福建省泉州市某中學(xué)2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

2023年春季泉州市培圓中學(xué)高一年段期中考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分,在每一個小題給出地四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求地.)

1.下面各式地運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)地是

A.(1+i)2B.i2(l-i)C,i(l+i)2D.i(l+i)

【結(jié)果】A

【思路】

【思路】利用復(fù)數(shù)地四則運(yùn)算,再由純虛數(shù)地定義,即可求解.

【詳解】由題意，對于A中，復(fù)數(shù)(1+1)2=27?為純虛數(shù)，所以正確。

對于B中，復(fù)數(shù)『.(1—i)=—l+i不是純虛數(shù),所以錯誤。

對于C中，復(fù)數(shù)3(l+i)2=-2不是純虛數(shù),所以錯誤。

對于D中，復(fù)數(shù)力(1+，)=-1+7不是純虛數(shù),所以錯誤,故選A.

【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)地基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)地概念,屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)地四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握

其四則運(yùn)算技巧和常規(guī)思路.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念是解答此類問題地關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)

算能力,屬于基礎(chǔ)題.

2.若1+6是有關(guān)x地實(shí)系數(shù)方程/+云+0=0地一個復(fù)數(shù)根，則()

A.b=2,c=3B.b=2,c=-\

C.b=-2,c=-\D.b=-2,c=3

【結(jié)果】D

【思路】

【思路】把X=l+代入方程,整理后由復(fù)數(shù)相等地定義列方程組求解.

【詳解】由題意1+Jli是有關(guān)X地實(shí)系數(shù)方程f+6x+c=0

.?.(l+/)2+b(i+/)+c=(M[J_l+6+c+(2&+?)i=0

-l+6+c=0[b^-2

r-r-，解得《,.

2V2+V2Z>=0c=3

故選：D.

3.在邊長為1地正三角形Z8C中，口方-萬q地值為

A.1B.2C.D.G

2

【結(jié)果】D

【思路】

LLUUUO/CUTUUU、UUDUUD

【思路】以ZB,8C為鄰邊作菱形Z8CO,則”-8C=—（氏4+8Cj=—邑計(jì)算出菱形

N8C。地對角線8。地長度即可得出結(jié)果.

UUULLU,uuULU\UUUUUU

【詳解】以8。為鄰邊作菱形48CQ,則/8-8。=一（8/+8。）=-8。=。8,

由圖形可知，|而|地長度等于等邊MBC地邊AC上地高地2倍，

UUDI（］、2ULDUUU

即。8=2』12__=百，因此，Z8—逝，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查差向量模地計(jì)算，解題地關(guān)鍵就是作出圖形，找出差向量，思路圖形地形狀,進(jìn)而求出線段

長度,考查數(shù)形結(jié)合思想地應(yīng)用,屬于中等題.

4.如圖,一個平面圖形地斜二測畫法地直觀圖是一個邊長為a地正方形O'HB'C',則原平面圖形地周長和

面積分別為（）

A.2a,B.8a,2缶2D.42a,2缶2

4

【結(jié)果】B

【思路】

【思路】由直觀圖還原出原圖,在原圖中找出對應(yīng)線段長度進(jìn)而求出周長和面積.

【詳解】由直觀圖可得原圖形,

：.OA=BC=a,0B=2也a，NBOA=90。,

：.ZB=0C=3a,原圖形地周長為8a,

:?S=a,2s[ia-2y[2.a~-

故選：B

5.若非零向量-滿足忖=3跖(2)+35)J_瓦則￡與石地夾角為()

2萬7T

A.—B.——C.—

336

【結(jié)果】A

【思路】

【思路】依據(jù)平面向量垂直地性質(zhì),結(jié)合平面向量數(shù)量積地運(yùn)算性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】由（22+3坂）,6=（2￡+3沖石=0=27坂+37=0=2問?W<os〈H〉+3方=0,

因?yàn)?|=3慟，所以6|年同405〈。彳〉+3忖=0,因?yàn)槿胁皇橇阆蛄?

一一1——27r

所以cos（a?6〉=一5n〈。?6〉=—,

故選：A

6.在A48C中,a,4c為4f，必,NC地對邊，a=l,c=邁，/=45。，則C地值為（）

2

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

【結(jié)果】D

【思路】

【思路】直接通過正弦定理即可得解.

【詳解】因?yàn)閍=l,c=4=45。，

2

V672

由正弦定理可得.萬csin/TXV、6，

sinC=------=-----=—

a12

又因?yàn)?<C〈乃，所以C=60°或120°,

故選：D.

7.已知一個圓錐地底面圓面積為3萬，側(cè)面展開圖是半圓，則其外接球地表面積等于（）

A12乃B.16萬C.36萬D.48萬

【結(jié)果】B

【思路】

【思路】設(shè)圓錐地底面圓半徑為一，高為〃，母線長為/,圓錐地外接球半徑為火，求出廠，I,〃，列等式求出

R,再利用球體地表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐地底面圓半徑為廣，高為九母線長為/,圓錐地外接球半徑為火，

則nr~=3乃，可得尸=百，

由于圓錐地側(cè)面展開圖是半圓，則兀1=Inr，可得/=2r=2JLh=一產(chǎn)=3,

由圓錐地幾何特征可知，圓錐地外接球心在圓錐地軸上，

所以，M—=/?2,解得尺=2,

因此,該圓錐地外接球地表面積為4萬&2=16〃.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方式點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)地切，接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題

求解,其解題思維流程如下：

（1）定球心：假如是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)地距離相等且為球地半徑。假如是外接球，球心到接點(diǎn)地距離相

等且為半徑。

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多地包含球，幾何體地各種圓素以及體現(xiàn)這

些圓素地關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化地目地。

（3）求半徑下結(jié)論：依據(jù)作出截面中地幾何圓素，建立有關(guān)球地半徑地方程，并求解.

8.有一正三棱柱（底面為正三角形地直棱柱）木料/8C-44G，其各棱長都為2,已知點(diǎn)。|,。分別為上,

下底面地中心，加為0a地中點(diǎn)，過48,M三點(diǎn)地截面把該木料截成兩部分，則此截面面積為（）

R3Mc1673

D.-------------D.2

4,9

【結(jié)果】C

【思路】

【思路】取4月地中點(diǎn)地中點(diǎn)N漣接并延長交。G與G,過G作EE//4A，則梯形

ABFE即為所求地截面，然后依據(jù)M為中點(diǎn),Q為中心，得到CXG=；CQ,進(jìn)而求得ER和梯形地高即可.

【詳解】如圖所示:

取4用地中點(diǎn)。,地中點(diǎn)N,連接NM并延長交DC,與G,過G作EE/,

因?yàn)锳B"AB、,所以EF//AB,

則梯形ABFE即為所求地截面,

則￡>?=QG,

因?yàn)镸為中點(diǎn),。1為中心為中心,

所以

12

因?yàn)镋F=gx2=,AE=BF

524473

所以梯形地高為

故選：c

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體地截面問題，還考查了空間想象和運(yùn)算求解地能力,屬于中檔題.

二、多選題(共4題,每小題5分，共20分,在每小題給出地選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全

部選對地得5分,有選錯地得0分,部分選對地得2分

9.在復(fù)平面內(nèi)，下面表達(dá)正確地是()

A.若復(fù)數(shù)z=上口(i為虛數(shù)單位)，則z30=-1

1-1

B,若復(fù)數(shù)z滿足z2eR,則

C.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)地集合是以原點(diǎn)。為圓心，以1為半徑地圓

D.若復(fù)數(shù)z滿足|z—4i|=2,則目地最小值為6

【結(jié)果】AC

【思路】

【思路】對于A,先求得z=i,再計(jì)算即可。

對于B,設(shè)2=4+bi,得必=0,從而可判斷。

對于C,由復(fù)數(shù)模地幾何意義可判斷。

對于D,依據(jù)款件得到目地表達(dá)式,再求最值即可.

［詳解】對于A,z=勁=(1+匚=i，則=_1,所以*=(z2)'5=(-1)'5=-1,故A正確。

1-1(1-1)(14-1)

對于8,設(shè)2=。+左，則22=伍+切)2=/-〃+2"屹1<,則可知。6=0,而』=4_4，若。=0/工0時,

zeR,故B錯誤。

對于C,由復(fù)數(shù)地模地幾何意義可知是正確地。

a=2cosa

對于D,設(shè)2=a+bi,由z滿足］一倒=2,則有a?+9-4>=4,令'

b=2sina+4'

則目=Ja2+62=J(2cosa>+(2sina+4>=J16sina+2022,所以目地最小值為2,故D錯誤..

故選：AC

10.下面表達(dá)正確地是()

A.若△力8C是等邊三角形，則刀，瑟地夾角為60°

a-bb

B.向量￡在向量石上地投影向量可表示為,國

\b\\b\

C.若a.至<0,則々與瓦地夾角。地范圍是15,乃

D.若工(1,2),力=(1,1),￡與￡+篇地夾角為銳角，則實(shí)數(shù)4地取值范圍是［-<+②］

【結(jié)果】BC

【思路】

【思路】利用向量夾角地定義可判斷A選項(xiàng)。利用投影向量地定義可判斷B選項(xiàng)。利用平面向量數(shù)量積地

定義可判斷C選項(xiàng)。利用平面向量數(shù)量積地坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，若AZBC是等邊三角形，則存，蔗的夾角為120°,A錯。

在向量「上地投影向量可表示為|《cos<a,h>b_a-bb

對于B選項(xiàng)，向量￡甲■對。

對于C選項(xiàng),若a?5=卜|^Wc°se<0,可知Z，B均為非零向量，所以，cos6<0,

jr

因?yàn)??夕〈萬，所以，對。

對于D選項(xiàng)，a=(1,2),6=(1,1),則a+4=(1+2,2+%),

M?仿+茄)=34+5〉05

因?yàn)閆與￡+篇地夾角為銳角，則〈/\7，解得4>一不且/lwO,D錯.

2(1+/1)//1+23

故選：BC.

11.在A/BC中，角A,B,C地對邊分別為a,b,C,若c=3,6=2百，8=2C,則下面結(jié)論正確地

是()

A.sinC=—B.a=-C.a=cD.S..=272

33R(

【結(jié)果】AB

【思路】

【思路】利用二倍角地正弦公式可求得cosC地值，結(jié)合同角三角函數(shù)地基本關(guān)系可判斷A選項(xiàng)地正誤。

利用余弦定理求出。地值,可判斷BC選項(xiàng)地正誤。利用三角形地面積公式可判斷D選項(xiàng)地正誤.

［詳解］'：B=2C,：.sin8=sin2c=2sinCcosC,

由正弦定理可得6=2*05。，可得(^。=2=空=也，故。為銳角，

2c63

所以，sinC=Jl—COS2C=』5,A選項(xiàng)正確。

3

由余弦定理可得9=c?=/+〃—2仍cosC=a?+僅百丫一2。.2百?日，

即—4〃+3=0,解得。=3或a=1,

7T4

若。=3,則/=C=；,8=々，此時與題意不符，

42

所以，4=1=￡，即選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯誤。

3

△Z8C地面積S.ABC=?SinC=gX1X2JJx*=后，即選項(xiàng)D錯誤.

故選：4B.

12.如圖，直三棱柱NBC—ZMG中，AA,=2,AB=BC=1,N/8C=90°,側(cè)面44。/中心為O,點(diǎn)E

是側(cè)棱5片上地一個動點(diǎn)，有下面判斷,正確地是()

B.直三棱柱體積是,

3

C.三棱錐E-么4。地體積為定值D.ZE+EC］地最小值為2拉

【結(jié)果】ACD

【思路】

【思路】由題意畫出圖形,計(jì)算直三棱柱地側(cè)面積和體積即可判斷A與B。由棱錐底面積與高為定值判斷

C?設(shè)BE=x,列出4E+EG有關(guān)x地函數(shù)式,結(jié)合其幾何意義求出最小值判斷D.

【詳解】在直三棱柱中，AA,=2,AB=BC=\,AABC=90°

底面ABC和44G是等腰直角三角形,側(cè)面全是矩形,所以其側(cè)面積為1X2X2+"7Fx2=4+2V21

故A正確。

直三棱柱地體積為P=S^8C=；X1x1x2=1,故B錯誤。

由85〃平面/4GC,且點(diǎn)E是側(cè)棱上地一個動點(diǎn)，二三棱錐后一力4。地高為定值也，

2

夜X2=史，.../_例。=:義立X也=：,故C正確。

423226

2

設(shè)S￡=xe[0,2]，則BiE=2-x,在Rt\ABC和中，，AE+ECX=Vl+x+Jl+（2-.由

其幾何意義，

即平面內(nèi)動點(diǎn)（x,1）與兩定點(diǎn)（0,0）,（2,0）距離和地最小值，由對稱可知，當(dāng)￡為地中點(diǎn)時，其最

小值為12?+2?=272，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題考查命題地真假判斷與應(yīng)用，考查直三棱柱地側(cè)面積和體積地求法,函數(shù)思想求最值問題,空

間想象能力和思維能力,屬于中檔題.

二、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分.

13.若4=1+2i,Z2=2-i,,則匕囚=.

【結(jié)果】5

【思路】

【思路】依據(jù)復(fù)數(shù)乘法地運(yùn)算法則,結(jié)合復(fù)數(shù)模地運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閆|=l+2i,z?=2-i,

所以|z,|=|（l+2i）（2-i）|=|4+3i|="2+32=5,

故結(jié)果為：5

14.一圓臺地母線長為20cm,母線與軸地夾角為30。,上底面半徑為15cm,則下底面半徑為—，圓臺地高為

【結(jié)果】①.25(2).1073

【思路】

【思路】

依據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形求出圓臺地高和下底面圓地半徑和高.

【詳解】解：如圖所示，

圓臺地母線長為/=20cm，母線與軸地夾角為30。，上底面地半徑為r=15cm,

所以圓臺地高為〃=/cos30。=20x@=10百(cvn),

2

則R-r=/sin30°=20x；=10,

所以底面圓地半徑為火=15+10=25(cm),

故結(jié)果為：25。10G

15.在△NBC中，乙48c=90。，AB=4,8C=3,點(diǎn)。在線段力C上,若Z8Z)C=45°,則

cos/ABD=.

【結(jié)果】①.注也②.述

510

【思路】

【思路】本題主要考查解三角形問題，即正弦定理，三角恒等變換，數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在

ABDC,AABD中應(yīng)用正弦定理，由cos乙18。=cos(ZBDC-ZBAC)建立方程,進(jìn)而得解.

ABBD37r

【詳解】在AABD中，正弦定理有:而4B=4,NADB=±~

sinZADBsin/BAC4

_________OADA',卜

AC=>JAB2+BC2=5,sinZBAC=-=-,cosZBAC=—=工，所以8。=-----

rrIT7Z

cosZ.ABD=cos(/BDC—/BAC)=cos—cosN84C+sin—sinABAC=----

4410

【點(diǎn)睛】解答解三角形問題,要注意充分利用圖形特征.

16.在A48C中，邊長為見》7€[1,2],若對任意實(shí)數(shù),,恒有|荔一就上|前|,則448。面積

地最大值是.

【結(jié)果】2#)

【思路】

【思路】由已知得點(diǎn)B到直線/C地最短距離為BC,所以8dC,再由三角形地面積公式和二次函數(shù)地

性質(zhì)可求得三角形面積地最大值.

【詳解】解：因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)，，恒有同一刀閆阿，所以點(diǎn)B到直線/C地最短距離為8C,所以

BCLAC,

又A48C中，/=?,這邊長為〃1,〃問1,2],所以國=g〃z,所以‘做=3加?百加=**，

又1W/A4,所以1V更加2<2百，即A48C面積地最大值是26,

22

故結(jié)果為：2^)?

三.解答題：本大題共6小題,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量/8=(4,3),/。=(—3,—1),點(diǎn)Z(—1,—2).

(1)求點(diǎn)8和點(diǎn)。的坐標(biāo)。

(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足方=2麗(九6夫),求y與2地值.

【結(jié)果】⑴8(3,1),7)(-4,-3)

【思路】

【思路】（1）設(shè)8（xj）,依據(jù)方=（x+l/+2）=（4,3）,解出8點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得。點(diǎn)坐標(biāo).

（2）先表示出麗=（1,1一月，麗=（-7,-4）,然后結(jié)合麗=eR）以及向量相等地款件,得到有

關(guān)地值.

【小問1詳解】

設(shè)3（3）,:/（-1,-2）,；.刀=（》+1）+2）=（4,3）,

x+1=4x=3

，解得＜1，:.5(3,l)o

y+2=3b=l

同理可得。（—4,一3）.

【小問2詳解】

因?yàn)槎?礪_麗=（3,l）_（2,y）=（l』_y）,

麗=而一礪=（-4,—3）-（3,1）=（―7,-4）,

二由萬=4而得-?）=義（-7,-4）,

'l=—7丸3I

?'J.“1，；?解得V=］，/=一二.

l-y=-4A77

18.從①（2c-a）cos8=bcosZ,②JJacos（Z+C）+bsin/=0,③asin2B=bsin4這三個款件中

任選一個,補(bǔ)充在下面地問題中，并加以解答.

已知A4BC地內(nèi)角48,C所對地邊分別為a,b,c,若,且/=ac,證明：AABC是等邊三角形.

注：假如選擇多個款件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

【結(jié)果】證明見詳解

【思路】

【思路】選①依據(jù)正弦定理邊化角化簡可得8=（。選②由cos（N+C）=-cos8化簡，再由正弦定理邊

JTJT

化角化簡可得B=~.選擇③依據(jù)正弦定理與正弦二倍角化簡可得B=~,最后均結(jié)合余弦定理可證.

【詳解】證明：選①（2c-a）cos8=6cos"

依據(jù)正弦定理可得(2sinC-sin/)cos8=sin8cos/,

即2sinCeosB-sinAcos8=sin8cos4,化簡得2sinCeos8=sin（4+8）=sinC,

因?yàn)閟inCw0,所以cos8=1,

2

因?yàn)?￡（0,"），所以8=。，

利用余弦定理,得用=tz2+c2—2accosB=a24-c2—ac^

又因?yàn)椤?ac,所以QC=/+c2-ac,解得a=c.

因?yàn)?=工且斫c,所以△/BC是等邊三角形。

3

選②Viacos（/+C）+6sinZ=0,因?yàn)閏os（力+C）=cos（%一8）=-cos8,

代入上式可得-JJacosB+bsinA=0.

依據(jù)正弦定理可得-J5sin〃cos6+sin8sin/=0>

因?yàn)?e（0,萬），所以sin4H0,可得sin8=Geos8,

則tan8=,

因?yàn)??0,萬），所以8=?,

利用余弦定理,得力=a2+c2-laccos,B-er+c2-ac,

又因?yàn)?=QC,所以ac=a?+c?-ac,解得a=c.

7T

因?yàn)?=一且斫c,所以△IBC是等邊三角形。

3

選擇③asin2B=bsinA

依據(jù)正弦定理可得sin力sin28=sin3sinZ,

因?yàn)榱Α辏?,1），所以sin4wO,可得sin2B=sin8,

所以2sin8cosB=sinB.

1jr

因?yàn)锽E（O9）,所以sinBwO,則可得cosB=5,所以8=

利用余弦定理,得/=Q2+。2-2accos8=Q2+。2一QC，

又因?yàn)?=ac,所以4c=a?+02-ac,解得a=c.

7T

因?yàn)?=—且a=c,所以4ABC是等邊三角形.

3

19.已知在正方體一44G2中，截下一個四棱錐E-/8C。，幺4=2,￡為棱CG中點(diǎn).

(1)求四棱鍵EdBC。地表面積。

(2)求四棱錐E-ABCD地體積與剩余部分地體積之比。

(3)若點(diǎn)尸是Z3上地中點(diǎn)，求三棱錐C-OEB地體積.

【結(jié)果】⑴6+2后

(2)1:5

(3)I

【思路】

【思路】(1)求出正方形N8C。和四個直角三角形地面積，相加即為結(jié)果。(2)求出四棱錐E-48CD地體

積,正方體地體積，得到兩者地比值，從而求出求四棱錐E-Z8C。地體積與剩余部分地體積之比。(3)等體

積法求解三棱錐C-DE產(chǎn)地體積.

【小問1詳解】

四棱錐地表面由正方形ABCD和四個直角三角形所圍成，

△ABE與AADE全等,4BCE與△OCE全等，

因?yàn)镾"C=22=4,SABCE=；8CCE=；X2X1=1,

BE=dBC?+CE?=5S.ABE=；AB.BE=3義2乂加=也

所以S—SABCD+SA8C￡+，&DCE+S“8E+S.ADE=4+2X1+2X75=6+2A/5

【小問2詳解】

因?yàn)镋C為四棱柱E-ABCD地高,且EC=\

114

所以/YBO=5S，BS-EC=§X4X1=5

又正方體體積匕=23=8,

4

V:匕=一：8=1:6

FARCn13

設(shè)剩余部分地體積為七,

所以^E-ABCD:匕=1:5

【小問3詳解】

c_J_q_9

°ACDF-2ABCD一乙，

其中CEJ_平面/BCD,

112

故—C-DEF=^E-CDF=§^CDF,EC=§X2X1二§

兀■■一"1一”

20.在三角形Z3C中，ZB=4,BC=2,NACB=一,。是線段8C上一點(diǎn)，且=-OC,E為線段

23

4B上一點(diǎn).

(1)已知或=2部=5,設(shè)麗=xN+yb,求x一歹。

(2)若E為線段AB地中點(diǎn)，直線CE與BD相交于點(diǎn)￡求麗.荔.

……、124

【結(jié)果】(1)X—y=—。(2)-----.

27

【思路】

—?31-

【思路】(1)運(yùn)用向量地線性運(yùn)算得8。=—彳+―6,對比可求得羽歹，可得結(jié)果。

44

(2)令方=2而，由8,D,尸三點(diǎn)共線，求得4,得出向量而地線性表示,再由向量數(shù)量積地運(yùn)算可得

結(jié)果.

【詳解】解：(1)JD=BA+~AD=BA+-AC

4

—?1——

=BA+-(AB+BC)

3—■1—?31-

=-BA+-BC=-a+-b,

4444

31

.\x=-,y=-

44

所以x-y=-o

⑵

CE=^-CA+^CB=^CD+-CB=-CD+-CB,

2223232

-.2—■1—.

令CE=/I，則C。+77C8，

3A2A

217

由8,D,產(chǎn)三點(diǎn)共線：——+——=1=>/I=—,

3Z2Z6

:.CF=-CE=-CA+-CB,

777

.1.CF-ZS=^|CS+|CS^(^C+C5)=-|C42+|C52

|C4|=273：.CF-AB^--.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決向量地線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算時，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化法地運(yùn)用,將待求地向量轉(zhuǎn)化為

己知向量得以求解.

21.如圖，一個湖地邊界是圓心為。地圓，湖地一側(cè)有一款直線型公路/，湖上有橋N8(48是圓。地直

徑).規(guī)劃在公路/上選兩個點(diǎn)P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA,規(guī)劃要求：線段PBQA上所有點(diǎn)到點(diǎn)

。地距均不小于圓。地半徑.已知點(diǎn)48到直線/地距離分別為/C和8。(C,。為垂足)，測得

AB=10,AC=6,BD=12（單位：百米）.

(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB地長。

(2)在規(guī)劃要求下，尸和。中能否有一個點(diǎn)選在。處？并說明理由.

【結(jié)果】(1)P8=15。(2)P,。中不能有點(diǎn)選在。點(diǎn)。

【思路】

【思路】(1)設(shè)8。與圓。交于連接NA/,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則彳(0,-6),

5(-8,-12),。(-8,0),設(shè)點(diǎn)尸(占，0),運(yùn)用兩直線垂直地款件：斜率之積為-1,求得尸地坐

標(biāo),可得所求值。

(2)當(dāng)。/_LZ8時，04上地所有點(diǎn)到原點(diǎn)。地距離不小于圓地半徑，設(shè)此時。(￡，0),運(yùn)用兩直線垂直

地款件：斜率之積為-1,求得。地坐標(biāo),即可得到結(jié)論。

【詳解】解：設(shè)8。與圓。交于連接

AB為圓O地直徑,可得AMVBM,

即有DW=ZC=6,BM=6,AM=S,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則/(0,-6),5(-8,-12),￡>(-8,0)

(1)設(shè)點(diǎn)P(X1,0),PBA.AB,

則kBP，kAB=-1.

0-(-12)-6-(-12)

即------->---------=-1,

%-(-8)0-(-8)'

解得玉=一17,所以尸(一17,0),PB=7(-17+8)2+(0+12)2=15?

(2)當(dāng)。/，時，QA上地所有點(diǎn)到原點(diǎn)。地距離不小于圓地半徑,設(shè)此時。(迎，0),

則3?心=T,即0-馬(-6」)丁-6-(-%12)2=T,解得％=一9彳，。(一9彳，°)，

-uU-(-3)22

9

由-17<-8<-一，在此范圍內(nèi)，不能滿足尸8,QA上所有點(diǎn)到。地距離不小于圓地半徑,

2

所以P,。中不能有點(diǎn)選在。點(diǎn)。

【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓地位置關(guān)系，考查直線地斜率和兩直線垂直地款件：斜率之積為-1,以及兩點(diǎn)地

距離公式，思路問題和解決問題地能力,考查運(yùn)算能力.

7T

22.在銳角三角形Z8C中，。，b,C分別是角A,B,。所對地邊，/=一.

3

(1)若a=l,求AN8c周長地取值范圍。

(2)若3c=4\/§，DB=-3DC>冠=而，求/￡地最大值.

【結(jié)果】⑴(1+6,3]

⑵2+也

2

【思路】

【思路】⑴利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出a+b+c=2sin(8+?1+l,求出角8的取值范圍，

利用正弦型函數(shù)地基本性質(zhì)可求得A/BC周長地取值范圍。

(2)由平面向量地基本定理可得出4而=方+3就，利用平面向量數(shù)量積地運(yùn)算以及正弦定理可得出

|泰1=2j7sin（28-°）+?,求出角8地取值范圍，利用正弦型函數(shù)地基本性質(zhì)可求得在q地最大值.

【小問1詳解】

_--b---..c..---a---1--2-

解：因?yàn)榱?；4,a=1,由正弦定理得sin8sinC