2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 9 立體幾何 二級(jí)結(jié)論講練 學(xué)案

專題9立體幾何

二級(jí)結(jié)論1：三余弦定理與三正弦定理

【結(jié)論闡述】

三余弦定理（又稱最小角定理）：如圖①，AB是平面的一條斜線，BC是平面內(nèi)的一條直線，OAl

平面乃于O,OC上BC于^C,則COSNZABC=∞s∕03C?cos/OBA,即斜線與平面內(nèi)一條直線夾角，的

余弦值等于斜線與平面所成角ɑ的余弦值乘以射影與平面內(nèi)直線夾角夕的余弦值：CoSy=COSa?cos；?；

說明：為方便記憶，我們約定了為線線角，α為線面角，力為射影角，則由三余弦定理可得

線面角是最小的線線角，即平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一

條直線所成角中的最小者.

三正弦定理（又稱最大角定理）：如圖②，設(shè)二面角e-AB-5的平面角為α,ACU平面6,Co2平

面OBlAB,設(shè)/CAB=∕y,NG4O=y,則siny=sinɑ?sin?.

說明：為方便記憶，我們約定α為二面角，夕為線棱角，/為線面角，則由三正弦定理可得

二面角是最大的線面角，即對(duì)于一個(gè)銳二面角，在其中一個(gè)半平面內(nèi)的任一條直線與另一個(gè)半平面所

成的線面角的最大值等于該二面角的平面角.

圖①圖②

【應(yīng)用場(chǎng)景】空間三類角，即兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角是立體幾何的核心內(nèi)容,

也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，幾乎在每一份數(shù)學(xué)高考試卷中都會(huì)涉及.建立空間直角坐標(biāo)系，通過

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是求解空間三類角問題的常用方法.但此法存在兩個(gè)缺陷：一是若圖形不規(guī)則

或不容易建立坐標(biāo)系，則該法常常行不通；二是運(yùn)算量較大.運(yùn)用“最小（大）角”定理和"三余（正）

弦”定理，不僅關(guān)聯(lián)了線線角、線面角和二面角，而且利用它解決立體幾何中的三類角問題，不需要建

立坐標(biāo)系，運(yùn)算量也很小.

【典例指引1】

（2022年高考浙江卷8）

1.如圖，已知正三棱柱ABC-ABG,AC=AA,E,F分別是棱BC,AG上的點(diǎn).記EF與所成

的角為α,EF與平面ABC所成的角為尸，二面角尸—BC—A的平面角為/,則（）

A.a<β≤γB.β<a≤γC.β<γ<aD.a≤γ<β

【答案】A

【分析】先用幾何法表示出a，β,Y，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大小.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)F作。，AC于尸，過P作PMlBC于連接PE,

y=NFMP,

tan”當(dāng)=世≤1,ta“=空=逆≥1,=空=tana

FPABPEPEPMPE

所以α≤∕≤y,

故選：A.

【典例指引2】

（2019年高考浙江卷8）

2.設(shè)三棱錐V-A8C的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，尸是棱3上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線PB

與直線AC所成角為α,直線尸B與平面ABC所成角為夕，二面角尸-AC-B的平面角為則

A.β<γ,a<γB.β<a,β<γ

C.β<a,γ<aD.a<β,γ<β

【答案】B

【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念,

以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.而充

分利用圖形特征，則可事倍功半.

【詳解】方法1：如圖G為AC中點(diǎn)，V在底面ABC的投影為0,則P在底面投影。在線段Ao上,

過。作QE垂直AE,易得「E//VG,過P作依〃月C交VG于F,過。作OH//AC,交BG于H,

則α=NBPE,B=NPBD,γ=NPED,則COSa=竺=型=也<?=cosβ,即e>尸,

PBPBPBPB

PDPD

tanγ=->—=tanβ,即y>β,綜上所述，答案為B.

EDBD

方法2：由最小角定理￡<a,記V-A8-C的平面角為Y'（顯然Y'=Y）

由最大角定理P<γ'=γ,故選B.

方法3：（特殊位置）取V-ABC為正四面體，P為V?中點(diǎn)，易得

cosa=—=>sina=,sinβ=?^-,SinY=^?,故選B.

6633

【點(diǎn)睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋求

簡(jiǎn)便解法.

【針對(duì)訓(xùn)練】

（2018年高考浙江8）

3.已知四棱錐S-ABeD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE

與BC所成的角為4，SE與平面ABCD所成的角為打，二面角S-ΛB-C的平面角為4,則

θ<θ<θ<θ<Θ

A.q≤%≤qB.i1<91c.q≤q≤aD.2yX

【答案】D

【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小

關(guān)系.

【詳解】設(shè)。為正方形ABCD的中心，”為A3中點(diǎn)，過E作BC的平行線EF,交C。于尸，過。作

QN垂直EF于N,連接S。、SN、OM,貝IJSo垂直于底面ABa）,OM垂直于AB,

因此ZSEN=θ[,/SEO=%/SMO=",

八SNSNSOSO

從而tanΘ?==---,tann=,tanΘzι=---,

1ENOM2EO3λOM

因?yàn)镾N≥SQ,EO≥OM,所以Iana≥tanq≥tan<?,即α≥az02,選D.

【點(diǎn)睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.

（2022?浙江?高三開學(xué)考試）

4.在正方體ABCn-AgCQi中，M是棱AR上的點(diǎn)且A"=；MN是棱CD上的點(diǎn)，記MN與

BC所成的角為α,MN與底面ABCD所成的角為夕，二面角8-A的平面角為》,則（）

A.a≥β≥γB.a≥γ≥β

C.γ>a≥βD.γ≥β≥a

【答案】B

【分析】作MH_LA。于H,過N作NE〃BC交A8于E,過M作MFLNE于尸，可得a=NMNF,

γ=AMDA,aMNH=β,在正方體中求得它們的正切值比較大小后可得結(jié)論.

【詳解】作于H,則/"〃AA,A1M=AH,從而HD=MR,

而A4,，平面ABCZ),因此有，平面ABa),

MF

過N作NE"BC交AB于E,過M作MFLNE于F,a=ZMNF,tanZWF=-,

由正方體性質(zhì)易知NMDA為二面角M-CD-A的平面角，即，=ZMDA,

NFU平面ABCr>,則MH上NF,同理AWLMV,

MFMH=M,MF,MHu平面MFH,所以NFj_平面MEH,

又HFU平面MFH,所以FN上HF,所以Hr)M='是矩形，F(xiàn)N=DH,

由MWJ>平面ABeD知NMAW=￡,tanZMNH=也,

HN

八尸MHMH

由MF≥M"'FN≥HD得而≥而≥而,

即tana≥tany≥tan?，。,尸,，均為銳角,所以α≥y≥∕?,

N與。重合時(shí)，三角相等.

故選：B.

ΛiMn.

（2022.北京大興.高一期末）

5.如圖，在正方體ABCz）-ABe。中，M是棱AB的中點(diǎn).令直線AM與AA所成的角為億，直線AM

與平面ABG。所成的角為%,二面角A-AM-C的平面角為％,則（）

MB

ΘΘ

A.X>2=aB.θt>θ3>θ2

C.θl=θ2<θ3D.θi<θ3<θ2

【答案】B

【分析】取A片的中點(diǎn)N,再根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合線線角線面角與二面角的定義，分析α,a?的正

切值大小結(jié)合正切的單調(diào)性判斷即可

【詳解】取44的中點(diǎn)N,連接如圖.易得AA//MN,故直線與AA所成的角4=NQMM又直

線〃。，平面ABCQ,故與平面ABCa所成的角a=NZVW。.又Afi，平面AAA。，故二面

角?！狝M-C的平面角I=ZD1AD=45".因?yàn)閠anG=縝>翌=1,tana=1,

MNMN

!

tanθ~,='——<―昌?=1,?tanθx>tan(9,>tanθ2,又4,&?均為銳角，故4>4>&

MDAD

（2022?河南新鄉(xiāng)?高二期末）

6.已知直線是平面e的斜線，且與平面e交于點(diǎn)M,在平面。上的射影為m,在平面e內(nèi)過點(diǎn)”作

一條直線〃，直線”和直線m不重合，直線與平面夕所成的角為α,直線m與直線〃所成的角為夕，

直線與直線”所成的角為7,則（）

A.cos?=cosy3cos/B.cosβ-cosa-cosγ

C.COSy=COSa?cosy!?D.以上說法都不對(duì)

【答案】C

【分析】過直線上一點(diǎn)A（與M不重合）作平面e的垂線交平面e于。，過點(diǎn)。在平面夕內(nèi)作直線〃

的垂線交直線〃于點(diǎn)N,連接QV,求出CoSa、cos/?、COS，的表達(dá)式，由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】如圖，過直線上一點(diǎn)A（與M不重合）作平面6的垂線交平面。于0,

過點(diǎn)。在平面6?內(nèi)作直線"的垂線交直線n于點(diǎn)N,連接ON,

由線面角的定義可得α=ZAMO,則。。Sa=翳

因?yàn)锳O_L平面6?,MNU平面6,.?.AOA.MN,

ONLMN,AOON=O,.?.MNL平面AoN,

47<=平面40可，，47_1出，

MNMN

所以，cosβ=cosZOMN=-----,cosγ-cosZAMN=------,

OMAM

因此,cosγ=cosacosβ.

故選：C.

(2022.山西省長治市第二中學(xué)校高一期末)

7.在空間，若NAOB=NB"=NCOA=60。,直線OA與平面05C所成角為。，則COS，=()

A.?B.?-C.-D.3

3223

【答案】D

【分析】根據(jù)線面角定義，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AHJ_平面80C于H,連接OH,

則ZAOH為直線與平面OBC所成的角9,

分別作“ELOB,交OB于前E,HFA.OC,交OC于點(diǎn)F,

連接AE、AF,

因?yàn)?8U平面8OC,所以A”J_O8,

因?yàn)锳"HE=H,AH,HEu平面AEH,

所以O(shè)B_L平面A￡77,而AEU平面AE”,

所以AELOB,同理4尸_LOC,

因?yàn)閆AoS=ZAOC=60o,NoEA=NOFA,OA=OA,

所以AOEA會(huì)一函1,所以AE=AF,OE=OF,

所以EH=FH,則OH為“BOC的角平分線，

由ZBOC=60。，可得NFO"=30。，

令HF=a,則Q∕∕=2Λ,OF=yβa,即OE=OF=島，

在直角三角形AQE中，因?yàn)镹AOB=60。,

所以AO=——=2y∣3a

cos60°

于是在直角三角形Ao〃中,

cosZ.A0H=QH,=2二_=

OA2島3

即CoSθ-

故選：D

8.如圖所示，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A46中，P是棱Be上的動(dòng)點(diǎn)，記直線AF與平面

ABC所成的角為4,與直線BC所成的角為2,則4,2的大小關(guān)系是

A.θλ=θ2B.θt>θ2C.θl<θ2D.不能確定

【答案】C

【詳解】分析：首先要明確有關(guān)最小角定理，之后對(duì)其中的角加以歸類，從而得到兩角的關(guān)系，即可

得結(jié)果.

詳解：根據(jù)線面角是該直線與對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的任意直線所成角中最小的角，

所以有4<%故選C.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)角的大小的比較問題，在思考的過程中，需要明確角的意義，從而結(jié)合最小

角定理，得到結(jié)果.

（2022?江西省萬載中學(xué)高二期中）

9.已知點(diǎn)A、B分別在二面角a"-/?的兩個(gè)面a、“上，AC_U,BDLl,C、。為垂足，AC=BD=CD,

若AB與/成60。角，則二面角夕-/一尸為（）

A.30oB.45oC.60oD.120o

【答案】D

【分析】由題意畫出圖形，作出直線AB與所成角及二面角C-/-〃的平面角，設(shè)AC=6E>=8=α,

由己知直線A8與所成角大小，即可求解二面角a7-6的大小.

【詳解】解：如圖，

在夕內(nèi)，過B作8E∕∕Z）C,且BE=I>C,連接CE,4E,

由BDJJ,則四邊形DCEB為矩形，可得CEL,CE=BD=CD,

ACA.I,得NZACE為二面角a—I-△的平面角，且?平面ACE

即3E_L平面ACE,則BE_LAE

設(shè)AC=BD=CD=a,則CE=BE=a,

又直線AB與/所成角為60。，.?.N4βE=6θo,

得AE=TiBE=Ga,

.??x<'crh.,.^C2+CE^—AE^1

，.在∕?ACE中，cosNzACrEc=-------------=——.

2AC?CE2

ΛZACE=120°

故二面角a-/一夕的大小為120。.

故選：D.

10.已知二面角a-AB-77是直二面角，P為棱AB上一點(diǎn)、,PQ、PR分別在平面a、夕內(nèi)，且

ZQPB=ZRPB=45°,則/QPR為（）

A.45oB.60oC.120oD.150°

【答案】B

【解析】在正方體中構(gòu)造符合條件的圖形，由正方體的性質(zhì)即可求解.

【詳解】以正方體為模型，構(gòu)造滿足條件的幾何圖形如下圖所示，

連接QR,由正方體的性質(zhì)可得PQR為等邊三角形,

故NQPR=60°,

故選：B.

【點(diǎn)晴】本題主要考查了直二面角，正方體的性質(zhì)，屬于中檔題.

11.ABC的AB邊在平面。內(nèi)，C在平面。外，AC和BC分別在與平面α成30和45的角，且平面

ABC與平面α成60的二面角，那么SinNACB的值為()

A.1B.-C.延D.1或！

333

【答案】D

【分析】從C向平面ɑ作垂線8,作CE_LAB,證得∕)E14?,分NABC為銳角和鈍角，由線面

角及二面角結(jié)合勾股定理及余弦定理求解即可.

【詳解】從C向平面α作垂線C￡>,連接A￡),80,作CEl.ΛB,連接￡>E,ABca,則CDJ.AB,

8CCE=CCr>,CEu平面CDE,則AB工平面CDE,又DEU平面COE,則QElAB,如圖所示:

設(shè)CD=h,NCBD=45o,BC=42h,ZCAD=30o,AC=2CD=2h,NCE。是二面角的平面角,

ZCED=60o,CE=-h,由勾股定理AE=友//BE="/?,

333

當(dāng)/A3C為銳角，CE在ZMBC內(nèi)，?AB?=?AE?+?BE]=y∕6h,

222222

(√6Λ)=(√2∕1)+(2A),BPIAB∣=∣BC∣+∣AC∣,ΛZACfi=90。,SinZACB=I;

當(dāng)ZABC為鈍角，CE在AABC之外，IAM=IAEI-忸El=亞∕ι,

根據(jù)余弦定理，IAB『=|AC『+1fiC∣2-21AC∣IfiC∣cosZACB,

(2Λ)2+(√2Λ)2-2×2Λ×√2ΛCOSZACB

ncos∕ACB=弛，SinZACB=Jl-cos?ZACB=L綜上：SinzAe6的值為1或2.

333

故選：D.

（2022?上海市七寶中學(xué)高二開學(xué)考試）

TT

12.正方體中力B8-A4GA，過。作直線，若直線與平面ABCD中的直線所成角的最小值為2,

0

且直線與直線BG所成角為：，則滿足條件的直線的條數(shù)為________.

4

【答案】2

【分析】作出輔助線，得到力。為軸的圓錐母線（母線與。。成60。）是直線的運(yùn)動(dòng)軌跡，RA為軸

的圓錐母線（母線與Om成45。）是直線的運(yùn)動(dòng)軌跡，兩個(gè)圓錐的交線即為滿足條件的直線的條數(shù).

【詳解】設(shè)立方體的棱長為1,過R作直線，

若直線與平面A8C3中的直線所成角的最小值為B,

O

π

即與平面ABS所成角為

0

OA為軸的圓錐母線（母線與OR成60。）是直線的運(yùn)動(dòng)軌跡，

此時(shí)AA為軸的圓錐母線（母線與RA成45。）是直線的運(yùn)動(dòng)軌跡，

兩個(gè)圓錐相交得到兩條交線.

故答案為：2

（2022?河南省上蔡第一高級(jí)中學(xué)高三月考）

13.在四面體SABC中，SAL平面ABC,A8_LAC,SB=SC=",BC=2√L若直線與副所成的角為

6

則直線與平面SBC所成角的取值范圍是.

【分析】設(shè)BC的中點(diǎn)為。，連接SRAZ）,根據(jù)等腰與直角三角形的性質(zhì)可得NADS為二面角

TTIT

S-BC-A的平面角，ZASD=^,且直線不妨看作以SA為軸，軸截面的頂角為W的圓錐母線所在

的直線，進(jìn)而求得線面角的最大值與最小值即可.

【詳解】如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為。，連接SaAQ.

因?yàn)镾Ai.平面A8C,SB=SC=√7,所以AB=AC,

所以A。，8C,8CLSD,所以NA。S為二面角S—3C—A的平面角.

又ABlAC,BC=26,所以A8=AC=",AO=6,SA=1,故/ASO=5.

直線不妨看作以SA為軸，軸截面的頂角為3的圓錐母線所在的直線，所以直線與平面SBC所成角的

最小值為g-g=g,最大值為3+J=f,故直線與平面SBC所成角的取值范圍是[J,[.

3663621_62

S

,,人,」、（TCTC

故答案為：

OZ_

（2022?浙江寧波?高二期末）

14.已知三棱錐P-ABC的棱長均為1,8CU平面α,E為尸B中點(diǎn)，/_L1.記和直線AE所成角為，，則

該三棱錐繞BC旋轉(zhuǎn)的過程中，Sin。的最小值是.

【答案】B

6

【分析】把和直線AE所成角轉(zhuǎn)化為AE與平面α所成角，結(jié)合線面角的性質(zhì)可求答案.

【詳解】設(shè)AE與平面α所成角為4,因?yàn)?La,和直線AE所成角為凡

所以Sin，=COSa；

取CD的中點(diǎn)F,連接EEAF,

C

因?yàn)橥呤謩e為中點(diǎn)，所以瓦7∕8C,2AE/或其補(bǔ)角是AE與8C所成角；

在AAE尸中，AE=AF=-,EF=~,所以CoSNAM=3且為銳角.

226

三棱錐繞BC旋轉(zhuǎn)的過程中，由線面角的性質(zhì)可知，44NAEF,

所以COSq≥cosZAEF=—，即sin。的最小值為正.

66

故答案為：息.

6

TrTt

15.三角形ABC的一條邊AB在平面α內(nèi)，^A=-,AB=a,AC=&，若AC與平面α所成角為了，

則直線BC與平面α所成角的正弦值為.

【答案】B

3

【分析】過點(diǎn)C作COLa,垂足為。，連。4。8,則NCB。是直線8C與平面α所成的角，/C4O是

AC與平面α所成的角，利用直角三角形可求出結(jié)果.

【詳解】解：過點(diǎn)C作COj_a,垂足為0,連。4,。8,

則NC8。是直線BC與平面α所成的角，

TT

NC4O是AC與平面α所成的角，則/。。二:，

4

?：AC=?∣2a，：.CO=OA=a,

■JT

在直角三角形ABC中，NA=1,AB^i,AC=也a

?'?βC=√AC2+AB2=>∣2a1+a2=√3α，

在直角三角形COB中，SinNCBO=%=Q=烏

BC舊a3

.?.直線BC與平面a所成角的正弦值為B.

3

故答案為：&

3

二級(jí)結(jié)論2：多面體的外接球和內(nèi)切球

【結(jié)論闡述】

類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）

例如：如圖①，在四棱錐P-ABCD中，內(nèi)切球?yàn)榍颉?，求球半徑r.方法如下:

^P-ABCD~^O-ΛBCD+^OPBC^l^Vo-PCD+PAD+?）-Mβ

即：VAABCD=?ABCD-r+?SpBC，f^+3^PCD'r+?^PAD'r+?^PAB'r?可求出廠.

P

類型二球的外接問題

1.公式法

正方體或長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)

2.補(bǔ)形法（補(bǔ)長方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè)：三條棱兩兩垂直

圖⑤圖⑥圖⑦

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

3.單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐P-ABC中，選中底面ΔABC,確定其外

接圓圓心。I（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外

心2r=「二）；

SinA

②過外心01做（找）底面AABC的垂線，如圖中Polj面A8C,則球心一定在直線（注意不一定在

線段尸。上）Pol上；

22

③計(jì)算求半徑R：在直線POl上任取一點(diǎn)0如圖：則OP=OA=R,利用公式=0∣A+OO1可計(jì)算出

球半徑R.

4.雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖：在三棱錐P-ABC中：

①選定底面ΔABC,定ΔABC外接圓圓心0∣;②選定面/2記,定4以8外接圓圓心。?；

③分別過。1做面ABC的垂線，和O,做面尸AB的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心。.

【應(yīng)用場(chǎng)景】多面體外接球問題是立體幾何中的重難點(diǎn)內(nèi)容之一，在高考中頻繁出現(xiàn).解決此類問題

的關(guān)鍵是確定球心的位置，運(yùn)用常見模型可以很方便的確定球心的位置從而準(zhǔn)確求解.

【典例指引1】

（2022?山西呂梁?一模）

16.在《九章算術(shù)?商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉席，如圖在鱉膈ABCO中，AB±

平面BCD,AB=BC=CD=I,BClCD,則鱉膈ABC。內(nèi)切球的表面積為（）

A.^3πB.（3-2?Z∑）τr

C.?2πD.（3+2√2>

【答案】B

【分析】根據(jù)鱉腌的性質(zhì)，結(jié)合四面體內(nèi)切球的性質(zhì)、棱錐的體積公式、棱錐和球的表面積公式進(jìn)行

求解即可.

【詳解】解：因?yàn)樗拿骟wABCo四個(gè)面都為直角三角形，45_1平面8（7。，BCLCD,所以

ABlBC,BCVCD,ACLCD,設(shè)四面體ABC/）內(nèi)切球的球心為0,則

+z

VAAJCD=^o-ARC^O-ABD+?)~ACD+%-BCQ=§i?(S/MEC+S^ABD+SMcD+S讖CD)，

3V

所以z?=^^—

^ABCD

因?yàn)樗拿骟wABCQ的表面積為以8=S*+SAAQ+S&8+S^Q=1+0,

1

--

又因?yàn)樗拿骟wABCD的體積VAIICD6

3V√2-l

所以我,所以S球=4不產(chǎn)=(3-20)萬，

S2

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用棱錐的等積性進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

【典例指引21

17.已知三棱錐P-ABC,在底面.ABC中，A=30,BC=I,ABC,PA=2y∣3,則此三棱

錐的外接球的表面積為()

A16;T八321

A.-----B.限BπC.-----D.16;T

33

【答案】D

【分析】利用正弦定理求出4?C的外接圓半徑為1,結(jié)合上4_1面48€：,PA=2√J求出外接球半徑,

進(jìn)而求出外接球的表面積.

【詳解】設(shè)QC的夕卜接圓半徑為凡因?yàn)锳=3。，BC”由正弦定理得：2人黑=焉=2,

所以ABC的外接圓半徑為1,設(shè)球心。在ABC的投影為。,則D4=l,因?yàn)镽4，面ABC,PA=2G,

故OD=gpA=6由勾股定理得：OA=Joz)2+AD2=2,即此三棱錐的外接球的半徑為2,故外

接球表面積為4兀χ2?=16π.

B

故選：D

【針對(duì)訓(xùn)練】

（2022?湖北黃岡?高一期末）

18.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為，當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時(shí)，

該圓錐的高為（）

A.2B.4C.√3D.

【答案】B

【分析】先設(shè)出未知量，即圓錐半徑為，圓錐高為，分析組合體軸截面圖，找出與的一組關(guān)系式，再

根據(jù)題意中圓錐與球體的體積關(guān)系找出另一組與的關(guān)系式即可求出答案.

【詳解】如下圖組合體的軸截面，設(shè)圓錐半徑為，圓錐高為，則行'=r,AO=h-?,AC=病17,

由SinNOA￡?=SinNc4尸得O-E代C入F得〃一2〃/一/=。①,

OACA

14

由“該圓錐體積是球體積兩倍"可知V=]R?2∕=2χq%χi3）,即92=8②，聯(lián)立兩式得/2=4.

故選:B

（2022?青海?海南藏族自治州高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）

19.如圖正四棱柱ABCQ-A4G。中，底面面積為36,VABG的面積為6回，則三棱錐3-4gG

的外接球的表面積為（）

A.681B.100√3π?C.172乃D.I0√6π

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)求得棱柱的高，三棱錐B-AgG的外接球即為正四棱柱的外接球，棱

柱的對(duì)角線即為其外接球的直徑，求得球半徑后可得表面積.

【詳解】設(shè)正四棱柱ABC。-ABeA的高為，

因?yàn)檎叫蜛Ba）的面積為36,所以A4=B∣G=6,

在Rt"BC中，由勾股定理得AG=60,

在RtBCe中，由勾股定理得8C：="+36,AtB=BCl,

因?yàn)锳Λ1BG的面積為6回，

所以g?6√Lj36+/?-（30）=6后,解得Zz=IO,

依題意，三棱錐B-ABC的外接球即為正四棱柱ABCo-A4GR的外接球，

其半徑為R=TX√62+62+102=√43,

所以三棱錐B-ABc的外接球的表面積為4%.（0）2=172萬.

故選：C.

（2022?全國?高三專題練習(xí)）

3

20.已知四面體P-4BC中，幺，平面A8C,PA=AB=2,θC=√13,且tan/ABC=],則四面

體P-ABC的外接球的表面積為（）

A.15;TB.17TrC.18%D.20π

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可求得ABe的外接圓半徑，再根據(jù)勾股定理求出四面體P-ABC的外接球的半徑,

即可求解.

【詳解】解：如圖所示：

B

3

在ABC中，tanZABC^,

又?,?siι√ZABC+cos2ZABC=1且ZABC∈(θ,π},

故解得：cosZABC-s?nZABC=,

1313

由余弦定理得：AC2=AB2+BC--2AB?BCcosZABC,

即ΛC2=22+(√i3)2-2×2×√13×?^γp≈9,

故AC=3,

設(shè)，ABC的外接圓半徑為，

二AC3_屈

貝/-2sinZABC—一3√13一~，

2×------

設(shè)：ABC的外接圓圓心為Q,四面體P-ΛBC的外接球球心為。,

22

則OA=O(V+OtA=(^PA17

^4

四面體P-ABC的外接球的表面積為：4,×τ=17..

故選：B.

（2022?江蘇?金陵中學(xué)高一期末）

21.前一段時(shí)間，高一年級(jí)的同學(xué)們參加了幾何模型的制作比賽，大家的作品在展覽中獲得了一致好

評(píng).其中一位同學(xué)的作品是在球當(dāng)中放置了一個(gè)圓錐，于是就產(chǎn)生了這樣一個(gè)有趣的問題：已知圓錐

的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，若圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為當(dāng)，面積為3萬，則球。的表面積

等于（）

81;TC8brC121萬C12E

A.—B.——C.——D.-------

【答案】A

【分析】設(shè)球半徑為R,圓錐的底面半徑為，利用扇形的弧長和面積公式求得R,即可求解.

B

【詳解】

2

圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為§萬，面積為3萬，

12

設(shè)母線為，則/X丁X∕2=3T,可得：1=3,

2

由扇形的弧長公式可得：2冗r=^πl(wèi),所以〃=1,

22

圓錐的r?OOx—?∣3-I=2>/2，

/L\29

由產(chǎn)+（2&-4=R2,解得：R=飛,

Q1Q1

所以球O的表面積等于4萬=

320

故選：A

（2022?云南?彌勒市一中高二階段練習(xí)）

22.設(shè)直三棱柱ABC-48Cl的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的體積是‘返，AB=AC=AAt,

3

ABAC=UOo,則此直三棱柱的高是（）

A.1B.2C.2√2D.4

【答案】B

【分析】先確定底面：ABC的外接圓圓心及半徑，再確定球心位置，并利用球心和圓心的連線垂直于

底面，得到直角三角形，利用勾股定理求解.

【詳解】設(shè)43=AC=A4,=2〃?，

三角形ABe外接圓。1的半徑為，直三棱柱ABC-ABG外接球。的半徑為R.

因?yàn)镹BAC=120。，所以NAeB=30。，

于是2廠=-----=4〃2,r=2m,OlC=2m.

sin30o

又球心。到平面ABC的距離等于側(cè)棱長4A的一半，所以O(shè)Oi=m.

在RrooC中，由。C2=OC√+O∣C2,得店二疝+4/,R=后ιn?

所以球的體積V="咨，解得m=l?

于是直三棱柱的高是AA=2，"=2.

故選：B.

（2022?重慶?西南大學(xué)附中高一期末）

23.已知正方形ABCz）中，AB=I,E是8邊的中點(diǎn),現(xiàn)以AE為折痕將VADE折起，當(dāng)三棱錐

O-A的體積最大時(shí)，該三棱錐外接球的表面積為（）

A525π「25π

A.------C.-----D.25π

484

【答案】C

【分析1設(shè)棱錐。-ME的外接球球心為。，半徑為火,則ONL平面BcE尸，因?yàn)锳ABE的面積為

定值，所當(dāng)高最大時(shí)，三棱錐。-ABE的體積最大，過。作DF_LAE于尸，設(shè)點(diǎn)M為ZVSE的外心,

貝IJ有（OF-OMV+FM-=R2,OM2+EM2=R?通過計(jì)算可得點(diǎn)M為外接球的球心，從而可求得結(jié)果

【詳解】解：過。作Q尸_LAE于/，設(shè)點(diǎn)M為A48E的外心，G為AE的中點(diǎn)，連接MG,MF,

因?yàn)檎叫蜛BC。中，43=2,E是CD邊的中點(diǎn),

所以DE=1,則AE=BE=Jf+2°=非，EG=^->DF==2盧,

2AE√55

所以EF=JDE2-DF?=Ji^=且,MG=LEG="EM=-,

V55244

所以FG=EG-EF=K-K=漁,

2510

所以FM=√Λ∕G2+FG2=J—+—=我?,

Y1610020

設(shè)棱錐￡>-A8E的外接球球心為。，半徑為R,則。MJ?平面BCEF,設(shè)OM=x,

因?yàn)锳MBE的面積為定值，所當(dāng)高最大時(shí)，三棱錐0-45E的體積最大，

此時(shí)平面ΛDEJ_平面BCEF,

因?yàn)長A平面AOEn平面BCEF=A￡,

所以工平面BCE尸，

所以（。尸-OM）2+FΛ∕2=R2,OM2+βw2=R2,

所以（OF-OΛ∕>+FM2=0河2+￡河2,

所以DF2-2DFOM+FM2=EM2,

所以&-2x拽OM+更=竺，解得OM=0,

558016

所以AAfiE的外心為三棱錐。-ME外接球的球心,

所以R=EM=3

4

所以三棱錐外接球的表面積為4萬川=4%XIj=冬

164

故選：C

（2022?廣西?柳鐵一中高三階段練習(xí)）

24.在三棱錐A—5CO中，AB=AD=BC=3,CD=5,BD=A,AC=3五,則三棱錐外接球的表

面積為（）

,63兀C64πC128π`126π

A.——B.——C.-------D.------

IO555

【答案】D

【分析】由已知條件先判定出球心的位置，然后運(yùn)用正弦定理、余弦定理和勾股定理計(jì)算出球的半徑,

即可計(jì)算出外接球的表面積.

【詳解】如圖，

由Aβ=BC=3,AC=3&，AB-+BC1=AC2,ΛABlBC,

由8C=3,BD=4,CD=5,WBC2+BD1=CD2,?BCYBD,

又AB8D=B,；.BC/平面ABO,設(shè)△M￡＞的外心為G,過G作底面的垂線G。,

使GO=；8C,則。為三棱錐外接球的球心，

3~+?2—421

在AAftD中，由4B=AD=3,80=4,得COSNBAo=--------------=-,

2×3×39

sinZBAD=-,設(shè)aABO的外接圓的半徑為，，

9

49

則”M""，。Gj

??.三棱錐外接球的表面積為4兀/?2=47tχ年=手兀.

故選：D.

（2022.江西省南豐縣第二中學(xué)高一學(xué)業(yè)考試）

/7

25.已知四棱錐S-ABCD,SA_L平面ABCO,ABlBC,ZBCD+ZDAB=π,SA=2,BC=-9^-,

3

π

二面角S-BC-A的大小為彳.若四面體S的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（）

o/?32

A.當(dāng)萬B.4√3Λ-C.↑QπD.-π

【答案】A

【分析】先確定出三角形ACO外接圓的圓心O',然后過O'作垂直于平面ABa）的垂線，再過SA中

點(diǎn)”向作垂線，垂足即為球心，根據(jù)線段長度可求解出球的半徑，則球的體積可求.

TTTT

【詳解】因?yàn)閆JBCD+ADAB=π,所以NCD4=2萬—萬―不=彳，所以Cz）J_AD,

所以Aa）外接圓的圓心為AC的中點(diǎn)，記為O',過O'作直線使得/人平面ABCO,

取M中點(diǎn)M，過M作Mo_U垂足為。，則。A=OS=OC=?！?gt;,

所以。為四面體S-ACD外接球的球心,

因?yàn)镾Aj.8C,A8_LBC,S4AB=A,所以BC/平面SAB,BCLSB,

TT

又AB上BC,所以二面角S—8C—A的平面角為NSB4,所以NSB4=1,

β_SA_2>∕3f2~

因?yàn)?4=2,所以A"=-3=亍，所以AC=4AB?+Be?=3+*=2,

tan?-?V33

所以Ao=MO='AC=1,

2

又因?yàn)锳M=SM=OO'=^AS=1,

所以Ao=JAa2+00"=0,

所以四面體S-ACD外接球的體積為當(dāng)（應(yīng)/=#，

故選：A.

S

二、填空題

（2022?河南焦作?一模）

26.已知三棱錐P-ABC的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長相等，且，ABC是底邊長為3亞，面積為

詼的等腰三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為.

2

【答案】34%

【分析】把三棱錐放入一個(gè)長方體中，轉(zhuǎn)化為求長方體外接球的半徑即可得解.

【詳解】三棱錐尸-ABC可以嵌入一個(gè)長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對(duì)角線，如圖,

設(shè)P4=BC=3√5,PB=AC=PC=AB=X,長方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長為。，b,,則

SW=丘卜-（呼）=粵,解得金?

由題得a?+力*=