線性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類） 課件 5.2 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

§5.2實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形目錄配方法初等變換法正交變換法二次型與對(duì)稱矩陣的規(guī)范形Part1配方法一、標(biāo)準(zhǔn)形定義

如果一個(gè)二次型只含變量的平方項(xiàng),則稱這個(gè)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理1

對(duì)任何實(shí)二次型,必存在非退化的線性變換,使得關(guān)于新變量的二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形.定理2

對(duì)任意一個(gè)對(duì)稱矩陣

A,總存在一個(gè)可逆(非奇異)矩陣C,使得

為對(duì)角矩陣,即任何一個(gè)對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同.01一、標(biāo)準(zhǔn)形將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法：(1)配方法；(2)初等變換法；(3)正交變換法.二、配方法若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量重復(fù)上述過程，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;二、配方法例1

利用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.解含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來的項(xiàng)二、配方法二、配方法所用變換矩陣為二、配方法2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是至少有一個(gè)則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按步驟1中方法配方.注：每一步所經(jīng)的線性變換都是非退化的。二、配方法解由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以例2

利用配方法化二次型

成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.二、配方法再配方，得所用變換矩陣為二、配方法注：向量

x到向量

y的線性變換為,向量

y到向量

z的線性變換為,則向量

x到向量

z的線性變換為.Part2初等變換法一、初等變換法一、初等變換法一、初等變換法即

練習(xí)例3

利用對(duì)稱初等變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.練習(xí)練習(xí)練習(xí)例4

利用對(duì)稱初等變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.練習(xí)練習(xí)Part3正交變換法一、正交矩陣及其性質(zhì)定義5

設(shè)

C為

n階實(shí)矩陣，如果

C滿足則稱

C為正交矩陣.例如，

，

都是正交矩陣.一、正交矩陣及其性質(zhì)定理5

正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）正交矩陣的行列式為1或-1;（2）正交矩陣的轉(zhuǎn)置等于其逆矩陣，即

;（3）若A,B為正交矩陣，則它們的逆矩陣和乘積矩陣AB也是正交矩陣；（4）C是正交矩陣的充要條件是C的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.二、正交變換法定義6

設(shè)

C為

n階正交矩陣，x,y是

n維實(shí)向量，則稱線性變換

是

n維實(shí)空間

上的正交變換.注：利用正交變換

將實(shí)二次型

轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形則等價(jià)于實(shí)對(duì)稱矩陣A求一個(gè)正交矩陣C，使得二、正交變換法定理6

對(duì)

n階實(shí)對(duì)稱矩陣

A，有（1）A的特征值都是實(shí)數(shù).（2）A的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交.定理7

對(duì)

n階實(shí)對(duì)稱矩陣

A，必存在正交矩陣

C，使得其中

為A的特征值，C的

n個(gè)列向量是

A的對(duì)應(yīng)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.二、正交變換法歸納以上定理的結(jié)果，用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟如下：（1）由

，求

A的

n個(gè)特征值

；（2）對(duì)

，由

，求

A關(guān)于

的線性無關(guān)的特征向量；（3）對(duì)

重特征值

，用施密特正交化方法，將

t個(gè)線性無關(guān)的特征向量正交化；（4）將

A的

n個(gè)正交的特征向量單位化，再以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣

C，并寫出相應(yīng)的正交變換

和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.練習(xí)例5

利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出對(duì)應(yīng)的線性變換.練習(xí)練習(xí)練習(xí)Part4二次型與對(duì)稱矩陣的規(guī)范形一、二次型與對(duì)稱矩陣的規(guī)范形定義7

若二次型

的標(biāo)準(zhǔn)形

的系數(shù)

只在1,-1,0三個(gè)數(shù)中取值，則稱

為此二次型的規(guī)范形.定理8(慣性定理)

對(duì)任意實(shí)二次型

，必存在非退化的線性變換

化二次型為規(guī)范形.一個(gè)二次型的規(guī)范形是唯一的.一、二次型與對(duì)稱矩陣的規(guī)范形注：在二次型的規(guī)范形中，系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)

p與化二次型為規(guī)范形時(shí)所用的非退化線性變換無關(guān)，它是由二次型唯一確定的。同樣，系數(shù)為非零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)

r和系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)

r-p也是由二次型唯一確定的，且

r=R(A).定義8實(shí)二次型

的規(guī)范形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)

p稱為二次型的正慣性指數(shù)；系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)

r-p稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)；其中r是二次型

的秩.一、二次型與對(duì)稱矩陣的規(guī)范形推論1

任何實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于對(duì)角矩陣其中

，p為與矩陣A對(duì)應(yīng)的二次型的正慣性指數(shù).推論2

如果

與

都是n個(gè)變量的實(shí)二次型，它們有相同的秩與正慣性指數(shù)，則必有非退化的線性變換

，使得

，反之也成立.注：任意合同的實(shí)對(duì)稱矩陣，具有相同的規(guī)范形.練習(xí)例6

化二次型成規(guī)范形，并求所用的非退化線性變換矩陣C.解

由于在二次型

f中不含有平方項(xiàng)，含有乘積項(xiàng)

，故令代入到原二次型

中得一、二次型與對(duì)稱矩陣的規(guī)范形再配方，得令

即

就可以把原二次型化成規(guī)范形

，所用的變換矩陣為：