陜西省咸陽市高新中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題

咸陽市高新中學(xué)2021屆20202021學(xué)年第一學(xué)期第三次質(zhì)量檢測（理科數(shù)學(xué)）時間:120分鐘，滿分:150分2020年11月4日14:3016:30選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題中只有一項符合題目要求)1．設(shè)集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，則A∪B等于（）A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}2．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）滿足條件（8﹣）?=30，則x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2=3，a6=11，則S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634.若向量相互垂直，則的最小值為 （） A．6B．2C．3D．125．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF1的中點在y軸上，若∠PF1F2=30°，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．6．已知曲線，則下列說法正確的是（）A．把C1上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再把得到的曲線向右平移，得到曲線C2B．把C1上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再把得到的曲線向右平移，得到曲線C2C．把C1向右平移，再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到曲線C2D．把C1向右平移，再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到曲線C27．《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．芻甍：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w（網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈），那么該芻甍的體積為（）A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈8．曲線f（x）=x3﹣（x＞0）上一動點P（x0，f（x0））處的切線斜率的最小值為（）A． B．3 C．2 D．69．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的直徑為（）A．13 B． C． D．10．設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的取值范圍[m，n]恰好是函數(shù)y=2sinωx（ω＞0）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則ω的值為（）A． B． C． D．11．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（，2） C．（，） D．（1，）12．對于函數(shù)f（x）和g（x），設(shè)α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，則稱f（x）與g（x）互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=ex﹣1+x﹣2與g（x）=x2﹣ax﹣a+3互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C．[2，3] D．[2，4]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.曲線與軸圍成的平面圖形面積為______________.14．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是．15．設(shè)l，m是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，則下列命題正確的是．①若l⊥m，m⊥α，則l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，則l∥α或l?α③若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m相交④若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l?β16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=ex（x＞0）的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設(shè)線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是．三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，（I）求角A的大?。唬↖I）若a=2，求的面積S的最大值．18．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn.19．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中點．（1）求證：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大?。?0．（12分）已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點k，過點k做圓C：（x﹣5）2+y2=9的兩條切線，切點為．（1）求拋物線E的方程；（2）若直線AB是講過定點Q（2，0）的一條直線，且與拋物線E交于A，B兩點，過定點Q作AB的垂線與拋物線交于G，D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．21．（14分）已知函數(shù)，記F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求證：F（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有且僅有一個實根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有兩個不相等的實根x1，x2（x1＜x2），記F（x）在（1，+∞）內(nèi)的實根為x0．求證：．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的方程為.（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C與交于點A、B，若點P的坐標(biāo)為，求|PA|+|PB|.23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,9)b2＋c2的最小值．

咸陽市高新中學(xué)2021屆20202021學(xué)年第一學(xué)期第三次質(zhì)量檢測（理科數(shù)學(xué)）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，則A∪B等于（）A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}[解析]解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，故選：D．2．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）滿足條件（8﹣）?=30，則x=（）A．6 B．5 C．4 D．3[解析]解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故選C．3．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2=3，a6=11，則S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63[解析]解：因為a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故選C．4.若向量相互垂直，則的最小值為 A．6B．2C．3D．12解析、【答案】A【解析】因為，所以，即，所以。則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以最小值為6，選A.5．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF1的中點在y軸上，若∠PF1F2=30°，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．[解析]解：∵線段PF1的中點在y軸上設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，F(xiàn)1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P與F2的橫坐標(biāo)相等，∴PF2⊥x軸，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故選：A．6．已知曲線，則下列說法正確的是（）A．把C1上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再把得到的曲線向右平移，得到曲線C2B．把C1上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再把得到的曲線向右平移，得到曲線C2C．把C1向右平移，再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到曲線C2D．把C1向右平移，再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到曲線C2[解析]解：根據(jù)曲線=sin（x﹣），把C1上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得y=sin（x）的圖象；再把得到的曲線向右平移，得到曲線C2：y=sin（x﹣）的圖象，故選：B．7．《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．芻甍：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w（網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈），那么該芻甍的體積為（）A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈[解析]解：三棱柱的底面是邊長為3，高為1的等腰三角形．三棱柱的高為2．∴三棱柱的體積V=．兩個相同的四棱錐合拼，可得底面邊長為2和3的矩形的四棱錐，其高為1．∴體積V==2．該芻甍的體積為：3+2=5．故選：B．8．曲線f（x）=x3﹣（x＞0）上一動點P（x0，f（x0））處的切線斜率的最小值為（）A． B．3 C．2 D．6[解析]解：f（x）=x3﹣（x＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+，∴在該曲線上點（x0，f（x0））處切線斜率k=3x02+，由函數(shù)的定義域知x0＞0，∴k≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)3x02=，即x02=時，等號成立．∴k的最小值為2．故選：C．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的直徑為（）A．13 B． C． D．[解析]解：因為直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，AB⊥AC，所以BC=5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R==13．故選：A．10．設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的取值范圍[m，n]恰好是函數(shù)y=2sinωx（ω＞0）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則ω的值為（）A． B． C． D．[解析]解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點D（﹣2，0）的斜率，由圖象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得A（﹣1，2），則DA的斜率kDA==2，由，解得B（﹣1，﹣2），則DB的斜率kDB==﹣2，則﹣2≤z≤2，目標(biāo)函數(shù)的取值范圍[﹣2，2]恰好是函數(shù)y=2sinωx（ω＞0）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，可得2ω=，解得ω=，故選：C．11．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（，2） C．（，） D．（1，）[解析]解：雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設(shè)過點F2與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯(lián)立，可得交點M（，﹣），∵點M在以線段F1F2為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．則e=＞2．∴雙曲線離心率的取值范圍是（2，+∞）．故選A．12．對于函數(shù)f（x）和g（x），設(shè)α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，則稱f（x）與g（x）互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=ex﹣1+x﹣2與g（x）=x2﹣ax﹣a+3互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C．[2，3] D．[2，4][解析]解：函數(shù)f（x）=ex﹣1+x﹣2的零點為x=1．設(shè)g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零點為β，若函數(shù)f（x）=ex﹣1+x﹣2與g（x）=x2﹣ax﹣a+3互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，根據(jù)零點關(guān)聯(lián)函數(shù)，則|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如圖．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必過點A（﹣1，4），故要使其零點在區(qū)間[0，2]上，則g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故選C．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.曲線與軸圍成的平面圖形面積為______________.[解析]214．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是丙．[解析]解：若甲是獲獎的歌手，則都說假話，不合題意．若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，不符合題意．若丁是獲獎的歌手，則甲、丁、丙都說假話，乙說真話，不符合題意．故答案為：丙．15．設(shè)l，m是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，則下列命題正確的是②．①若l⊥m，m⊥α，則l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，則l∥α或l?α③若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m相交④若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l?β[解析]解：①．若l⊥m，m⊥α，則l?α或l∥α，故①錯；②由面面垂直的性質(zhì)定理知，若l⊥γ，α⊥γ，則l∥α或l?α，故②對；③若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m相交，或l與m異面，故③錯；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l?β或l∥β或l?β，或l與β相交．故④錯．故答案為：②16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=ex（x＞0）的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設(shè)線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是（e+e﹣1）．[解析]解：設(shè)切點坐標(biāo)為（m，em）．∴該圖象在點P處的切線l的方程為y﹣em=em（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）em．過點P作l的垂線的切線方程為y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=em+me﹣m．∴線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t=[（2﹣m）em+me﹣m]．t'=[﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．當(dāng)m∈（0，1）時，t'＞0，當(dāng)m∈（1，+∞）時，t'＜0．∴當(dāng)m=1時t取最大值（e+e﹣1）．故答案為：（e+e﹣1）．三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，（I）求角A的大??；（II）若a=2，求的面積S的最大值．[解析]解：（I）已知，正弦定理化簡可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosA=1．即cosA=．∴A=．（II）∵a=2，A=．余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：b2+c2=4+bc．∴4+bc≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號．解得：bc≤2（2+）那么三角形面積S=bcsinA≤=．18．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn.解(1)因為2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，當(dāng)n＞1時，2Sn－1＝3n－1＋3，此時2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,3n－1，n＞1.))(2)因為anbn＝log3an，所以b1＝eq\f(1,3)，當(dāng)n＞1時，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝eq\f(1,3)；當(dāng)n＞1時，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq\f(1,3)＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，所以3Tn＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)，兩式相減，得2Tn＝eq\f(2,3)＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝eq\f(2,3)＋eq\f(1－31－n,1－3－1)－(n－1)×31－n＝eq\f(13,6)－eq\f(6n＋3,2×3n)，所以Tn＝eq\f(13,12)－eq\f(6n＋3,4×3n)，19．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中點．（1）求證：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大?。甗解析]（1）證明：法一、取AD的中點N，連接MN，NF，在DAB中，M是BD的中點，N是AD的中點，∴，又∵，∴MN∥EF且MN=EF．∴四邊形MNFE為平行四邊形，則EM∥FN，又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，故EM∥平面ADF．法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz．∵AB=2，EB=，∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F(xiàn)（0，1，），M（，0，0），，，，設(shè)平面ADF的一個法向量是．由，令y=3，得．又∵，∴，又EM?平面ADF，故EM∥平面ADF．（2）解：由（1）可知平面ADF的一個法向量是．，，設(shè)平面BFD的一個法向量是，由，令z=1，得，∴cos＜＞==，又二面角A﹣FD﹣B為銳角，故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小為．20．（12分）已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點k，過點k做圓C：（x﹣5）2+y2=9的兩條切線，切點為．（1）求拋物線E的方程；（2）若直線AB是講過定點Q（2，0）的一條直線，且與拋物線E交于A，B兩點，過定點Q作AB的垂線與拋物線交于G，D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．[解析]解：（1）根據(jù)題意，拋物線的E的方程為y2=2px（p＞0），則設(shè)MN與x軸交于點R，由圓的對稱性可知，．于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，所以|CK|=6，所以p=2．故拋物線E的方程為y2=4x．（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+2，設(shè)A=（x1，y1），B=（x2，y2），聯(lián)立得y2﹣4my﹣8=0，則y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴設(shè)G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，則四邊形AGBD的面積=令，則是關(guān)于μ的增函數(shù)，故Smin=48，當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時取得最小值48．21．（12分）已知函數(shù)，記F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求證：F（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有且僅有一個實根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有兩個不相等的實根x1，x2（x1＜x2），記F（x）在（1，+∞）內(nèi)的實根為x0．求證：．[解析]證明：（1），定義域為x∈（0，+∞），，當(dāng)x＞1時，F(xiàn)'（x）＞0，∴F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又，而F（x）在（1，+∞）上連續(xù)，根據(jù)零點存在定理可得：F（x）在區(qū)間（1，+∞）有且僅有一個實根．（2）當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=xlnx≤0，而，故此時有f（x）＜g（x），由（1）知，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，有x0為F（x）在（1，+∞）內(nèi)的實根，所以F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故當(dāng)1＜x＜x0時，F(xiàn)（x）＜0，即f（x）＜g（x）；當(dāng)x＞x0時，F(xiàn)（x）＞0，即f（x）＞g（x）．因而，當(dāng)1＜x＜x0時，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx＞0，因而m（x）在（1，x0）上遞增；當(dāng)x＞x0時，，因而m（x）在（x0，+∞）上遞減；若方程m（x）=c在（1，+∞）有兩不等實根x1，x2，則滿足x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）要證：，即證：x1+x2＞2x0，即證：x2＞2x0﹣x1＞