求點到平面距離的基本方法

PAGEPAGE5尋找二面角的平面角的方法二面角是高中立體幾何中的一個重要內(nèi)容，也是一個難點．對于二面角方面的問題，學生往往無從下手，他們并不是不會構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面角的方法．我們試將尋找二面角的平面角的方法歸納為以下六種類型．1.1二面角的相關概念OABOOABOABl從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.圖1定義只給出二面角的定性描述，關于二面角的定量刻畫還必須放到二面角的平面角中去研究.教材如下給出了二面角的平面角的概念：圖1二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.2.二面角的求解方法對二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問題轉(zhuǎn)化為二維空間并可以通過三角形的邊角問題加以解決.定位出二面角為解題的關鍵環(huán)節(jié)，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過作輔助線補全圖形定位二面角的平面角二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角三、“算”：計算出該平面角由于定位二面角的難度較大，對于求解二面角還有一種思路就是繞開定位二面角這一環(huán)節(jié)，通過一些等價的結(jié)論或公式或用空間向量等方法來直接求出二面角的大小.本文將根據(jù)這兩種解題思路對二面角的解題方法做一一介紹.2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常見題型中根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無棱二面角.對于前者的二面角的定位通常采用找點、連線或平移等手段來定位出二面角的平面角；而對于無棱二面角我們還必須通過構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其有“無棱”而“現(xiàn)棱”再進一步定位二面角的平面角.一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角例1在的二面角的兩個面內(nèi)，分別有和兩點．已知和到棱的距離分別為2和4，且線段，試求：（1）直線與棱所構(gòu)成的角的正弦值；（2）直線與平面所構(gòu)成的角的正弦值．分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪兒．如果解決了這個問題，這道題也就解決了一半．根據(jù)題意，在平面內(nèi)作；在平面內(nèi)作，，連結(jié)、．可以證明，則由二面角的平面角的定義，可知為二面角的平面角．以下求解略．例1正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小為.例2(2006年江蘇試題)如圖2(1)，在正三角形ABCMAFA1QPBCECBPEF圖2(2)MAFA1QPBCECBPEF圖2(2)圖2(1)QEB=CF：FA=CP：BP=1：2.如圖2(2)，將△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，連接A1B、A1P.(Ⅰ)與(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值tan∠COC1=分析與略解：在例1中，圖形的對稱和諧狀態(tài)對解題產(chǎn)生了很好的啟迪作用，在這里更離不開圖形的這種對稱和諧性.若取BP的中點Q，連接EQ，則在正三角形ABC中，很容易證得△BEQ≌△PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在圖2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，連接QH、QF，則易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF為二面角B-A1P-F的平面角，使題解取得了突破性的進展.設正三角形的邊長為3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=。PAＳBＳCＳDPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE如圖5.在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點.(1)證明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2)由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.PBADC圖3例2PBADC圖3解：作BC中點D，連接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC與面ABC共棱可得∠PDA為二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=,易知AD=PD=,在RT?PAD中，所以二面角P-BC-A的大小為.A圖A圖3PBl此法最基本的一個模型為：如圖3，設銳二面角，過面內(nèi)一點P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，連接PB，由三垂線定理得PB⊥l，則∠PBA為二面角的平面角，故稱此法為三垂線法.例2如圖，在平面內(nèi)有一條直線與平面成，與棱成，求平面與平面的二面角的大?。治觯赫叶娼堑钠矫娼?，可過作；平面，連結(jié)．由三垂線定理可證，則為二面角的平面角．總結(jié)：（1）如果兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連結(jié)兩個垂足．應用三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．圖4B1AA1BlEF（2）在應用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意“作”、“連”、“證”，即“作”、“圖4B1AA1BlEF例3(2006年陜西試題)如圖4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，點A在直線l上的射影為A1，點B在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=eq\r(2)，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.分析與略解：所求二面角的棱為AB，不像圖3的那樣一看就明白的狀態(tài)，但本質(zhì)卻是一樣的，對本質(zhì)的觀察能力反映的是思維的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E，則可證A1E⊥平面AB1B.過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則得A1F⊥AB，∴∠A1FE依次可求得AB1=B1B=eq\r(2)，A1B=，A1E=，A1F=，則在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=eq\f(A1E,A1F)=eq\f(\r(6),3)EABCFE1A1B1C1D1D例2．(2009山東卷理)如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、EABCFE1A1B1C1D1D證明：直線EE//平面FCC；求二面角B-FC-C的余弦值。證（1）略EABCFE1A1B1C1D1DF1OP解（2）因為AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角,在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵∴,在RtEABCFE1A1B1C1D1DF1OP練習2（2008天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大?。治觯罕绢}是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點P就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）例3在正方體中，為面中心，求二面角的大小.解：在正方體中,且,ADCBM圖5面,故ADCBM圖5又面,可知過作于，連接則由三垂線（逆）定理可知為二面角的平面角.不妨令，于是，有,,，可得所以二面角的大小為三、作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角例3如圖1，已知為內(nèi)的一點，于點，于點，如果，試求二面角的平面角．分析：平面．因此只要把平面與平面、的交線畫出來即可．證明為的平面角，（如圖2）．注意：這種類型的題，如果過作，垂足為，連結(jié)，我們還必須證明，及為平面圖形，這樣做起來比較麻煩．例4已知斜三棱柱中，平面與平面構(gòu)成的二面角的平面角為，平面與平面構(gòu)成的二面角為．試求平面與平面構(gòu)成的二面角的大?。治觯鹤魅庵闹苯孛?，可得△，其三個內(nèi)角分別為斜三棱柱的三個側(cè)面兩兩構(gòu)成的二面角的平面角．總結(jié)：對棱柱而言，其直截面與各個側(cè)棱的交點所形成的多邊形的各個內(nèi)角，分別為棱柱相鄰側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角．P圖5lCBA例4空間的點P到二面角的面、P圖5lCBA為4、3、，求二面角的大小.分析與略解：如圖5，分別作PA⊥于A，PB⊥于B，則易知l⊥平面PAB，設l∩平面PAB=C，連接PC，則l⊥PC.分別在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，則AC=，BC=.因為P、A、C、B四點共圓，且PC為直徑，設PC=2R，二面角的大小為.ACGEB圖7分別在ACGEB圖7AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，則可解得cos=，=120o，二面角的大小為120o.例5如圖7,在正三棱柱中,截面?zhèn)让?若,求平面與平面所成二面角（銳角）的大小.解:設.因為面與面重合,由題意面面，而為面與面相交于棱上一點且，所以面為所求二面角的一垂面，為所求二面角的平面角.在正三棱柱中,,可知故所求二面角的大小為.四、平移平面法（無棱的一種）例5如圖，正方體中，為的中點，為上的點，且．設正方體的棱長為，求平面與底面構(gòu)成的銳角的正切．分析：本題中，僅僅知道二面角棱上的一點，在這種情況下，尋找二面角的平面角較困難．根據(jù)平面平移不改變它與另一個平面構(gòu)成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一個平面平移，找出輔助平面與另一個平面的交線，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要進行常規(guī)構(gòu)造三角形和解三角形的計算，就可以解決問題了．如圖，過點作與相交于點，過點作，與相交于點．可證平面平面．這樣，求平面與平面的二面角的平面角就轉(zhuǎn)化為求平面與平面的二面角的平面角．顯然為這兩個平面的交線，過點作，為垂足，連結(jié)，可證．則為本題要尋找的二面角．例6（本題關鍵在利用平移棱AOAOCBFDE圖8在正三棱柱中,是的中點，,求二面角的大小.解:作且交BD于F,則AE平面，連接,，并記它們的交點為O連接OF，由，知.由知OF,OE，而,RT?～RT?,因此故有可得ADCBK圖ADCBK圖9EFO例7在棱長為1的正方體中，E是BC的中點，試求面與平面所成二面角的大小.解:取中點F，連FD,FB;取AD中點K連接A?K,BK,A?B.顯然,DE?BF為平行四邊形.因為A?K//FD,KB//DE,知平面A?KB//平面DEB?F。取A?B中點O,連接OK,OA,由A?K=BK,A?A=BA知，OKA?B,OAA?B故∠AOK為二面角的平面角.可得故平面與平面所成二面角的大小為.五、找垂面，作垂線例6如圖，正方體中，為棱的中點，求平面和平面所構(gòu)成的銳二面角的正切．分析：平面與二面角的一個面垂直，與另一個平面相交，過點作，垂足為，過作，交于點，連結(jié)，由三垂線定理可證，則為二面角的平面角．總結(jié)：當一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線．根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角．再如圖，要找所構(gòu)成的二面角的平面角，可找平面，且，，過上任何一點作，垂足為，過作，垂足為，連結(jié)，可證為的平面角．六、根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)找二面角的平面角1．三線合一例7如圖，空間四邊形中，，，，．試求二面角的余弦值．分析：如圖1，，，則△和△為等腰三角形．過作，垂足為，連結(jié)．根據(jù)三線合一，且為中點，可證，則為二面角的平面角．2．全等三角形例8如圖，已知空間四邊形，，，，．試求的余弦值．分析：過作，垂足為，連結(jié)．根據(jù)已知條件，△和△全等，可證，則為二面角的平面角．3．二面角的棱蛻化成一點例9如圖，四棱錐中，和與面垂直，△為正三角形．（1）若時，求面與面的夾角；（2）若時，求面與面的夾角．分析：如圖，面與面的交線蛻化成一點，但面與面與面相交．如果三個平面兩兩相交，它們可能有三種情況：（1）交線為一點；（2）一條交線；（3）三條交線互相平行．在圖1中，兩條交線與互相平行，所以肯定有過且平行于的一條交線．可過作，平面與平面的交線即為．過作于，過作于．可證，，則為面與面的夾角．如圖，與不平行且相交．根據(jù)三個平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個面的交線為一點．延長、相交于點，連結(jié)．即為平面與平面的交線，通過一些關系可證為平面與平面的夾角．通過以上分析和舉例說明，尋找二面角的平面角的方法就比較容易了．只要我們勤動腦，善觀察，多總結(jié)，抓住問題的特征，找出適當?shù)姆椒?，關于二面角的平面角的問題就會迎刃而解．七、面積法（不作二面角求法）DAM圖6ECBC1A1B1HG如圖1DAM圖6ECBC1A1B1HG例5如圖6，平面外的△A1B1C1在內(nèi)的射影是邊長為1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面與平面所成銳二面角的大小.分析與略解：問題的情境很容易使人想到用面積法，分別在BB1、CC1取BD=CE=AA1，則△A1B1C1≌△A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=，所以等腰△A1B1C1的面積為，又正△ABC的面積為.設所求二面角的大小為，則cos=例4．（2008北京理）如圖，在三棱錐中，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大??；ACBEP分析：本題要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出SACBEP于是得到下面解法。解：（Ⅰ）證略（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中點．連結(jié)．，．是在平面內(nèi)的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影，A1D1B1C1EDBA1D1B1C1EDBCA圖5設二面角的大小為，則∴二面角的大小為練習4：如圖5，E為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1圖13CBAOS分析平面AB1E與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度。考慮到三角形AB1E在平面A1B1C1D圖13CBAOS（答案：所求二面角的余弦值為cosθ=）.例10求正四面體任意兩個面所成二面角的大小.解:如圖13，正四面體S-ABC,由正四面體的對稱性,不妨求側(cè)面與底面所成二面角的大小.易知而S的射影為的中心，所以ADCADCBE圖14F故正四面體任意兩面所成二面角的大小為.例11如圖14,在正方體中,E為CC?中點，F(xiàn)在BB?上,且BF=BB?,求平面A?EF在底面ABCD所成二面角的余弦值.解:如圖14所示，在正方體中，.由射影面積公式知故所求二面角的余弦值為.八、將無棱二面角轉(zhuǎn)化為有棱二面角直接作出無棱二面角的棱，將無棱二面角轉(zhuǎn)化為有棱二面角，按有棱二面角來處理，作棱有兩種常用的方法：①作交線，由交點得棱；②作平行線，即為棱.例3（2008湖南）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）證略ABCEDPFGH解:（Ⅱ）延長ABCEDPFGH過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，ACBB1C1ACBB1C1A1L練習3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC（1）求證：AC1⊥BC；（2）求平面AB1C1與平面ABC提示：本題需要補棱，可過A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45O）如圖11中只現(xiàn)出兩個局部半平面的一個公共點P，圖中沒有給出二面角的棱.此時,若在二面角的兩個半平面內(nèi)各存在一條直線且相互平行,則過P分別作這兩條直線的垂線PQ和PR,則∠QPR就是二面角的平面角.例9如圖12,P-ABCD為正四棱錐，邊長為,求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值.解:如圖，過P點作,則.故在P-ABCD中有.FE圖12FE圖12DCAB作AB中點E,CD中點F.連接PE,PF.易知PEAB,PE,又PFCD,PF,可知∠EPF為所求二面角的平面角.由條件PE=PF=，得到故平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為.九、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。若二面角兩個半平面,的法向量分別為且知道二面角為銳角（鈍角），則.定理1設二面角為，，則，有ALALMB圖19EEAF圖18B文給出另一結(jié)論：定理2如圖19，空間任一條直線L,A,B是直線L上的兩個點，M是空間任一點,MNL于N,則AMAMDCB圖20EFN利用上述兩結(jié)論我們可以利用空間坐標向量計算二面角，避免產(chǎn)生二面角的平面角與其法向量夾角的誤判，同時又避免了對垂足M,N坐標的判斷.例14如圖20,已知正方形ABCD和矩形ACEF坐在平面相垂直，,M是線段EF中點，求二面角A-DF-B的大小.解:如圖建立空間直角坐標系，則.作AMDF于M,BNDF的延長線于N,則所成的角的大小與二面角A-DF-B的大小相等.故二面角A-DF-B的大小為.例12如圖15,在矩形ABCD外存在一點P，使PA面ABCD，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D的大小.APDCB圖APDCB圖15則有由及得注意到B-PC-D為鈍角，故B-PC-D的大小為.例4：（2009天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值?，F(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標系，以點為坐標原點。設依題意得（I）所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：，（III）又由題設，平面的一個法向量為練習5、（2008湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1⊥（答案：，且）總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用。十、其他（有關二面角的最值問題等）求最值是代數(shù)、三角、解幾的“熱點”問題，殊不知立體幾何中也有引人入勝的最值問題.圖7EDCBAl例6二面角-l-的大小是變量，點B圖7EDCBAl上，A、D分別在面、內(nèi)，且AD⊥BC，AD與面成角，若△ABC的面積為定值S，求△BCD面積Q的最大值.分析與略解：如圖9，作AE⊥BC于E，連DE，則由AD⊥BC得BC⊥平面ADE，則DE⊥BC，∠AED=，∠ADE=.在△AED中，由正弦定理得，所以，則當時，有Qmax=2S.△BCD和△ABC有公共的底邊BC，則它們的面積比等于對應高之比，這是簡單的平幾知識，但用在這里卻發(fā)揮了以簡馭繁的奇妙功能.三角函數(shù)與正弦定理給題目注入了新的活力.求點到平面距離的基本方法北京農(nóng)大附中閆小川求點到平面的距離是立體幾何中的一個基本問題，是高考的一個熱點，也是同學學習中的一個難點.本文通過對一道典型例題的多種解法的探討，概括出求點到平面的距離的幾種基本方法.例（2005年福建高考題）如圖1，直二面角中，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點，且平面.(Ⅰ