四川省仁壽縣鏵強(qiáng)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試卷

鏵強(qiáng)中學(xué)文科數(shù)學(xué)12月月考試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題1．已知點關(guān)于原點的對稱點為A1，則A1坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間點的對稱性，直接求解.【詳解】點關(guān)于原點的對稱點.故選：B2．已知命題：，，則命題的否定為（）A．：， B．：，C．：， D．：，【答案】C【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題寫出結(jié)果即可．【詳解】解：命題：，，為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，故：，故選：C【點睛】本題考查命題的否定，存在量詞命題與全稱量詞命題的否定關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．直線和圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切或相交 C．相交 D．相切【答案】C【分析】求出直線所過的定點的坐標(biāo)，判斷點與圓的位置關(guān)系，由此可判斷出直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】直線過定點，，則點在圓內(nèi)，因此，直線和圓相交.故選：C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4．一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，作正方體的對角面，所得截面圖形是下圖中的（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先正方體對角面是矩形，其次根據(jù)圓與矩形的位置關(guān)系分析清楚即可.【詳解】由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球只與正方體的面相切，而與側(cè)棱相離，故選B.【點睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的截面問題，難度一般.注意根據(jù)幾何體的特征去分析.5．過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將與橢圓焦點相同的橢圓的方程設(shè)為，再將點代入，求得的值，即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)所求橢圓方程為，將點代入，可得，解得（舍去），故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C【點睛】本題主要考查了求與已知橢圓方程有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.6．已知是圓：上的動點，則點到直線：的距離的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】先利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，再用此距離減去半徑，即得所求.【詳解】解：因為圓：的圓心到直線：的距離，且圓的半徑等于，故圓上的點到直線的最小距離為故選：【點睛】本題考查圓上的點到直線的距離的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.7．已知，,為三條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，，則【答案】D【分析】由空間線面、面面平行的性質(zhì)和判定逐一判斷各選項即可.【詳解】A,若，,則或，故A不正確.B,若，，，則或與相交，故B不正確.C，若，，則或，故C不正確.D,如圖，由可得，易證，故D正確.【點睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系.使用空間線面、面面平行(垂直)的判定定理和性質(zhì)定理時，一定要保證條件完整才能推出結(jié)論.8．已知條件，條件，則是的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為，：；，：，因此從集合角度分析可知是的充分不必要條件，選A.9．已知一幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是一個等腰直角三角形和半圓，則該幾何的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個三棱錐與半圓柱的組合體，進(jìn)而得到結(jié)果．【詳解】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個三棱錐與半圓柱的組合體，三棱錐的長寬高分別為：2，1，2，，半圓柱的底面半徑為1，高為2，故組合體的表面積為.故選：A．【點睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.10．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過點的直線與曲線相交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖象，利用三角形面積的最值，確定∠AOB＝90°，然后求出圓心到直線的距離，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】曲線表示以圓心半徑為1的上半圓，則的面積，要使三角形的面積最大，此時，即，則取的中點，則，∵，∴，則，，即直線的傾斜角為150°，則直線的斜率，故選A．【點睛】本題主要考查直線斜率的計算，結(jié)合直線和圓相交的性質(zhì)以及三角形面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，正方體的棱長為1，動點在線上，，分別是，的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B．平面C．三棱錐的體積為定值 D．存在點，使得平面平面【答案】D【分析】對A,根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可.對B,利用平面幾何方法證明，再證明平面即可.對C,根據(jù)三棱錐以為底,且同底高不變,故體積不變判定即可.對D,根據(jù)與平面有交點判定即可.【詳解】在A中,因為分別是的中點,所以,故A正確;在B中,因為,,故,故.故,又有,所以平面,故B正確；在C中,三棱錐以面為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故C正確.在D中,與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故D錯誤.故選：D.【點睛】方法點睛：本題考查空間點線面的位置關(guān)系，考查棱錐的體積，考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，判斷線面垂直的方法主要有：1.線面垂直的判定定理，直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；2.面面垂直的性質(zhì)定理，若兩平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的垂直于另一個平面；3.線面垂直的性質(zhì)定理，兩條平行線中有一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直；4.面面平行的性質(zhì)定理，直線垂直于兩平行平面之一，必然垂直于另一個平面．12．設(shè)橢圓的焦點為，是橢圓上一點，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，當(dāng)時，橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：詳解：由橢圓的焦點為為橢圓上一點，且，有根據(jù)正弦定理由余弦定理，由，可得，則由三角形面積公式可得故選B．點睛：本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的定義和三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法，以及正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查化簡整理的運算能力，是中檔題．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題13．經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為______________.【答案】【分析】求出直線斜率，由斜率可得傾斜角．【詳解】由已知直線斜率為，傾斜角在上，所以傾斜角為．故答案為：．14．已知直線和圓相交于、兩點，則弦長__________．【答案】【解析】由圓方可知其圓心坐標(biāo)為，半徑，弦心距，∴，故答案為.點睛：本題主要考查了直線與圓相交求截得弦長問題，屬于基礎(chǔ)題；求直線被圓所截得的弦長時，根據(jù)圓的性質(zhì)通?？紤]由弦心距，弦長的一般作為直角邊，圓的半徑作為斜邊，利用勾股定理來解決問題，通常還會用到點到直線的距離公式.15．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的三棱錐和圓錐滿足“冪勢既同”.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，由此推算三棱錐的體積為________．【答案】【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖先計算圓錐的體積，再根據(jù)祖暅原理得到三棱錐的體積.【詳解】圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓則圓錐的底面半徑滿足：，高，根據(jù)祖暅原理三棱錐的體積為故答案為【點睛】本題考查了圓錐的體積的計算，新知識的引入，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和解決問題的能力.16．三棱錐的所有頂點都在球的表面上，平面,則球的表面積為__________．【答案】【解析】根據(jù)題意及邊長關(guān)系得到BC=2,CD=3,BD=因為平面故得到三角形ABC為直角三角形，三角形ACD也為直角三角形，故球心在AD的中點上，球的半徑為故答案為.點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.三、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項相消求和法可求得【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，.所以，化簡得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點睛】此題考查等差數(shù)列前項和的基本量計算，考查裂項相消求和法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題18．設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實數(shù)x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【分析】（1）分別求出命題和為真時對應(yīng)的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實數(shù)x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實數(shù)a的取值范圍.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應(yīng)的集合與對應(yīng)集合互不包含．19．如圖，在正三棱柱中，點在邊上，．（1）求證：平面；（2）如果點是的中點，求證：平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）通過和即可證明；（2）證明即可.【詳解】（1）∵面，面，∴，又∵，，∴平面．（2）因為平面，所以，從而是中點，連接，則，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵面，面，∴平面.【點睛】本題考查線面垂直和線面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.20．己知橢圓：的長軸長為6，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意得，求出，從而可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）設(shè)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，再利用弦長公式可得，從而可求得其最大值【詳解】解：（1）由題意可得，解得，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，由，得，所以當(dāng)時，．21．如圖，矩形中，，，為的中點，將沿折到的位置，．（1）求證：平面平面；（2）若為的中點，求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）在矩形中，由題意可得，結(jié)合，可得平面，再由面面垂直的判定可得面面；（2）在矩形中，求得，然后利用等積法求得三棱錐的體積.試題解析：（1）由題知，在矩形中，，，又，面，面面；（2）.22．已知定點，圓，點為圓上動點，線段的垂直平分線交于點，記的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點與作平行直線和，分別交曲線于點、和點、，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由中垂線的性質(zhì)得，可得出，符合橢圓的定義，可知曲線是以、為焦點的橢圓，由此可得出曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式計算出，同理得出，并計算出兩平行直線、的距離，可得出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出四邊形面積的最大值.【詳解】（1）由中垂線的性質(zhì)