2023年北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷匯編：四邊形章節(jié)綜合3

答案第=page2020頁(yè)，共=sectionpages4646頁(yè)答案第=page1919頁(yè)，共=sectionpages4646頁(yè)2023北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編四邊形章節(jié)綜合3一、單選題1．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．82．（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┤鐖D，已知平行四邊形，的角平分線交邊于點(diǎn)．交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)北京八十中校考期中）把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的線段稱作這個(gè)圖形的等積線段，菱形中，，，則菱形的等積線段長(zhǎng)度取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)北京八十中?？计谥校┤鐖D，矩形，，對(duì)角線，交于，若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．166．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中校考期中）如圖，在中，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，作于E，連接、，下列結(jié)論不成立的是（

）A． B．C． D．7．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，E為上一點(diǎn)，且，過D作交于F，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┤鐖D，的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且，．則的周長(zhǎng)為（

）A．13 B．8 C．7 D．59．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)校考期中）如圖，在矩形中，E是邊上的一點(diǎn)，將沿所在直線折疊，點(diǎn)C落在邊上，落點(diǎn)記為F，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，連接．若，，則四邊形的面積是（

）A． B． C．20 D．1010．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┰诹庑沃?，若，周長(zhǎng)為16，則這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為（

）A．2， B．4， C．4，4 D．，11．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C．3 D．4二、填空題12．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中校考期中）如圖，在中，，分別為，邊的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．13．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，在邊上截取，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E．已知，，如果F是邊的中點(diǎn)，連接，那么的長(zhǎng)是．14．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，菱形的兩條對(duì)角線，交于點(diǎn)O，若，，則菱形的周長(zhǎng)為．

15．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，連接，，則的度數(shù)為．16．（2023春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)北京八十中?？计谥校┤鐖D，公路、互相垂直，公路的中點(diǎn)與點(diǎn)被湖隔開，若測(cè)得的長(zhǎng)為，則，之間的距離是．17．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中校考期中）如圖，等邊邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為邊延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，連接．（1）用等式表示線段和的數(shù)量關(guān)系為：；（2）線段長(zhǎng)度的最小值為：．18．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，直線，P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，對(duì)于下列各值：①線段的長(zhǎng)；②的周長(zhǎng)；③的面積；④的大??；⑤直線與之間的距離．其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而發(fā)生變化的是（填序號(hào)）．19．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┤鐖D，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形．在轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條的過程中，線段和的長(zhǎng)度始終相等，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是．20．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，，作于E，則；．21．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┱?qǐng)寫出“平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”的逆命題：，此逆命題是（“真”、“假”）命題．三、解答題22．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中校考期中）對(duì)平面上的兩個(gè)圖形，，若平移圖形所得的圖形與相交，則稱為關(guān)于的“巡邏平移圖形”，稱關(guān)于的所有巡邏平移圖形所組成的整體，為關(guān)于的“巡邏區(qū)域”，其面積為關(guān)于的“巡邏面積”．示例：如下圖，線段是線段關(guān)于線段的一個(gè)巡邏平移圖形；平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域．注：圖中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．(1)①請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，其面積為______；②已知線段和線段的長(zhǎng)度分別為1，，且關(guān)于的巡邏面積為1，則的取值范圍是______；(2)圖中三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏面積為______；注：此處所指的三角形區(qū)域，平行四邊形區(qū)域，以及下文的正方形區(qū)域均包含內(nèi)部的所有點(diǎn)．(3)①若線段關(guān)于某邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域的巡邏面積為3，則線段長(zhǎng)度的最小值為______；②若正方形區(qū)域關(guān)于某長(zhǎng)度為1的線段的巡邏面積為12，則邊長(zhǎng)的最小值為______．23．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中校考期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，，，，均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)判斷是否為直角：______．（填寫“是”或“不是”）(2)直接寫出四邊形的面積為______．(3)找到格點(diǎn)，并畫出四邊形（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形面積相等．24．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，在邊上截取，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．已知，，如果是邊的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)．

25．（2023春·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)、是平行四邊形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)．．求證：．26．（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪覀儼堰B接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請(qǐng)對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明．(1)如圖1，點(diǎn)D，E分別是的邊，的中點(diǎn)，求證：，且；(2)如圖2，四邊形中，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊的中點(diǎn)，若，，，直接寫出的長(zhǎng)．27．（2023春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)北京八十中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若，為某個(gè)矩形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)，的“相關(guān)矩形”．圖1為點(diǎn)，的“相關(guān)矩形”的示意圖．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1)如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)為．①若，則點(diǎn)A，的“相關(guān)矩形”的面積是_____________；②若點(diǎn)A，的“相關(guān)矩形”的面積是8，則的值為_____________．(2)如圖3，點(diǎn)在過點(diǎn)且平行軸的直線上，若點(diǎn)A，的“相關(guān)矩形”是正方形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖4，等邊的邊在軸上，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若在的邊上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)，的“相關(guān)矩形”為正方形，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．28．（2023春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)北京八十中?？计谥校┤鐖D是由邊長(zhǎng)為1的正方形單元格組成的網(wǎng)格，的三個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，(1)的面積為__________；(2)若以點(diǎn)A，，，為頂點(diǎn)畫平行四邊形，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中標(biāo)出所有點(diǎn)的位置．29．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對(duì)于沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形M、N給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，若P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值分別為和，則稱比值為圖形M和圖形N的“距離關(guān)聯(lián)值”，記為．已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．(1)若E為邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為______，最小值為______，因此k（點(diǎn)O，）＝______；(2)若為對(duì)角線上一點(diǎn)，為對(duì)角線上一點(diǎn)，其中．①若，則k（線段，）______；②若（線段，），求m的取值范圍；(3)若的對(duì)角線交點(diǎn)為O，且頂點(diǎn)在直線上，頂點(diǎn)在直線上，其中，請(qǐng)直接用含n的代數(shù)式表示．30．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┮阎?1)如圖1，若以為邊作等邊，且點(diǎn)E恰好在邊上，直接寫出此時(shí)的面積；(2)如圖2，若以為斜邊作等腰直角，且點(diǎn)F恰好在邊上，過C作交BF于G，連接．①依題意將圖2補(bǔ)全；②用等式表示此時(shí)線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，以為邊作，且，．若，直接用等式表示此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系．31．（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若為的平分線，且，，求的周長(zhǎng)．32．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┫旅媸切《≡O(shè)計(jì)的“利用直角三角形和它的斜邊中點(diǎn)作矩形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，在Rt中，，O為的中點(diǎn)．求作：四邊形，使得四邊形為矩形．作法：①作射線，在線段的延長(zhǎng)線上截取；②連接，，則四邊形為矩形．根據(jù)小丁設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，在圖中補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．又①____________，四邊形為平行四邊形（②_____）．（填推理的依據(jù)），為矩形（③____________）．（填推理的依據(jù)）

參考答案1．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解答本題的關(guān)鍵．2．D【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，掌握矩形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，是的角平分線，，又，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)過菱形對(duì)角線交點(diǎn)的直線l將該菱形分成面積相等的兩部分，設(shè)直線l交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)即為a的值．根據(jù)當(dāng)時(shí)a最小，當(dāng)線段與線段重合時(shí)a最大，結(jié)合題干所給條件和含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】解：∵過菱形對(duì)角線交點(diǎn)的直線l將該菱形分成面積相等的兩部分，設(shè)直線l交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，∴“等積線段”即為線段，即的長(zhǎng)即為a的值．∵當(dāng)直線時(shí)，最短，∴的最小值即為此時(shí)的長(zhǎng)．過點(diǎn)作于點(diǎn)N，∵四邊形為菱形，∴，∴．∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，即的最小值為；∵當(dāng)線段與線段重合時(shí)，最長(zhǎng)，∴的最大值即為的長(zhǎng)．∵，∴，∴，∴，∴，即的最大值為，∴的取值范圍是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．理解當(dāng)時(shí)a最小，當(dāng)線段與線段重合時(shí)a最大是解題關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，是等邊三角形，，在中，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．6．D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵F是的中點(diǎn)，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于M，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵F為中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴，故選項(xiàng)C不符合題意，∵，∴，∵，∴，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得出．7．C【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到平分，利用平行四邊形的性質(zhì)得到，，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴平分，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即得出，，，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴，，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分，對(duì)邊相等是解題關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)題意和勾股定理，可以求得的長(zhǎng)，設(shè)，利用勾股定理列出方程，進(jìn)而求得和的值，證明四邊形是平行四邊形，從而可以得到面積．【詳解】解：由折疊可知：，，，則在矩形中，，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變化、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．B【分析】連接、，、交于點(diǎn)，判定是等邊三角形，即可得到，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)勾股定理即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，，連接、，、交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，又菱形的周長(zhǎng)為16，，又，是等邊三角形，，，在中，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)．關(guān)鍵是畫圖并找出圖中的等邊三角形．11．B【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．6【分析】直接根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在中，，分別為，邊的中點(diǎn)，且，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．13．1【分析】根據(jù)勾股定理確定的長(zhǎng)度，進(jìn)而確定的長(zhǎng)度；再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)確定E為中點(diǎn)，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，∴E為中點(diǎn)，．∴，又∵F是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．14．【分析】利用菱形的對(duì)角線互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的邊長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵菱形的兩條對(duì)角線，交于點(diǎn)O，，，∴，，∴，∴菱形的周長(zhǎng)為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求菱形的性質(zhì)、勾股定理．熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分，是解題的關(guān)鍵．15．/135度【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，利用三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵正方形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，∴，，∴，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握等邊對(duì)等角，是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，可得，即可得到答案．【詳解】解：為直角三角形，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，，，即，之間的距離是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．17．/【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接、，先證明，得出，則，再證，得，據(jù)此即可求解；（2）連接，取的中點(diǎn)N，作射線，先由等腰三角形的性質(zhì)得，再由三角形中位線定理得，則，得出點(diǎn)F的軌跡為射線，且，當(dāng)時(shí)，最短，然后由直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接、，∵點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，

∵是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴；故答案為：；（2）如圖2，連接，取的中點(diǎn)N，作射線，∵，，∴，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴點(diǎn)F的軌跡為射線，且，當(dāng)時(shí)，最短，∵，∴，在，，∴，∴線段長(zhǎng)度的最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，作出合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵．18．②④【分析】根據(jù)中位線，平行線間的距離處處相等，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∵為定值，∴為定值，①不符合要求；的周長(zhǎng)為，∵為變化的量，∴的周長(zhǎng)變化，②符合要求；∵，，∴，∴到的距離為定值，∴為定值，③不符合要求；設(shè)減少的量為，增加的量為，由題意知，，，∵，與不一定相等，∴的大小隨著的變動(dòng)而變化，④符合要求；∵，直線與之間的距離是定值，⑤不符合要求；∴發(fā)生變化的為②④，故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線，平行線之間距離處處相等．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．19．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)題意可證明四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故答案為：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”．20．/30度【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角形內(nèi)角定理即可求得；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴；∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．21．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形真【分析】寫出原命題的逆命題，根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：“平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”的逆命題是：“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，是真命題，故答案為：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，真．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．22．(1)①畫圖見解析，8；②(2)(3)①；②【分析】（1）①先根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；②先畫出線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過點(diǎn)G作交延長(zhǎng)線于M，由關(guān)于的巡邏面積為1，求出，由此即可得到答案；（2）如解析圖，先畫出三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏區(qū)域，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；（3）①如圖所示，是邊長(zhǎng)為1的正方形，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏區(qū)域，其中，過點(diǎn)作于N，過點(diǎn)K作于M，證明，得到，設(shè)，由線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏面積為3，推出，再由勾股定理得到，則，即可求出線段長(zhǎng)度的最小值為；②如圖所示，線段，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為區(qū)域S關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過點(diǎn)C作于T，于W，證明四邊形是矩形，則，設(shè)，正方形區(qū)域S的邊長(zhǎng)為，由正方形區(qū)域關(guān)于線段的巡邏面積為12，推出，由勾股定理得，再證明，得到進(jìn)而求出或（舍去），則邊長(zhǎng)的最小值為．【詳解】（1）解：①如圖所示，平行四邊形即為線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，其面積為；②如圖所示，設(shè)，則平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，即平行四邊形是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，∴，過點(diǎn)G作交延長(zhǎng)線于M，∵關(guān)于的巡邏面積為1，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，即為三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏區(qū)域，∴三角形區(qū)域關(guān)于平行四邊形區(qū)域的巡邏面積為；（3）解：①如圖所示，是邊長(zhǎng)為1的正方形，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏區(qū)域，其中，過點(diǎn)作于N，過點(diǎn)K作于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，∵線段關(guān)于正方形區(qū)域的巡邏面積為3，∴平行四邊形和正方形組成的區(qū)域的面積為3，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，，∵，∴，∴，∴，∴線段長(zhǎng)度的最小值為；②如圖所示，線段，則由平行四邊形和正方形組成的區(qū)域即為區(qū)域S關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，過點(diǎn)C作于T，于W，∴，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，正方形區(qū)域S的邊長(zhǎng)為，∵正方形區(qū)域關(guān)于線段的巡邏面積為12，∴平行四邊形和正方形組成的區(qū)域的面積為12，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵都是非負(fù)數(shù)，∴，∴，∴，即，∴，∴由乘法的性質(zhì)可得或，∴或（舍去），∴邊長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的變形求值，矩形的性質(zhì)與判斷，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確畫出對(duì)應(yīng)的巡邏區(qū)域示意圖是解題的關(guān)鍵．23．(1)不是(2)14(3)見解析（答案不唯一）【分析】（1）先利用勾股定理分別求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四邊形的性質(zhì)找到格點(diǎn)，再利用等高模型畫出圖形即可．【詳解】（1）解：，，，，不是直角，故答案為：不是．（2）解：四邊形的面積為，故答案為：14．（3）解：如圖，點(diǎn)和四邊形即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于常考題型．24．2【分析】先利用勾股定理可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在中，，，，，，，又，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的三線合一、三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．25．證明見解析【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定可得，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．26．(1)見解析(2)6【分析】（1）如圖所示，延長(zhǎng)到F，使得，證明，得到，則，再由點(diǎn)D是的中點(diǎn)，得到，即可證明四邊形是平行四邊形，則，，再由，即可證明；（2）如圖所示，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于E，證明，得到，，即點(diǎn)N是的中點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可知，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，延長(zhǎng)到F，使得，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，又，∴，∴，且；（2）解：如圖所示，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于E，∵，∴，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，即點(diǎn)N是的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴由（1）的結(jié)論可知，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．27．(1)6，或5(2)或(3)或【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)結(jié)合圖形和“相關(guān)矩形”的定義即可得出點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積為6；②分類討論：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，畫出圖形，結(jié)合矩形的性質(zhì)結(jié)合“相關(guān)矩形”的定義即可得出的值為或5；（2）由題意可知點(diǎn)A到直線l的距離為，即得出點(diǎn)A，的“相關(guān)矩形”是正方形時(shí)的邊長(zhǎng)為3．分類討論：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，畫出圖形，結(jié)合正方形的性質(zhì)和“相關(guān)矩形”的定義即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）由題意可求出，，．分類討論：①當(dāng)點(diǎn)N在邊上時(shí)，求出此時(shí)m的取值范圍為或；②當(dāng)點(diǎn)N在邊上時(shí)，求出此時(shí)m的取值范圍為或；③當(dāng)點(diǎn)N在邊上時(shí)，求出此時(shí)m的取值范圍為或，即得出答案．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖．∵，∴由矩形的性質(zhì)可得：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積為．故答案為：6；②分類討論：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可得：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積為，解得：；當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可得：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積為，解得：．綜上可知的值為或5．故答案為：或5；（2）解：∵點(diǎn)在過點(diǎn)且平行軸的直線上，，∴點(diǎn)A到直線l的距離為，∴點(diǎn)A，的“相關(guān)矩形”是正方形時(shí)的邊長(zhǎng)為3．分類討論：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖點(diǎn)C，∴，，即；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖點(diǎn)，∴，，即．綜上可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M在直線上．∵是等邊三角形，頂點(diǎn)F在y軸的正半軸上，，∴，∴，∴．分類討論：①當(dāng)點(diǎn)N在邊上時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，則此時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，則此時(shí)，則此時(shí)m的取值范圍為；若點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，則此時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，則此時(shí)，則此時(shí)m的取值范圍為，∴此時(shí)m的取值范圍為或；②當(dāng)點(diǎn)N在邊上時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，則此時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，則此時(shí)，則此時(shí)m的取值范圍為；若點(diǎn)N與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，則此時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，則此時(shí)，則此時(shí)m的取值范圍為，∴此時(shí)m的取值范圍為或；③當(dāng)點(diǎn)N在邊上時(shí)，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，其邊長(zhǎng)為定值2，若點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點(diǎn)M位于點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，則此時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點(diǎn)M位于點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，則此時(shí)，則此時(shí)m的取值范圍為；若點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點(diǎn)M位于點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，則此時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，且點(diǎn)M位于點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，則此時(shí)，則此時(shí)m的取值范圍為，∴此時(shí)m的取值范圍為或．綜上可知的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．理解”相關(guān)矩形”的定義，并利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．28．(1)5(2)見解析【分析】（1）根據(jù)割補(bǔ)法即可求出的面積；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，畫出圖形，即可得到點(diǎn)的位置．【詳解】（1）解：的面積，故答案為：5；（2）解：如圖所示，即為所有點(diǎn)的位置．【點(diǎn)睛】本題考查了割補(bǔ)法求三角形面積，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定條件是解題關(guān)鍵．29．(1)2，1，2(2)①6；②或或或(3)當(dāng)且時(shí)，【分析】（1）如圖1，過作于，過作于，與軸交于，則四邊形是正方形，由題意知，當(dāng)與或重合時(shí)，最大，當(dāng)與重合時(shí)，最小，求，，根據(jù)(點(diǎn)，)，計(jì)算求解即可；（2）①如圖2，設(shè)直線的解析式為，則，解得，即，，由題意知，線段上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，根據(jù)(線段，)定義求解即可；②將代入，解得，即，分當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；表示出最大與最小距離，然后解一元一次不等式組求解滿足要求的解即可；（3）如圖3，將代入，解得，即，由，可得，由（2）可知，將的邊等同于線段時(shí)求的求解方法求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，過作于，過作于，與軸交于，則四邊形是正方形，由題意知，當(dāng)與或重合時(shí)，最大，當(dāng)與重合時(shí)，最小，∴，，∴最大為2，最小為1，(點(diǎn)，)，故答案為：2，1，2；（2）解：如圖2，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴，當(dāng)，，∴，由題意知，線段上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，∴(線段，)，故答案為：6；②解：將代入，解得，