1第八章立體幾何初步（一）（知識(shí)歸納題型突破）（原卷版）

第八章立體幾何初步（一）（知識(shí)歸納+題型突破）1.通過(guò)對(duì)模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.經(jīng)歷從物體到幾何體的抽象過(guò)程，體驗(yàn)研究幾何體的方法，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).3.了解簡(jiǎn)單組何體的概念及分類(lèi)4.掌握?qǐng)A柱、圓臺(tái)、球的概念5.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)6.了解“斜二測(cè)畫(huà)法”的概念并掌握斜二測(cè)畫(huà)法的步驟．7.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出一些簡(jiǎn)單平面圖形和立體圖形的直觀圖．8.通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積計(jì)算公式．9.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．10.通過(guò)對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的研究，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式．11.能運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)1：棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類(lèi)及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類(lèi):②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類(lèi):③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱知識(shí)點(diǎn)2：棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類(lèi)及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐知識(shí)點(diǎn)3：棱臺(tái)（1）棱臺(tái)的定義定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形（3）棱臺(tái)的分類(lèi)及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)知識(shí)點(diǎn)4：圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱知識(shí)點(diǎn)5：圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐知識(shí)點(diǎn)6：圓臺(tái)（1）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)知識(shí)點(diǎn)7：空間幾何體的直觀圖（1）空間幾何體的直觀圖的概念直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.直觀圖是把空間圖形畫(huà)在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形.（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫(huà)法（斜二測(cè)畫(huà)法）（1）畫(huà)軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，畫(huà)直觀圖時(shí)作出與之對(duì)應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使（或）（2）畫(huà)線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行或在軸，軸上的線段.（3）取長(zhǎng)度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變.在軸上或平行于軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半.（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過(guò)程中的輔助線，就得到了直觀圖.方法歸納：設(shè)一個(gè)平面多邊形的面積為，利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為，則有.知識(shí)點(diǎn)8：空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫(huà)軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn),畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們分別畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn),且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫(huà)底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫(huà)側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡(jiǎn)記為：①畫(huà)軸；②畫(huà)底面；③畫(huà)側(cè)棱；④成圖.知識(shí)點(diǎn)9：斜二測(cè)畫(huà)法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長(zhǎng)度不變．知識(shí)點(diǎn)10：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積（1）正方體、長(zhǎng)方體的表面積正方體、長(zhǎng)方體的表面積就是各個(gè)面的面積的和長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體的表面積：棱長(zhǎng)為的正方體的表面積：.（2）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長(zhǎng).如圖:棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖由若干個(gè)三角形拼成如圖棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖由若干個(gè)梯形拼成如圖（3）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱的表面積：棱錐的表面積：棱臺(tái)的表面積：知識(shí)點(diǎn)11：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（1）棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.（2）棱錐的體積①棱錐的高：錐體的頂點(diǎn)到底面之間的距離，即從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即理解.（3）棱臺(tái)的體積①棱臺(tái)的高：臺(tái)體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，此點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng)②棱臺(tái)的體積：(,分別為上下底面面積，為臺(tái)體的高)知識(shí)點(diǎn)12：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積（1）圓柱的表面積①圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形.圓柱的底面半徑為,母線長(zhǎng)為,那么這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)為圓柱的母線長(zhǎng)，故圓柱的側(cè)面積為.②圓柱的表面積：.（2）圓錐的表面積①圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形.圓錐的底面半徑為,母線長(zhǎng)為,那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面周長(zhǎng)，半徑為圓錐的母線長(zhǎng)，故圓錐的側(cè)面積為②圓錐的表面積：（3）圓臺(tái)的表面積①圓臺(tái)的側(cè)面積：圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán).圓臺(tái)的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長(zhǎng)為,故圓臺(tái)的側(cè)面積為②圓臺(tái)的表面積：知識(shí)點(diǎn)13：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積（1）圓柱的體積：（2）圓錐的體積：（3）圓臺(tái)的體積：知識(shí)點(diǎn)14：球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:題型一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征例題1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)例題2．（2023下·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是（

）A．一個(gè)斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C．有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐D．平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的矩形例題3．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．多面體至少有5個(gè)面D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形例題4．（多選）（2023上·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的有（

）A．正四面體是正三棱錐. B．棱錐的側(cè)面是全等的三角形.C．正三棱錐是正四面體. D．延長(zhǎng)棱臺(tái)所有側(cè)棱，它們會(huì)交于一點(diǎn).鞏固訓(xùn)練1．（2022上·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．側(cè)棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱B．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱D．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形2．（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中成立的是（

）A．有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B．各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐C．一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱是長(zhǎng)方體3．（2023上·黑龍江大慶·高二大慶市東風(fēng)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體4．（2023下·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）下列命題：①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；②各側(cè)棱的長(zhǎng)都相等的棱錐是正棱錐；③各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐.其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型二：旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例題1．（2023下·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的是（）A．用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形C．圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)例題2．（多選）（2022下·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于圓柱的說(shuō)法中正確的是（

）A．圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面C．用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)圓面D．一個(gè)矩形以其對(duì)邊中點(diǎn)的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱例題3．（多選）（2022下·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)B．以等腰三角形底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面例題4．（2023上·上海虹口·高二?？计谥校┫铝忻}中錯(cuò)誤的是．①過(guò)圓柱的旋轉(zhuǎn)軸的截面是矩形；②母線長(zhǎng)相等的不同圓錐的軸截面的面積相等；③圓臺(tái)所有平行于底面的截面都是圓面；④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形．鞏固訓(xùn)練1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)；③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1 C．2 D．32．（多選）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體B．圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)C．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線D．過(guò)球面上任意兩不同點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)3．（2023上·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）給出以下四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是．4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列說(shuō)法：（1）圓柱的底面是圓面；（2）經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；（3）圓臺(tái)的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；（4）夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．其中說(shuō)法正確的是．題型三：空間幾何體的展開(kāi)圖及應(yīng)用例題1．（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)為表達(dá)對(duì)“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫(xiě)了“致敬最美逆行”六個(gè)字，該正方體紙盒水平放置的六個(gè)面分別用“前面?后面?上面?下面?左面?右面”表示.如圖是該正方體的展開(kāi)圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（

）A．最 B．美 C．逆 D．敬例題3．（2022·高一單元測(cè)試）某人用如圖所示的紙片，沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫(xiě)上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，則在①、②、③處應(yīng)依次寫(xiě)上A．快、新、樂(lè) B．樂(lè)、新、快C．新、樂(lè)、快 D．樂(lè)、快、新例題3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)如圖所示的幾何體的表面展開(kāi)圖，畫(huà)出立體圖形.鞏固訓(xùn)練1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖形經(jīng)過(guò)折疊不能?chē)梢粋€(gè)棱柱的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2022上·江西撫州·高一南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖①是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時(shí)小正方體朝上面的字是．3．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的平面圖形沿虛線折疊，能折疊成什么樣的立體圖形？題型四：表面路徑最短問(wèn)題例題1．（2023上·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．例題2．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC＝2，，A為銳角，側(cè)棱PA＝PB＝PC＝2，一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞棱錐爬行一周后回到A點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短距離為（

）A． B．C． D．例題3．（2023上·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點(diǎn).為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（

）A． B． C． D．例題4．（2023上·上海·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為，高為，是上底面的直徑.一只昆蟲(chóng)從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)，昆蟲(chóng)爬行的最短路程是.鞏固訓(xùn)練1．（2023下·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為，一只蟲(chóng)子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲(chóng)子爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．2．（2022上·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為，、分別是兩底面的直徑，、是母線.若一只小蟲(chóng)從點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到點(diǎn)，求小蟲(chóng)爬行的最短路徑為（

）A． B． C． D．3．（2022下·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）在已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)且，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．4．（2022下·河北邯鄲·高一?？计谥校┤鐖D，在正四棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)均為4，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為分別是線段上的一點(diǎn)，則的最小值為．5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為4，母線長(zhǎng)為6.求軸截面相對(duì)頂點(diǎn)A、C在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離.題型五：空間幾何體的截面圖及應(yīng)用例題1．（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）已知圓柱母線長(zhǎng)等于2，過(guò)母線作截面，截面的最大周長(zhǎng)等于8，則該圓柱的體積等于（

）A． B． C． D．例題2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）一個(gè)正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，則此正棱錐的高被分成的兩段之比為（）A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1）例題3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，是正方體的棱，，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形例題4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為．鞏固訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構(gòu)成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（

）A．13π B．52πC．20π D．36π2．（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）已知圓錐的底面直徑為8，母線長(zhǎng)為5，過(guò)圓錐的任意兩條母線作一個(gè)平面與圓錐相截，則截面面積的最大值是．3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一個(gè)截面，該截面將正方體分成兩個(gè)多面體，則體積較小的多面體的體積為.4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.作出過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面，寫(xiě)出作法；題型六：立體圖形的直觀圖例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點(diǎn)，且平行于軸，則，，對(duì)應(yīng)于原中的線段AB，AD，AC，對(duì)于這三條線段，正確的判斷是（

）A．最短的是AD B．最短的是AC C． D．例題2．（多選）（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，則在原平面圖形中有（）A． B． C． D．例題3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，一個(gè)平面圖形的直觀圖為，其中，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．該平面圖形是一個(gè)平行四邊形但不是正方形B．該平面圖形的面積是8C．該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是D．以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的外接球直徑為2．（2024上·上?！じ叨？计谀┤鐖D，是的斜二測(cè)直觀圖，其中，斜邊，則的面積是.3．（2024上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為．題型七：簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積例題1．（2024上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．例題2．（2024·天津·?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)國(guó)家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類(lèi)似的正四棱臺(tái)，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．例題3．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）底面邊長(zhǎng)為，且側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積和側(cè)面積分別為（

）A． B． C．32，24 D．32，6例題4．（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是2，高為，棱錐被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)之比為，則該棱臺(tái)的體積是．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，兩個(gè)相同的正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，，圖1中液面高度恰好為棱臺(tái)高度的一半，圖2中液面高度為棱臺(tái)高度的，若圖1和圖2中溶液體積分別為，則（

）A． B． C．1 D．3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若正四棱柱與以正方形的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．4．（2024上·上?！じ叨？计谀﹫D1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為40，則其側(cè)面積為.5．（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┮阎?，，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是．題型八：內(nèi)切球問(wèn)題之獨(dú)立截面法例題1．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為的球?yàn)閮?nèi)切球的圓錐中，體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑滿足（

）A． B．C． D．例題2．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）在正四棱臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切（稱(chēng)為該四棱臺(tái)的內(nèi)切球），若，則該四棱臺(tái)的外接球（四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在球面上）與內(nèi)切球的半徑之比為．例題3．（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺(tái)的內(nèi)切球(與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺(tái)的內(nèi)切球)的表面積為.鞏固訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知球是底面半徑為4、高為的圓錐的內(nèi)切球，若球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則當(dāng)該正三棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，正三棱柱的體積為．2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為.3．（2023上·江蘇·高三期末）與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱(chēng)為圓臺(tái)的內(nèi)切球.若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，則它的內(nèi)切球的體積的最大值為.題型九：內(nèi)切球問(wèn)題之等體積法例題1．（2024上·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A． B．1 C． D．例題2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．例題3．（2024上·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線BD翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）棱長(zhǎng)為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些小球的最大半徑為（

）A． B． C． D．2．（2024上·江蘇無(wú)錫·高二江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為12，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）一個(gè)正四面體表面積為，其內(nèi)切球表面積為S2.則=.題型十：外接球問(wèn)題之公式法例題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例題2．（2022下·陜西安康·高二統(tǒng)考期末）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3，，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．例題3．（2023上·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正方體的外接球的體積為，則該正方體的棱長(zhǎng)為．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球上，則球的半徑為2．（2023下·福建寧德·高一統(tǒng)考期中）長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1，那么這個(gè)球的表面積是．3．（2021上·內(nèi)蒙古包頭·高三包頭市第四中學(xué)校考期中）長(zhǎng)?寬?高分別為1，2，3的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.題型十一：外接球問(wèn)題之補(bǔ)形法（墻角形）例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，，且PA，PB，PC兩兩垂直，點(diǎn)是三棱錐外接球的球面上一點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．例題3．（2023上·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，且為等腰直角三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為．例題4．（2023上·四川達(dá)州·高二達(dá)州市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》是西漢張蒼等輯撰的一部數(shù)學(xué)巨著，被譽(yù)為人類(lèi)數(shù)學(xué)史上的“算經(jīng)之首”.書(shū)中“商功”一節(jié)記錄了一種特殊的錐體，稱(chēng)為鱉臑(biēnào).如圖所示，三棱錐中，平面，則該三棱錐即為鱉臑.若且三棱錐外接球的體積為，則三棱錐體積的最大值是鞏固訓(xùn)練1．（2023上·天津·高三天津市咸水沽第一中學(xué)?？计谥校┕糯鷶?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中，將底面為矩形.且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑.若四棱錐為陽(yáng)馬，平面，，，則此“陽(yáng)馬”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為．3．（2022上·山西忻州·高三校考期末）在四面體ABCD中，，則四面體的外接球的體積為．題型十二：外接球問(wèn)題之補(bǔ)形法（對(duì)棱相等形）例題1．（2023上·陜西咸陽(yáng)·高三陜西咸陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四面體的外接球的體積為，則該正四面體的棱長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例題2．（2023上·江西南昌·高三江西師大附中?？计谥校┮阎忮F的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，則球的表面積是．例題3．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體中，，，則該四面體外接球的表面積為．例題4．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，E，F(xiàn)，G分別為三邊，，的中點(diǎn)，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（

）A． B．C． D．2．（2023上·山東青島·高三山東省萊西市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，，，，將各邊中點(diǎn)連線并折成四面體，則該四面體外接球直徑為；該四面體的體積為.3．（2023上·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期中）四面體ABCD中，，，，則該四面體的外接梂的表面積為．題型十三：外接球問(wèn)題之單面定球心法例題1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知體積為的正四棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點(diǎn)為三棱錐外接球上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離的最大值為，則球的表面積為．例題3．（2023上·全國(guó)·高三統(tǒng)考競(jìng)賽）在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·海南?？凇じ呷？茧A段練習(xí)）在菱形中，，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)A到達(dá)的位置，且二面