2021-2022學(xué)年河北省石家莊市行唐縣高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案解析

2021-2022學(xué)年河北省石家莊市行唐縣高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},N={3,4,5},貝IJCU(MnN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.[1,2,5}

2.設(shè)i3z=3+5i,則z=()

A.-5+3iB.-5-3iC.5-3iD.5+3t

3.等比數(shù)列{an}的前？I項和為%,S3=3,S6=9,則公比q=()

A.√3B.√2C.V3D.V2

4.某高校甲、乙兩位同學(xué)大學(xué)四年選修課程的考試成績等級(選修課的成績等級分為1,2,3,

4,5,共五個等級)的條形圖如圖所示,則甲成績等級的中位數(shù)與乙成績等級的眾數(shù)分別是()

A.3,5B.3,3C.3.5,5D.3.5,4

5.己知一個圓錐的體積為3兀，任取該圓錐的兩條母線α,b,若a,b所成角的最大值為小

則該圓錐的側(cè)面積為()

A.3√3πB.6πC.6√3πD.9π

6.已知橢圓E：'+A=l(α>b>0)的左頂點和上頂點分別為4,B,若ZB的垂直平分線

過E的下頂點C,則E的離心率為()

A.乎B.咚CYD.?

7.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：10OmL血液中酒精含量達(dá)到

20?79mg即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，

其血液中的酒精含量上升到了L2mg∕m3且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每

小時20%的速度減少，若他想要在不違規(guī)的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)為(參考

數(shù)據(jù)：lg2≈0.3,仞3z048)()

A.6B.7C.8D.9

8.已知實數(shù)α,b滿足+ecι=e^^α+1,b3+eb=e~b—1,則α+b=()

A.-2B.OC.1D.2

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列式子等于CoSQY)的是()

A.COS(X-%B.sin(x—y)

C.Kcosj+s收D2COS2危-≡)-l

10.設(shè)α>0,b>0,且ακb,則“a+b>2”的一個必要不充分條件可以是()

A.a3+b3>2B.a2+b2>2C.ab>1D.」>2

ab

11.若函數(shù)y=/(X)的圖象上存在兩點，使得/(X)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱

y=∕(χ)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有7性質(zhì)的是()

A.y=sin2xB.y=tanx

C.y=I|,%∈(―2,+∞)D.y=ex-Inx

12.已知定義在［0,勺上的函數(shù)/(x)=sin(s-今(3>0),()

A.若/(x)恰有兩個零點，則3的取值范圍是［5,9)

B.若f(X)恰有兩個零點，則3的取值范圍是(5,9］

C.若/(x)的最大值為則3的取值個數(shù)最多為2

D.若/Q)的最大值為則3的取值個數(shù)最多為3

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知平面向量五，方滿足I五I=IBl=駕皿，則五與B夾角的大小為.

14.將五枚質(zhì)地、大小完全一樣的硬幣向上拋出，則正面向上的硬幣枚數(shù)為2或者3的概率

為.

15.根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對稱軸平

行，一條平行于對稱軸的光線經(jīng)該拋物線反射后會經(jīng)過拋物線的焦點.如圖所示，從A(5,τ∏ι)

沿直線y=n?發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=4x兩次反射后，回到光源接收器。(5,G2)，則該光線

16.已知P為正方體ABCD-IGDl表面上的一個動點，AB=2,M是棱48延長線上的一

點，且而=前，若PM=2√Σ,則動點P運(yùn)動軌跡的長為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛α7l｝滿足多■+號+詈+…+招=”?

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)設(shè)勾=(-?r(^-?),求數(shù)列｛匕｝的前Ti項和S71.

18.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為α,b,c.已知c2+=2bccos4

⑴求B.

(2)—,若問題中的三角形存在，試求出COSC；若問題中的三角形不存在，請說明理由.

在①ɑ=^b+等，(2)b=1a+^c,③C=孝匕―乎a,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在

橫線上.

19.(本小題12.0分)

為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了100個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn),

蘋果的重量雙單位：kg)近似服從正態(tài)分布N(0.4Q2),如圖所示，已知P(X<0.1)=0.1,

P(X<0.3)=0.3.

(1)若從蘋果園中隨機(jī)采摘1個蘋果，求該蘋果的重量在(050.7］內(nèi)的概率;

(2)從這100個蘋果中隨機(jī)挑出8個，這8個蘋果的重量情況如下.

重量范圍(單位：kg)[0.1,0.3)[0.3,0.5)[0.5,0.7]

個數(shù)242

為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這8個蘋果中隨機(jī)選出3個，記隨機(jī)選出的3個蘋果中重量在

［0.3,0.7］內(nèi)的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.(本小題12.0分)

如圖，在多面體ABCEF中，△ABC和AACE均為等邊三角形，D是AC的中點，EF//BD.

(1)證明：AC1BF-,

(2)若平面48C_L平面4CE,求二面角4-BC-E的余弦值.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(X)=ax2+cosx,

(1)當(dāng)a=；時，討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥l,求α的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

如圖，已知雙曲線C：y-y2=1.過P(Ll)向雙曲線C作兩條切線，切點分別為4(%ι,yι),

8(%2，、2)，且XlVO,%2>°?

(1)證明：直線PA的方程為竽-y。=1?

(2)設(shè)F為雙曲線C的左焦點，證明：?AFP+?BFP=π.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、補(bǔ)集定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用交集定義求出MCN=[3.4}.再由補(bǔ)集定義能求出CU(M∩N).

【解答】

解：全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},N={3,4,5},

MCN={3,4},

則CU(MnN)={1,2,5}.

故選：D.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求出Z=-5+3i.

【解答】

解：由題意可得：Z=巴2=生孚=殍=-5+31.

T一一1

故選：A

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【解答】

解：因為等比數(shù)列｛α7l｝中，S3=3,S6=9,

所以q≠1.

卜ι(l-q3)=3

貝09

則公比q=V2.

故本題選D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查中位數(shù)、眾數(shù)，條形圖，是基礎(chǔ)題.

將甲的所有選修課等級從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級的眾數(shù).

【解答】

解：由條形圖可得，甲同學(xué)共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5,

6門的成績等級分別為3,4,故中位數(shù)為半=3.5,乙成績等級的眾數(shù)為5.

故選C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查圓錐的側(cè)面積的求法，考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

設(shè)圓錐的母線長為R,底面半徑長為r,由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，從而R=2r,由圓

錐的體積解得r=√3,由此能求出該圓錐的側(cè)面積.

【解答】

解：如圖，設(shè)圓錐的母線長為R,底面半徑長為r,

由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形.

所以R=2r,圓錐的體積V=gτ∏?2*^r=3兀，解得r=√5,

所以該圓錐的側(cè)面積為7∏?R=6π.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

求出橢圓的頂點坐標(biāo)，結(jié)合4B的垂直平分線過E的下頂點C,列出關(guān)系式，求解離心率即可.

【解答】

解：由題可知4(-α,0),B(O,b),C(O,-b),所以MCl=IBC則√H虧京=2b，

解得a=同，所以E的離心率e=∏=M

故選：A.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)他想要在不違規(guī)的情況下駕駛汽車，至少需經(jīng)過的小時數(shù)為3則1.2X(1-0.2)，<0.2,即

1

O<

8t6-再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.

解：設(shè)他想要在不違規(guī)的情況下駕駛汽車，至少需經(jīng)過的小時數(shù)為￡,

1,,,▲、？1?6Ig2+lg3

則1.2x(l-0?2)t<0.2,即0.8t<i,兩邊同時取對數(shù)可得，t>=?=?∑?=

Ig2+lg30.78

7.8,

l-3lg2=1-0.9

故若他想要在不違規(guī)的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)為8.

故本題選C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于拔高題.

構(gòu)造函數(shù)/(%)=X3+ex-e-x由已知條件及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性即可得到.

【解答】

構(gòu)建函數(shù)f(x)=X3+ex-e~x,

貝!!/(—%)=(―%)3+e~x—ex=—/(x))

???f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，

由a3+e。=e~a+1.b3+eb=e~b—1,

得/(α)=1,f(b)=-1=/(α)=-f(by)=/(—h)=>α=-b,所以α+b=0.

故選：B.

9.【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查了余弦的差角公式以及倍角公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)余弦的差角公式以及倍角公式化簡即可求解.

【解答】

解：因為

COS(X-B6)=COSXCOS7O÷Sinxsiny6

√31

=?Cosx+2sinx

=^≡÷≡,故C正確，

根據(jù)余弦的倍角公式可得C。S(XY)=2cos2(≡-?)-1=2cos2給-∣)-1,故。正確,

其余兩項均不正確，

故選：CD.

10.【答案】AB

【解析】

【分析】

本題考查必要不充分條件的判斷，考查不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

對于4a+b>2,'=?α3+h3=(ɑ+e)(ɑ2+b2—ah')>2,a3+b3>2,推不出α+b>2;

2

對于B,α>O,b>0,且α力b,"a+b>2”，作差法推導(dǎo)出+b2>的學(xué)>2>a2+b2>2,

推不出a+b>2;舉反例判斷C和。.

【解答】

解：設(shè)a>0,e>0,且QHb,"a+b>2",

對于4,“a+b>2"=>a3+?3=(a+h)(a2+h2—ae)>2,

a3+h3>2,推不出Q+h>2,例如Q=1.6,b=0.1,

??.“a+b>2”的一個必要不充分條件可以是蘇+川>2,故4正確；

對于B,a>0,b>0,且aHb,aa+b>2”,

212(a+b)22>2。2+2。匕+匕2々2—2ab+b2(a—b)?

zz2zz

Va+h-r~-=a÷h---------=--------=—2->0，

?a2+b2>S,3>2>

a2+b2>2,推不出a+b>2,例如a=1.6,6=0.1,

.??lta+b>2n的一個必要不充分條件可以是a2+>>2,故3正確；

對于C,"a+b>2”不能推出ab>2,例如a=1.6,b=0.5,故C錯誤；

對于D,"a+b>2”不能推出工+:>2,例如a=2,b=3,故。錯誤.

ab

故選：AB.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬中檔題.

函數(shù)y=f(χ)的圖象上存在兩點，使得/0)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則判斷y=((無)存

在兩個函數(shù)值的乘積為-1即可.

【解答】

解：當(dāng)L；s2x時,y_^2

y=SiMx=snχE[-IΛ1],

當(dāng)區(qū)=牌2=與時，滿足條件；

當(dāng)y=tcmx時，丫'=?白>0恒成立，不滿足條件；

(-zJxe(-2,1)

當(dāng)y=∣g∣∣,Xe(—2,+8)時，y'=Γx+f，

x+2τ?^∈(i-+∞)

l(x+2)

當(dāng)=-[,%2=2，滿足條件；

當(dāng)y=e*-，nx時，y'=ex—?.函數(shù)y'=e'—g單調(diào)遞增,

,

且y'l=JL=e?-?<-1,y∣χ=1=e-1>1,

所以存在Vlmz=一1，/Ix=X2=1，滿足條件.

故本題選ACD

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，還涉及分類討論的思想，屬于中檔

題.

若/(x)恰有兩個零點，貝忱≤93-:<27r,解得3的取值范圍，進(jìn)行分類討論，借助正弦函數(shù)的

性質(zhì)及圖象可得結(jié)果.

【解答】

解：令O=3X-：∈-?，

若/(X)恰有兩個零點，則?！??<2兀，

解得3的取值范圍是[5,9).

若/(X)的最大值為5,分兩種情況討論：

①當(dāng)今3-3≥],即3≥3時，

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，/(X)max=1=5,解得3=5;

②當(dāng)彳3--<,即O<3<3時,

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，y=SinX在［-權(quán)芻上單調(diào)遞增,

則/(x)maχ=Sine3一力=5>°,

函數(shù)y=SinGX—和與y=之在(0,3)上的圖象如下圖所示：

可知存在唯一的3∈(0,3),使得SinG3-$=??

綜上可知，若/(x)的最大值為最，則3的取值個數(shù)最多為2.

故選：AC.

13.【答案】?

【解析】

【分析】

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)I引=IEI=駕至I=t，由數(shù)量積的計算公式可得I日+B∣2=2t2,可得五.石=0,由向量垂直

的性質(zhì)可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，設(shè)I引=I至I=駕現(xiàn)=t，

則I五+6I=√2t(則有I五+方/=a2+b2+2a?b=2t2>

可得有?E=O,即五則五與石夾角的大小為宏

故答案為最

14.【答案】I

O

【解析】

【分析】

本題考查概率的求法，考查n次獨立重復(fù)試驗中事件4恰好發(fā)生k次概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

利用Ti次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式能求出正面向上的硬幣枚數(shù)為2或者3的

概率.

【解答】

解：將五枚質(zhì)地、大小完全一樣的硬幣向上拋出，

則正面向上的硬幣枚數(shù)為2或者3的概率為：

P=??2φ3+c?)3?)2=I?

故答案為：

O

15.【答案】12

【解析】

【分析】

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題.

由拋物線的定義即可求解光線經(jīng)過的路程.

【解答】

解：拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

由題可知，線段BC經(jīng)過焦點F,

設(shè)B(XI,恤)，C(x2,m2),

所以IABl=5-勺,?BC?=X1+X2+2,?CD?=5-X2,

???該光線經(jīng)過的路程為MBl+?BC?+?CD?=12.

故答案為：12.

16.【答案】(￠+1)兀

【解析】

【分析】

本題考查簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，是中檔題.

由題意可知，BM=2,且點P的軌跡是以M為球心，2夜為半徑的球與正方體表面的交線，作出

草圖，根據(jù)弧長公式即可求出結(jié)果.

【解答】

解：因為AB=2,M是棱48延長線上的一點，且而=麗，所以=2,

由勾股定理，可知MC=BlM=2√∑,

因為PM=2√Σ,所以點P的軌跡是以M為球心，2魚為半徑的球與正方體表面的交線，如下圖所

示：

所以動點P的運(yùn)動軌跡在平面ABCD上的部分是以M為圓心，MC=2√Σ為半徑的圓弧，該圓弧所

對圓心角為a動點P的運(yùn)動軌跡在平面4通BBl上的部分是以M為圓心，MBI=2遮為半徑的圓弧,

該圓弧所對圓心角為會動點P的運(yùn)動軌跡在平面BBlClC上的部分是以B為圓心，BC=2為半徑的

圓弧，該圓弧所對圓心角為奈

所以動點P運(yùn)動軌跡的長為2×≡×2√2+^×2=(√2+l)π.

故答案為：(V∑+l)ττ.

17.【答案】解：⑴因為1+與+詈+…+3=η，

所以n≥2時，y+y+H-----Ξ=n—1,

z46FZ?n-?Z

兩式作差得，?=1,所以般≥2時，an=2n,

又九=I時，y=1,得α?=2,符合上式，

所以｛αn｝的通項公式為αn=2n.

(2)由(1)知b"=(-l)n(??il-?)=

所以Sn=瓦÷62+力3+…+b∏

Illll11

=一(1+2)+(2+3)-q+N+…+(T)%+E)

即數(shù)列出“｝的前n項和S71=-1+(-ir?.

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是

中檔題.

(1)利用已知條件寫出n≥2時，?+τ+?+-+S?=n-l.推出黑=1，求解5｝的通項公

式.

(2)化簡勾的表達(dá)式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可.

18.【答案】解：(I)由C?+(bcos4)2—2CbCoSyl=0,可得(C—AosA)?=0,則c=bcosA；

??.由正弦定理可得SiTIC=CosAsinB,

在△4BC中，SinC=Sin(A+B)=SinAcosB+CosAsinB,

則SirL4cos8=0,

VsinA≠0,???cosB=0,

Tr

,?,0<8<兀，?,?B=2

(2)選擇條件①Q(mào)=乎b+4c，在448C中，=?-=?z,可得Si九4=rsiziB+孚SinC，

''Jy33StnAsιnBStnC33

???B=?sinA=CoSC,

???cosC=?+^?sinC,由cosC—SinC=1，

根據(jù)輔助角公式，可得CoS(C+≡)=∣,

???0<C<

???c+i=l>即C建，

故cosC=?-

選擇條件②

由b=?ɑ+vc,得爐—?ɑ2+∣c2+vac,

22442

222

VB=≡,Λh=α+C,因止匕Q2+C2="2+,C2+^3

，442

整理得3α'2—2√3αc+C2=0>即(bα—c)2=0,則=c;

在RtAABC中，≡=tanC=√3,

“π

?'?c=3?

故COSC=?.

選擇條件③

?√2,√2

田C=--γa,

得b=>∕2c+a>

即Z>2=2C2+a2+2y∕2ac=a2+C2>

整理得c?+2V2αc=0,

由于a>0,c>0,則方程無解，故不存在這樣的三角形.

【解析】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

(1)直接利用關(guān)系式的變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；

(2)選條件①時，直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果；

選條件②時，利用關(guān)系式的整合的應(yīng)用求出結(jié)果；

選條件③時，利用邊長的應(yīng)用和關(guān)系式的變換的應(yīng)用判斷出三角形不存在.

19.【答案】解：(1)已知蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態(tài)分布N(0.4Q2),

由正態(tài)分布的對稱性可知，

P(0.5<X<0.7)=P(0.1≤x<0.3)=P(x<0.3)-P(x<0.1)=0.3-0.1=0.2,

所以從蘋果園中隨機(jī)采摘1個蘋果，該蘋果的重量在(050.7］內(nèi)的概率為0.2.

(2)由題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1、2、3,

P(X=I)=?k■P(X=2)=警=熱P(X=3)=:=2，

所以，隨機(jī)變量X的分布列為:

X123

3155

P

282814

所以E(X)=Ix^+2x∣∣+3x群=；.

【解析】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望及其分布列，正態(tài)分布，屬于中檔題.

(1)利用正態(tài)曲線的對稱性結(jié)合已知條件可求得P(0.5<x≤0.7)的值；

(2)分析可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1、2、3,計算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，可

得出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)一步可求得E(X)的值.

20.【答案】(1)證明:連接DE,

因為4B=BC,且。為4C的中點，所以4C1BD,

因為AE=EC,且。為4C的中點，所以4CJ.DE,

因為BDU平面BDE,DEU平面BDE,且BCnDE=D,

所以ACl平面8DE,

因為EFuBD,所以B,D,E,F四點共面，所以BFU平面BDE,

所以AC_LBF；

(2)解：由(I)可知DEL4C,

因為平面ABC1平面ACE,平面ABCn平面力CE=4C,DEU平面4CE,

所以DE1平面4BC,

所以。C,DB,DE兩兩垂直，

以D為坐標(biāo)原點，DC,DB,DE為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=2,則B(0,√5,0),C(l,0,0),F(0,0,√3)>

從而玩=(1,-百,0),CF=(-l,0,√3).

設(shè)平面BCE的一個法向量為元=(x,y,z),

則儼屈="—7?=0,令X=QW=I,Z=I,

(n?CE=—X+V3z=0

所以平面BCE的一個法向量為亢=(√3,1,1).

平面48C的一個法向量為沅=(0,0,1).

設(shè)二面角Z—BC—E為0,由圖可知。為銳角，

貝!∣cosO=Icos<n,in>|=|I="≡?=g

''Iniximl1√5×15

所以二面角a-BC-E的余弦值為印

【解析】本題考查線與線垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，

轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

(I)由已知可證4C?LB0,AC1DE,進(jìn)而可證AC1平面BDE,從而可證AC1BF；

(2)先證DEL平面ABC,可得。C,DB,DE兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，DC,DB,DE為坐標(biāo)軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求平面BCE,平面ABC的一個法向量，利用向量法求二面角

A-BC-E的余弦值.

21.【答案】解：(1)當(dāng)a=T時，∕,(x)=x-sinx,

令g(x)=x-s譏X,則g'(x)=1-CoSX≥0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

又因為g(0)=0,所以當(dāng)X<0時，f'(x)<0,當(dāng)x>0時，/'(X)>0,

所以/(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

,

(2)∕(x)=2ax—sinxf且f(0)=1.

①當(dāng)Q≥^tx≥0時，由(1)可知％-si"X≥0,

所以了(%)≥0,f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則f(%)≥f(O)=l,符合題意.

②當(dāng)α≤0時，∕φ=a×φ2<1,不符合題意，舍去.

③當(dāng)0<a<；時，令/(X)=2ax-sinx,則F'(x)=2a—cosx,

,

K∣