高中數(shù)學(xué)-復(fù)數(shù)題型知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)：復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

01概念

我們把形如z=a+bi（a、b均為實(shí)數(shù)）的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)。

其中，a稱(chēng)為實(shí)部，b稱(chēng)為虛部，i稱(chēng)為虛數(shù)單位。

:虛散單位:

V

:實(shí)部：：虛部;

當(dāng)z的虛部b=0時(shí)，則z為實(shí)數(shù)；當(dāng)z的虛部bNO時(shí)，實(shí)部a=0時(shí)，常稱(chēng)z為

純虛數(shù)。

02分類(lèi)

有理數(shù)［整數(shù)

實(shí)數(shù)(6=0卜侶繳［分?jǐn)?shù)

復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)［無(wú)理數(shù)(無(wú)限不循環(huán)小數(shù))

純虛數(shù)(。w0)

虛數(shù)(6=0)<

,非純虛數(shù)(。=0)

03復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)虛數(shù)的關(guān)系

實(shí)數(shù)、虛數(shù)和復(fù)數(shù)的關(guān)系

1、復(fù)數(shù)可以分為兩類(lèi)數(shù)：實(shí)數(shù)、虛數(shù)。

2、所有實(shí)數(shù)和所有虛數(shù)構(gòu)成了所有的復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)不含實(shí)

數(shù)、虛數(shù)之外的數(shù).

3、實(shí)數(shù)、虛數(shù)都是復(fù)數(shù)；不存在既是實(shí)數(shù)，又是虛數(shù)的

復(fù)數(shù)；任何一個(gè)復(fù)數(shù)，不屬于實(shí)數(shù)就屬于虛數(shù)，二者必

居其一.

實(shí)數(shù)、虛數(shù)都是復(fù)數(shù)；不存在既是實(shí)數(shù)，又是虛數(shù)的復(fù)數(shù)；任何一個(gè)復(fù)數(shù)，不屬

于實(shí)數(shù)就屬于虛數(shù)，二者必居其一。復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)判定的充要條件。

①當(dāng)虛部b=0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a￡R,此時(shí)“z”屬于復(fù)數(shù)中的實(shí)數(shù)。即，復(fù)數(shù)z=a+bi為

實(shí)數(shù)的充要條件是“b=0”。

②當(dāng)虛部b#0時(shí)，復(fù)數(shù)z具有形式“a+bi”，此時(shí)不管實(shí)部a是否為0,復(fù)數(shù)z都屬

于復(fù)數(shù)中的虛數(shù)。即，復(fù)數(shù)z=a+bi為虛數(shù)的充要條件是““0”。

04復(fù)數(shù)的幾何意義

對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR),

a稱(chēng)實(shí)部記作Re(z),b稱(chēng)虛部記作lm(z).

z=ai稱(chēng)為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠?/p>

構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，

那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，

從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。

因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱(chēng)為復(fù)平面,

x軸稱(chēng)為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱(chēng)為虛軸，點(diǎn)稱(chēng)為復(fù)數(shù)的幾

何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一

一個(gè)向量。

05

共軌復(fù)數(shù)

共匏復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則稱(chēng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共匏

復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)Z的共輪復(fù)數(shù)用2表示。

z=a+bi^z=a—bi

結(jié)合復(fù)平面的知識(shí)，在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共?復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)。

06

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

（一）復(fù)數(shù)的加法

1、加法法貝IJ：設(shè)Z[=a+/）i,z?=c+di（a、b、c、dWR）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，

規(guī)定Zi+Z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）\.

即兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是復(fù)數(shù).

注意:對(duì)于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形，

即二1=|十6。的=牝+62「73=的+63…，〃=/+6/，

則Z\+Z24---Fz?=（Q\+/+…+?！保?（仇+/+…+?i.

2、加法運(yùn)算律:復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意的KN2、Z3WC,

有」+22=72+21,（2]+22）+23=馬+（22+23）.

（二）復(fù)數(shù)的減法

1、相反數(shù)：已知復(fù)數(shù)a+hi（atb€R）,根據(jù)復(fù)數(shù)加法的定義，

存在唯一的復(fù)數(shù)一a一4,使（a+hi）+（-a-hi）=0.其中一a一叫做"+bi的相反數(shù).

2、減法法則：規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)的減法法貝/設(shè)Z|=a+4,Z2=c+dj（a,/>,gd€R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則?

—Z2=（a+bi）—（c+di）=（a-c）+（〃+d）\.

即兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相減,顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是一個(gè)復(fù)數(shù).

（三）復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義

1、復(fù)數(shù)可以用向量來(lái)表示，已知復(fù)數(shù)2]=占+?J（.丫1、凹6A）,22=必+）5（M、刈€R）,

其對(duì)應(yīng)的向量（冠=（即，"），區(qū)=（必,％）,RZ

如圖1,且詞和礪不共線，

以。乙和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZjZ,O\'

根據(jù)向量的加法法則，對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的向量反=西+理，圖I

而詞所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是（即+必，%+>2）,y

這正是兩個(gè)復(fù)數(shù)之和二1+Z2所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì).

2、復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，如圖2,。產(chǎn)一二

復(fù)數(shù)力—與向量醞一兩等于窈）對(duì)應(yīng)，困2

這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

【注意】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義知，兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量的和向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個(gè)復(fù)數(shù)

的和;兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量的差向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差.

(2)求兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量的和，可使用平行四邊形法則或三角形法則.

(3)在確定兩復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量時(shí)，應(yīng)按照三角形法則進(jìn)行.

拓展:由復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可得出：||z.|-|z2||<|z,±z2|&|zt|+|z2|.

(四)復(fù)數(shù)的乘法

1、運(yùn)算法則：兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算來(lái)進(jìn)行，只是把F換成-1,并把最后結(jié)果寫(xiě)

成。+hi(axb€R)的形式.

設(shè)<Z[=a+〃，Z2=c+di(a、b、c€R),

則=??為=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+hdi2=(ac-bd)+(ad+bc)\.顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù).

⑴NI?Z2=ZZ?ZI(交換律);

2、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律:對(duì)于任意4、Z2、Z3WC,有⑵(馬2也=Z-(Z2&)(結(jié)合律);

(3)Z/(N2+Z3)=」Z2+Z|Z式分配律).

【注意】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

3、復(fù)數(shù)的乘方:復(fù)數(shù)的乘方也就是相同復(fù)數(shù)的乘積，根據(jù)乘法的運(yùn)算律，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)

算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.即對(duì)復(fù)數(shù)n、Z?、Z和自然數(shù)加、〃有

-=(2M)?=Zg,出與尸=浦名,Z°=l;zF=+(zWO).

【注意】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的乘方公式、運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

4、虛數(shù)單位i的乘方

計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i'=i,i3=—I,i3=i'i2=—i,i4=i5-i=—i-i=1,

從而對(duì)于任何”eM,都有產(chǎn)?泮J==i,

同理可證產(chǎn)+2=-i,產(chǎn)+s=-i,*+■?=i.

這就是說(shuō)，如果”eN.,那么有產(chǎn)=i,產(chǎn)+2=-1,產(chǎn)+3=-i,產(chǎn)"=1.

由此可進(jìn)一步得(1+i):=2i,(1—i)2=—2i,'!'：――1,]+'；=i,4-=-i.

(五)復(fù)數(shù)的除法

規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則：(a、6、c、deR,c+力WO)

(?+hi)+(c+di)=嚕=一"桀Y=色。當(dāng)畛二蚣=

在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把(。+bi)-r(c+di)寫(xiě)成答%的形式，

再把分子、分母同乘分母的共舸復(fù)數(shù)C-把分母變?yōu)閷?shí)數(shù),化簡(jiǎn)后就可得到所求結(jié)果.

【注意】(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商仍是一個(gè)復(fù)數(shù).

(2)z=a+"(a"€R),z?=/+護(hù)是復(fù)數(shù)除法運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)分母“實(shí)數(shù)化”的一個(gè)手段.

(六)復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),實(shí)系數(shù)一元二次方程,++c=0(“W0)的求解方法：

①當(dāng)△〉()時(shí),x=二她嚶一立

(1)求根公式法:

②當(dāng)△<()時(shí),XL"—*J""

2(1

(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解,設(shè)方程的根為x=〃?+ni(m,〃WR),

將此代入方程ax2+加+c=0(。#0),化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解。

(七)求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法:將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來(lái),利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法:將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入已知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部

的方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。

07復(fù)數(shù)的重要知識(shí)

<3）莫數(shù)重要如識(shí)：

1、注重1數(shù)與向?的區(qū)別：

H口，第卜閭=忖同">pqw闡；

2、女同性及用名髓滲：

①~'*：2—-=I--;3Z[±z】=Z[±z、：4ZI,z：=Z]?Z、：

Z2Z/2盯瓦

豆2.z=「「=口，卜"卜忖"；⑦(1士if=±2i,?±i；⑧(y=-!±^^i,

1千i22

：gfiT=0,W=e;d>3=L。"=。?1+0+@-=(h

婷Ml,1+W+石：=0；薩，0-+07+01=0

復(fù)數(shù)易錯(cuò)題

【例」以下有四個(gè)命題：〈1）兩個(gè)共施復(fù)數(shù)的差是純麻h（2〉若T6C,則Z：之（h

（3）若Z[,z】eC且否一口>0,則Z[>Zj；（4）日-】；）：+（；；-1,）：=0,則七=；：=；,.其

中正確的有_____個(gè).

【錯(cuò)辯】4個(gè)

【滑因】（D二存到z-5=2bi時(shí)就認(rèn)為是純虛數(shù)，3n了b可以為。的條件.

<2）認(rèn)為任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于等于。可以推廣到復(fù)效中.（3）認(rèn)為兩個(gè)實(shí)數(shù)之差大干

0等價(jià)于削一個(gè)宗教大于后一個(gè)實(shí)數(shù)可推廣到復(fù)數(shù)中<4）把等式性庸錯(cuò)誤的推廣到夏初中.

【正解】（1）錯(cuò)，設(shè)互為共視復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為z=a+歷及（abW&）,

則z-5=2>或5-z=一乃：,當(dāng)6=0時(shí)，z-Z.J-z是純虛數(shù)，當(dāng)6=0時(shí)，

z-r=0.T-z=0>（2）fg,反例設(shè)Z=I則/=產(chǎn)=-1<0J（3）錯(cuò)，反例設(shè)

Z[=3+i,z?=2+1滿足4-z：=1>0但Z[,z：不能比較大?。唬?）錯(cuò)，設(shè)〃=1，y￡，

4--1,則（4-zJ+（4-4）、0,但它們并不相等.故答素是。個(gè).

【例2】已知z=(m+3)+(a-l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)胴的取值范圍

是()

(A)(-3,1)(B)(-1,3)(C)(L+x)(D)(-X.-3)

【錯(cuò)解】要使復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限應(yīng)滿足：無(wú)解.

M7-1>0

【錯(cuò)因】沒(méi)有理解復(fù)數(shù)的幾何意義，不知道如何將復(fù)救與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng).

m+3>0

【正解】要使復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限應(yīng)滿足：，c，解得

m-l<0

【例3】設(shè)xa+o=iR,其中x.j?實(shí)數(shù),則k+y|=()

(A)1(B)&(C)J3<D)2

【鉗靛】就x(l+O=lR,所以x+x=lt>75r=ly=x=l,,|x+wj=l+l=2,故選D.

【答案】不理解復(fù)數(shù)的橫的公式

【正解】?)*3x(l+O=1-A1,X+J'=X=l.lx*>iI=|l+ii=tf.

【例4】已知是實(shí)數(shù)，1是純虛數(shù)，且滿足(2x+l)7r-C>，-lM,求X與丫的值.

【褶H】月掂豆豺相芋的充要子件，口」〕(..,2.

【錯(cuò)因】誤把等式兩邊看成復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式加以求解。

【正第】依題意.設(shè)》一耳俗。月力**0),帶入關(guān)系式(2x+l)+Sy-(7-1N,要理得：

(2x+l)+L-KS-W,根據(jù)根據(jù)復(fù)豺相等的充要條件，可得解得“*-，，

3

喃-I.

」?2，

點(diǎn)、評(píng)：這類(lèi)題目往往是忽略題藏中給出的條件，誤把等式兩邊看成是復(fù)數(shù)的標(biāo)石的代數(shù)形式

旭認(rèn)求解，得出錯(cuò)派耀論。應(yīng)引起重視，認(rèn)宜宙馥，理清題目中給出的條件后再m以分析

求解.

易錯(cuò)點(diǎn)5.復(fù)數(shù)的“?！迸c"絕對(duì)值”混淆出錯(cuò)

【例5】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解不等式尸-4z+3|<|z-l|.

【錯(cuò)解】原不等式=k一3|卜一1|<:一1|='一1|（卜一3|—1）<0,v|z-l|>0,|z-3|<l.

二-1<2-3<1即有-2<2<4.

【錯(cuò)因】把實(shí)數(shù)中絕對(duì)值的性質(zhì)“忖<aO<x<a（a>0）”生搬硬套到復(fù)數(shù)模中來(lái).

t正解】原不等式o|z一o|z-l|（|z-3|-l）<0,v|z-l|>0,--|z-3|<l,fiz*1.

其解為以點(diǎn)（3,0）為圓心，1為半徑的圓內(nèi)部，目去除點(diǎn)（1,0）.

易錯(cuò)點(diǎn)6.方程有解的條件弄斯出錯(cuò)

【例6】已知關(guān)于x的方程—+（左+2i）x+2+后=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件.

【錯(cuò)解】由于方程有實(shí)數(shù)根，得△=（k+2，>一4（2+內(nèi)）20,解得kN2、「或k4一2/

【錯(cuò)因】誤運(yùn)用系數(shù)為實(shí)數(shù)情況下方程有根的充要條件A20,方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，可把實(shí)數(shù)

根x=x0代入方程整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件解出々和的值即可.

【正解】設(shè)x=々是方程的實(shí)數(shù)根，代入方程并整理得（超2+g+2）+（2&+k）i=0,

3=&

由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得，解得J或,

k=2「k=-10

易偌點(diǎn)7.對(duì)復(fù)費(fèi)的運(yùn)算不熟算致偌

【例7］若z=l+2i,則」一=()

ZZ-1

(A)l(B)-1(C)(D)-i

【諳解】-_=--