2023年高考和模擬題分項(xiàng)匯編數(shù)學(xué)（理）14坐標(biāo)系與參數(shù)方程（解析版）

專題14坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X=1+31,

1.[2023年高考北京卷理數(shù)】已知直線/的參數(shù)方程為《C為參數(shù)），則點(diǎn)（1,0）到直線/

y=2+4?

的距離是

1246

U

A.5-B.5-5-D.5-

【答案】D

【解析】由題意，可將直線/化為普通方程：F=號(hào)2,即4（x-l）-3（^-2）=0,即4x-3y+2=0,

∣4-0+2∣6

所以點(diǎn)（1,0）到直線/的距離d=故選D.

√42+325

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、

基本運(yùn)算能力的考查.

I-Z2

X~2'

2.【2023年高考全國(guó)I卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系X。），中，曲線C的參數(shù)方程為｛1+rC為參數(shù)）.以

y=~2

l+r

坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為

2pcosθ+?/?psin6+11=0.

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

【答案】(1)√+?-=K%≠-l);/的直角坐標(biāo)方程為2x+Gy+ll=();(2)幣.

4

l-r2,<Y?-24產(chǎn)

【解析】(1)因?yàn)橐?<一≤1,且f+上v=—t所以的直角坐標(biāo)方程為

2+--------7=1,C

1+/?1)?+t”戶）

x2+^=l(x≠-l).

Z的直角坐標(biāo)方程為2x+√iy+11=（）.

X=Cosa,

（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為《（α為參數(shù)，—τr<α<π）.

y=2sintz

I--Coba--------i-l1

八I〃〃“、?、，I2CoSa+2√3sιnα+l113)

。上的點(diǎn)到/的距禺為'----------=------------L=------`LJ——.

√T7√7

當(dāng)。=一三時(shí)，4cos(α-m)+11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到/距離的最小值為近.

【名師點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、求解橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最

值問(wèn)題.求解本題中的最值問(wèn)題通常采用參數(shù)方程來(lái)表示橢圓上的點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求

解問(wèn)題.

3.【2023年高考全國(guó)H卷理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)"30)3>°)在曲線Up=4sin6上,

直線/過(guò)點(diǎn)44,0)且與OM垂直，垂足為P.

TT

(1)當(dāng)q=§時(shí)，求00及/的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且「在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

【答案】(1)缶=2瓜/的極坐標(biāo)方程為PCOSle-0)=2；

(2)夕=4COS6,θe—.

_42_

【解析】(1)因?yàn)镸So,4)在C上，當(dāng)％=1時(shí)，A=4sin]=2百.

TT

由已知得IoPHoAICos^=2.

設(shè)Q(p,6)為/上除尸的任意一點(diǎn).在RtZ?OPQ中，夕cos/-1]=IOPl=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2,守在曲線0cos(e-g)=2上.

所以，/的極坐標(biāo)方程為夕CoS[。一]]=2.

(2)設(shè)P(p,8),在RtZ?OAP中，∣OP∣=∣Q4∣cos6=4cosa即0=4cos6.

因?yàn)槭诰€段OM上，卜LApJ_OM,故。的取值范圍是

42

τryr

所以，尸點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為夕=4COSO,Be—.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.

4.【2023年高考全國(guó)HI卷理數(shù)】如圖，在極坐標(biāo)系OX中，A(2,0),B(√2,-).C(√2,-),D(2,π),

44

弧BC，C。所在圓的圓心分別是(1,0)，(1?),(l,π),曲線是弧43,曲線“2是弧8C，

曲線加3是弧CD?

(1)分別寫出M∣,M2,M3的極坐標(biāo)方程；

(2)曲線A/由M∣,M2,M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且IOPI=J求尸的極坐標(biāo).

【答案】(1)的極坐標(biāo)方程為p=2cosθ(θ≤e≤Ej,AY2的極坐標(biāo)方程為

p=2sinθ[(<e≤弓)，Al,的極坐標(biāo)方程為夕=一2COSe[日?≤6≤π).

【解析】(I)由題設(shè)可得，弧A8,BC,CD所在圓的極坐標(biāo)方程分別為°=2cos6,0=2sin6,

夕=一2cos6.

所以M的極坐標(biāo)方程為P=2cose(θ≤""%的極坐標(biāo)方程為°=2Sin*"≤引，Mi

的極坐標(biāo)方程為p=一2COSe仔≤e≤兀).

(2)設(shè)P(P,6),由題設(shè)及(1)知

若0≤e≤工，則2COS6=G,解得。=工；

46

若二≤e≤棗，則2sin6=G,解得8=四或9="；

4433

若二≤e≤π,則—2CoSe=百，解得e=三.

46

綜上，產(chǎn)的極坐標(biāo)為"專）或?或（百,））或［后1）.

【名師點(diǎn)睛】此題考查/極坐標(biāo)中過(guò)極點(diǎn)的圓的方程，思考量不高，運(yùn)算量不大，屬于中檔題.

5.【2023年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)4（3,：）,8（夜看），直線/的方程為

「Sinle+；）=3.

（1）求4,B兩點(diǎn)間的距離；（2）求點(diǎn)B到直線/的距離.

【答案】⑴√5；（2）2.

TtJT

【解析】（1）設(shè)極點(diǎn)為O.在AOAB中，A（3,-）,β（√215），

由余弦定理，得AB=J3?+（JΣ）2-2x3x后XeOS（P—巴）=6.

V24

JT

（2）因?yàn)橹本€/的方程為夕sin（6+w）=3,

則直線/過(guò)點(diǎn)（3√2,-）,傾斜角為—.

24

又B（√I二），所以點(diǎn)8到直線/的距離為（3夜—后）、$也（或一2）=2.

242

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

6.【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2023屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知曲線G的參

X=5+V10COS6?、,公皿

數(shù)方程為｛I-（e為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

y=J10sin0

線C2的極坐標(biāo)方程為夕=4CoS8.

（1）求曲線G與曲線C2兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線/的極坐標(biāo)方程為QSin（夕+工）=2夜，直線/與V軸的交點(diǎn)為M，與曲線G相交于AB

兩點(diǎn)，求PI例+|阿的值.

【答案】（I）PCoSe=g；（2）9√2

【解析】（1）曲線Cl的普通方程為：（x—5）2+V=ιo,

曲線。2的普通方程為：x2+y2=4x,即（x—2尸+丁=4,

由兩圓心的距離〃=3e（JiO-2,√id+2）,所以兩圓相交，

所以兩方程相減可得交線為-6x+21=5,即X=°.

2

所以直線的極坐標(biāo)方程為pcos6>=I.

（2）直線/的直角坐標(biāo)方程：x+y=4,則與y軸的交點(diǎn)為M（0,4）,

X----1

直線/的參數(shù)方程為〈2帶入曲線G(X—5)2+y2=]0得*+98(+31=0.

aO

γ=4+τz

設(shè)AB兩點(diǎn)的參數(shù)為小t2,

所以4+,/也=31,所以4，L同號(hào).

所以4∣+∣"8∣=聞+N∣=∣4+∕2∣=96

【名師點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)，參數(shù)方程和普通方程的耳化和用參數(shù)方程計(jì)算長(zhǎng)度，是常見考題.

7.【山東省郛城一中等學(xué)校2023屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)

方程為["=6c°sα（α為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M

[y=Sina

的極坐標(biāo)為（2友,與），直線I的極坐標(biāo)方程為psin^-^+2√2=0.

（1）求直線/的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

（2）若N是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，P為線段MN的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸到直線/的距離的最大值.

【答案】（1）x-y-4=0,—+/=1；（2）逑.

32

【解析】（1）因?yàn)橹本€/的極坐標(biāo)方程為PSin6>-^j+2√2=0,

即QSinO一,COSe+4=0.由x=pcos∕?,y=∕sin仇

可得直線/的直角坐標(biāo)方程為χ-y-4=0.

γ=x/3COSOL

將曲線C的參數(shù)方程,消去參數(shù)小

y=sina

得曲線C的普通方程為匕+y2=?.

3

（2）設(shè)N（GCOSa，Sina）,α∈[0,2π）.

3ττ

點(diǎn)M的極坐標(biāo)（28，I），化為直角坐標(biāo)為（-2,2）.

則p[?^eosɑ-l,;Sina+1.

√31.A.r兀）,

a—

所以點(diǎn)尸到直線/的距離—2COSa—2Sina—6SinI3J÷67夜L，

d=----------產(chǎn)-----=-----P=---≤---

√2√22

所以當(dāng)α=2時(shí)，點(diǎn)M到直線/的距離的最大值為述.

62

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考

查點(diǎn)到直線的距離的最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

8.【河南省周口市2023-2023學(xué)年度高三年級(jí)（上）期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系x0y中，直線/的

[〃6

X=4H-----1,

參數(shù)方程為《；（/為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C

12

的極坐標(biāo)方程為p2（3+sin?。）=12.

（1）求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程；

?pp?Ip?l

（2）若直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且設(shè)定點(diǎn)P（2,l）,求^—+~的值.

IPAl附

【答案】（1）/普通方程為x—y—1=0,C直角坐標(biāo)方程為工+匕=1；（2）—.

-437

【解析】（1）由直線/的參數(shù)方程消去f,得普通方程為x—y—1=0.

p2(3+sin/)=12等價(jià)于3p2+p2sin2^=12,

?>2=x2+y2,PSine=y代入上式，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為3(x?+丁)+>2，

_√2

X=2oH-----Λ

(2)點(diǎn)P(2,D在直線x-y-l=O上，所以直線/的參數(shù)方程可以寫為12。為參數(shù))，

1憶

y=1+----1

Γ2

22

將上式代入土+上=1,得7/+2θ"+8=θ.

43

設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為％,J，則4+G=—當(dāng)?，▼2=g,

舊“.』/，附」PAF+∣PB[_(附+∣PB∣>2∣PAIIP叫(同+聞)2-2帥2|

陷陷?PA??PB?陽(yáng)陷k.∣k2∣

(20√2.2?8

-x

_l^?+Λl^2∣r∣√2∣_77_86

==I=F

7

【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線的參數(shù)方程，考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握

直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.

9.【河南省鄭州市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的

Jr

正半軸為極軸.已知點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4,—).若直線/過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為

2

圓C以M為圓心、4為半徑.

3

(1)求直線/的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)試判定直線/和圓C的位置關(guān)系.

,1

x=l+-Z

2

【答案】(1)4LC為參數(shù))，夕=8sin6;(2)直線/與圓C相離.

尸―5+g

U2

π1

x=1+cos—√x=l1+-Z

2為參數(shù))，

【解析】（1）直線/的參數(shù)方程.3n.(f

L.πy=-5+^t

y=-5+sin—√

32

M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0,4）,圓C的半徑為4,

X=PCOSe

.?.圓C的方程為?√+(y-4)2=16,將<代入,

y=夕Sine

得圓C的極坐標(biāo)方程為P2COS2e+(夕sin6—4)2=16,即2=8sin6?；

（2）直線/的普通方程為JJX-y-5-0=0,

1-4-5-√,3∣9+6

圓心M到/的距離為d=J----------L=>4,

22

.?.直線/與圓C相離.

【名師點(diǎn)睛】主要是考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，以及運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

夜

X=m-?-----1

2

10?【全國(guó)I卷2023屆高三五省優(yōu)創(chuàng)名校聯(lián)考數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系XOy中，直線/的參數(shù)方程為

F

C為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓C的極坐標(biāo)方程為

p2cos2^+3p2sin2^=48,其左焦點(diǎn)F在直線/上.

（1）若直線/與橢圓C交于AB兩點(diǎn),求∣E4∣+∣EB∣的值;

（2）求橢圓C的內(nèi)接矩形面積的最大值.

【答案】（1）4百；（2）32√3.

【解析】（1）將＜"'COS"代入"CoS2，+3/sin2g=48,

y=/7sin

22

得x2+3y2=48,即三+二=1,

4816

因?yàn)閏2=48-16=32,所以尸的坐標(biāo)為(-4Λ∕2,0)?

乂因?yàn)槭谥本€/匕所以〃2=-4五.

X--4y∕2-?———t

把直線/的參數(shù)方程IL2代入/+3)2=48,

√2

y=——tf

I2

化筒得「一4/-8=0,所以外+/2=4,/?2=—8,

2

所以∣E4∣+忻卻=,-2∣=y∣^+t2)-4tit2=√16+4×8=4√3.

（2）由橢圓C的方程工+匕=1,可設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4>萬(wàn)CoSe，

4816

TT

4sin0）（0<6<—），

2

所以內(nèi)接矩形的面積S=??/?COS-8sin=3273sinlθ,

當(dāng)6=四時(shí)，面積S取得最大值32√3.

4

【名師點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式（x=χ7cos0,而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直

y-夕Sine

（222

p=x+y

角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式1v,后者也可以把極坐標(biāo)方程變形，盡量產(chǎn)生。2,PCOS8,

tan-

psin6以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，我們可以用一個(gè)參數(shù)6來(lái)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),

從而利用一元函數(shù)求與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題.

11.【河北衡水金卷2023屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為

X=-1+，COSa,

<（，為參數(shù)，0<αV7τ）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，尢軸正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度

γ=l+Zsina

?4

單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為22=亡f

TT

（1）當(dāng)α=上時(shí)，寫出直線/的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

6

（2）已知點(diǎn)尸（一1,1）,設(shè)直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，試確定IpAHP目的取值范圍.

22

【答案】(1)x-√3y+l+√3=0,-+?=1:⑵團(tuán)

42

【解析】（1）當(dāng)α=工時(shí)，直線/的參數(shù)方程為

6

.兀

x=-l+rcos-,X——1H----1,

*62

.πI

y=i1+Zsιn-y=?1+-t

U6

消去參數(shù)，得X-石y+l+6=0?

由曲線C的極坐標(biāo)方程為P1=—―，得p2+（psin0）-=4,

1+sin6

22

將V+y2=夕2,及y=psin。代入得￠+2/=4,即?→]=1;

（2）由直線/的參數(shù)方程為1.（1為參數(shù)，（）＜αv兀），

y=l+∕sina

可知直線/是過(guò)點(diǎn)。（-1,1）且傾斜角為。的直線，

22

又由（1）知曲線C為橢圓三+二=1,所以易知點(diǎn)尸（-1,1）在橢圓。內(nèi)，

42

將尸=T+'c°sα,代入LJ1中，整理得

?=l+fsinσ42

（l+si∏2α）/+2（2Sina—COSQf）/-1=O,

設(shè)A,8兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為4，t2,

則4一「，

1+sma

所以∣P4∣?∣PBg他I=』,

因?yàn)?＜α＜兀，所以si/ɑe（θ,l],

所以“Ml=I仙卜?r[W,

所以IPAHPM的取值范圍為

【名師點(diǎn)睛】利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問(wèn)題.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（XO,沖），傾斜角為α的直線

/的參數(shù)方程為4°（/為參數(shù)）.若4,B為“線/上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為G3,

y=%+/sin。

線段AB的中點(diǎn)為“，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為O，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：（1）J=甘殳；（2）

IPM=M=空；⑶|M=卜2-?、菼叫期=也卜

12.【河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系XOy中，以。為

極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2sin9+2αcosaa>0）；直

[-2+與

線/的參數(shù)方程為<L1為參數(shù)）.直線/與曲線。分別交于M,N兩點(diǎn).

√2f

y=——t

I2

（1）寫出曲線。的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程；

（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2,π）,?PM?+?PN?=5s∕2,求a的值.

【答案】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（x—ap+（y—1）2=片+1,直線/的普通方程為y=χ+2.

（2）a=2.

【解析】（1）由∕9=2sine+2αcose（Q>0）,得夕？=2PSine+2。PCoSe（Q>0）,

所以曲線。的直角坐標(biāo)方程為f+y2=2y+2αχ,

即（x—ɑpf（p-l）?=。？+1,直線/的普通方程為y=χ+2.

[_?√2

（2）將直線/的參數(shù)方程IL2代入χ2+>2=2y+20r并化簡(jiǎn)、整理，

√2f''

y=——t

[2

得產(chǎn)一卜J5+缶/+4α+4=0.因?yàn)橹本€/與曲線C交于M,N兩點(diǎn).

所以A=C√5+√Σa『一4（44+4）>0,解得αwl.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得+芍=30+0α,tit2=4<∕+4.

因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（一2,0）,在直線/上.所以IPM+1PM=/+M=30+eɑ=5j1,

解得〃=2,此時(shí)滿足α>0.且Q≠1,故α=2.

【名師點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式（如cos2α+si∏2α=l等三角恒等式）消去參

數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式

x"，+y2=P-2

X-PCoSe

V等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問(wèn)題?般我們可以先把曲

y=QsinO—=tang

線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問(wèn)題.

V—?+t

13.【河南省豫南九校（中原名校）2023屆高三下學(xué)期質(zhì)量考評(píng)八數(shù)學(xué)】己知直線/的參數(shù)方程為1—

y=3+2t

（，為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為PSin-θ-16cos。=0,直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（l,3）.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）求I+ICZ的值.

陷?PB?

【答案】（1）y=2x+1,—16x；（2）--------.

X=?+f

【解析】（1）直線/的參數(shù)方程為4—G為參數(shù)），

y=3+2t

消去參數(shù)，可得直線/的普通方程y=2x+l,

曲線C的極坐標(biāo)方程為一Sin2。-16CoSe=0,即p2sin?-16pcosO=0，

曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=16X,

1√5

X=IH-----1

（2）直線的參數(shù)方程改寫為I5L

C為參數(shù)），

?2√5

y=3+-----1

I5

4限尺r-35

代入y2=i6x,g---∣-r-7=0,t+t=y∣5,tt=

i2i2T

11_t-t8√10

------I--------i-----2------------

附?PB?tlt2-----35

X=PCOSθ

【名師點(diǎn)睛】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式＜y=psinj,利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)

X2+y2=p2

的相互轉(zhuǎn)化.

14.【河南省開封市2023屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程是

"=2+2Cos°(0為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，X軸的非

〈G為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程是<

y=t-?-?y=2si∏0

負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線/和曲線C的極坐標(biāo)方程；

TTTT

(2)已知射線。P：4=α(其中0<α<])與曲線。交于。，P兩點(diǎn),射線0。：名=。+]與直

線/交于0點(diǎn)，若AOPQ的面積為1,求α的值和弦長(zhǎng)IoH.

【答案】(I)QeoSe-QSine+1=0,p=4cos6:(2)α=-^?,∣0∕,∣=2?∣2.

【解析】(1)直線/的普通方程為x—y+l=O,極坐標(biāo)方程為PCOSe—psinO+l=O,

曲線C的普通方程為(X-2)2+V=4,極坐標(biāo)方程為夕=4COS6.

(2)依題意，：ɑw(θ,5),.'?∣OP∣=4cosa,

]

。。

II=-.-Z--兀、---Z--兀、Sina+cosα

sin(α+J-COS(α+)

22

S^=^\OP\\OQ\=2cθs°r

e2COSa+smα

Λtana=Lae(θ,?),'.a=^,?0P?=141.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)

方程之間的轉(zhuǎn)換，：角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

15.【四川省成都市第七中學(xué)2023屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線。的參數(shù)標(biāo)

fx=e,+e^,

方程為4(其中t為參數(shù))，在以。為極點(diǎn)、X軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系(兩種坐標(biāo)

???e*-e^,

系的單位長(zhǎng)度相同)中，直線/的極坐標(biāo)方程為0sin(g-e]=JΣ?

(1)求曲線。的極坐標(biāo)方程；

(2)求直線/與曲線C的公共點(diǎn)尸的極坐標(biāo).

【答案】(1)p2cos26>=4∣-I(2)I2√2,-I

【解析】（I）消去參數(shù)小得曲線C的直角坐標(biāo)方程爐―y2=4（χ≥2）.

將X=PCOSay=χ?Sine代入x?—V=4,得夕？（CoS淚一sin?=4.

所以曲線C的極坐標(biāo)方程為p2cos2^=4（一：<6<?）.

（2）將/與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去夕得4sin2（g—e]=2cos26?

展開得3cos2^一2λ∕3sin6cos^+sin2^=2（cos?6-sin.

因?yàn)镃OSe≠0,所以3ta∏2e-26tane+l=O.

于是方程的解為tan。=立，即9=女.

36

代入PSin—6）=√5可得p=2√5,所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為[2√2,^.

【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線的極坐標(biāo)方程與曲線極坐標(biāo)方程聯(lián)

立求交點(diǎn)的問(wèn)題，考查計(jì)算能力.

16.【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷）數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系Xoy

x-2t

中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線/的參數(shù)方程為｛C（f

j=2+f

為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為0cos2e=8sin6?

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指出該曲線是什么曲線；

（2）若直線/與曲線C的交點(diǎn)分別為M,N,求IMN∣?

【答案】（1）曲線C方程為f=8>，表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,