2023年中考數(shù)學考前第27講：尺規(guī)作圖性問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學考前沖刺第27講：尺規(guī)作圖性問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

1.能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作

一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線：過一點作已知直線的垂線.

2.會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形：已

知底邊及底邊上的高線作等腰三角形：已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

3.會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓：作三角形的外接圓、內切圓：

作圓的內接正方形和正六邊形.

4.在尺規(guī)作圖中，了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法，

中考中常見考點有：

1.網(wǎng)格作圖：利用平移、旋轉、軸對稱、中心對稱、位似在網(wǎng)格中作圖稱為網(wǎng)格作圖

2.尺規(guī)作圖：

⑴尺規(guī)作圖的定義：在幾何里把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作圖,

最基本最常用的尺規(guī)作圖，稱為基本作圖.

⑵五種基本尺規(guī)作圖：①作一條線段等于已知線段；②作一個角等于已知角：③作一

個角的角平分線：④作線段的垂直平分線：⑤經(jīng)過一點作已知直線的垂線.

⑶尺規(guī)作圖的步驟：

①已知：寫出已知的線段和角，畫出圖形：

②求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化：

③作法：應用五種基本作圖，敘述時不需要重述基本作圖的過程，但圖中必須保留基本

作圖的痕跡：

④證明：為了驗證所作圖形的正確性，把圖作出后，根據(jù)有關的定義、定理等并結合作

法證明所作圖形完全符合題設條件，

⑤對所作圖形下結論.

⑷作三角形：①已知三邊作三角形；②已知兩邊及其夾角作三角形：③已知兩角及其

夾邊作三角形：④已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.

⑸探究如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓.

【例題1】尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

已知線段a和/AOB,點M在。B上（如圖所示）.

第1頁共23頁

(1)在。A邊上作點P,使0P=2a；

(2)作NAOB的平分線；

(3)過點M作OB的垂線.

【例題2】兩個城鎮(zhèn)A、8與兩條公路ME,/WF位置如圖所示，其中/ME是東西方向的公路.現(xiàn)

電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到

兩條公路ME,MF的距離也必須相等，且在NFZWE的內部，那么點C應選在何處？請在圖

中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C?(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)

第2頁共23頁

【例題3】如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中有一條線段AB,點A與點B均在格點上.請在這

個網(wǎng)格中作線段AB的垂直平分線.要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②

保留必要的作圖痕跡.

一、選擇題:

1.如圖，在口ABCD中，用直尺和圓規(guī)作NBAD的平分線AG交BC于點E.若BF=8,AB=5,

2.用直尺和圓規(guī)作RtZ?A8C斜邊AB上的高線8,以下四個作圖中，作法錯誤的是（）

3.已知□ABCD,根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，判斷下列結論中不一定成立的是（）

第3頁共23頁

DE

A.ZDAE=ZBAEB.ZDEA=—ZDAB

9

C.DE=BED.BC=DE

4.如圖，在RtZXABC中，ZC=90o,按下列步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧,

與AB,BC分別交于點D,E;②分別以D,E為圓心，大于JDE的長為半徑畫弧，兩弧交

2

于點P;③作射線BP交AC于點F；④過點F作FGlAB于點G.下列結論正確的是()

A.CF=FGB.AF=AGC.AF=CFD.AG=FG

5.如圖，點A在雙曲線y—蟲(x>0)上，過點A作AB_LX軸，垂足為點B,分別以點O

X

和點A為圓心，大于LoA的長為半徑作弧，兩弧相交于D,E兩點，作直線DE交X軸于點

2

C,交y軸于點F(0,2),連接AC.若AC=I,則k的值為()

第4頁共23頁

二、填空題:

6.如圖，點A,B,C均在6x6的正方形網(wǎng)格格點上，過A,B,C三點的外接圓除經(jīng)過A,

B,C三點外還能經(jīng)過的格點數(shù)為

7.如圖，已知線段AB,分別以A、B為圓心，大于WAB為半徑作弧，連接弧的交點得到直

線I,在直線I上取一點C,使得NCAB=25。，延長AC至M,求/BCM的度數(shù)為

8.以RtZ?ABC的銳角頂點A為圓心，適當長為半徑作弧，與邊AB,AC各相交于一點，再

分別以這兩個交點為圓心，適當長為半徑作弧，過兩弧的交點與點A作直線，與邊BC交于

點D.若NADB=60。，點D到AC的距離為2,則AB的長為.

9.下面是"經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,直線I和直線I外一點P

求作：直線I的平行直線，使它經(jīng)過點P?

(i)過點P作直線m與直線I交于點O；

第5頁共23頁

(ii)在直線m上取一點A(OA<OP),以點。為圓心，OA長為半徑畫弧，與直線I交于點

B；

(iii)以點P為圓心，OA長為半徑畫弧，交直線m于點C,以點C為圓心，AB長為半徑畫

弧，兩弧交于點D;

(iv)作直線PD.

所以直線PD就是所求作的平行線.

請回答：該作圖的依據(jù)是.

10.如圖，在aABC中，ZC=90o,ZB=30o,以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC

于點M和N,再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連

結AP并延長交BC于點D,則下列說法①AD是NBAC的平分線；②NADC=60。；③點D

在AB的中垂線上；正確的個數(shù)是個

三、計算與解答：

11.已知：如圖，Zα,Zβ,線段m.

求作：AABC,使NA=Na,ZS=Zβ,AB=m.

第4題

第6頁共23頁

12,尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

已知線段a和NAOB,點M在OB上（如圖所示）.

（1）在OA邊上作點P,使0P=2a;

（2）作NAOB的平分線；

（3）過點M作OB的垂線.

13.兩個城鎮(zhèn)A,B與一條公路CD,一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊,

要求該山莊到A,B的距離必須相等，到CD和CE的距離也必須相等，且在NDCE的內部，

請畫出該山莊的位置P.（不要求寫作法，保留作圖痕跡.）

第7頁共23頁

14.A、B兩所學校在一條東西走向公路的同側，以公路所在直線為X軸建立如圖所示的平面

直角坐標系，且點4的坐標是(2,2),點B的坐標是(7,3).

Λ(7.3)

■

彳(2.2)

⑴一一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點C,使C點到4B兩校的距離相

等？如果有，請用尺規(guī)作圖找出該點，保留作圖痕跡，不求該點坐標.

(2)若在公路邊建一游樂場P,使游樂場到兩校距離之和最小，通過作圖在圖中找出建游樂

場P的位置，并求出它的坐標。

第8頁共23頁

15.在數(shù)學課本上，同學們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖

過程：

已知：直線1和1外一點P.

p.P

1

-----------A7D*

圖①

求作：直線I的垂線，使它經(jīng)過點P.

作法：如圖：①在直線1上任取兩點A,B；

②分別以點A,B為圓心，AP,BP長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；

③作直線PQ.

參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：

(1)以上材料作圖的依據(jù)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

⑵已知：直線1和1外一點P.

求作：OP,使它與直線1相切.(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑

色簽字筆描黑)

P

------------------/圖②

第9頁共23頁

2023年中考數(shù)學考前沖刺第27講：尺規(guī)作圖性問題答案解

析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

1.能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段：作一個角等于已知角；作

一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線：過一點作已知直線的垂線.

2.會利用基本作圖作三角形：己知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形：已

知底邊及底邊上的高線作等腰三角形：已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

3.會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓：作三角形的外接圓、內切圓：

作圓的內接正方形和正六邊形.

4.在尺規(guī)作圖中，了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法，

中考中常見考點有：

1.網(wǎng)格作圖：利用平移、旋轉、軸對稱、中心對稱、位似在網(wǎng)格中作圖稱為網(wǎng)格作圖

2.尺規(guī)作圖：

⑴尺規(guī)作圖的定義：在幾何里把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作圖,

最基本最常用的尺規(guī)作圖，稱為基本作圖.

(2)五種基本尺規(guī)作圖：①作一條線段等于已知線段；②作一個角等于已知角：③作一

個角的角平分線：④作線段的垂直平分線：⑤經(jīng)過一點作已知直線的垂線.

⑶尺規(guī)作圖的步驟：

①已知：寫出已知的線段和角，畫出圖形：

②求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化：

③作法：應用五種基本作圖，敘述時不需要重述基本作圖的過程，但圖中必須保留基本

作圖的痕跡：

④證明：為了驗證所作圖形的正確性，把圖作出后，根據(jù)有關的定義、定理等并結合作

法證明所作圖形完全符合題設條件，

⑤對所作圖形下結論.

⑷作三角形：①已知三邊作三角形；②已知兩邊及其夾角作三角形：③已知兩角及其

夾邊作三角形：④已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.

(5)探究如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓.

【例題1】尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：

第10頁共23頁

已知線段a和∕AOB,點M在OB上（如圖所示）.

（1）在OA邊上作點P,使0P=2a；

（2）作NAe）B的平分線；

（3）過點M作OB的垂線.

【分析】（1）在C）A上截取0P=2a即可求出點P的位置；

（2）根據(jù)角平分線的作法即可作出NAoB的平分線；

（3）以M為圓心，作一圓與射線OB交于兩點，再以這兩點分別為圓心，作兩個相等半徑

的圓交于D點，連接MD即為C）B的垂線；

【解答】解：（1）點P為所求作；（2）C）C為所求作；（3）MD為所求作；

【例題2】兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路∕WE,MF位置如圖所示，其中/ME是東西方向的公路.現(xiàn)

電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到

兩條公路∕WE,MF的距離也必須相等，且在NFME的內部，那么點C應選在何處？請在圖

中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）

【答案】解題點撥：此題考查了尺規(guī)作圖，正確的作出圖形是解答本題的關鍵.到A、8距

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離相等則作線段A8的垂直平分線，到ME、MF距離相等則作NFME的角平分線，它們的交

點即為所求.

解：答案如圖：

【例題3】如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中有一條線段AB,點A與點B均在格點上.請在這

個網(wǎng)格中作線段AB的垂直平分線.要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②

保留必要的作圖痕跡.

【分析】以AB為邊作正方形ABCD,正方形ABEF,連接AC,BD交于0,連接AE,BF交于

0’,過。，0'作直線OCy于是得到結論.

【解答】解：如圖所示，直線。。'即為所求.

一、選擇題：

1.如圖，在口ABCDΦ,用直尺和圓規(guī)作/BAD的平分線AG交BC于點E.若BF=8,AB=5,

則AE的長為（）

第12頁共23頁

【分析】由基本作圖得到AB=AF,AG平分NBAD,故可得出四邊形ABEF是菱形，由菱形的

性質可知AEJ_BF,故可得出OB的長，再由勾股定理即可得出OA的長，進而得出結論.

【解答】解：連結EF,AE與BF交于點0,

四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AF,

.?.四邊形ABEF是菱形，

ΛAE±BF,0B=-?-BF=4,OA=工AE.

22

VAB=5,

?Rt?AOBΦ,AOW25“6=3,

ΛAE=2AO=6.

故選B.

2.用直尺和圓規(guī)作RtAABC斜邊AB上的高線C。，以下四個作圖中，作法錯誤的是（)

【解析】小根據(jù)垂徑定理作圖的方法可知，CD是RtAABC斜邊AB上的高線，不符合題意;

B、根據(jù)直徑所對的圓周角是直角的方法可知，CD是RtAABC斜邊AB上的高線，不符合題

J?.

后、；

第13頁共23頁

C、根據(jù)相交兩圓的公共弦的性質可知，CD是Rt斜邊AB上的高線，不符合題意;

D、無法證明CD是RtZ∑A8C斜邊AB上的高線，符合題意.

3.已知□ABCD,根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，判斷下列結論中不一定成立的是（）

A.ZDAE=ZBAEB./DEA=—ZDAB

?

C.DE=BED.BC=DE

【解析】【解答】根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知，Jr是力的角平分線，

,在跋城二￡.胃父落故A不符合題意，

丁四邊形一13。是平行四邊形，

白段丁>=或H=嬤〃（.D`

■J

I，￡之建盛=H品滋留魅ENL貨也覷??故B不符合題意.

榨

6Qj=

、期更二蔡,故D不符合題意.

力戶和RF的關系不能確定.

故答案為：C.

4.如圖，在RtZ?ABC中，ZC=90%按下列步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧,

與AB,BC分別交于點D,E;②分別以D,E為圓心，大于gDE的長為半徑畫弧，兩弧交

于點P;③作射線BP交AC于點F；④過點F作FGlAB于點G.下列結論正確的是（）

A.CF=FGB.AF=AGC.AF=CFD.AG=FG

第14頁共23頁

【解答】解：根據(jù)作圖的步驟得到：EF是/CBG的角平分線，

A、因為EF是NCBG的角平分線，F(xiàn)G_LAB,CF±BC,所以CF=FG,故本選項正確；

B、AF是直角AAFG的斜邊，AF>AG,故本選項錯誤；

C、EF是/CBG的角平分線，但是點F不一定是AC的中點，即AF與CF不一定相等，故本

選項錯誤；

D、當RtZiABC是等腰直角三角形時，等式AG=FG才成立，故本選項錯誤；

故選：A.

5.如圖，點A在雙曲線y—&(x>0)上，過點A作AB_Lx軸，垂足為點B,分別以點。

X

和點A為圓心，大于LoA的長為半徑作弧，兩弧相交于D,E兩點，作直線DE交X軸于點

2

C,交y軸于點F(0,2),連接AC.若AC=I,則k的值為()

【分析】如圖，設OA交CF于K.利用面積法求出OA的長，再利用相似三角形的性質求出

AB、OB即可解決問題：

【解答】解：如圖，設OA交CF于K.

由作圖可知，CF垂直平分線段OA,

,OC=CA=I,OK=AK,

第15頁共23頁

在Rt?0FC中，CF=?∣()f'=yβ

.?.AK=0κJ￡=也，

H5

?

?.5*

,_()Γ(KCF

由aλFOCS^λOBA,可TZ得a——=——=——

OBABOA

OBAB4√5

5

ΛOB=-,AB=-,

55

、

?.?Az(-?f—4),

55

25

故選:B.

二、填空題：

6.如圖，點A,B,C均在6x6的正方形網(wǎng)格格點上，過A,B,C三點的外接圓除經(jīng)過A,

B,C三點外還能經(jīng)過的格點數(shù)為5

【分析】根據(jù)圓的確定先做出過A,B,C三點的外接圓，從而得出答案.

【解答】解：如圖，分別作AB、BC的中垂線，兩直線的交點為0,

5(1

*O

,V

?一G

i

■?

以。為圓心、OA為半徑作圓，則。0即為過A,B,C三點的外接圓,

第16頁共23頁

由圖可知，Θ。還經(jīng)過點D、E、F、G、H這5個格點,

故答案為：5.

7.如圖，已知線段AB,分別以A、B為圓心，大于；AB為半徑作弧，連接弧的交點得到直

2

線I,在直線I上取一點C,使得/CAB=25。，延長AC至M,求/BCM的度數(shù)為。

【分析】根據(jù)作法可知直線I是線段AB的垂直平分線，故可得出AC=BC,再由三角形外角

的性質即可得出結論.

【解答】解：???由作法可知直線I是線段AB的垂直平分線，

AC=BC,

NCAB=NCBA=25",

ZBCM=ZCAB+ZCBA=25o+25o=50o.

8.以RtZ^ABC的銳角頂點A為圓心，適當長為半徑作弧，與邊AB,AC各相交于一點，再

分別以這兩個交點為圓心，適當長為半徑作弧，過兩弧的交點與點A作直線，與邊BC交于

點D.若∕ADB=60。，點D到AC的距離為2,則AB的長為一

【分析】如圖，作DE_LAC于E.首先證明BD=DE=2,在RtZ?ABD中，解直角三角形即可解

決問題.

【解答】解：如圖，作DEJ_AC于E.

由題意AD平分NBAC,

VDB±AB,DEXAC,

第17頁共23頁

.?.DB=DE=2,

在RtZ^ADB中，VZB=90o,ZBDA=60o,BD=2,

.?.AB=BD?tan6O°=2?,

故答案為2.石

9.下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,直線I和直線I外一點P

求作：直線I的平行直線，使它經(jīng)過點P?

(i)過點P作直線m與直線I交于點O；

(ii)在直線m上取一點A(OA<0P),以點。為圓心，OA長為半徑畫弧，與直線I交于點

B；

(iii)以點P為圓心，OA長為半徑畫弧，交直線m于點C,以點C為圓心，AB長為半徑畫

弧，兩弧交于點D；

(iv)作直線PD.

所以直線PD就是所求作的平行線.

請回答：該作圖的依據(jù)是.

【解析】利用作法得OA=OB=PD=PC,CD=AB,原式可判斷AOAB之APCD,貝IJ

ZAOB=ZCPD,然后根據(jù)平行線的判定方法可判斷PD∕∕?.

解：如圖2,由作法得OA=OB=PD=PC,CD=AB,則^OABg∕?PCD,

所以NAOB=/CPD,所以PD〃1.

第18頁共23頁

故答案為三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等；同位角相等，直線平

行.

io.如圖，在AABC中，NC=90。，/B=30。，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC

于點M和N,再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連

結AP并延長交BC于點D,則下列說法①AD是NBAC的平分線；②NADC=60。；③點D

在AB的中垂線上；正確的個數(shù)是個

【解析】【解答】①AD是NBAC的平分線，說法正確；

②：NC=90。，ZB=30o,

二NCAB=60°,

；AD平分NCAB,

ΛZDAB=30o,

ΛZADC=300+30°=60°,

因此NADC=60。正確；

③?.?∕DAB=3(Γ,ZB=30o,ΛAD=BD,根據(jù)線段垂直平分線的性質逆定理可得③正確

三、計算與解答：

11.已知：如圖，Na,Zβ,線段m.

求作：ZVlBC,使∕A=Na,Zβ=Zβ,AB=m.

第4題

【答案】解：如圖所示，AABC即為所求.

第19頁共23頁

12,尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

己知線段a和NAoB,點M在OB上（如圖所示）.

（1）在。A邊上作點P,使0P=2a;

（2）作/AOB的平分線：

（3）過點M作OB的垂線.

第20頁共23頁

13.兩個城鎮(zhèn)A,B與一條公路CD,一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊,

要求該山莊到A,B的距離必須相等，到CD