第章.3.同步訓(xùn)練及解析

PAGEPAGE1人教A高中數(shù)學(xué)選修2-3同步訓(xùn)練1．(1＋x)2n＋1的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：選C.(1＋x)2n＋1展開式有2n＋2項(xiàng)．系數(shù)最大的項(xiàng)是中間兩項(xiàng)，是第n＋1項(xiàng)與第n＋2項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(n,2n＋1)與Ceq\o\al(n＋1,2n＋1).2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))n展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C.令x＝1，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，故有eq\f(4n,2n)＝64.∴n＝6.3．(x－1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是()A．－2048 B．－1023C．－1024 D．1024解析：選C.(x－1)11＝Ceq\o\al(0,11)x11＋Ceq\o\al(1,11)x10(－1)＋Ceq\o\al(2,11)x9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，其和為－210＝－1024.4．在(1－x)10中，系數(shù)最大的項(xiàng)為________．解析：(1－x)10中系數(shù)的絕對(duì)值即是二項(xiàng)式系數(shù)，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)絕對(duì)值Ceq\o\al(5,10)最大，其次就是第5項(xiàng)和第7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(4,10)或Ceq\o\al(6,10)，但第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)．故第5項(xiàng)或第7項(xiàng)系數(shù)最大．答案：第5項(xiàng)或第7項(xiàng)一、選擇題1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8等于()A．180 B．－180C．45 D．－45解析：選A.a8＝Ceq\o\al(8,10)·22＝180.2．二項(xiàng)展開式(2x－1)10中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為()A.eq\f(1＋310,2) B.eq\f(1－310,2)C.eq\f(310－1,2) D．－eq\f(1＋310,2)解析：選B.設(shè)(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，兩式相減，可得a1＋a3＋…＋a9＝eq\f(1－310,2).3．在(a－b)20的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)與第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是()A．第15項(xiàng) B．第16項(xiàng)C．第17項(xiàng) D．第18項(xiàng)解析：選B.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(5,20)，與它相等的為倒數(shù)第6項(xiàng)，即第16項(xiàng)．4．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為()A．2n＋1 B．2n－1C．2n＋1－1 D．2n＋1－2解析：選D.令x＝1，則2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A．10 B．20C．30 D．120解析：選B.由2n＝64，得n＝6，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)x6－2r(0≤r≤6，r∈N)．由6－2r＝0，得r＝3.∴T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.6．設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選A.令x＝－1，則原式化為[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.二、填空題7．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x3)))n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________．解析：展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為S＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n＝32，∴n＝5.Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))r＝Ceq\o\al(r,5)x10－2r－3r＝Ceq\o\al(r,5)x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,5)＝10.答案：108．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用數(shù)字作答)解析：由題設(shè)令x＝0得a0＝(－2)5＝－32.令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.答案：319．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))n的展開式中，僅第六項(xiàng)系數(shù)最大，則展開式中不含x的項(xiàng)為________．解析：由題意知，展開式各項(xiàng)的系數(shù)即為各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．第六項(xiàng)系數(shù)最大，即第六項(xiàng)為中間項(xiàng)，故n＝10.∴通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(x3)10－r·(eq\f(1,x2))r＝Ceq\o\al(r,10)·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴常數(shù)項(xiàng)為T7＝Ceq\o\al(6,10)＝210.答案：210三、解答題10．已知(1－2x)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a7(x－1)7.求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a7；(2)a0＋a2＋a4＋a6.解：(1)令x＝2，則(1－2×2)7＝－37＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37.(2)令x＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝1.又由(1)得，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37，兩式相加，可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝1－37，∴a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(1,2)(1－37)．11．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.解：(1)令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①(2)令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝27－67＝－279808.∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139904.12．已知(1＋3x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．解：由題意知，Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n－2,n)＝121，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝121，∴1＋n＋eq\f