2023-2024學(xué)年寧夏中學(xué)衛(wèi)市宣和中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年寧夏中學(xué)衛(wèi)市宣和中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期

末檢測(cè)模擬試題

末檢測(cè)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息

條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,

字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草

稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖,已知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿足N4EB=90FE=6,BE=8,則陰影部分的面積是

H

A.48B.60

C.76D.80

2.已知點(diǎn)P（a,3）、。（-2,b）關(guān)于y軸對(duì)稱，則空的值是（）

a-b

11

A.——B.-C.-5D.5

55

3.如圖，RtAABC沿直角邊BC所在直線向右平移到RtADEF,則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤

的是（）

A.BE=ECB.BC=EFC.AC=DF

D.?ABC^?DEF

4.四根小棒的長(zhǎng)分別是5,9,12,13,從中選擇三根小棒首尾相接，搭成邊長(zhǎng)如下的

四個(gè)三角形，其中是直角三角形的是（）

A.5,9,12B.5,9,13C.5,12,13D.9,12,13

5.已知等腰三角形的一個(gè)外角是110。，則它的底角的度數(shù)為（）

A.IlO0B.70°C.55°D.70°或55°

6.已知銳角NAOB如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑

作PQ,交射線OB于點(diǎn)D,連接CD；

（2）分別以點(diǎn)C,D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)M,N；

(3)連接OM,MN.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.ZCOM=ZCODB.若OM=MN,貝UNAOB=20°

C.MN/7CDD.MN=3CD

7.已知χ>y,則下列不等式成立的是（）

Xy

A.x-l<y-lB.3x<3yc.-χ<-yD.-<—

22

8.已知5'=3，5'=2,則52f=()

9.下列四個(gè)命題中，真命題有（）

①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；②三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角;

③如果Nl和N2是對(duì)頂角，那么N1=N2;④若貝！|。=從

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.計(jì)算22+（—1）。的結(jié)果是（）.

A.5B.4C.3D.2

11.下列分式中，無(wú)論X取何值，分式總有意義的是（）

111x+2

A.——B.C.-1—D.------

5√√+1X+↑X

12.如圖，已知AABC中，NABC=90°,AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條

直線∕∣,/2,/3上，且八，,2之間的距離為2,h,/3之間的距離為3,則AC的長(zhǎng)是（）

C

A.2√∏B.2√5C.4√2D.7

二、填空題(每題4分，共24分)

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)A(3,4),將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。至OA，，則點(diǎn)A，的坐標(biāo)是.

15.AB兩地相距20km,甲從A地出發(fā)向B地前進(jìn)，乙從B地出發(fā)向A地前進(jìn)，兩人

沿同一直線同時(shí)出發(fā)，甲先以8km∕h的速度前進(jìn)1小時(shí)，然后減慢速度繼續(xù)勻速前進(jìn),

甲乙兩人離A地的距離S(km)與時(shí)間t(h)的關(guān)系如圖所示，則甲出發(fā)一小時(shí)后

與乙相遇.

16.對(duì)于實(shí)數(shù)p,q,我們用符號(hào)min{p,q}表示p,q兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{1,

2}=1,若min{2x+l,1}=x,貝x=.

17.比較大小：3瓜.(填“〉”、"V"、“=")

18.下列圖形是由一連串直角三角形演化而成，其中

OA=AA2=4A=…=AA)=…=L則第3個(gè)三角形的面積S3=；按照上

述變化規(guī)律，第〃(〃是正整數(shù))個(gè)三角形的面積S,,=

?

Ar,

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，??ABCφ,AB=BC,8EJ_AC于點(diǎn)E,AO_L5C于點(diǎn)。，ZBAD

=45。，Ao與5E交于點(diǎn)F,連接C尸.

（1）求證aAQ）gZ?8尸。

（2）求證：BF=2AE↑

（3）若CD=垃,求Ao的長(zhǎng).

20.（8分）在等邊一ABe中，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合，點(diǎn)D在

CB的延長(zhǎng)線上，且EC=ED.

（1）如圖1,若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：BD=AE;

（2）如圖2,若點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論“BD=AE''能否成立？若不成立,

請(qǐng)直接寫出BD與AE數(shù)量關(guān)系，若成立，請(qǐng)給予證明.

21.（8分）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象

出的幾何圖，點(diǎn)B,C,E在同一條直線上，連結(jié)DC

D

（D請(qǐng)判斷OC與跖的位置關(guān)系，并證明

（2）若CE=2,BC=4,求ADCE的面積

22.（10分）（問(wèn)題）

在AABC中，ACBC,NACB=90。，點(diǎn)E在直線BC上（民。除外），分別經(jīng)過(guò)

點(diǎn)E和點(diǎn)B作AE和AB的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)F,研究AE和EF的數(shù)量關(guān)系.

（探究發(fā)現(xiàn)）

某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE,防的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)

現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)，只需要取AC邊的中點(diǎn)G（如圖1）,通過(guò)推理證明就可以得

到AE和EF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你按照這種思路直接寫出AE和EF的數(shù)量關(guān)系；

（數(shù)學(xué)思考）

那么點(diǎn)E在直線BC上（氏C除外）（其他條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立

呢？

請(qǐng)你從“點(diǎn)E在線段BC上”“點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上”“點(diǎn)E在線段BC的反向延

長(zhǎng)線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結(jié)論.

23.（10分）已知：如圖，點(diǎn)A.F,E.C在同一直線上，AB〃DC,AB=CD,ZB=ZD,

(1)求證：?ABE^ΔCDF;

（2）若點(diǎn)E,G分別為線段FC,FD的中點(diǎn)，連接EG,且EG=5,求AB的長(zhǎng).

24.（10分）先化簡(jiǎn),再求值:[(χ-yf+(2χ+y)(l-y)-y÷5%J，其中

25.(12分)如圖1,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC的邊AB、BC±

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為Iem∕s.

(1)連接AQ、CP交于點(diǎn)M,則在P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，證明ΔABQ0AC4P;

(2)NcMQ會(huì)發(fā)生變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

(3)P、Q運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，APBQ是直角三角形？

(4)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP

交點(diǎn)為M,則NeM2變化嗎？若變化說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)。

26.如圖，AB√CD,以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB,AC于E,

F兩點(diǎn)，再分別以E,F為圓心，大于［EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P,連

2

接AP,交CD于點(diǎn)M,若NACD=U0。，求NCMA的度數(shù).

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、C

【解析】試題解析：：NAEB=90。，AE=6,BE=8,

2222

:?AB=y∣AE+BE=√6+8=10

?S陰影部分=S正方彩ABCD-SRtAABE=IO?×6×8

2

=100-24

=76.

故選C.

考點(diǎn)：勾股定理.

2、C

【分析】直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出。，匕的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】?.?點(diǎn)P(?,3)、Q(-2,b)關(guān)于>軸對(duì)稱，

：.a=2,b=3>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了關(guān)于X,)'軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確得出“，)的值是解題關(guān)鍵.注意：

關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

3、A

【解析】平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新

圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.所以RtAABC與Rt?DEF的形狀和大小完全相

同，即RtAABC鄉(xiāng)RtADEF,再根據(jù)性質(zhì)得到相應(yīng)結(jié)論.

【詳解】解：TRtAABC沿直角邊BC所在直線向右平移到RtADEF

ΛRt?ABC^Rt?DEF

ΛBC=EF,AC=DF

所以只有選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，故選A.

【點(diǎn)睛】

本題涉及的是全等三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是應(yīng)用平移的基本性質(zhì).

4、C

【分析】當(dāng)一個(gè)三角形中，兩個(gè)較小邊的平方和等于較大邊的平方，則這個(gè)三角形是直

角三角形.據(jù)此進(jìn)行求解即可.

【詳解】A、52+92=106≠122=144,故不能構(gòu)成直角三角形；

B、52+92=106≠132=169,故不能構(gòu)成直角三角形；

C、52+122=169=132,故能構(gòu)成直角三角形；

D、92+122=225≠132=169,故不能構(gòu)成直角三角形，

故選C.

5、D

【分析】根據(jù)等腰三角形的一個(gè)外角等于110°,進(jìn)行討論可能是底角的外角是110°,

也有可能頂角的外角是110°,從而求出答案.

【詳解】解：①當(dāng)IlOo外角是底角的外角時(shí)，底角為：180°-110°=70°,

②當(dāng)IlOo外角是頂角的外角時(shí)，頂角為：180°-Π0°=70°,

則底角為：(180°-70°)XL=55°,

2

.?.底角為70?；?5°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，應(yīng)注意進(jìn)行分類討論，熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

6、D

【分析】由作圖知CM=CD=DN,再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得.

【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN,

ΛZCOM=ZCOD,故A選項(xiàng)正確；

VOM=ON=MN,

ΛΔOMN是等邊三角形，

ΛZMON=60o,

VCM=CD=DN,

ΛNMOA=NAoB=NBoN=INMoN=20。，故B選項(xiàng)正確;

3

VZMOA=ZAOB=ZBON,

ΛZMCD=18()o-ZCOD,

又NCMN=LZAON=ZCOD,

2

.?.ZMCD+ZCMN=180o,

ΛMN/7CD,故C選項(xiàng)正確；

VMC+CD+DN>MN,且CM=CD=DN,

Λ3CD>MN,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角定理和圓周角定理等知識(shí)點(diǎn).

7、C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.

【詳解】A在不等式的兩邊同時(shí)減去1,不等號(hào)的方向不變x-l>y-l,故A錯(cuò)誤；

B在不等式的兩邊同時(shí)乘以3,不等號(hào)的方向不變3x>3y,故B錯(cuò)誤；

C在不等式的兩邊同時(shí)乘以-1,不等號(hào)的方向改變，故C正確；

D在不等式的兩邊同時(shí)乘以!，不等號(hào)的方向不變;>5,故D錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的性質(zhì)，（1）在不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的

方向不變；

（2）在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以（不為零的數(shù)）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變;

（3）在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以（不為零的數(shù)）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

8、D

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕除法的逆用和幕的乘方的逆用變形，并代入求值即可.

【詳解】解：52t-3?v?產(chǎn)÷53-V=（5'Y÷（5'）3

將5'=3，5,=2代入，得

原式=32÷23=J

O

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是塞的運(yùn)算性質(zhì)，掌握同底數(shù)基除法的逆用和塞的乘方的逆用是解決此題的

關(guān)鍵.

9、A

【分析】逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角不一定相等，故錯(cuò)誤；

②三角形的一個(gè)外角大于任何與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角，故錯(cuò)誤;

③如果Nl和N2是對(duì)頂角，那么N1=N2,故正確；

④若/=〃，則或α=T>,故錯(cuò)誤.

所以只有一個(gè)真命題.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查真假命題，會(huì)判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.

10、A

【解析】分別計(jì)算平方、零指數(shù)累，然后再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算即可.

【詳解】解：原式=4+1=5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是掌握零指數(shù)嘉的運(yùn)算法則，難度一般.

11、B

【解析】根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案.

【詳解】A、x=O時(shí)分式無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；

B、無(wú)論X取何值，分式總有意義，故B正確；

C、當(dāng)X=-I時(shí)，分式無(wú)意義，故C錯(cuò)誤；

D、當(dāng)x=0時(shí)，分式無(wú)意義，故D錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式有意義的條件，分母不為零分式有意義.

12、A

【解析】試題解析：作ADJ_b于D,作CE_Lh于E,

VZABC=90o,

ΛZABD+ZCBE=90o

又NDAB+NABD=90°

.?.NBAD=NCBE,

NBAD=NCBE

{AB=BC,

ZADB=NBEC

Λ?ABD^?BCE

.*.BE=AD=3

在RtABCE中，根據(jù)勾股定理，得BC=√25+9=庖，

在RtAABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=扃X√∑=2√I7.

故選A.

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.全等三角形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、(-4,3).

【解析】試題分析：

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作ABLX軸于B,過(guò)點(diǎn)A，作A，B，J_x軸于B，,

VOA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至OA，，

ΛOA=OA,,ZAOA,=90o,

VZA,OB,+ZAOB=90o,ZAOB+ZOAB=90o,

ΛZOAB=ZA,OB,,

在AAOB和AOA，B，中，

"ZOAB=ZA7OBz

-ZABO=ZOB7A,，

OA=OAy

Λ?AOB^?OA,B,(AAS),

ΛOB,=AB=4,A'B'=OB=3,

二點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(-4,3).

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

14、+1.

【分析】根據(jù)題意，計(jì)算(。+與2的值，從而求出a+b的值即可.

【詳解】(a+州

=a2+2ab+b2

=(a2+b2)+2ab

=18-2

=16,

則a+b=+l.

故答案為：±1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了代數(shù)式的運(yùn)算問(wèn)題，掌握完全平方公式和代入法是解題的關(guān)鍵.

15、2

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出甲減速后的速度和乙的速度，然后根據(jù)相遇問(wèn)題的等量關(guān)系

列方程求解即可.

【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：甲減速后的速度為：(20—8)÷(4-1)=4km∕h,

乙的速度為：20÷5=4km∕h,

設(shè)甲出發(fā)X小時(shí)后與乙相遇，

由題意得：8+4(x-l)+4x=20,

解得：x=2,

即甲出發(fā)2小時(shí)后與乙相遇，

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息以及一元一次方程的應(yīng)用，能夠根據(jù)函數(shù)圖象求出甲減

速后的速度和乙的速度是解題的關(guān)鍵.

16、X=-I或x=l

【分析】根據(jù)題意，對(duì)2x+l和1的大小分類討論，再根據(jù)題意分別列出方程即可求出

結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)2x+lVl,即XVO時(shí)，

min{2x+l,1}=2x+l

Λ2x+l=x

解得：x=-l;

當(dāng)2x+l>l,即x>0時(shí)，

min{2x+l,1)=1

/.x=l；

綜上所述：x=-l或x=l

故答案為:x=?l或X=1.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，掌握題意和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)

鍵.

17、＞

【分析】利用估算法比較兩實(shí)數(shù)的大小.

【詳解】解：?.?4＜血＜囪，

Λ2＜λ^＜3,

.?3＞y∕S.

故答案是：＞.

【點(diǎn)睛】

本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，正確對(duì)無(wú)理數(shù)進(jìn)行估算是解題關(guān)鍵.

18、—近

22

【分析】根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?Q4=A4=44=…=AA=…=1，

.??M=1+1=2,SI邛，

OA^=12+(√2)2=3,與,

O^=l2+(√3)2=4,S3=*

???,

.??第〃(〃是正整數(shù))個(gè)三角形的面積s,=近.

n2

故答案為：也，近.

22

【點(diǎn)睛】

此題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用和利用規(guī)律的探查解決

問(wèn)題.

三、解答題(共78分)

19、(1)見解析；(1)見解析；(3)AD=l+√2

【分析】(1)先判定出AABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得

AD=BD,再根據(jù)同角的余角相等求出NCAD=NCBE,然后利用“角邊角”證明AADC

和ABDF全等；

(1)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得

AC=IAE,從而得證；

(3)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根

據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=CF,然后根據(jù)AD=AF+DF

代入數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】(1)VAD±BC,NBAD=45。，

aABD是等腰直角三角形，.?.AD=BD,

VBE±AC,AD±BC,

ΛZCAD+ZACD=90o,ZCBE+ZACD=90o,

ΛZCAD=ZCBE,

在AADC和ABDF中，

NCAD=NCBE,AD=BD,ZADC=ZBDF=90o,

Λ?ACD^?BFD(ASA)

(1)由(1)可知：BF=AC

VAB=BC,BE_LAC,

ΛAC=IAE,

ΛBF=IAE;

(3)V?ACD^?BFD,

.?.DF=CD=逝，

1122

在RtACDF中，CF=^DF+CD=λ∕(√2)+(√2)=2?

VBE±AC,AE=EC,

ΛAF=CF=I.

ΛAD=AF+DF=l+√2

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線

合一的性質(zhì)的應(yīng)用，以及線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相的性質(zhì)，熟記各

性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

20、(1)證明見解析；(2)AE=DB,理由見解析.

【分析】⑴由等邊三角形的性質(zhì)得出AE=BE,∕BCE=3O,再根據(jù)/75Ei，

得出∕D=∕BCE=3O，再證出ND=NDEB,得出DB=BE,從而證出

AE=DB;

(2)作輔助線得出等邊三角形AEF,得出AE=EF,再證明三角形全等，得出

DB=EF,證出AE=DB.

【詳解】(1)證明：ABC是等邊三角形，

.?./ABC=NACB=60，

點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

..CE平分/ACB,AE=BE,

.?.∕BCE=30，

ED=EC,

.?.ND=IBCE=30.

.∕ABC="+4ED,

.?./BED=30，

..㈤=4ED,

.*.BD=BE.

/.AE=DB.

⑵解：AE=DB;

理由：過(guò)點(diǎn)E作EF//BC交AC于點(diǎn)F.如圖2所示:

../AEF=NABC,/AFE=/ACB.

.ABC是等邊三角形，

../ABC=NACB=NA=60,AB=AC=BC,

.?.∠zAEF=z×ABC=60，/AFE=/ACB=60，

即/AEF=NAFE=NA=60，

AEF是等邊三角形.

.?."BE=/EFC=I20，"+∕BED=4CE+"CD=60，

DE=EC,

.?.^D=^ECD,

.?.4ED=4CF.

在DEB和一EeF中，

NDEB=NECF

<NDBE=NEFC,

DE=EC

.sDEBgLECF(AAS),

.?.DB=EF,

AE=BD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的外角以及全等三角形的判定與性質(zhì)；證

明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

21、(1)DC±BE,見解析；(2)6

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出4ABEgAACD,得出NAEB=

ZADC,進(jìn)而得出NAEC=90。，就可以得出結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：YaABC和AADE是等腰直角三角形

.?.AB=AC,AE=AD,NBAC=NEAD=90°

：.ZBAC+ZEAC=ZDAE+ZEAC

.?.ZBAE=ZCAD

在AABE和AACD中

AB=AC

<NBAE=ZCAD

AE=AD

Λ?ABE^?ACD(SAS)

ΛZAEB=ZADC

?：NADC+NAFD=90°

ΛZAEB+ZAFD=90o

：NAFD=NCFE

ΛZAEB+ZCFE=90o

ΛZFCE=90o

(2)解：VCE=2,BC=4

ΛBE=6

V?ABE^?ACD

ΛCD=BE=6

：?SACF=?CE?CD=Lχ2x6=6.

iλri-)×vc22

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判

定的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

22、(1)AE=EF;(2)AE=EF;(3)仍然成立AE=EF.

【分析】(1)【探究發(fā)現(xiàn)】取AC中點(diǎn)G,連接EG,根據(jù)三角形全等的判定即可證明

AEAG≡AFEB(AS4),即可得出AE和EF的數(shù)量關(guān)系；

(2)【數(shù)學(xué)思考】分三種情況討論：

①若點(diǎn)E在線段BC上，在AC上截取CG=CE,連接GE;

②若點(diǎn)E在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，在AC反向延長(zhǎng)線上截取CG=CE,連接GE;

③若點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，在AC延長(zhǎng)線上截取CG=C￡,連接GE;

根據(jù)三角形全等的判定即可證明AEAG三AFEB(ASA),即可得出AE和EF的數(shù)量

關(guān)系.

【詳解】(I)AE和EF的數(shù)量關(guān)系為：AE=EF.

理由：如圖1,取AC中點(diǎn)G,連接EG,

MBC中，ACBC,ZAeB=90°,

.-.ZABC45°,AG=BE,?CEG是等腰直角三角形,

.?.ZCGE=45o,NEGA=135。，

AELEF,ABLBF,

：.ZEBF=135o,4EAG=NFEB,

在ΔE4G和AFEB中

ZEAG=NFEB

<AG=BE

NEGA=NFBE

?EAG=?FEB(ASA),

.-.AE=EF.

BEl

(2)①如圖2,若點(diǎn)E在線段BC上，在AC上截取CG=CE,連接GE,

NACB=90°

.?.NCGE=NCEG=45。,

.AELEF,ABlBF,

：.NAEF=NABF=NACB=90°

.?.ZFEB+ZAEF=ZAEB=ZEAC+ZACB,

.?.NFEB=NEAC,

CA=CB,

：.AG=BE,NCBA=NCAB=45°,

.?.ZAGE=NEBF=135°,

在AE4G和AFEB中

ZEAG=NFEB

?AG=BE

NEGA=NFBE

:ZAG"FEB(ASA),

..AE=EF.

②如圖3,若點(diǎn)E在線段8C的反向延長(zhǎng)線上，在AC反向延長(zhǎng)線上截取CG=CE,

連接GE,

VNACB=90°

..NCGE=CEG=45。,

VAE±EF,AB1BF,

：.NAEF=NABF=ZACB=90°

?.?NFEB=NAEF+ZAEC,NEAG=ZC+ZAEC

：.ZFEB=ZEAG

-CA=CB

：.AG=BE,NCBA=ACAB=45°,

.?.NAGE=NEBF=45°,

在ΔE4G和AFEB中

NEAG=NFEB

<AG=BE

NEGA=NFBE

/^EAGSFEB(ASA)

..AE=EF.

③如圖4,若點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，在AC延長(zhǎng)線上截取CG=CE,連接GE,

ZACB=90°

：.NCGE=ZABC=45o,

AE?EF,AB1BF,

：.NAEF=ZABF=90o

.?.ZFEB+ZAEB=90o=ZEAG+ZAEB,NEBF=45o=NG

：.NFEB=ZEAG

CA^CB

在AE4G和AFEB中

ZEAG=NFEB

,AG=BE

ZEGA=NFBE

ΔE4G=^FEB(ASA)

:.AE^EF.

【點(diǎn)睛】

通過(guò)做輔助線得到CG=CE,利用等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理，

即可得出AE和即的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，利用圖形，數(shù)形

結(jié)合推理論證即可，注意情況的分類.

23、（1）證明見解析；（2）AB=I.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NC進(jìn)而利用全等三角形的判定證明即可;

（2）利用全等三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：（1）證明：TAB〃DC,

,NA=NC,

在AABE與ACDF中

ZA=ZC

<AB=CD,

ZB=ZD

Λ?ABE^?CDF(ASA)；

(2)T點(diǎn)E,G分別為線段FC,FD的中點(diǎn),

ΛED=—CD,

2

VEG=5,

ΛCD=1,

V?ABE^?CDF,

ΛAB=CD=I.

【點(diǎn)睛】

此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NC.

24、-2

【分析】先利用完全平方式展開化簡(jiǎn)，再將x,y的值代入求解即可.

【詳解】解：原