>0,

X2>0,

不妨設X1〈X2，可得OVxVxi或X>X2時，f（x）VO,XlVx〈X2時，f（x）>0,

即/（x）在（0,XI）和（X2,+8）上遞減，在（XI,X2）上遞增，

X2是極大值點，/（X）存在極大值，。錯誤.

故選：AC.

（多選）ll.（5分）已知A,B是拋物線C：y2=4x上兩動點，尸為拋物線c的焦點，則（）

A.直線A8過焦點/時，|AB|最小值為4

B.直線AB過焦點尸且傾斜角為60°時（點A在第一象限），\AF]=2\BF]

C.若AB中點M的橫坐標為3,則|AB|最大值為8

D.點A坐標（4,4）,且直線AF,AB斜率之和為0,AF與拋物線的另一交點為Q,則

直線方程為：4x+8y+7=0

【解答】解：選項4當AB為拋物線的通徑時，|AB|最小，為1+1+2=4,即4正確；

選項B,由題意知，此時直線AB的方程為），=遮（x-1）,

聯(lián)立'=V3（x-1）,解得犬=3或3

因為點A在第一象限，所以XA=3,XB=I，

所以|AQ=XA+E=3+1=4,|BF1=XB+E巖+1=*所以|AF|=3|M，即8錯誤；

選項C,|4用W|Afl+|8/q=x4+xB+2=2X3+2=8,所以|A劇最大值為8,即C正確：

44

選項O,由A（4,4）,F（1,0）,知心尸=/所以履8=—親

所以直線AF的方程為y=（x-1）,直線AB的方程為y=一$+竽，

聯(lián)立y=4（xT）,解得x=J或4,所以/=-1,

（y2=4x44

聯(lián)立,-3“+3,解得竽或4,所以XB=竽，yB=-7,

y2=4x

所以直線8。的方程為>+1=4早（x-J）,即4x+8y+7=0,故。正確.

彳一4

故選：ACD.

（多選）12.（5分）將”2個數(shù)排成〃行〃列的一個數(shù)陣.如圖：該數(shù)陣第一列的"個數(shù)從

上到下構成以，〃為公差的等差數(shù)列，每一行的n個數(shù)從左到右構成以m為公比的等比數(shù)

歹IJ（其中,">0）.已知“11=2,413=461+1,記這次個數(shù)的和為S.下列結論正確的有（）

口1%ain

41%a23a2n

41°32a33.........a3H

Qn\anlan3.........Q\

A.m=3

103X318+5

B.渦

4

C.aij=(3i-l)x3>

1

D.S=in(3n+l)(3n-1)

【解答】解：小3=。61+1,

2m2=2+（6-1）m+\,解得加=3或一;（舍負），即選項A正確;

...劭=?！?41=[2+Ci-1>3卜卬"1=(3，-1)引7,即選項C錯誤;

令7=恭=1a-kk>則

T=ail+a22+…+。加=2?3°+5?31+8?32+…+(3=-1)?31①,

3r=2?3'+5?32+8*33+-+(3欠-433右】+(3A-1)?3修,

①-②得，-2T=2+3?3i+3+32+3?33+…+3?3?"-(3?-1)?3*=2+3x空一(3k

,5,5

-1)?3*=(--34)?3*一宗

22

553k.

.?.T=1-(一一一)W,

442

l8103X8+5

當仁18時，求1akk=1-（2-^^）-3=f,即選項B正確；

，42，

S=（〃11+。12+一，+。1〃）+（。21+。22+一'+。2〃）+???+（4〃1+?！?+?一+?！āǎ?/p>

n

一旬1（1一3九）?Q21（1-3"）.anl（l-3）

一~三~十~口~十十~r=3-

1、

=2（3〃-1）?（。11+及1+…+?！?）

=1（3"-1）?2〃+世展）x3）

=%（3〃+1）（3"-1）,即選項。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（/+》6的展開式中常數(shù)項是240（用數(shù)字作答）.

【解答】解：由于（/+,）6的展開式的通項公式為91=?！?，”12-31

令12-3r=0,求得r=4,故常數(shù)項的值等于C^24=240,

故答案為：240.

14.（5分）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為W+y2-8X+15=0,若直線y=fcv-2

上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是

4

3-'

【解答】解：???圓C的方程為了+y2-8x+15=0,整理得：（x-4）2+y2=l,即圓C是以

（4,0）為圓心，1為半徑的圓；

又直線y=fcv-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，

只需圓C'：（x-4）2+>=4與直線y=H-2有公共點即可.

設圓心C（4,0）到直線y=fcv-2的距離為“，

則”=華芻必即3必-4AW0,

4

???0W仁宗

,,4

:?k的最大值是

4

故答案為：

15.（5分）在△ABC中，tanB=4tanA,則當8-A取最大值時，sinC=1.

【解答】解：：在△ABC中，tan8=4tanA,可得tanA>0,且0<8-AV*,

■皿（B-A）=畿■=*落=福乙<不當且僅當tanA=加等號

tan/4

成立，

71

??,y=tanx在（0,-）上單調遞增，此時8-A取最大值，且lan8=2,

siTiZsi刀8

tarL4*tanB=l=cosAcosB"

/.sinAsinB=cosAcosB,得cos(A+B)=0,

：.A+B=此時sin(A+B)=1,

AsinC=l.

故答案為：1.

x2y2

16.（5分）過雙曲線"一匕=1（Q〉0,b〉0）的右焦點尸作其中一條漸近線的垂線，垂足

azb￡

為Q,直線FQ與雙曲線的左、右兩支分別交于點M,N,若|MQ|=3|QN],則雙曲線的

離心率是—y/5_.

【解答】解：設雙曲線的左焦點為尸，

雙曲線的漸近線方程為反土.=0,\FQ\=■|bc|-=b,\OF]=c,

[蘇+/

在直角三角形QO尸中，cos/QFO=t，①

設|QN|=f,則|QM=3r,[FN\=b-t,

由雙曲線的定義可得|N尸|=〃-r+2a,|MF|=/>+3f-2a,

在三角形FNE中，可得cosNFF=4c2+（'；W_U'+2a）[②

在三角形FMF中，可得cos/MFF=4c52a心,③

乙X4十OCJ

由①②化簡可得U搞^

由①③化簡可得t=魯，

所以〃+〃=3人-3小

即b=2a,

則e=a=j+%V1+4=V5.

故答案為：V5.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛而｝中ai=l.M(1,1),An(2,an),Bn(3,2a),+\-3)為直角坐

標平面上的點.對任意"€N*,M、An.B“三點共線.

(1)求數(shù)列｛而｝的通項公式;

411113

(2)求證：——+——+——+???+-------

牝03a2a4a3a5anan+24

【解答】解：(1)由題意得：MAn=(1,an-1),MBn=(2,2an+1-4),

VM.A”、B”三點共線,則MAn//MBn,

?.2a”-2=2a”+i-4,即cin+\~an~1>

數(shù)列｛的｝是首項為1公差為1的等差數(shù)列，

??dn="?

11111

(2);----------=---------=一(一-----)，

anan+2n(71+2)2nn+2

.1,1,,11z,1,11,11,,11,1

.?福+病+…+森工=露一4十二/百一弓+…+言一申+元一用)

1

=2'"2n+1n+27

31,11

=-T-O(--------+--------)

42n+1n+2

<3

4-

18.(12分)某公園要建造如圖所示的綠地OABC,OA、OC為互相垂直的墻體，已有材料

可建成的圍欄AB與BC的總長度為12米，且N8A0=N8C0.設/BAO=a(0<a<J).

(1)當48=3,a=居時，求AC的長；

(2)當48=6時，求OABC面積S的最大值及此時a的值.

【解答】解：(1)綠地OABC,。4、OC為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄AB

與2c的總長度為12米，且NR4O=/BCO.設NB40=a(0VaV%.

在△ABC中，AB=3,BC=9,^ABC—2TT——一之=

由余弦定理，得AC2=A￡j2+BC2-2ABBCcos/ABC=117,故AC=3舊.

因此AC的長為3Vli米.

（2）由題意，AB=BC=6,ZACB=ZCAB,ZABC=2n-2a-^,所以ZOAC=

ZOCA=泉

在aABC中，由余弦定理得AC2=72+72sin2a.

所以SAMOC=/人。？=18+18sin2a.S^ABC=/X6x6?sin（岑—2a）=-18cos2a.

于是S=ShABC+Sh0AC=—18cos2a+18+18sin2a=18V2sin（2a—今）+18,0<a<

n

2'

當2a—今=今即。=居時，S取到最大值，最大值為18位+18.

因此，當a=^時，養(yǎng)殖場0ABe最大的面積為18位+18平方米.

19.（12分）如圖，在直角APOA中，PO1OA,PO=2OA=4,將△POA繞邊尸0旋轉到

△POB的位置，使NAOB=90°,得到圓錐的一部分，點C為晶上的點，且衣=稱就

（1）求點。到平面PAB的距離；

（2）設直線PC與平面以8所成的角為＜p,求simp的值.

p

【解答】解：(1)由題意知：PO±OA,PO±OB,OAnOB=。,

OAu平面AOB,O8u平面AOB,...PO_L平面AOB,

又PO=2OA=4,所以P4=PB=2V5,AB=2或，

所以SAPAB=*X2-/2XJ(2y/5)2—(V2)2=6,

設點。到平面%B的距離為"，

1114

----

3323

(2)以。為原點，。4,OB,0P的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空

所以幾=(一2,2,0),AP=(-2,0,4),PC=(V3,1,-4).

設平面力B的法向量為％=(a,b,c),則字”=一2。+2b=0,取則〃=/；=

-AP=-2a+4c=0

2,

可得平面以B的一個法向量為￡=（2,2,1）,

所以sin,=|c°s&.PC）\=^=絲=得I

|n||PC|6J5c

20.（12分）某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設備進行了技術改造，為了對比技術改造后

的效果，采集了技術改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，整理

如下：

改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,

20,24,21.

改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,

37,38,36.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗分析判斷技術改造前

后的連續(xù)正常運行時間是否有差異？

技術改造設備連續(xù)正常運行天數(shù)合計

超過30不超過30

改造前

改造后

合計

（2）工廠的生產(chǎn)設備的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)設備的生產(chǎn)維護費用包括正常維

護費和保障維護費兩種.對生產(chǎn)設備設定維護周期為T天（即從開工運行到第&7天，依N*）

進行維護.生產(chǎn)設備在一個生產(chǎn)周期內設置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在

一個維護周期內，若生產(chǎn)設備能連續(xù)運行，則只產(chǎn)生一次正常維護費，而不會產(chǎn)生保障

維護費；若生產(chǎn)設備不能連續(xù)運行，則除產(chǎn)生一次正常維護費外，還產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)

測算，正常維護費為0.5萬元/次，保障維護費第一次為0.2萬元/周期，此后每增加一次

則保障維護費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設備一個生產(chǎn)周期（以120天計）內的維護方案：

T=30,k=l,2,3,4.以生產(chǎn)設備在技術改造后一個維護周期內能連續(xù)正常運行的頻

率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內生產(chǎn)維護費的分布列及均值.

附:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7022.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

X2=(a+b)(cld)(Jc)S+d)'(其中〃一“+2d)

【解答】解：(1)2X2列聯(lián)表為：

技術改造設備連續(xù)正常運行天數(shù)合計

超過30不超過30

改造前51520

改造后15520

合計202040

零假設為.Wo：技術改造前后的連續(xù)正常運行時間無差異，

2

?2_40(5x5—15x15)匚

??/=20x20x20x20=10>6-635,

???依據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗分析判斷M)不成立，即技術改造前后的連續(xù)正

常運行時間有差異.

(2)由題知，生產(chǎn)周期內有4個維護周期，一個維護周期為30天，一個維護周期內，

生產(chǎn)線需保障維護的概率為P=

設一個生產(chǎn)周期內需保障維護的次數(shù)為亭則：?B(4,-)；

4

一個生產(chǎn)周期內的正常維護費