數(shù)學(xué)史小故事

數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)介——兼中外數(shù)學(xué)家的故事——福安二中：馮恒春一、數(shù)的發(fā)展史正整數(shù)〔零，負(fù)整數(shù)〕整數(shù)〔分?jǐn)?shù)〕有理數(shù)〔無理熟〕實(shí)數(shù)〔虛數(shù)〕復(fù)數(shù)正整數(shù)的形成你是否看過雜技團(tuán)演出中"小狗做算術(shù)"這個(gè)節(jié)目？臺(tái)下觀眾出一道10以內(nèi)的加法題，比方"2+5"，由演員寫到黑板上。小狗看到后就會(huì)"汪汪汪……"叫7聲。臺(tái)下觀眾會(huì)報(bào)以熱烈的掌聲，對(duì)這只狗中的"數(shù)學(xué)尖子"表示由衷的贊許，并常常驚嘆和疑心狗怎么會(huì)這么聰明？因?yàn)樵谝话闳丝磥砉肥遣粫?huì)有數(shù)量概念的。人類最初也完全沒有數(shù)量的概念。但人類興旺的大腦對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)已經(jīng)到達(dá)更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比方捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結(jié)繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國(guó)古書《易經(jīng)》中有"結(jié)繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來計(jì)算天數(shù)。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的方法。這些方法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號(hào)。數(shù)的概念最初不管在哪個(gè)國(guó)家地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的正整數(shù)開始的，但是記數(shù)的符號(hào)卻大小相同。古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步，現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用。實(shí)際上，羅馬數(shù)字的符號(hào)一共只有7個(gè)：I〔代表1〕、V〔代表5〕、X〔代表10〕、L〔代表50〕、C代表100〕、D〔代表500〕、M〔代表1,000〕。這7個(gè)符號(hào)位置上不管怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照以下規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù)：

1．重復(fù)次數(shù)：一個(gè)羅馬數(shù)字符號(hào)重復(fù)幾次，就表示這個(gè)數(shù)的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。

2．右加左減：一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字加小數(shù)字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。

3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示這個(gè)數(shù)字的一千倍。如：""表示"15,000"，""表示"165,000"。我國(guó)古代也很重視記數(shù)符號(hào)，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號(hào)，不過難寫難認(rèn)，后人沒有沿用。到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，生產(chǎn)迅速開展，適應(yīng)這一需要，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法--籌算?；I算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長(zhǎng)短順序擺好，就可用來記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號(hào)了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字。從算籌數(shù)碼中沒有"10"這個(gè)數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制。9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位。同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的。因?yàn)樵谑澜绲钠渌胤秸嬲褂檬M(jìn)位制時(shí)已到了公元6世紀(jì)末。但籌算數(shù)碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比方"6708"，就可以表示為"┴╥"。數(shù)字中沒有"零"，是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的。所以后來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯(cuò)，這或許與"零"的出現(xiàn)有關(guān)。不過多數(shù)人認(rèn)為，"0"這一數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)造應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點(diǎn)〔·〕表示零，后來逐漸變成了"0"。零、分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)說起"0"的出現(xiàn)，應(yīng)該指出，我國(guó)古代文字中，"零"字出現(xiàn)很早。不過那時(shí)它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個(gè)零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對(duì)應(yīng)，"零"也就具有了"0"的含義。如果你細(xì)心觀察的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有"0"。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí)，"0"已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶〔zǎn〕刑，使他再也不能握筆寫字。但"0"的出現(xiàn)，誰也阻擋不住?，F(xiàn)在，"0"已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號(hào)。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫，并不是說沒有氣溫；"0"是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)〔0除外〕的0次冪等于1；0！=1〔零的階乘等于1〕。除了十進(jìn)制以外，在數(shù)學(xué)萌芽的早期，還出現(xiàn)過五進(jìn)制、二進(jìn)制、三進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等多種數(shù)字進(jìn)制法。在長(zhǎng)期實(shí)際生活的應(yīng)用中，十進(jìn)制最終占了上風(fēng)。現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字。實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的。后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去，又把這一簡(jiǎn)便易寫的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。數(shù)的概念、數(shù)碼的寫法和十進(jìn)制的形成都是人類長(zhǎng)期實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果。隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅能表示正整數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的。如果分配獵獲物時(shí)，5個(gè)人分4件東西，每個(gè)人人該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國(guó)對(duì)分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年！正整數(shù)、分?jǐn)?shù)和零，通稱為算術(shù)數(shù)。正整數(shù)也稱為正整數(shù)。隨著社會(huì)的開展，人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比方增加和減少、前進(jìn)和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零，統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。有了這些數(shù)字表示法，人們計(jì)算起來感到方便多了。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)但是，在數(shù)字的開展過程中，一件不愉快的事發(fā)生了。讓我們回到大經(jīng)貿(mào)部2500年前的希臘，那里有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，是一個(gè)研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團(tuán)體。他們認(rèn)為"數(shù)"是萬物的根源，支配整個(gè)自然界和人類社會(huì)。因此世間一切事物都可歸結(jié)為數(shù)或數(shù)的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，使"數(shù)"不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，所以他們的信仰沒有動(dòng)搖。但是學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它。如果設(shè)這個(gè)數(shù)為X，既然，推導(dǎo)的結(jié)果即。他畫了一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，設(shè)對(duì)角線為x，根據(jù)勾股定理，可見邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度即是所要找的那個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)肯定是存在的?？伤嵌嗌伲坑衷撛鯓颖硎舅?？希帕索斯等人百思不得其解，最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見過的新數(shù)。這個(gè)新數(shù)的出現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到震驚，動(dòng)搖了他們哲學(xué)思想的核心。為了保持支撐世界的數(shù)學(xué)大廈不要坍塌，他們規(guī)定對(duì)新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴(yán)守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個(gè)秘密泄露了出去。據(jù)說他后來被扔進(jìn)大海喂了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們后來又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù)，如圓周率就是最重要的一個(gè)。人們把它們寫成等形式，稱它們?yōu)闊o理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。每次數(shù)系的擴(kuò)充、尤其是無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、建立了實(shí)數(shù)理論，使數(shù)學(xué)高速開展、這時(shí)期產(chǎn)生了許多數(shù)學(xué)分支。數(shù)學(xué)的開展史實(shí)際上是數(shù)的開展歷史。虛數(shù)的產(chǎn)生在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)各種數(shù)的研究使數(shù)學(xué)理論到達(dá)了相當(dāng)高深和豐富的程度。這時(shí)人類的歷史已進(jìn)入19世紀(jì)。許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)成就已經(jīng)登峰造極，數(shù)字的形式也不會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)了。但人們?cè)诮夥匠獭踩绶匠淘谥袩o解、但在中有解，方程在中有無解、但在中有解，方程在中有無解、但在中有解，方程在中有無解、在什么數(shù)集中有解呢？〕的時(shí)候常常需要開平方如果被開方數(shù)負(fù)數(shù)，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數(shù)學(xué)運(yùn)算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號(hào)"ｉ"表示"-1"的平方根，即，虛數(shù)就這樣誕生了。"ｉ"成了虛數(shù)的單位。后人將實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，寫成ａ＋ｂｉ的形式〔a、b均為實(shí)數(shù)〕，這就是復(fù)數(shù)。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們?cè)趯?shí)際生活中找不到用虛數(shù)和復(fù)數(shù)表示的量，所以虛數(shù)總讓人感到虛無縹緲。隨著科學(xué)的開展，虛數(shù)現(xiàn)在在水力學(xué)、地圖學(xué)和航空學(xué)上已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用，在掌握和會(huì)使用虛數(shù)的科學(xué)家眼中，虛數(shù)一點(diǎn)也不"虛"了。1797年高斯給出代數(shù)根本定理的第一個(gè)證明〔后又給出了四個(gè)不同的證明〕。即：任何一個(gè)系數(shù)為復(fù)數(shù)的一個(gè)變量的代數(shù)方程都至少有一個(gè)根。從它可以推出：“一個(gè)n次代數(shù)方程必有且僅有n個(gè)根”，由此定理的證明，告訴我們無須把復(fù)數(shù)域擴(kuò)充了，復(fù)數(shù)域是代數(shù)封閉和的。數(shù)的概念開展到虛和復(fù)數(shù)以后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了，數(shù)學(xué)家族的成員已經(jīng)都到齊了?？墒?843年10月16日，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了"四元數(shù)"的概念。所謂四元數(shù)，就是一種形如的數(shù)。它是由一個(gè)標(biāo)量〔實(shí)數(shù)〕和一個(gè)向量〔其中x、y、z為實(shí)數(shù)〕組成的。四元數(shù)的數(shù)論、群論、量子理論以及相對(duì)論等方面有廣泛的應(yīng)用。與此同時(shí)，人們還開展了對(duì)"多元數(shù)"理論的研究。多元數(shù)已超出了復(fù)數(shù)的范疇，人們稱其為超復(fù)數(shù)。由于科學(xué)技術(shù)開展的需要，向量、張量、矩陣、群、環(huán)、域等概念不斷產(chǎn)生，把數(shù)學(xué)研究推向新的頂峰。這些概念也都應(yīng)列入數(shù)字計(jì)算的范疇，但假設(shè)歸入超復(fù)數(shù)中不太適宜，所以，人們將復(fù)數(shù)和超復(fù)數(shù)稱為狹義數(shù)，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數(shù)。盡管人們對(duì)數(shù)的歸類法還有某些分歧，但在成認(rèn)數(shù)的概念還會(huì)不斷開展這一點(diǎn)上意見是一致的。到目前為止，數(shù)的家庭已開展得十分龐大。二、π的歷史圓的周長(zhǎng)與直徑之比是一個(gè)常數(shù)，人們稱之為圓周率。通常用希臘字母π來表示。1706年，英國(guó)人瓊斯首次創(chuàng)用π代表圓周率。他的符號(hào)并未立刻被采用，以后，歐拉予以提倡，才漸漸推廣開來?，F(xiàn)在π已成為圓周率的專用符號(hào)，π的研究，在一定程度上反映這個(gè)地區(qū)或時(shí)代的數(shù)學(xué)水平，它的歷史是饒有趣味的。在古代，實(shí)際上長(zhǎng)期使用π＝３這個(gè)數(shù)值，巴比倫、印度、中國(guó)都是如此。到公元前２世紀(jì)，中國(guó)的《周髀算經(jīng)》里已有周三徑一的記載。東漢的數(shù)學(xué)家又將π值改為〔約為3.16〕。直正使圓周率計(jì)算建立在科學(xué)的根底上，首先應(yīng)歸功于阿基米德。他專門寫了一篇論文《圓的度量》，用幾何方法證明了圓周率與圓直徑之比小于22/7而大于223/71。這是第一次在科學(xué)中創(chuàng)用上、下界來確定近似值。第一次用正確方法計(jì)算π值的，是魏晉時(shí)期的劉徽，在公元263年，他首創(chuàng)了用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法，算得π值為3.14。我國(guó)稱這種方法為割圓術(shù)。直到1200年后，西方人才找到了類似的方法。后人為紀(jì)念劉徽的奉獻(xiàn)，將3.14稱為徽率。公元460年，南朝的祖沖之利用劉徽的割圓術(shù)，把π值算到小點(diǎn)后第七位3.1415926，這個(gè)具有七位小數(shù)的圓周率在當(dāng)時(shí)是世界首次。祖沖之還找到了兩個(gè)分?jǐn)?shù)：22/7和355/113，用分?jǐn)?shù)來代替π，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算，這種思想比西方也早一千多年。許多數(shù)學(xué)家都喜歡將他們的生平刻在墓碑上。丟番圖的墓志銘:“丟番圖的一生，童年占，又過了一生的才長(zhǎng)胡子，又過一生的他結(jié)了婚，5年后生一子，子只活了其父年齡之一半，子死后四年丟番圖亦離開人世?！弊x者只要算一算就知道丟番圖活了八十四歲。瑞士數(shù)學(xué)家雅各〔貝努里家族〕對(duì)對(duì)數(shù)螺線有深入的研究，他在欣賞這曲線巧妙之余，仿效阿基米德，在遺囑中說要將對(duì)數(shù)螺線刻在墓碑上，以作永久紀(jì)念?？上У氖牵?705年8月16日逝世后，可能是石匠功夫不好，墓碑上的螺線卻象一根阿基米德螺線。之后，西方數(shù)學(xué)家計(jì)算π的工作，有了飛速的進(jìn)展。1948年1月，費(fèi)格森與雷思奇合作，算出808位小數(shù)的π值。電子計(jì)算機(jī)問世后，π的人工計(jì)算宣告結(jié)束。20世紀(jì)50年代，人們借助計(jì)算機(jī)算得了10萬位小數(shù)的π，編寫了一本書名叫《π》的書、整本書都是數(shù)字、成為世上最枯燥無味的一本書，70年代又突破這個(gè)記錄，算到了150萬位。到90年代初，用新的計(jì)算方法，算到的π值已到4.8億位。π的計(jì)算經(jīng)歷了幾千年的歷史，它的每一次重大進(jìn)步，都標(biāo)志著技術(shù)和算法的革新。三、數(shù)學(xué)發(fā)展過程的三次危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)──無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)大約公元前５世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大奉獻(xiàn)是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比〔不可通約〕的情形，如直角邊長(zhǎng)均為１的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的"危機(jī)"，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。到了公元前370年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第５卷中。歐多帕克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋根本一致。今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這說明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動(dòng)搖，而幾何學(xué)的身份升高了。危機(jī)也說明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！第二次數(shù)學(xué)危機(jī)──無窮小是零嗎？18世紀(jì)，微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大局部數(shù)學(xué)家對(duì)這一理論的可靠性是毫不疑心的。1734年，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的根底--無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量０，應(yīng)用二項(xiàng)式〔x+0〕n，從中減去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。"他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒唐，"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想確實(shí)是不嚴(yán)密的，直觀的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管根底的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性，符號(hào)的不嚴(yán)格使用，不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比擬關(guān)注于微積分的嚴(yán)格根底。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，根本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的根底。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)──悖論的產(chǎn)生數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)，是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，到現(xiàn)在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的根底，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)根本結(jié)構(gòu)的有效性的疑心。1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個(gè)悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的，它涉及到某鄉(xiāng)村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原那么：“他給村里所有不給自己刮臉的人刮臉”。當(dāng)人們?cè)噲D答復(fù)以下疑問時(shí)，就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)："理發(fā)師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那么他按原那么就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原那么。羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的根本法那么》第２卷末尾寫道："一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的根底垮掉了，當(dāng)本書等待印出的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地"。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。成認(rèn)無窮集合，成認(rèn)無窮基數(shù)，就好似一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)確實(shí)定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡(jiǎn)直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次危機(jī)外表上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。四、哥德巴赫猜想(數(shù)論)彼得堡科學(xué)院院士哥德巴赫正在研究把任何數(shù)表示成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的和的問題。哥德巴赫發(fā)現(xiàn)，總可以把任何一個(gè)數(shù)分解成不超過三個(gè)質(zhì)數(shù)和。但他不能證明這個(gè)命題，甚至找不到證明它的方法，于是，他寫信全告訴歐拉這件事。在1742年6月7日的信中，哥德巴赫告訴歐拉，他想冒險(xiǎn)發(fā)表下面的假定；“大于5的任何數(shù)(正整數(shù))，是三個(gè)質(zhì)數(shù)的和”。歐拉回信說：他認(rèn)為“每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”這論斷是一個(gè)完全正確的定理。顯然，哥德巴赫的斷語就是歐拉這論斷的簡(jiǎn)單推論〔因?yàn)椋浩鏀?shù)=3+偶數(shù)〕。然而，歐拉也不能證明它。這就是著名的哥德巴赫猜測(cè)。關(guān)于哥德巴赫問題，不管是提出問題的哥德巴赫本人還是大數(shù)學(xué)家歐位都不能做出什么結(jié)果。上世紀(jì)一個(gè)超群數(shù)學(xué)家康托耐心地試驗(yàn)了從2到1000的所有偶數(shù)，說明在這范圍內(nèi)，哥德巴赫斷言是成立的，但這能說明什么呢？此后，多少著名的學(xué)者都為哥德巴赫問題花費(fèi)了無數(shù)的精力，力圖開辟解決這一問題的道路，或者將它與數(shù)學(xué)的其他問題聯(lián)系起來。但要嚴(yán)格證明它，卻毫無結(jié)果，1912年，數(shù)論大師蘭道在國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上說：這個(gè)問題要用近代數(shù)學(xué)工具來解決是絕對(duì)不可能的。到二十年代初期，問題才有了一點(diǎn)進(jìn)展，挪威數(shù)學(xué)家布朗用古老的篩法證明了：每一個(gè)偶數(shù)是九個(gè)互數(shù)因子之和加九個(gè)素?cái)?shù)因子之積，簡(jiǎn)記為〔9+9〕，延自這一派的方法，1924年拉德馬哈爾證明了〔7+7〕，1932年愛斯斯?fàn)柭C明了〔6+6〕；1938年，布赫斯塔勃先后證明了〔5+5〕和〔4+4〕；1956年維諾格拉多夫證明的〔3+3〕；1958年我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了〔2+3〕。另一證明方法是1948年由匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩易開辟的，他證明了每一個(gè)大偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)“素因子示超過六個(gè)的”數(shù)之和，簡(jiǎn)記為〔1+6〕，1962年，山東大學(xué)教授潘承洞證明了〔1+5〕，同年，他又和王元證明了〔1+4〕；三年后1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和龐皮艾黎都證明了〔1+3〕。陳景潤(rùn)繼承了前人的結(jié)果，吸取了前人的智慧，施展了他堅(jiān)韌不拔的毅力，頑強(qiáng)地向哥德巴赫問題挺進(jìn)。為了能最快閱讀最新的國(guó)久的有關(guān)資料，了解外國(guó)的新結(jié)果，他在掌握英、俄兩門外語根底上，又自學(xué)了德、法、日、意和西班牙語。同時(shí)在數(shù)論方面接連攻下了三十多道難題中的六、七題，為解決哥德巴赫問題做出了必不可少的鍛煉和準(zhǔn)備。例如他在圓內(nèi)整點(diǎn)問題，球內(nèi)整點(diǎn)問題，華林問題，三維除數(shù)問題上，都改良了中外數(shù)學(xué)家的結(jié)果。經(jīng)過這一艱苦的歷程，1966年，陳景潤(rùn)在《科學(xué)通報(bào)》第一十七期上發(fā)表了他已經(jīng)證明〔1+2〕的成果。已故的著名數(shù)學(xué)家閔嗣鶴教授審核了二百多頁論文手稿，確認(rèn)其證明無誤，但建議他加以簡(jiǎn)化，此后陳景泣不分白天黑夜，一筆又一筆推演了六麻袋稿子，經(jīng)過七易寒暑，終于寫出了著名的論文：“大偶數(shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過一個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”，精心論證了〔1+2〕，其中定理，被英國(guó)數(shù)學(xué)家哈勃斯丹和西德數(shù)學(xué)家李希特譽(yù)為“陳氏定理”，是“篩法”的“光芒的頂點(diǎn)”，并立即補(bǔ)入即將刊印出版的他們合著的《篩法》一書中，英國(guó)數(shù)學(xué)家贊揚(yáng)陳景潤(rùn)說“你移動(dòng)了群山”。陳景潤(rùn)為祖國(guó)增添了榮譽(yù)，他的突破為推動(dòng)學(xué)林繁榮做出了極大的奉獻(xiàn)。1978年他出席了第一屆全國(guó)科學(xué)大會(huì)。先后中選為第四屆、第五屆人大代表為會(huì)議主席團(tuán)成員。1979年初，他和著名的拓?fù)鋵W(xué)家吳文俊夫婦應(yīng)美國(guó)普林斯頓高級(jí)研究所所長(zhǎng)伍爾夫教授的邀請(qǐng)，前往講學(xué)和作短期的研究工作。在那里，陳景潤(rùn)又利用有利條件，完成子論文《算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)》，把最小素?cái)?shù)從原來的80推進(jìn)到16，這是當(dāng)前世界上最新的成果，受到了國(guó)際數(shù)學(xué)界的好評(píng)。五、數(shù)學(xué)分支

數(shù)學(xué)從產(chǎn)生、開展到現(xiàn)在，已成為分支眾多的學(xué)科了，沒有統(tǒng)一的分法、也沒有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。大致可分為：算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理學(xué)等25門學(xué)科?，F(xiàn)將與中學(xué)數(shù)學(xué)教材有關(guān)的學(xué)科作簡(jiǎn)要的介紹。1.最早的數(shù)學(xué)——算術(shù)：現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容，自然數(shù)和分?jǐn)?shù)具有不同的性質(zhì)，數(shù)和數(shù)之間也有不同的關(guān)系，為了計(jì)算這些數(shù),就產(chǎn)生了加、減、乘、除的方法，這四種方法就是四那么運(yùn)算。把數(shù)和數(shù)的性質(zhì)、數(shù)和數(shù)之間的四那么運(yùn)算在應(yīng)用過程中的經(jīng)驗(yàn)累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數(shù)學(xué)——算術(shù)。2．初等代數(shù)：初等代數(shù)是算術(shù)的繼續(xù)和推廣，初等代數(shù)研究的對(duì)象是代數(shù)式的運(yùn)算和方組成初等代數(shù)的根本內(nèi)容就是：

三種數(shù)——有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)

三種式——整式、分式、根式

中心內(nèi)容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程組。

初等代數(shù)的內(nèi)容大體上相當(dāng)于現(xiàn)代中學(xué)設(shè)置的代數(shù)課程的內(nèi)容，但又不完全相同。比方，嚴(yán)格的說，數(shù)的概念、排列和組合應(yīng)歸入算術(shù)的內(nèi)容；函數(shù)是分析數(shù)學(xué)的內(nèi)容；不等式的解法有點(diǎn)像解方程的方法，但不等式作為一種估算數(shù)值的方法，本質(zhì)上是屬于分析數(shù)學(xué)的范圍；坐標(biāo)法是研究解析幾何的……。這些都只是歷史上形成的一種編排方法。初等代數(shù)是算術(shù)的繼續(xù)和推廣，初等代數(shù)研究的對(duì)象是代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解。代數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)是只進(jìn)行有限次的運(yùn)算。全部初等代數(shù)總起來有十條規(guī)那么。這是學(xué)習(xí)初等代數(shù)需要理解并掌握的要點(diǎn)。

這十條規(guī)那么是：

五條根本運(yùn)算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；

兩條等式根本性質(zhì):等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零的數(shù)，等式不變；

三條指數(shù)律：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)想乘；積的乘方等于乘方的積。

初等代數(shù)學(xué)進(jìn)一步的向兩個(gè)方面開展，一方面是研究未知數(shù)更多的一次方程組；另一方面是研究未知數(shù)次數(shù)更高的高次方程。這時(shí)候，代數(shù)學(xué)已由初等代數(shù)向著高等代數(shù)的方向開展了。關(guān)于方程的解的歷史：人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關(guān)于三次方程，我國(guó)在公元七世紀(jì)，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學(xué)家王孝通所編的《緝古算經(jīng)》就有表達(dá)。到了十三世紀(jì)，宋代數(shù)學(xué)家秦九韶再他所著的《數(shù)書九章》這部書的“正負(fù)開方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時(shí)候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世紀(jì)初的文藝復(fù)興時(shí)期，才由有意大利的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式——卡當(dāng)公式。在數(shù)學(xué)史上，相傳這個(gè)公式是意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(1501～1576)騙到了這個(gè)三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個(gè)公式為卡爾達(dá)諾公式(或稱卡當(dāng)公式)，其實(shí)，它應(yīng)該叫塔塔里亞公式。

三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費(fèi)拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學(xué)家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個(gè)問題雖然消耗了許多數(shù)學(xué)家的時(shí)間和精力，但一直持續(xù)了長(zhǎng)達(dá)三個(gè)多世紀(jì)，都沒有解決。

到了十九世紀(jì)初，挪威的一位青年數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802～1829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解。既這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運(yùn)算表示出來。阿貝爾的這個(gè)證明不但比擬難，而且也沒有答復(fù)每一個(gè)具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題。后來，五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的問題，由法國(guó)的一位青年數(shù)學(xué)家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時(shí)候，因?yàn)榉e極參加法國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命運(yùn)動(dòng)，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。3．?dāng)?shù)學(xué)中的皇冠——數(shù)論：數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科，我國(guó)在數(shù)論方面的研究居于世界領(lǐng)先地位。4．生活中的幾何——?dú)W式幾何：“幾何”這個(gè)詞在漢語里是“多少？”的意思，但在數(shù)學(xué)里“幾何”的涵義就完全不同了?！皫缀巍边@個(gè)詞的詞義來源于希臘文，原意是土地測(cè)量，或叫測(cè)地術(shù)。幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域里最根底的分支之一。古代中國(guó)、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學(xué)的重要發(fā)源。歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積〔面積相等〕的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長(zhǎng)期以來，人們都認(rèn)為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)教科書。屬于《幾何原本》內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡(jiǎn)稱為歐式幾何。

《幾何原本》最主要的特色是建立了比擬嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題〔包括作圖和定理〕?！稁缀卧尽返谝痪砹杏?3個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)?！财渲凶詈笠粭l公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何?！?．不可思議的幾何——非歐幾何：歐氏幾何與非歐幾何〔羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何〕關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理〔第五公設(shè)〕不一樣。歐式幾何講“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與直線平行”。羅氏幾何講“過直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和直線平行”。黎曼幾何講“過直線外一點(diǎn)，不能做直線和直線平行”。因此，凡涉及到平行公理的命題，歐氏幾何與非歐幾何有完全不同的結(jié)論。如：歐氏幾何得到“三角形的內(nèi)角和等于”，羅巴切夫斯基幾何得到“三角形的內(nèi)角和小于”，黎曼幾何得到“三角形的內(nèi)角和大于”，歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。

在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球外表研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。6．坐標(biāo)法——解析幾何：笛卡爾〔Descartes,Gene〕(1596.3-1650.2.11)，是法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，解析幾何的創(chuàng)始人。從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的根本思想。在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時(shí)代的法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)立者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)立的榮譽(yù)。7．代數(shù)幾何學(xué):用代數(shù)的方法研究幾何的思想，在繼出現(xiàn)解析幾何之后，又開展為幾何學(xué)的另一個(gè)分支，這就是代數(shù)幾何。代數(shù)幾何學(xué)研究的對(duì)象是平面的代數(shù)曲線、空間的代數(shù)曲線和代數(shù)曲面。8．位置幾何——射影幾何學(xué)：它是專門研究圖形的位置關(guān)系的，也是專門用來討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)。在現(xiàn)行高中立體幾何教材中有滲透射影幾何學(xué)的思想。9．不量尺寸的幾何——拓?fù)鋵W(xué)：拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無關(guān)。

舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時(shí)候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點(diǎn)。在現(xiàn)行高中立體幾何教材中歐拉公式的推導(dǎo)就滲透拓?fù)鋵W(xué)的思想。10．分形幾何：分形幾何學(xué)的根本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一局部都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一局部都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。11．計(jì)算數(shù)學(xué)：計(jì)算數(shù)學(xué)也叫做數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值分析。我們知道五次及五次以上的代數(shù)方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數(shù)方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數(shù)值分析的方法。對(duì)于一般的超越方程，如對(duì)數(shù)方程、三角方程等等也只能采用數(shù)值分析的方法。怎樣找出比擬簡(jiǎn)潔、誤差比擬小、花費(fèi)時(shí)間比擬少的計(jì)算方法是數(shù)值分析的主要課題。在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中有滲透計(jì)算數(shù)學(xué)的思想。12．微積分學(xué)：新教材高三數(shù)學(xué)中有講到微積分的初步內(nèi)容13．概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)：新教材高三數(shù)學(xué)中有講到概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本內(nèi)容14．?dāng)?shù)理邏輯：數(shù)理邏輯包括哪些內(nèi)容呢？這里我們先介紹它的兩個(gè)最根本的也是最重要的組成局部，就是“命題演算”和“謂詞演算”。

命題演算的一個(gè)具體模型就是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)也叫做開關(guān)代數(shù)，它的根本運(yùn)算是邏輯加、邏輯乘和邏輯費(fèi)，也就是命題演算中的“或”、“與”、“非”，運(yùn)算對(duì)象只有兩個(gè)數(shù)0和1，相當(dāng)于命題演算中的“真”和“假”。

另外悖論的提出，促使許多數(shù)學(xué)家去研究集合論的無矛盾性問題，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯的一個(gè)重要分支—公理集合論。在現(xiàn)行高一數(shù)學(xué)教材中有簡(jiǎn)易邏輯這局部?jī)?nèi)容。15．模糊數(shù)學(xué)：在日常生活中，經(jīng)常遇到許多模糊事物，沒有清楚的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比方，比擬年輕、高個(gè)、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠(yuǎn)……。在人們的工作經(jīng)驗(yàn)中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經(jīng)煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時(shí)間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計(jì)算數(shù)學(xué)之外，還需要模糊數(shù)學(xué)。于是就產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)。六、附錄：中外數(shù)學(xué)家的故事1．劉徽〔生卒年月不詳〕劉徽是我國(guó)古代一位非常偉大的數(shù)學(xué)家，公元三世紀(jì)〔公元263年〕他所撰的《九章算術(shù)注》十卷與《九章重差圖》一卷，是我國(guó)數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。唐代初年，《九章重差圖》已失傳，《九章重差圖》十卷到唐代演變?yōu)椤毒耪滤阈g(shù)注》九卷與《海島算經(jīng)》一卷而流傳至今。劉徽完成《九章算術(shù)注》約在西晉初年?！端鍟蓺v志》論歷代量制引《九章算林》商功章注說“魏陳留王景元四年〔公元263年〕劉徽注九章”，可見他的注解工作可能早在魏肛已經(jīng)開始。所以他是生活在魏一晉時(shí)代?！毒耪滤阈g(shù)》《約公元100年》是我國(guó)現(xiàn)有傳本的數(shù)學(xué)著作中最早的一本，它們收集了東漢初年以前的246個(gè)問題，并按問題的性質(zhì)分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈缺乏、方程、勾股九章。這部著作不僅對(duì)當(dāng)時(shí)從事于河道、灌溉、手工業(yè)生產(chǎn)的工程技術(shù)人員以及收稅制歷的官員有很大幫助，而在世界數(shù)學(xué)史上也作出了許多有意義的奉獻(xiàn)。在劉徽的注解中，主要是運(yùn)用齊同術(shù)、今有術(shù)、圖驗(yàn)法、棋驗(yàn)法等四種方法?！褒R同術(shù)”是劉徽從《九章算術(shù)》中關(guān)于分?jǐn)?shù)的加減法與方程組解法中概括出來的一種方法?！敖裼行g(shù)”是解決算術(shù)中有關(guān)比例問題的方法?！皥D驗(yàn)法”是應(yīng)用面積圖形驗(yàn)證平面幾何學(xué)公式與定理的方法。此外在少廣章中，劉徽依靠圖形的幫助，說是有了開方術(shù)原理?！捌弪?yàn)法”，棋就是根本模型，用根本的立體模型驗(yàn)證立體幾何公式與宣的方法稱棋驗(yàn)法。此外，他不用棋的方法說明了開立方林與開方圓林的原理。劉徽為了精密地計(jì)算圓面積，他創(chuàng)造了割圓術(shù)，他認(rèn)為只要內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)愈多，那么它的面積愈接近于圓的面積，這樣用正多邊形面積來迫近圓面積的極限思想還可在弧田術(shù)注中看到，其中有的精確數(shù)值。還計(jì)算出圓內(nèi)接正3072邊形的面積來證實(shí)的正確性。劉徽確實(shí)算出了來作圓周率，比《九章算林》中用“徑1周3”〔即〕的粗略圓周率大大向前邁進(jìn)了一步，后人為了紀(jì)念劉徽，便稱為“徽率”。我國(guó)數(shù)學(xué)史家錢寶琮以及華羅庚、錢偉長(zhǎng)等人認(rèn)為是劉同徽算出了，而李儼、許莼舫、程綸、李迪等人認(rèn)為是祖沖之求出的，該注是祖沖之的話?！毒耪滤阈g(shù)》商功章求圓錐和圓臺(tái)的體積公式，在假定時(shí)是正確的，為了說明這公式的來源，他應(yīng)用了一條有名的法那么：圓錐、圓臺(tái)的體積和它人外切方錐、方臺(tái)的體積之比等于圓面積和外切正方形面積之比。另外，他還指出了球體積和相線垂直且同高的兩個(gè)圓柱的共同局部的體積之比才等于圓面積與外切正方形面積之比，這是完全正確的。劉徽還得出了與我們現(xiàn)在開平主求無理根的十進(jìn)小數(shù)近似值方法完全一致的方法。另外，他在方程章直除消元法的根底上根據(jù)齊同術(shù)原那么，創(chuàng)立了互乘相消法〔即和現(xiàn)在解方程組的加尊消去法一致〕的解方程組的方法。同時(shí)，他注意到了用比例分配的方法來爭(zhēng)一次議程組的問題。劉徽還給出了等差級(jí)數(shù)求和的公式：或同時(shí)他還完成了“勾股容圓公式”的證明和總結(jié)了“重差術(shù)”?？梢灾鲃⒒赵谡頂?shù)學(xué)材料的工作中是有極大奉獻(xiàn)的。它在“以類合類”的思想指導(dǎo)下，將246個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，按期性質(zhì)與解題方法分成九類，為我國(guó)數(shù)學(xué)向更高更細(xì)的方向開展打下了根底。祖沖之可能就是在他割圓術(shù)理論根底上，以圓徑一丈為1，000，000，000微，算出內(nèi)接正12，288邊形面積，從而得到具有世界意義的圓周率。劉徽的工作在世界數(shù)學(xué)史上也占重要地位。劉徽從事于數(shù)學(xué)理論形容比希臘學(xué)者為遲，但他的成就地超過同時(shí)代的數(shù)學(xué)家。對(duì)于圓周率的計(jì)算，他的結(jié)果比阿基米德精密。方法也比阿基米粉德優(yōu)越。法國(guó)數(shù)學(xué)家謨爾提出用十進(jìn)分?jǐn)?shù)表示開方根的奇零數(shù)，比劉徽遲一千多年。劉徽的極限概念和一次方程組解法的消元法以及求圓錐體積的方法，在當(dāng)時(shí)是居先進(jìn)地位的。劉徽的《九章算術(shù)注》的偉大歷史意義，更重要的是在于它是我國(guó)獨(dú)特風(fēng)格的一本有系統(tǒng)理論的文獻(xiàn)，為我國(guó)科學(xué)理論研究工作打下了根底。2．祖沖之父子祖沖之〔公元429-500〕，字文遠(yuǎn)，是我國(guó)古代南北朝時(shí)代南朝杰出的科學(xué)家，原籍是范陽郡遒縣〔今河北萊源縣〕，因戰(zhàn)亂，他的祖先遷居江南。公元429年，祖沖之誕生在南方宋朝一個(gè)士大夫的家庭。這家有幾代研究歷法，祖父掌管土木建筑，也懂得一些科學(xué)技術(shù)，所以祖沖之從小就有時(shí)機(jī)接觸家傳的科學(xué)知識(shí)，他少年時(shí)代就開始鉆研古代的經(jīng)典。思想機(jī)敏。勇于創(chuàng)新，勤奮地學(xué)習(xí)，對(duì)各種事物敢于大膽設(shè)想，勇于創(chuàng)新，并且勤于實(shí)踐。他搜集和閱讀了大量有關(guān)天文、數(shù)學(xué)等方面的書籍與文獻(xiàn)資料，并經(jīng)常進(jìn)行精密的測(cè)量和仔細(xì)的推算。就象自己說的那樣；“親量圭尺，躬察儀漏，目盡毫厘，心軍籌策”。由于他既崇尚抽象的理論，又注重理論的應(yīng)用，突破了天命論、神秘主義的桎梏，敢于實(shí)踐，勇于改革，因此在當(dāng)時(shí)勞動(dòng)人民創(chuàng)造的高度興旺的物質(zhì)財(cái)富的根底上，取得了不少有價(jià)值的科學(xué)成果，特別是天文歷法和數(shù)學(xué)方面的成就更為突出。我國(guó)古代曾經(jīng)長(zhǎng)期采用“十九年七閏月”的方法作為歷法來計(jì)算陰歷。祖沖之經(jīng)過仔細(xì)推算和研究，發(fā)現(xiàn)這種歷法雖然可以使兩種〔陰歷和陽歷〕天數(shù)大致相符，但還不夠精確，過了二百年就會(huì)相差一天。因此，他決心打破傳統(tǒng)觀念改革閏法?？偨Y(jié)了前人經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，科學(xué)計(jì)算，改為第三百九十一年中有一百四十四個(gè)閏年。這樣就相當(dāng)精確了。他在一文歷法中的另一重大成就是在歷法計(jì)算中第一次應(yīng)用了歲差，即指地球圍繞太陽運(yùn)行五周，不可能完全回到上一年的冬至點(diǎn)的現(xiàn)象。他算出了歲差為四十五年十一個(gè)月后退一度〔一度等于60分〕，并在他的《大明歷》中加以應(yīng)用。雖然尚不夠準(zhǔn)確，但這在天文學(xué)史上卻是一個(gè)空前的創(chuàng)舉。為了使歷法更精確，他還算出交點(diǎn)月，即月亮連續(xù)兩次經(jīng)過黃白交點(diǎn)所需的時(shí)間是27。21223日，這與現(xiàn)代測(cè)得的21。21222日極相近似。這為準(zhǔn)確地算日食月食婦生的時(shí)間創(chuàng)造了條件。在上述根底上，他制成了當(dāng)時(shí)最科學(xué)的歷法——《大明歷》。那時(shí)他才三十三歲，公元462年，他把《大明歷》交給朝廷，請(qǐng)求予以頒行。但遭到以貴族官僚戴法興為首的堅(jiān)決反對(duì)。戴法興是一個(gè)很有權(quán)勢(shì)的人物，又稍稍懂一點(diǎn)歷史，但思想非常保守，戴硬說太陽轉(zhuǎn)動(dòng)一周〔實(shí)際上是地球繞太陽一周〕的時(shí)間有快有慢，沒有規(guī)律。祖沖之反駁說：“太陽的轉(zhuǎn)動(dòng)是有一瞇規(guī)律的，這是有事實(shí)根據(jù)的”。戴又說：“日月星辰的快慢變化，凡人是測(cè)算不出的”。祖沖之說“這些變化并不神秘，只要人們進(jìn)行精密的觀測(cè)和細(xì)致的推算，是完全可以算出來的。事實(shí)上人們已掌握了一定的規(guī)律”。把戴批駁得啞口無言，祖沖之終于擊敗了保守勢(shì)力，取取得最后勝利，然而直到他死后十年在他兒子祖恒再三推薦下，新歷法才在公元510年被正式采用。祖沖之在數(shù)學(xué)研究方面，特別是在圓周率的研究上，做出了在數(shù)學(xué)史具有深遠(yuǎn)影響的巨磊奉獻(xiàn)。古代最早求得的圓周率是“3”，西漢末年劉又得到3.1547的圓周率值。東漢的張衡算出的值，到了三國(guó)末年，數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了用割圓術(shù)求得圓周率方法，得出的值。祖沖之地吸收了其中一些有的東西，又不為前人結(jié)論束縛，經(jīng)過自己的精密測(cè)算，算出圓周率值在和之間，并以22/7和355/113作為用分?jǐn)?shù)表示圓周率的疏率和密率。這是世界上第一個(gè)最精確的圓周率，歐洲人奧托和安托尼茲直到公元1573年，才先后求出這個(gè)數(shù)值。實(shí)際上早在他們一千一百多年前，祖沖之就得到這個(gè)數(shù)值了，因而，日本數(shù)學(xué)家三上義夫主張稱名為“祖率”。祖沖之在推算圓周率時(shí)，對(duì)九位數(shù)的大數(shù)目，需要反復(fù)進(jìn)行包括加減乘除與開方等方法的運(yùn)算五百三十次以上。而且當(dāng)時(shí)他還是用籌碼〔小竹棍〕來計(jì)算的。從這里可以看出他嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和堅(jiān)韌不拔的毅力。后來，祖沖之把數(shù)學(xué)上的研究成果寫成一本書，叫做“綴術(shù)”，內(nèi)容很豐富，可惜早已失傳了。除了在天文、歷法和數(shù)學(xué)方面做出重大奉獻(xiàn)外，在他五十歲那年，曾經(jīng)仿制成功一輛指南車，這車子不管怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，車上木人的手總是指著南方。他又看到群眾用人力磨數(shù)值非常吃力，于是開動(dòng)腦筋，反復(fù)實(shí)驗(yàn)，制成了水碓磨。同時(shí)還制造成功一種“千里船”，經(jīng)過試驗(yàn)，日行百余里。此外，他還懂得音樂，注過多種經(jīng)典。因而祖沖之可以說是我國(guó)古代杰出而又博學(xué)多才的一位科學(xué)家。祖恒是祖沖之的兒子，字景爍，生卒年月已無可考。他也是一個(gè)博學(xué)多才的數(shù)學(xué)家，曾在公元504年、509年和510年三次上書建議采用祖沖之的《大明歷》，終于實(shí)現(xiàn)了父親的遺愿。祖恒的主要工作是修補(bǔ)編輯祖沖之的《綴術(shù)》。祖恒推導(dǎo)球體積公式的方法非常巧妙，其理論依據(jù)是這樣一條被他當(dāng)作“公理”使用的命題：“冪勢(shì)既同，那么積不容異”，其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是立體的高。把這命題翻譯成現(xiàn)代漢文并寫得詳細(xì)一點(diǎn)就是：“界于二平行平面之間確實(shí)良兩個(gè)立體，被任一平行這二平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，那么這兩個(gè)立體的體積相等”。這命題在國(guó)外通常稱為“卡瓦列利原理”或“卡瓦列利定理”。卡瓦列利〔1598-1647〕是意大利米蘭人，伽利略的學(xué)生，波倫拿大學(xué)教授，為十七世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家中影響最大的一個(gè)。這定理是他于1635年在波倫拿出版的名著《連續(xù)不可分幾何》一書中提出的，但卻比祖恒遲了1100多年。3．楊輝楊輝字謙光，錢塘〔今杭州〕人，是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家。楊輝的著作集中地反映了當(dāng)時(shí)一些民間應(yīng)用數(shù)學(xué)的情況。南宋景定二年〔1261〕作了《詳解九章算法》，后附《纂類》，共12卷。現(xiàn)在流傳的只是該書的一局部。在《永樂大典》中也保存了一局部。楊輝的《詳解九章纂法類》中還記載了已失傳的賈憲《黃帝九章細(xì)草》〔約1200〕的某些算法。賈憲化簡(jiǎn)了劉益的方法，推廣到四次方程，更加接近“霍納法”。楊輝的《詳解九章算法》載有：“開方作法根源”，并有自注：“出《釋鎖》算書，賈憲用此術(shù)”，這就是：展開式各項(xiàng)的系數(shù)〔二項(xiàng)系數(shù)〕的排列。歐洲稱“巴斯加三角形”?？墒窃诎退辜又暗?427年左右，阿爾·卡西已給了二項(xiàng)系數(shù)的一般式并加以證明，不過這些都在楊輝之后，晚266年！因此，不管稱“楚輝三角”還是稱“賈憲三角”都比叫“巴斯加三角”合理。賈憲提出“開方作法根源”和“增乘開方法”是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)偉大成就。它導(dǎo)致后來高次方程求實(shí)的根的一整套方法。楊輝“三角形”的圖下還舉了兩個(gè)例題，一個(gè)是開立方問題，一個(gè)是形式四方，后者相當(dāng)于解方程。楊輝除《詳解九章算法》外，還有很豐富的著作，其中《續(xù)古摘奇算法》〔1275〕記載了許多當(dāng)時(shí)和古代的書目。從中可窺見失傳典籍的一斑。這書還列出了各式各樣的縱橫圖〔幻方〕，是宋代研究縱橫圖最重要的著作。其中還把《孫子》“物不知數(shù)”問題叫“秦王暗點(diǎn)兵”、“翦〔同剪〕管術(shù)”，將3，5，7推廣到其他除數(shù)如7，8，9，11，12，13等。楊輝在《乘除通變法》中創(chuàng)立了“九歸”口訣，介算了籌算乘、除的各種速算法。4，陳景潤(rùn)〔1933~〕陳景潤(rùn)現(xiàn)為中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所研究員，著名數(shù)學(xué)家。1933年了生于福建。他們高中時(shí)，現(xiàn)在北京航空學(xué)院任副院長(zhǎng)的沈元當(dāng)時(shí)曾教過他的書，沈教授對(duì)同學(xué)們講了哥德巴赫猜測(cè)的故事，他說，“科學(xué)的皇后是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的皇后是數(shù)論，哥德巴赫猜測(cè)那么是皇冠上的明珠。”這些活深深地打動(dòng)了青年學(xué)生陳景潤(rùn)的心，他立下決心要要數(shù)學(xué)。1950年，陳景潤(rùn)高中沒有畢業(yè)，便以同等學(xué)歷考進(jìn)廈門大學(xué)，改讀數(shù)學(xué)專業(yè)。1953年秋天，陳景潤(rùn)因成績(jī)特別優(yōu)異提前畢業(yè)，分配在北京當(dāng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師。他一面教學(xué)，一面進(jìn)行科學(xué)研究，這時(shí)他得到一本華羅庚教授的名著《堆壘素?cái)?shù)論》，如獲至室，刻苦攻讀鉆研起來，但陳景潤(rùn)因不善辭令，教學(xué)效果不佳，校方頗為頭痛，恰好陳景潤(rùn)的母校校長(zhǎng)王亞南到北京，得悉這些情況，便設(shè)法把他調(diào)回廈大，安排在圖書館當(dāng)管理員，實(shí)際上是讓他安心研究數(shù)學(xué)。他抓緊這樣得到的珍貴時(shí)機(jī)，把《堆壘素?cái)?shù)》和另一本華羅庚的著作《數(shù)論導(dǎo)引》悉心研究，很快寫出了一篇名叫《他利問題》的認(rèn)文。陳景潤(rùn)把它寄給中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，得到了華羅庚教授的重視，認(rèn)為陳景潤(rùn)很有培養(yǎng)前途，便建議調(diào)他到北京數(shù)學(xué)研究所當(dāng)實(shí)習(xí)研究員，1956年底，已先后寫了四十多篇論文的陳景潤(rùn)到了科學(xué)院，開始在著名數(shù)學(xué)家華羅庚指地下專心研究數(shù)論。關(guān)于哥德巴赫問題，不管是提出問題的哥德巴赫本人還是大數(shù)學(xué)家歐位都不能做出什么結(jié)果。上世紀(jì)一個(gè)超群數(shù)學(xué)家康托耐心地試驗(yàn)了從2到1000的所有偶數(shù)，說明在這范圍內(nèi)，哥德巴赫斷言是成立的，但這能說明什么呢？此后，多少著名的學(xué)者都為哥德巴赫問題花費(fèi)了無數(shù)的精力，力圖開辟解決這一問題的道路，或者將它與數(shù)學(xué)的其他問題聯(lián)系起來。但要嚴(yán)格證明它，卻毫無結(jié)果，1912年，數(shù)論大師蘭道在國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上說：這個(gè)問題要用近代數(shù)學(xué)工具來解決是絕對(duì)不可能的。到二十年代初期，問題才有了一點(diǎn)進(jìn)展，挪威數(shù)學(xué)家布朗用古老的篩法證明了：每一個(gè)偶數(shù)是九個(gè)互數(shù)因子之和加九個(gè)素?cái)?shù)因子之積，簡(jiǎn)記為〔9+9〕，延自這一派的方法，1924年拉德馬哈爾證明了〔7+7〕，1932年愛斯斯?fàn)柭C明了〔6+6〕；1938年，布赫斯塔勃先后證明了〔5+5〕和〔4+4〕；1956年維諾格拉多夫證明的〔3+3〕；1958年我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了〔2+3〕。另一證明方法是1948年由匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩易開辟的，他證明了每一個(gè)大偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)“素因子示超過六個(gè)的”數(shù)之和，簡(jiǎn)記為〔1+6〕，1962年，山東大學(xué)教授潘承洞證明了〔1+5〕，同年，他又和王元證明了〔1+4〕；三年后1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和龐皮艾黎都證明了〔1+3〕。陳景潤(rùn)繼承了前人的結(jié)果，吸取了前人的智慧，施展了他堅(jiān)韌不拔的毅力，頑強(qiáng)地向哥德巴赫問題挺進(jìn)。為了能最快閱讀最新的國(guó)久的有關(guān)資料，了解外國(guó)的新結(jié)果，他在掌握英、俄兩門外語根底上，又自學(xué)了德、法、日、意和西班牙語。同時(shí)在數(shù)論方面接連攻下了三十多道難題中的六、七題，為解決哥德巴赫問題做出了必不可少的鍛煉和準(zhǔn)備。例如他在圓內(nèi)整點(diǎn)問題，球內(nèi)整點(diǎn)問題，華林問題，三維除數(shù)問題上，都改良了中外數(shù)學(xué)家的結(jié)果。經(jīng)過這一艱苦的歷程，1966年，陳景潤(rùn)在《科學(xué)通報(bào)》第一十七期上發(fā)表了他已經(jīng)證明〔1+2〕的成果。已故的著名數(shù)學(xué)家閔嗣鶴教授審核了二百多頁論文手稿，確認(rèn)其證明無誤，但建議他加以簡(jiǎn)化，此后陳景泣不分白天黑夜，一筆又一筆推演了六麻袋稿子，經(jīng)過七易寒暑，終于寫出了著名的論文：“大偶數(shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過一個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”，精心論證了〔1+2〕，其中定理，被英國(guó)數(shù)學(xué)家哈勃斯丹和西德數(shù)學(xué)家李希特譽(yù)為“陳氏定理”，是“篩法”的“光芒的頂點(diǎn)”，并立即補(bǔ)入即將刊印出版的他們合著的《篩法》一書中，英國(guó)數(shù)學(xué)家贊揚(yáng)陳景潤(rùn)說“你移動(dòng)了群山”。陳景潤(rùn)為祖國(guó)增添了榮譽(yù)，他的突破為推動(dòng)學(xué)林繁榮做出了極大的奉獻(xiàn)。1978年他出席了第一屆全國(guó)科學(xué)大會(huì)。先后中選為第四屆、第五屆人大代表為會(huì)議主席團(tuán)成員。1979年初，他和著名的拓?fù)鋵W(xué)家吳文俊夫婦應(yīng)美國(guó)普林斯頓高級(jí)研究所所長(zhǎng)伍爾夫教授的邀請(qǐng)，前往講學(xué)和作短期的研究工作。在那里，陳景潤(rùn)又利用有利條件，完成子論文《算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)》，把最小素?cái)?shù)從原來的80推進(jìn)到16，這是當(dāng)前世界上最新的成果，受到了國(guó)際數(shù)學(xué)界的好評(píng)。5．華羅庚〔1910—〕華羅庚教授是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，現(xiàn)任中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)。華羅庚1910年生于江蘇金壇縣，父親是個(gè)小雜貨商。他初二時(shí)曾補(bǔ)考過數(shù)學(xué)，但或許這給予他以刺激而促使他歷志鉆研數(shù)學(xué)，以至于今天能有這么大的成就吧。他初中畢業(yè)后，進(jìn)入中華職業(yè)學(xué)校一年，但因經(jīng)濟(jì)困難而失學(xué)。此后便在父親的雜貨店內(nèi)助理店務(wù)，這其間，華羅庚并沒有荒廢學(xué)業(yè)，而是開始走上艱苦的自學(xué)道路。有時(shí)為解決一個(gè)難題，要花一個(gè)多月的時(shí)間，常常夜里醒來繼續(xù)想問題，有所得時(shí)便起床點(diǎn)燈寫算，從沒松勁。1929年，十九歲的華羅庚就在當(dāng)時(shí)科學(xué)雜志上發(fā)表了關(guān)于用矩陣方法研究代數(shù)中施斗姆函數(shù)的問題的論文。這文章恰好被當(dāng)時(shí)清華大學(xué)教授、我國(guó)數(shù)學(xué)界老前輩熊慶來先生看到，后徑顧愷之先生介紹，熊慶來認(rèn)識(shí)了華羅庚，并多方設(shè)法讓華羅庚進(jìn)清華大學(xué)，但因校方不同意，只好在圖書館當(dāng)助理員。在清華大學(xué)期間，他旁聽了數(shù)學(xué)系的所有課程，利用圖書館的優(yōu)越條件，看了許多書并學(xué)習(xí)了英、法、德、俄四門外語。在熊慶來先生的個(gè)別指導(dǎo)下，華羅庚勤奮刻苦，學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)異。這期間，華羅庚寫了一些論文，分別在日本、印度和英、美的有關(guān)數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表，其時(shí)華羅庚不過才25歲。在清華大學(xué)五年，他由助理員升為助教，后又升為講師，并得到文化基金會(huì)的獎(jiǎng)金。1936年，華羅庚與陳省身、許寶祿、吳新謀等被中華文化基金委員會(huì)保送出國(guó)留學(xué)。華羅庚前往英國(guó)，他在劍橋大學(xué)不辦理入學(xué)注冊(cè)手續(xù)，住在校外，只作為一名旁聽生參加學(xué)習(xí)。兩年中他約聽了十門課，寫了近二十篇論文。在這時(shí)期中，華羅庚主要研究數(shù)論，特別是研究蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫的“三角和”方法，并有的成就。在劍橋時(shí)，他認(rèn)為主要在于學(xué)習(xí)知識(shí)，而不是為了爭(zhēng)學(xué)位，因此他只作為旁聽生。假設(shè)他能辦理入學(xué)手續(xù)，想來必然會(huì)得博十學(xué)位。1938年抗戰(zhàn)期間，華羅庚由英國(guó)回到設(shè)在昆明的西南聯(lián)大任教授。1940年著了有名的《堆壘素?cái)?shù)論》一書，該書送到蘇聯(lián)，得到維諾格拉多夫的贊賞。1946年被譯成俄文出版。而在我國(guó)，當(dāng)時(shí)政府不重視科學(xué)和科學(xué)家，出版社竟把他的手稿喪失。直到解放后才由華羅庚的學(xué)生將俄文譯成中文出版。1946年蘇聯(lián)對(duì)外文協(xié)會(huì)請(qǐng)他去蘇聯(lián)訪問，他感受很深，開了第一次眼界，看到了蘇聯(lián)共產(chǎn)黨和政府對(duì)科學(xué)家的關(guān)心保護(hù)。1946年秋天，華羅庚到美國(guó)講學(xué)，后又到美國(guó)海軍研究所、普林斯敦?cái)?shù)學(xué)研究所工作，開始研究多復(fù)變函數(shù)數(shù)論。1950年的元旦獻(xiàn)詞使華羅庚深受感動(dòng)，他看到祖國(guó)的新生，便毅然決定回國(guó)。1950年2月，他帶了家屬回到了新中國(guó)，這是祖國(guó)解放后第一個(gè)回國(guó)的科學(xué)家，他受到了黨和政儲(chǔ)以及全國(guó)人民的熱烈歡送?；貒?guó)后，華羅庚教授便從事數(shù)學(xué)研究，并任數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)。1954年中選為全國(guó)第一屆人代會(huì)代表。1956年6月中選為全國(guó)人代會(huì)常委，民盟總部文教委員會(huì)副主席，1958年被任命為中國(guó)科技大學(xué)副校長(zhǎng)。三十多年來，華羅庚教授成果累累，所著論文和書藉數(shù)量繁多，涉及到數(shù)論、代數(shù)學(xué)、函數(shù)論、幾何學(xué)等數(shù)學(xué)的眾多分支?？煞Q為我國(guó)數(shù)學(xué)界“多產(chǎn)”數(shù)學(xué)家。他著的《典型域上的多元復(fù)變函數(shù)論》曾榮獲中國(guó)科學(xué)院1956年度一等科學(xué)獎(jiǎng)金。華羅庚教授非常重視和努力培養(yǎng)祖國(guó)的新生力量，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家王元、萬哲先、陸啟鏗等均出華羅庚門下。此外，華辦庚教授還很關(guān)心大中學(xué)校的數(shù)學(xué)教育，1957年，北京舉行我國(guó)有史以來的第一屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他親任競(jìng)賽委員會(huì)主席，并為中學(xué)生做了好幾場(chǎng)報(bào)告，親自參予命題工作。華羅庚對(duì)“科學(xué)群眾”記者說：“我始終不曾為沒有進(jìn)入大學(xué)而懊悔，相反地，我認(rèn)為占到了很大的廉價(jià)——因?yàn)樽詫W(xué)使我早就培養(yǎng)了獨(dú)立思考的能力。學(xué)習(xí)是一生的事情呀！主要應(yīng)當(dāng)依靠自己的努力和刻苦的精神。”華羅庚教授所走過的道路頗帶有“偉奇式”的色彩，因此也為全國(guó)傳為佳話。但這在舊社會(huì)，畢竟不多。今天，我們和長(zhǎng)在向四化進(jìn)軍的偉大時(shí)期，每個(gè)人的聰明才智都能得到充分發(fā)揮，正和華羅庚教授所說的“在新社會(huì)里，優(yōu)越的社會(huì)制度保證了每個(gè)人的工作，生活和前途。不管體力的，腦力的，只要熱愛勞動(dòng)，刻苦鉆研，要求進(jìn)步，著有成效，沒有不受人民的歡送和愛戴的”。6．畢達(dá)哥拉斯〔Pythagoras〕畢達(dá)哥拉斯在公元前580到568之間生于今天土耳其西岸一個(gè)小島撒摩斯島上，傳說畢達(dá)哥拉斯在年青時(shí)代游歷過許多地方，曾到埃及留學(xué)過，也曾隨商隊(duì)經(jīng)過小亞細(xì)亞深入巴比倫，甚至說他還到過印度。他似乎到了各處都點(diǎn)滴地集當(dāng)?shù)厝嗣竦臄?shù)學(xué)、天文和技術(shù)知識(shí)。消退他回到自己的故土撒摩斯島后，因所獲得的知識(shí)使自己的同胞大為驚訝，以致把他認(rèn)為是個(gè)“半仙”。畢達(dá)哥拉斯回到撒摩斯島后，把貴族家庭中的年青人召含有在自己的周圍，和他們進(jìn)行秘密談話的掩蓋下，會(huì)開成一種反對(duì)他的陰謀，便派遣自己的親信監(jiān)視他們。畢達(dá)哥拉斯被這種行為所激怒，便離開了撒摩斯島，遷居意大利的希臘城市克洛頓。畢達(dá)哥拉斯非常重視數(shù)學(xué)，企圖用數(shù)來解釋一切，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不僅僅認(rèn)為萬物都包含數(shù)，而且說萬物都是數(shù)。這個(gè)學(xué)派有一種習(xí)慣，就是把一切的創(chuàng)造都?xì)w功學(xué)派的領(lǐng)袖，而且常常是秘而不宣的，后人很難知道究竟是誰在什么時(shí)候創(chuàng)造的，這使得畢達(dá)哥拉斯的名字跟許許多多形形色色的故事聯(lián)系起來，帶上一些傳奇的色彩。畢達(dá)哥拉斯本人，據(jù)說在發(fā)現(xiàn)今人所共知的“畢達(dá)哥拉斯定理”時(shí)，興高采烈，宰了一百頭牛來祭掌管文藝、科學(xué)的女神繆斯，以酬謝神的默示。因此這個(gè)定理在中世紀(jì)也叫做“百牛大祭”?？上У氖钱呥_(dá)哥拉斯關(guān)于這個(gè)定理的證明現(xiàn)已失傳，目前多采用的面積證法是來自歐幾里得《幾何原本》卷1的47題。這是歐幾里得首先給出的。“畢達(dá)哥拉斯定理”就是“勾股定量”。這在畢達(dá)哥拉斯年代前〔約公元前1100年〕我國(guó)周朝大夫商高就知道了用3:4:5的方法來構(gòu)成直角三角形，至于他是否知道普遍的勾股定理，尚缺足夠的證據(jù)，但到了公元前約700-600年時(shí)，我國(guó)的陳子就已能十分熟練地運(yùn)用普遍的公勾股定理了，所以我們也叫“商高定理”或“陳子定理”。早于畢達(dá)哥拉斯的古代巴比倫人也知道了勾股定理。但是，為什么外國(guó)人卻一直稱為畢達(dá)哥拉斯定理，還有待于進(jìn)一步考證。畢達(dá)哥拉斯到克洛頓城后，遇上了貴族跟人民奪取城市政權(quán)的斗爭(zhēng)。當(dāng)時(shí)沒有人能夠在哲學(xué)上提出城市政權(quán)必須移交給貴族的根據(jù)，畢達(dá)哥拉斯提出他的看法，認(rèn)為城市“由‘普通人’來決定一切的、對(duì)古代制度不尊敬的城市，必然會(huì)遭到災(zāi)難?！彼膶W(xué)說被利用，他的門生也越來越多，這些門生結(jié)成了同盟，在同盟里，紀(jì)律、服從和先生的決定高于一切?！坝颜x同盟”不僅是從事科研的團(tuán)體，也是夢(mèng)想從人民手中攫取政權(quán)的那些志同道合者的政治同盟，他們還想在別的城市也建立這種同盟。但是，隨著時(shí)間的推移，不滿貴族統(tǒng)治和畢達(dá)哥拉斯門生的同盟的情緒也日益增多，終于在一天夜里，憤怒的人民群眾包圍了畢達(dá)哥拉斯門生集會(huì)的房子，并消滅了他們。而畢達(dá)哥拉斯恰好在這天白逃離克洛頓，跑到了麥塔逢坦，但也沒能逃脫人民的展示怒，這個(gè)九十歲的老人最后被殺死在一次夜戰(zhàn)中，死時(shí)約灶公元前501年或500年。我們不同意作為貴族的畢達(dá)哥拉斯政治觀點(diǎn)，但是我們還是尊敬作為學(xué)者的畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派創(chuàng)立了數(shù)論；他們奠定了左究比例和級(jí)數(shù)的希臘代數(shù)根底。在幾何學(xué)里，除了用他名字命名的定理以外，正多邊形的學(xué)說、三角形和多邊形各角和不定期理也是畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立的。此外，對(duì)于無公度線段的發(fā)現(xiàn)，也應(yīng)當(dāng)歸功于畢達(dá)哥拉斯的門生。畢達(dá)哥拉斯的天文觀點(diǎn)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在時(shí)代的前面。7．歐幾里得〔Euclid〕(約公元前330-275)古代希臘數(shù)學(xué)家開展的歷史可分為三個(gè)時(shí)期：第一期從愛奧尼亞學(xué)派到柏拉圖學(xué)派為止，約當(dāng)公元前七世紀(jì)中葉到公元前三世紀(jì)；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元146年希臘被羅馬攻陷為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時(shí)期。歐幾里得是亞歷山大前期的第一個(gè)大數(shù)學(xué)家。關(guān)于歐幾里得的生平，現(xiàn)在知道的很少。大概也早年在雅典受過教育，深知柏拉圖的幾何學(xué)，公元前300年左右，在托勒密王的邀請(qǐng)下來到亞歷山大城教學(xué)，歐幾里得是一個(gè)溫良敦厚的教育家，對(duì)愿意獻(xiàn)身數(shù)學(xué)研究的人，總是循循頭號(hào)誘，但他反對(duì)在學(xué)習(xí)上不肯刻苦鉆研，投機(jī)取朽的作風(fēng)，也反對(duì)急功近利的狹隘實(shí)用觀點(diǎn)。有一個(gè)故事說，一個(gè)青年學(xué)生，才開始學(xué)第一個(gè)命題，就問歐幾里得，他學(xué)了幾何學(xué)之后將得到什么，歐幾里得說：“給他三個(gè)錢幣，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲得實(shí)利?！睔W幾里得寫過不少數(shù)學(xué)、物理的著作，但最重要的是他的巨著《幾何原本》。自從公元前七世紀(jì)以來，希臘幾何集中了非常豐富的材料，但是怎樣把它們整理在嚴(yán)密的羅輯系統(tǒng)中，卻是一個(gè)十分艱巨的任務(wù)。從公元前五世紀(jì)以來，就有許多學(xué)者做過這樣的工作，但當(dāng)歐幾里得的《幾何原本》出現(xiàn)后，這些工作都湮沒無聞了?！稁缀卧尽返膫ゴ髿v史意義在于它是用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范。《幾何原本》僅次于圣經(jīng)，從來還沒有一種科學(xué)書藉，象它那樣穩(wěn)固而長(zhǎng)期地成為廣闊學(xué)生所似誦的讀物。從1482年到19世紀(jì)末，《幾何原本》的印刷本竟用各種文字出了一千版以上，在這以前，它的手抄本統(tǒng)御幾何學(xué)就達(dá)一千八百多年。歐幾里得的影響是這樣的深遠(yuǎn)，以致歐幾里得和“幾何學(xué)”變成了同義語。我國(guó)最早的《幾何原本》的譯本是1607年利瑪竇與徐光啟譯的前6卷及1857年偉烈亞力、李善蘭合譯的后9卷。在這以前，元朝時(shí)實(shí)際上已有該書的譯本了，可惜沒有傳下來?！稁缀卧尽返谝痪斫o出了歐幾里得幾何學(xué)的根本概念、定義、公理等等，第二卷論面積和變換；第三卷討論圓及其有關(guān)的圖形；第四卷討論多邊形及圓與正多邊菜的作圖。第五、六卷討論比例及用它研究相似形；第七卷是研究數(shù)論。第八卷講連比例，第九卷也是數(shù)論，第十卷主要研究不可通約量的理論；第十一卷是立體幾何；第十二卷利用“窮竭法”證明圓面積的比等于半徑平方的比、球體積的比等于半徑立方的比等。第十三卷討論正多邊面體。第一卷中就表達(dá)了后來引起許多糾紛的“歐幾里得平行公設(shè)”。后人為這公理打了二千多年的筆墨官司，最后引出非歐幾何才算完結(jié)。13世紀(jì)英國(guó)學(xué)者培根〔RogerBacon〕在他的書中說，牛津大學(xué)的學(xué)生，能夠細(xì)心鉆左《歐幾里得》〔《幾何原本》的簡(jiǎn)稱〕卷Ⅰ第3、4命題以后各命題的已寥寥無幾，因此第五個(gè)命題被稱為“一群廢物”，后來又叫做“笨蛋的難關(guān)”?，F(xiàn)在我們教科書中證明勾股定理的那種為大家所熟知的面積證法，就是來自《幾何原本》卷Ⅰ的第47題，是歐幾進(jìn)而得首先給出的。8．牛頓〔Newton,Isaac〕(1642-1727)亞歷山大·波普寫到自然和自然規(guī)律沉浸在一片黑暗之中上帝道：“牛頓出世了！于是，一切都變星明朗起來。伊薩克·牛頓于1642年圣誕節(jié)生于英格蘭東海岸中部林肯州的格朗達(dá)姆鎮(zhèn)東南約13公里的烏爾索浦小村子里。他的父樣是一個(gè)農(nóng)民，在牛頓出生前就去世了。牛頓是個(gè)缺乏月的早產(chǎn)兒，出生后十分衰弱，分媽媽說一夸脫〔約一公廳〕的杯子就裝得下他。兩個(gè)到附近為這嬰兒取藥的婦女心想等不到回來他就會(huì)死的。然而，他竟度過了危險(xiǎn)期，而且一生并沒有患過什么嚴(yán)重的疾病，晚年時(shí)身體還非常健康。他一生只掉了一只牙，從來沒有戴過眼鏡。頭婦雖然三十歲就開始變白，但到老了也沒有脫落。他一直活到了84歲高齡，1727年3月20日凌晨一時(shí)許在倫敦的肯星頓區(qū)于睡眠中安靜地逝世。死后葬于倫敦西部著名的西敏寺。臨終時(shí)，他很謙遜地說：“我不知道世人對(duì)我怎樣看法，我只覺得自己好象是在海濱游戲的孩子，有時(shí)為找到光滑的石子或比擬美麗的貝殼而快樂，而真理的海洋仍然在我的面前未被發(fā)現(xiàn)?！彼€說：“如果我所見的比笛卡兒遠(yuǎn)一點(diǎn)，那是因?yàn)槲艺敬缶奕藗兗缟险劬壒省Ｓ捎诟赣H的去世，換育牛頓的重?fù)?dān)便全部落在他母親罕娜的肩上，牛頓三歲時(shí)，母親改嫁給一個(gè)名叫巴拿馬·史密斯的牧師，并搬到他那里去住。小牛頓由外祖母艾斯庫和舅舅詹姆斯撫養(yǎng)。在附近村莊斯吉林登和斯托克兩個(gè)很小的走讀學(xué)校學(xué)會(huì)了寫字、讀書和簡(jiǎn)單的算術(shù)。12歲那年，他進(jìn)入了格蘭達(dá)姆文科中學(xué)，在那里讀了四年。起先，牛頓對(duì)功課沒有興趣，成績(jī)低劣，被同學(xué)瞧不起。有一天，一個(gè)野蠻無理的同學(xué)欺侮他，一腳踢在他的肚子上，那個(gè)同學(xué)的學(xué)業(yè)也一向在牛頓之上。牛頓在肉體上和精神上都受到及大的痛苦，在這種刺激之下，牛頓回?fù)袅藢?duì)手，直到他把對(duì)手的鼻子按在墻上擦后才罷休。于是他悟出了學(xué)問的事情也不過如此，從這以后，牛頓發(fā)憤圖強(qiáng)，不久成績(jī)便超過欺侮過他的那個(gè)同學(xué)，在全班中名列前茅。牛頓的后父于1656年去世，母親帶著第二次婚后生的三個(gè)孩子回到故土烏爾索浦，由于生活困難，她下決心讓快長(zhǎng)大成人的14歲牛頓在莊園里干活。但這時(shí)牛頓已完全給學(xué)習(xí)“迷住了”，對(duì)農(nóng)活毫無興趣，多虧格蘭達(dá)姆中學(xué)校長(zhǎng)斯托克先生和舅舅愛斯庫幫助，認(rèn)為牛頓應(yīng)當(dāng)深造。他母親讓了步。1660年秋天牛回到格蘭達(dá)姆，準(zhǔn)備考大學(xué)。關(guān)于牛頓童年和少年時(shí)代的生活，記載很多。由于這些記載的材料正是牛頓變成著名學(xué)者的轉(zhuǎn)折時(shí)刻，因此可能夾雜著一些傳聞。但是我們可以把這些記載看成時(shí)真實(shí)的，因?yàn)樗劝ｎD少年時(shí)的形象，也可以鼓勵(lì)今人向他學(xué)習(xí)。據(jù)說牛頓不喜歡和那些打打鬧鬧的孩子們?cè)谝黄?，他有著自己的特殊愛好隨著年歲的增長(zhǎng)，越來越愛好創(chuàng)造，而且日益帶有科學(xué)實(shí)驗(yàn)性，并能持之以恒。他試做過一架木制時(shí)鐘，仿制過風(fēng)車模型，還試著測(cè)量它的能量有多大。牛頓還有著出眾的繪畫才能，他不僅能繪制精確的技術(shù)圖祥，而且也能用木炭出色地畫出花卉和動(dòng)物。據(jù)說，有一次他去放羊，他們舅舅在灌木叢中找到他，他正在埋頭讀書，而羊群早已跑得無影無蹤?？傊?，牛頓并不是一個(gè)天生的神童，但是他對(duì)奮斗的目標(biāo)有著堅(jiān)決的信念，對(duì)自然科學(xué)問題有著廣泛的興趣，這為他以后的成長(zhǎng)打下了根底。1661年6月，牛頓以優(yōu)異的成績(jī)考入了劍橋大學(xué)三一學(xué)院，母校校長(zhǎng)斯托克先生雙父親般的驕傲把牛頓列為學(xué)校高材生，特別召開了大會(huì)，眼中閃著淚花，向全體學(xué)生贊揚(yáng)牛頓的性格和才華。牛頓家境困難，在劍橋大學(xué)是減費(fèi)生，要從事一定的勤雜勞動(dòng)，以減免學(xué)費(fèi)，在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)方面，牛頓以他對(duì)尖端成有著快得出奇的理解能力，引起了他的老師巴羅教授的注意。在巴羅教授的指導(dǎo)下，牛頓逐步地掌握了笛卡兒的《幾何學(xué)》、開普勒的光學(xué)和巴羅的《講義》。他特別愛好瓦里斯的《無窮小算術(shù)》，瓦里斯曲線的求積問題導(dǎo)致了牛頓后來發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理。1664年，牛頓取得了學(xué)士學(xué)位，同時(shí)被巴羅選為助手。1665年倫敦鼠疫發(fā)生，8月份，劍橋大學(xué)被迫停學(xué)，牛頓躲回了故土烏爾索浦。在這以前，牛頓已了解到當(dāng)時(shí)科學(xué)開展的主要方向，現(xiàn)在，他在與世隔絕的故土終日思考各種問題，光學(xué)、數(shù)學(xué)、萬有引力定律、化學(xué)、自然哲學(xué)成了他主要研究對(duì)象，牛頓平生的三大創(chuàng)造：流數(shù)術(shù)〔微積分〕、萬有引力和光的分析，都超始于1665-1667年間，這時(shí)他才二十三、四歲。牛頓的那個(gè)家喻戶曉的軼事也是發(fā)生在烏爾索浦時(shí)期：牛頓坐在一棵蘋果樹下思考地球的引力問題，突然一個(gè)蘋果從樹上掉下來，使他想到地球和蘋果是互相吸引的，整個(gè)于宙有一個(gè)萬有引力作用著，從而婦現(xiàn)了萬有引力定律。初看這個(gè)故事不能令人信服。但是，我們應(yīng)該知道，這個(gè)軼事取材于真正的史實(shí)——萬有引田徑定律的研究——并開展成為文學(xué)佳談。這一傳說是由牛頓的外甥女卡特林·巴頓告訴給法國(guó)啟蒙哲學(xué)家伏爾泰，并受到伏爾泰的重視。伏爾泰國(guó)借肋這個(gè)傳說在歐洲大陸大力宣傳近代自然科學(xué)。后來伏爾泰的女友、受過高等教育的二·夏特勒侯爵夫人把牛頓的而在歐洲大陸引起了巨大的反響。英國(guó)人很重視這蘋果的故事，后來那棵樹倒了，便砍成假設(shè)干段，作為珍貴的紀(jì)念品保存起來。牛頓于1667年復(fù)活節(jié)前后，因瘟疫期過去了而重返劍橋大學(xué)，同年秋天被選為“選修課研究員”而成為大學(xué)教師。此后，牛頓便青云直上，1668年3月被任為“主修課研究員”。同年被授于碩士銜，一年后，成為數(shù)學(xué)教授，這是由于他的老師巴羅坦然地宣稱牛頓的學(xué)識(shí)已經(jīng)超過自己，把“路卡斯教授”的職位讓給牛頓的。巴羅教授曾給牛頓指明了攀登科學(xué)頂峰的方向，后來又為牛頓的晉升辭去職位來創(chuàng)造條件，一時(shí)傳為佳話，當(dāng)時(shí)牛頓才26歲?，F(xiàn)在三一學(xué)院牛頓雕象之北，立有巴羅的雕象，為后世所景仰。在數(shù)學(xué)方面，牛頓劃時(shí)代的奉獻(xiàn)是創(chuàng)造了微積分。1665年5月20日牛頓的手稿中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載。微積分的始創(chuàng)，不妨以這一天為標(biāo)志。“流數(shù)術(shù)”長(zhǎng)久沒有人知道，一直到1687年牛頓財(cái)以幾何的形式搞記在他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，實(shí)際上，1672年牛頓已成一部書《流數(shù)和無窮極數(shù)法》，但此書一直拖到牛頓去世后的1736年才出版。牛頓和萊布尼慈及雙方的擁護(hù)者為了微積分的最先創(chuàng)造權(quán)進(jìn)行過劇烈的爭(zhēng)論，我們不想談這場(chǎng)爭(zhēng)論中的細(xì)節(jié)以及夾雜著的民族主義情緒，就學(xué)術(shù)上而言，可以認(rèn)為在數(shù)學(xué)物理上，由于牛頓把運(yùn)動(dòng)學(xué)的思想結(jié)合進(jìn)去，他的造詣比萊布屁慈要高些，而萊布尼慈那么在表達(dá)上更為恰當(dāng)些，更易懂些。就優(yōu)先權(quán)而言，牛頓要比萊布尼慈先創(chuàng)造流數(shù)術(shù)，而萊布尼慈的微積分學(xué)主要部出版時(shí)間要比牛頓早。當(dāng)然，牛頓和萊布尼慈各自獨(dú)立地創(chuàng)造了微積分，在今天已成為定論。在光學(xué)方面牛頓用三棱鏡，于1666年進(jìn)行了有名的色散現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)，將白光分解成七種顏色。1668年，他為了防止折射望遠(yuǎn)鏡的色象差，創(chuàng)造并親手制作了第一架反射望鏡。僅此一項(xiàng)。就足以使牛頓名垂青史。他在光學(xué)上還何等了很多工作，不幸的是1692年房子失火，燒盡了分二十年來光學(xué)研究的手稿。1696年牛頓五十三歲，這時(shí)他被任命為造幣廠監(jiān)督，1699年成為廠長(zhǎng)。1703年被選為皇家學(xué)會(huì)主席，直到1727年逝世。1705年被安娜女王封為爵士。牛頓的晚年，大約占他一生的三分之一時(shí)間都致力于哲學(xué)和公務(wù)，對(duì)科學(xué)奉獻(xiàn)甚少，不過他的數(shù)學(xué)思想仍十分敏銳，1696年，約翰·貝努里擬定了兩個(gè)題目向全歐洲數(shù)學(xué)學(xué)家挑戰(zhàn)，其中一個(gè)便是有名的“最速降線”問題。六個(gè)月過去了，全歐洲數(shù)學(xué)家都挫敗了，于是問題雙重新提出來，1697年1月29日，牛頓從朋友那里聽到這個(gè)消息，那天他正從造幣廠回來，非常疲倦，但是，吃完飯，便把兩個(gè)問題都解決了，后來他把文章隱去姓名寄給皇家學(xué)會(huì)。當(dāng)幅貝努里看到這個(gè)解答時(shí)，驚叫道：“??！我認(rèn)出了獅子用它的巨爪。牛頓終射擊沒有結(jié)婚，晚年，由他的外甥女巴頓幫他料理家務(wù)。傳說有人讓牛頓和一位年輕婦女幽會(huì)。但牛頓的漫不經(jīng)心使得方案破產(chǎn)了，因?yàn)樗皇前堰@個(gè)年輕婦女的手拉到唇邊親吻，而是把她的小手指塞進(jìn)他那點(diǎn)燃著火的煙斗里去！牛頓在自然科學(xué)史上占有獨(dú)特地位。沒有哪個(gè)人象牛頓那樣，給整整兩個(gè)多世紀(jì)的自然科學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)打上自己的烙印。他繼續(xù)并完成了十六世紀(jì)和下七世紀(jì)由他先輩所領(lǐng)導(dǎo)的科學(xué)革命。正如他所說的“站在巨人的肩上，所以才能比這些巨人看得遠(yuǎn)些”，這些巨人就是哥白尼、伽利略、開普勒、惠更斯、笛卡兒、費(fèi)爾馬和波義耳以及他的老師巴羅。盡管牛頓的特殊的微積分形式，即流數(shù)術(shù)，在他還在世的時(shí)候，就因萊布尼慈的微積分遠(yuǎn)比