廣東省廣州市六區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)(試題)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答信息點(diǎn)涂累，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線(xiàn)的傾斜角是A. B. C. D.2.準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.3.雙曲線(xiàn)的離心率是()A. B. C. D.4.經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程是()A B.C D.5.在三棱柱中，M，N分別為，的中點(diǎn)，若則()A. B.C. D.6.動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是()A. B.C. D.7.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)(不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn))與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是()A.14 B.15 C.18 D.208.已知數(shù)列{}滿(mǎn)足，，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則=()A.506 B.759 C.1011 D.1012二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則()A. B.C. D.∥10數(shù)列滿(mǎn)足，，則()A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.C.點(diǎn)()都在直線(xiàn) D.數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為3211.過(guò)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支交于點(diǎn)A，則()A.雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為B.點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的距離為4C.直線(xiàn)l的斜率k取值范圍是D.若的中點(diǎn)在y軸上，則直線(xiàn)l的斜率12.過(guò)直線(xiàn)l：上的動(dòng)點(diǎn)P分別作圓C1：與圓C2：的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則()A.圓C1上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為B.|PA|的最小值為C.的最小值為D.直線(xiàn)l上存在兩個(gè)點(diǎn)P，使得三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.14.若數(shù)列{}為等差數(shù)列，，則數(shù)列{}的前9項(xiàng)和=__________.15.圖中是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則橋拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為_(kāi)__________.16.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，若平面，則長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的n的最小值.18.已知圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心C在直線(xiàn)上.(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，如果，求直線(xiàn)l的方程.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值.20.已知數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，，.(1)求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)若，，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.21.如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，為正三角形，平面平面.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)在線(xiàn)段上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.22.已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)連接成的四邊形為正方形.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的取值范圍.2022學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)(試題)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答信息點(diǎn)涂累，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線(xiàn)的傾斜角是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線(xiàn)的斜率，可得出該直線(xiàn)的傾斜角.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，因此，該直線(xiàn)的傾斜角為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)傾斜角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是求出直線(xiàn)的斜率，同時(shí)要熟悉直線(xiàn)的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意得，拋物線(xiàn)，可得，且開(kāi)口向左，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選B．考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)．3.雙曲線(xiàn)的離心率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)的方程知再由求得，即可求得雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由雙曲線(xiàn)知，則，則離心率.故選：B4.經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立方程計(jì)算交點(diǎn)為，根據(jù)直線(xiàn)垂直得到，得到直線(xiàn)方程.【詳解】，解得，故直線(xiàn)交點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率，故垂直于它的直線(xiàn)斜率，故所求直線(xiàn)方程為，整理得到.故選：B5.在三棱柱中，M，N分別為，的中點(diǎn)，若則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則得到，得到答案.【詳解】，故.，故選：A6.動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.【詳解】圓N：的圓心為，半徑為，且設(shè)動(dòng)圓半徑為，則，即.即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)上，且點(diǎn)在靠近于點(diǎn)這一支上，故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是故選：A7.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)(不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn))與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是()A.14 B.15 C.18 D.20【答案】C【解析】【分析】不妨取為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接，，則為平行四邊形，的周長(zhǎng)大于等于，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：不妨取為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接，，則為平行四邊形，的周長(zhǎng)為，當(dāng)，為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故選：C8.已知數(shù)列{}滿(mǎn)足，，記數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，則=()A.506 B.759 C.1011 D.1012【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推公式可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即可出現(xiàn)分組求和，再利用累加根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】由遞推公式可得，；；；而故選：A二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則()A. B.C. D.∥【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)模長(zhǎng)公式、線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、共線(xiàn)向量定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)B，，故B不正確；對(duì)C，，所以不垂直，故C不正確；對(duì)D，，所以∥，故D正確.故選：AD.10.數(shù)列滿(mǎn)足，，則()A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.C.點(diǎn)()都在直線(xiàn) D.數(shù)列前項(xiàng)和的最大值為32【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，可判斷數(shù)列的單調(diào)性及，可判斷A；又可得數(shù)列為等差數(shù)列，求得等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可判斷B,C；由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最大值，可判斷D.【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足，，即，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故A正確；且數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則點(diǎn)()都在直線(xiàn)上，故B不正確，C正確；數(shù)列的前項(xiàng)和，又因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，則的最大值為，故D不正確.故選：AC.11.過(guò)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支交于點(diǎn)A，則()A.雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為B.點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的距離為4C.直線(xiàn)l的斜率k取值范圍是D.若的中點(diǎn)在y軸上，則直線(xiàn)l的斜率【答案】ACD【解析】【分析】雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，A正確，計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離得到B錯(cuò)誤，根據(jù)漸近線(xiàn)得到斜率k取值范圍是，C正確，確定的橫坐標(biāo)為，得到或，計(jì)算斜率得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，取漸近線(xiàn)方程為，距離為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：漸近線(xiàn)方程為，故斜率k取值范圍是，正確；對(duì)選項(xiàng)D：的中點(diǎn)在y軸上，則的橫坐標(biāo)為，，得到，故或，，斜率為，正確.故選：ACD12.過(guò)直線(xiàn)l：上的動(dòng)點(diǎn)P分別作圓C1：與圓C2：的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則()A.圓C1上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為B.|PA|的最小值為C.的最小值為D.直線(xiàn)l上存在兩個(gè)點(diǎn)P，使得【答案】BCD【解析】【分析】確定兩圓圓心和半徑，到直線(xiàn)的距離為，，A正確，的最小值為，B錯(cuò)誤，計(jì)算對(duì)稱(chēng)點(diǎn)得到最小距離為，C正確，計(jì)算軌跡方程為圓，再判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系得到D正確，得到答案.【詳解】圓C1：，圓心，半徑；圓C2：，圓心，半徑，對(duì)選項(xiàng)A：到直線(xiàn)的距離為，，故只有1個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，的最小值為，故的最小值為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：設(shè)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，故，，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，即，即，設(shè)，則，整理得到，軌跡為圓心為，半徑為的圓，圓心到直線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)和圓相交，有2個(gè)交點(diǎn)，正確.故選：BCD三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)平行得到，得到，整理得到答案.【詳解】直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，直線(xiàn)方程為，即.故答案為：14.若數(shù)列{}為等差數(shù)列，，則數(shù)列{}的前9項(xiàng)和=__________.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：15.圖中是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則橋拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)方程為，，，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)，解得答案.【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)方程為，，設(shè)，水面下降2m后，水面寬8m，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則，解得，故拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為.故答案為：16.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，若平面，則長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】以正方體的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面的法向量，設(shè)，且，求，根據(jù)平面，可得滿(mǎn)足的等式關(guān)系，并用表示，確定的取值范圍，利用空間中兩點(diǎn)距離公式得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可確定長(zhǎng)度的最大值.【詳解】如圖，以正方體的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，則設(shè)，且則，設(shè)平面的法向量為，又則，令，則因?yàn)槠矫?，所以，即，則，所以則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以長(zhǎng)度的最大值為.故答案為：.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的n的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列公式得到，，得到通項(xiàng)公式.(2)計(jì)算，解不等式得到答案.【小問(wèn)1詳解】等差數(shù)列中，，，故，，故【小問(wèn)2詳解】，，即，解得，故的最小值為18.已知圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心C在直線(xiàn)上.(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，如果，求直線(xiàn)l的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)計(jì)算的垂直平分線(xiàn)，計(jì)算交點(diǎn)得到圓心，再計(jì)算半徑得到答案.(2)考慮直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合弦長(zhǎng)公式計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】，的中點(diǎn)為，故的垂直平分線(xiàn)為，即，，解得，故圓心為，半徑，故圓方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，此時(shí)，滿(mǎn)足條件，直線(xiàn)方程為；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，，故圓心到直線(xiàn)的距離為，解得，故直線(xiàn)方程為，即.綜上所述：直線(xiàn)的方程為或.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方體以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求解，按照異面直線(xiàn)夾角余弦公式求解與所成角的余弦值即可；(2)由(1)求平面的法向量與直線(xiàn)的方向向量，再利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算解求得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在長(zhǎng)方體中，，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，則與所成角的余弦值為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，又，，所以，令，則所以，故與平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，，.(1)求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)若，，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【解析】【分析】(1)利用得數(shù)列的遞推關(guān)系，從而由等比數(shù)列定義得證結(jié)論；(2)由錯(cuò)位相減法求和．小問(wèn)1詳解】，時(shí)，，相減得：，又，,,所以，,所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)是9，公比是3；【小問(wèn)2詳解】由(1)得，，，，則，相減得，∴．21.如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，為正三角形，平面平面.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)在線(xiàn)段上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在點(diǎn)，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時(shí)為中點(diǎn)【解析】【分析】(1)根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系證得，