2022-2023學(xué)年北京高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷

(含解析)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

ZM-

1.己知Ct￡12),且S山α=5,則3ɑ=()

3

A.-

4

3

B.——

4

4

C.一

3

4

D.——

3

【正確答案】B

3

【詳解】由Sina=—，得cosa=-JI-Sin2Cr=一,所以tani=

55

sino_3

cosσ4

故答案為B.

2.已知向量￡=(/,1),g=(l,2).若￡,人則實(shí)數(shù)f的值為()

11

A.-2B.2C.——D.-

22

【正確答案】A

【分析】

由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求出f的值.

【詳解】解：?.?向量萬=(f,l),5=(1,2),則方石=￡+2=0,

...實(shí)數(shù)f=一2,

故選：A.

本題考查向量垂直的求參，重在計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

3

3.如圖，角a以O(shè)X為始邊,它的終邊與單位圓。相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為M,則

π

sin(5+α)的值為()

【正確答案】B

JT

【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sin(,+α)的值.

3

【詳解】角ɑ以。X為始邊，它的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)尸，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為w，所

3π3

以COSa=M則sin(,+α)=CoSa=Μ；故選：B.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.向量zb,d在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則(1—5)1=()

A.-4B.4C.2D.-8

【正確答案】A

【分析】將W,b,工平移至同一個(gè)起點(diǎn)并構(gòu)建直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)，再應(yīng)用

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求(a-b)-c.

【詳解】將7，B，1平移至同一個(gè)起點(diǎn)位置，如下圖O點(diǎn)位置，建立直角坐標(biāo)系x0y,

則Z=(2,2)[=(2,0)1=(-1,-2)，所以(，一B)N=。2)?(-1,-2)=-4.

故選：A

5.已知向量Z，b,滿足M=1,6=(-2,1),且卜一囚=2,則￡/=()

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】C

【分析】求出石的模，利用歸一4=2即可求出的值.

【詳解】由題意，

∣α∣=l,b-(-2,1),且,d∣=2,

解得：a?B=T，

故選：C.

6.設(shè)函數(shù)/(x)=Sin(OX-3+43>0),若/(x)"C任意的實(shí)數(shù)X都成立，則。的

一個(gè)可取值為()

A.4B.5C.7D.8

【正確答案】D

【分析】由/(x)≤∕f∣j對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都成立得SinN?；-外=1,即有

【詳解】???∕(x)≤∕(]J對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都成立，故Sin(Om-3=1,則

TΓTTTT

ω----=-+2mπ,weZ,?(υ=2+6m,w∈Z,故當(dāng)加=1時(shí)，一個(gè)可能取值為8.

故選：D

uumUUL

7.已知尸為Δ∠4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2CP＞則()

ULlT1ULUT3UUlT

AP=一一AB^-ACAP=-AB+-AC

22

ULUr3Uur1UUlTUiir2ulu*1???r

AP=-AB--ACAP=-AB+-AC

2233

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】由題意作出圖形,如圖,則

BCP

?*.—?I*,I■?■—.I..■?■

AP=AC+CP=AC+-BC=AC+^(AC-AB)

1—?3—?

=——AB+-AC,

22

故選：A.

8.設(shè)α∈R,則是第一象限角”是“5足0!+(：051>1”的

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【詳解】充分性：若α是第一象限角，則

Sina>O,COSa>0,(si/α+cosl)-=1+2sinacosa>1,可得Sina+cosα>I,必要性:

若Sina+cosa>1,。不是第三象限角，(^sina+cosa)*=1+2sinacosa>?,

SinaCoSa>0,則α是第一象限角，“α是第一象限角”是“sina+cosα>1''的充分必要條

件，故選C.

【方法點(diǎn)睛】本題通過任意角的三角函數(shù)主要考查充分條件與必要條件，屬于中檔題.判斷

充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件P和結(jié)論4分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗

試Pn4,4=P.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直

觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；

對(duì)于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.

9.已知函數(shù)y=Zsin(<υx+0)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移/(/>0)

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=∕(x)的圖象.若函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/的最

小值()

【正確答案】B

【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出函數(shù)>=Zsin((υx+8)的圖像距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可

確定/的值

【詳解】解：如圖設(shè)函數(shù)y=4sin(s+g)的部分圖像與X軸的交點(diǎn)為Z,8,C,

由圖可知/(_?)=α,∕[])=-α,所以/[5)=-/O

所以點(diǎn)(-7,αJ與點(diǎn)(,,-aJ關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，

設(shè)/(%,O),則一生+2=2肛，解得Xz)=工，

626

因?yàn)閷⒑瘮?shù)y=4sin(<yχ+e)函數(shù)的圖像向左平移/(，>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

y=/(x)的圖像，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以平移后的函數(shù)V=∕(x)為奇函數(shù)，即/(0)=0相當(dāng)于把丁=/5淪(0》+0)的圖像與

X軸最近的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)即,由圖可知此點(diǎn)為/

所以Z=2冗,

6

故選：B

10.函數(shù)/(χ)的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)y=2sinx的圖象，可以把函數(shù)/(χ)的圖

象

A.每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1;（縱坐標(biāo)不變），再向左平移T一T個(gè)單位

23

Tr

B.每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移一個(gè)單位

6

TT

C.先向左平移一個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）

6

D.先向左平移一TT個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1土（縱坐標(biāo)不變）

32

【正確答案】C

【詳解】根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象，設(shè)f（x）=AsinCωx+φ）,可得

,12π2ππC

4=2,—?—=------7??co—2.

2ω36

Jrl'FirJl

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2x-+*=O,;.8=-一，/（x）=2si”（2x-一），

633

故可以把函數(shù)/（X）的圖象先向左平移四個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sH2x+^-X）=2si〃2x

633

的圖象，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=2si"x函

數(shù)的圖象，

故選C.

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在題中橫線上.

11.已知）=（1,-2）,b=（-2,x）,若￡〃坂，則實(shí)數(shù)X的值為.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示：［〃加=再為一%2M=O即可求解?

【詳解】因?yàn)椤辍˙OXJ2一馬Y=0,所以lxx—(—2)x(—2)=0,解之得.x=4

故4.

12.在平行四邊形ZBC。中，已知向量窈=(1,2),AD=(2,3).則撫=

【正確答案】(3,5)

【分析】

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知萬=湘+N萬，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)樵谄叫兴倪呅蝂BCO中，

所以祝=而+而，

又因?yàn)榉?(1,2),AD=(2,3),

所以就=(1,2)+(2,3)=(3,5),

故(3,5)

本題主要考查了向量加法的平行四邊形法則，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.

13.已知向量Z=(1,2),B=(3,1),則向量B夾角的大小為.

式

【正確答案】一

4

【分析】直接利用CoS(2B)=r?,即可能求出向量Z與B的夾角大小.

ITH

【詳解】；平面向量。=(1,2),力=(3,1),

Tτci*h3+2y∣2

?cosa,b=1—=-j=--f==----.

∣Λ∣?∣Z?!y/5?y∕lθ2

又?：Qwklgwπ,=

TrTT

；?向量Q與B的夾角為一，故答案為一.

44

本題考查兩向量的夾角的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則的合理運(yùn)用,

是基礎(chǔ)題.

77兀、

--<X<-的圖象交于“，N(不與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合)

(22J

兩點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為'],θj,則(而+AN)-'Ad

2

【正確答案】—

2

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則以及向量的數(shù)量積，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則以及向量的數(shù)量積，得

22

(而+京).而=2而?T?=2∣研吟，

兀2

故——

2

15.已知函數(shù)/(x)=2Sin(OX+8)(。>0),曲線y=/(x)與直線y=相交，若存在相

TT

鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為則。的所有可能值為___________.

6

【正確答案】2或10

【分析】

令2sin(fyχ+e)=J解得<υx+Q=2左乃+?,左eZ或<υx+e=2左乃H?-?,?∈Z,

']ι5'Jt'jf

根據(jù)存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為一，得到》2-》產(chǎn)——=一或％,-Xl=——=一，即可求

623w62'3w6

解，得到答案.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=2Sin(OX+頌0>0),曲線y=/(無)與直線y=√i相交，

令2Sin3X+φ)=杷,即sin(ωx+0)=-?，

71、2^7

解得。x+9=2kπ+-,k∈Z^Lωx+φ=2kπ+—,k∈Z,

77

由題意存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為一，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),

6

2JL77"'Jl'Γl

可得-------+2kπ=W(X-X),Λ∈Z,令k=。,可得/一11=—二—，解得狡=2.

332I3w6

7TT2TT5τrτc

或--------+2kπ=W(X-X),Λ∈Z,令人二0,可得乙一XI=——=—，解得W=I0?

332I3w6

故2或10.

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角方程的求解，其中解答中熟練應(yīng)用

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理能力與計(jì)算鞫能力,

屬于中檔試題.

三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

16.函數(shù)/'(x)=2sin(2x-F

（1）求函數(shù)/（χ）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

（2）請(qǐng)用“五點(diǎn)法''畫出函數(shù)/（元）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖（先在所給的表格

中填上所需的數(shù)值，再畫圖）；

%

2-

1-

-OX

X

2x--O

6

y

jr2

（3）求函數(shù)/（x）在一五，§兀上的最大值和最小值，并指出相應(yīng)的X的值.

TTTT

【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是一二+左兀,；+k7i,AeZ;最小正周期無；（2）填表

63_

見解析；作圖見解析；（3）最大值為2,最小值為一1,X=與時(shí)/（x）取得最小值，X=T

時(shí)/（x）取得最大值.

【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期;

（2）列表，描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)/'（X）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；

（3）求出Xe時(shí)函數(shù)/（x）的最大值和最小值，以及對(duì)應(yīng)X的值.

【詳解】解：⑴函數(shù)/（x）=2sin2x—B

TrTCJC

令----h2kn≤2x—≤—F2Λτι，人∈Z；

262

解得----H2Aτι≤2x≤-----F2ATC,《∈Z；

33

TTTT

即---Fkτι≤%≤—Fku,4∈Z；

63

JLjr

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是-2+E,；+k7i,左∈Z;

最小正周期T=甘=π;

（2）填寫表格如下;

X兀π7π5兀13π4π

123n~6TTT

π3π5π

2x--Oπ2π

62TT

yO2O-2O2

用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)/（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖為;

所以函數(shù)/(x)=2sin(2x-E)在若爭(zhēng)上取得最大值為2,最小值為一1,

且X*時(shí)/(x)取得最小值，X=:時(shí)/(x)取得最大值.

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)以及“五點(diǎn)法”作圖，本題要掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì)以及整體法的應(yīng)

用，同時(shí)熟悉“五點(diǎn)法”作圖，考查分析能力以及作圖能力，屬中檔題.

17.己知函數(shù)/(x)=Sin(Jx+?∣)

(1)求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及對(duì)稱軸方程；

(2)設(shè)x=m("?∈R)是函數(shù)y=∕(x)圖像的對(duì)稱軸，求sin4加的值；

(3)把函數(shù)/(x)的圖像向左平移8個(gè)單位，與/(x)的圖像重合，直接寫出一個(gè)夕的值：

(4)把函數(shù)/(x)的圖像向左平移夕個(gè)單位，所得函數(shù)為偶函數(shù)，直接寫出夕的最小值；

(5)當(dāng)xe［0,f］時(shí)，函數(shù)/(x)的取值范圍為［一1/，直接寫出/的最小值；

(6)己知函數(shù)/(x)在［0刁上是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，直接寫出一個(gè)符合題意的/的值：

(7)設(shè)函數(shù)⑴JI」(2J,直接寫出函數(shù)g(x)在［0,2兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

sin(x+π)

jr7兀z

【正確答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為-+4kπ,-+4∕cπ,(?∈Z)對(duì)稱軸方程為

TT、

X=I+2kτt(k∈Z)

.√3

(2)sin4m=------

2

(3)4π

π

(4)3

5?7π

73-

6?8π

zl3-

7?Γπ

zll~

兀、

【分析】函數(shù)/(x)=Sin-x+-,由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，依次解決各小題中的單調(diào)

237

區(qū)間、對(duì)稱軸、值域、奇偶性、圖像平移等問題.

【小問1詳解】

,π1π∈)Aτt/UJT/,77t

由一+2?<—x+—≤^-+2kπ(^kZ,解得一+4Λπ≤X≤—+Akτι(k∈Z),

22333

Tr7τr

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+4kπ,-+4kπ，(左∈Z).

由;x+C=^+而，解得x=g+2E(%≡Z),所以/(尤)的對(duì)稱軸方程為

X=y+2Λπ(?∈Z)；

【小問2詳解】

=sin(竺+8左兀、.π?/?

由(1)知加=W+2kπ(k∈Z),sin4〃?-sin-=-——：

I3732

【小問3詳解】

_2π.

T=—=4兀

函數(shù)最小正周期為1,所以夕的一個(gè)值可以是4無；

2

【小問4詳解】

把函數(shù)/(χ)的圖像向左平移夕個(gè)單位，所得函數(shù)

SML+4+A1ππ

y=smj(χ+^)+y由函數(shù)為偶函數(shù)，-φ+-=-+kπ,

(223)

TlTt

φ=-+2kκ,。的最小值為巴；

33

【小問5詳解】

當(dāng)X∈［θ,z］時(shí)，-^?X+y∈y,?+y,函數(shù)/(X)的取值范圍為［~~L1］,?^?÷y≥??

t≥--,E的最小值為---；

33

【小問6詳解】

?兀兀t兀

X∈［0,q時(shí)，-x+y∈?-,?+-,已知函數(shù)/(X)在［0,4上是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，

—I—=—時(shí)符合條件，此時(shí)，=—;

2333

【小問7詳解】

xC0SA+

設(shè)函數(shù)(/()[2J_y(x)(_sinx)

由(1)中結(jié)論和SinXW0,

⑴一:-=∕(x)’

g―s\m(x+πj\-Sinx

函數(shù)g(x)在［0,2兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為pπh∏(π,2π).

18.已知函數(shù)/(x)=Sin*x+3CoSX+3,(XeR).

(1)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性并說明理由；

(2)求/(x)的最小值并指出函數(shù)取得最小值時(shí)X的值;

(3)直接寫出函數(shù)/(x)在［0,2可上的零點(diǎn).

【正確答案】⑴/(x)是偶函數(shù)，理由見解析.

(2)X=兀+2航(左eZ)時(shí)，/(尤)取得最小值為0.

(3)π

【分析】⑴判斷/(r)與/(x)的關(guān)系即可.

(2)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于CoSX的二次函數(shù)求最值.

(3)先求出CoSX的值，再結(jié)合定義域可得/(x)的零點(diǎn).

【小問1詳解】

解：/(X)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)镴?~x)-s?112(-?x)+?cos(-x)+3=sin2X+3cosx+3=J?x),

所以/(x)是偶函數(shù).

【小問2詳解】

解：/(x)=sin2x+3COSX+3=1-COS2x+3CoSX+3

=-cos2x+3CoSX+4=-(CoSX-?)2+—,

24

因?yàn)橐?4COSX≤1,所以當(dāng)COSX=-I即x=7i+2析(左eZ)時(shí)，

/'(X)取得最小值為0.

【小問3詳解】

函數(shù)/(x)在［0,2可上的零點(diǎn)為π.

19.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)T≠0,使得/(x)=V(x+T)對(duì)任意的

XeR成立，則稱函數(shù)/(x)是。函數(shù).

(1)判斷函數(shù)尸(X)=X,〃(x)=SinH是否是Q函數(shù)，不必說明理由；

(2)若函數(shù)/(x)是。函數(shù)，且/(x)是偶函數(shù)，求證：函數(shù)/(x)是周期函數(shù)；

(3)若函數(shù)/(x)=Sin丘是。函數(shù).求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(4)定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)同時(shí)滿足以下三條性質(zhì)：

①存在XOeR,使得g(∕)≠0;

②對(duì)于任意XeR,有g(shù)(x+2)=9g(x).

③/(x)不是單調(diào)函數(shù)，但是它圖像連續(xù)不斷，

寫出滿足上述三個(gè)性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)g(x),則g(x)=.(不必說明理由)

【正確答案】(1)E(X)=X不是Q函數(shù)，MX)=SinTU是。函數(shù)

(2)證明見解析(3){k?k=tπ,t∈Z}

(4)g(x)=3"sin2πr(答案不唯一)

【分析】(1)根據(jù)所給定義判斷即可；

(2)根據(jù)O函數(shù)的定義、偶函數(shù)的性質(zhì)及周期函數(shù)的定義證明即可;

(3)依題意可得SinAX=TSinA?eosAT+TCoSAXSinAT對(duì)任意的XeR成立，即可得到

coskT=-Sin左7=0,從而得解;