2024年概率與統(tǒng)計(jì)高二數(shù)學(xué)寒假練習(xí)

第05講概率與統(tǒng)計(jì)

總結(jié)】

一、條件概率與事件的獨(dú)立性

1.相互獨(dú)立事件

一般地，當(dāng)P(A3)=尸⑷尸(3)時,就稱事件A與3相互獨(dú)立(簡稱獨(dú)立).如果事件

A與3相互獨(dú)立，則無與方，A與3,1與不也相互獨(dú)立.

2.條件概率

(1)概念：一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0(即P(5)>0)時,已知事件5發(fā)生的

P(4nR)

條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率，記作P(A\B),而且P(A|3)=_「(B).

(2)兩個公式

"(AR)

①利用古典概型，尸(始)=；

MIA1

②概率的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B\A).

3.全概率公式

一般地，如果樣本空間為Q,A,B為事件，則BA與是互斥的，且B=BQ

=B(A-\-A)=BA-\-BA,從而P(B)=尸(BA+3l)=P(3A)+P(3l),當(dāng)P(A)>0且

P(1)>0時，有P(B)=P(A)P出⑷+P(石)P田|石).

二、隨機(jī)變量及其分布列

1.離散型隨機(jī)變量

一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為。，而且對于。中的每一個樣本點(diǎn)，變量X

都對應(yīng)有唯一確定的實(shí)數(shù)值,就稱X為一個隨機(jī)變量.其所有可能的取值都是可

以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{XI,X2,…，X"},如果對任意左?{1,

2,…，n},概率P(X=;a)=〃都是已知的，則稱X的概率分布是已知的，離散

型隨機(jī)變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率

分布或分布列.

??????

XXIX2XkXn

??????

PPiP2Pn

3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

(1)網(wǎng)力0,k=l,2,…,n；

n

(2)石"k=pi+p2-l----'rpn=l.

4.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差、標(biāo)準(zhǔn)差

一般地，如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示

??????

XXIX2XkXn

??????

ppiP2PkPn

⑴均值

n

稱E(X)=xim+xip?H-----HX"。"=g秘i為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡

稱為期望).

(2)方差

222

D(X)=[xi-E(X)]pi+舊一E(X)]2P2H-----Flxn-E(X)]pn=^xj-E(X)]pi,能夠刻

畫X相對于均值的離散程度(或波動大小),這稱為離散型隨機(jī)變量X的方差.

(3)標(biāo)準(zhǔn)差

稱、歷(X)稱為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,它也可以刻畫一個離散型隨機(jī)變

量的離散程度(或波動大小).

5.均值與方差的性質(zhì)

(l}E(aX+b>=aE(X)+b.

{2]D(aX+b)=crD(X)(a,6為常數(shù)).

三、二項(xiàng)分布與超幾何分布

1."次獨(dú)立試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

(1>次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)時，人們總是約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,

此時這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

(2)二項(xiàng)分布

一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=j,且“

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…，左，…,

n},而且P(X=k)=CKp%L卜,k=0,1,…，n,

因此X的分布列如下表所示

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開式(q+p)"=CM°q"+C%

-----\-Cnpkqnk-\-----HC版"q。中對應(yīng)項(xiàng)的值，因此稱X服從參數(shù)為〃，p的

二項(xiàng)分布，記作X?3(附，p).

2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差

(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=0D(X)=p(l-p\

(2)若X?B(〃，p),則E(X)=型，D(X)=np(l-pY

3.超幾何分布

一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<N)，從所有

物品中隨機(jī)取出〃件(“WN)，則這附件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變

量，X能取不小于/且不大于s的所有自然數(shù)，其中s為〃與〃中的較小者，/

在〃不大于乙類物品件數(shù)(即雇N—M)時取0,否則/取〃減乙類物品件數(shù)之差(即

t=n—(N—M)),而且

P(X=k)=0々，k=t,t~\~1,s,

這里的X稱為服從參數(shù)為N,〃，〃的超幾何分布，記作X?H(N,n,M).

4.正態(tài)分布

⑴正態(tài)曲線

研》)=1位e———，磯X)的解析式中含有〃和。兩個參數(shù)，其中：〃=E(X),

即X的均值；o=、lD(X),即X的標(biāo)準(zhǔn)差.0(x)也常常記為”“(X).

(2)正態(tài)曲線的一些性質(zhì)

①正態(tài)曲線關(guān)于正與對稱(即〃決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩

邊低的特點(diǎn)；

②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1;

③。決定正態(tài)曲線的“胖瘦”；。越大，說明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，

所以曲線越“胖”；。越小，說明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線

越“瘦”.

(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值

PS—?WXW“+<7K68.3%；

P(〃一2oWXW〃+2295.4%；

加一3(rWXW〃+3聽222%.

(4)正態(tài)分布的均值與方差

若X?N〃，/)，則E(X)=w，D(X)=/.

四、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.變量的相關(guān)關(guān)系

⑴相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定

另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)：如果變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用二來刻畫，則

稱x與y線性相關(guān).

2.相關(guān)系數(shù)

n__

X(X/—x)(?—y)

(l)r=-J[=

、￡(xz-x)2￡(V—y)2

\ji=li=l

n

^Xiyi-n

_______________i=l"J

/n__n,

A/(Lx?-nx2)(Ej?-nj2)

i=ii=i

(2)當(dāng)r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)廠<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

(3)|r|<l；當(dāng)|廠|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|廠|越接近0

時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

(1)我們將￡=源+1稱為y關(guān)于x的回歸直線方程，其中

X(Xi—x)(J—y)Sx^i—n

Af=l_________________(__________i=l.?

b=nZ=-nZ，

<￡(x/—x)2Zx?—nx2

i=li=l

AAA一

<a=y-bx.

⑵殘差：觀測值減去預(yù)測值,稱為殘差.

4.2X2歹IJ聯(lián)表和/2

如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表如下.

AA總計(jì)

Baba~\~b

Bcdc~\~d

總計(jì)a+cb+da~\~b~\~c~\~d

記〃=o+6+c+d,則

2______________nQad-bc)?____________

%(<a+Z?)(c+d)(tz+c)(Z?+d)'

5.獨(dú)立性檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用的顯著性水平a以及對應(yīng)的分位數(shù)左如下表所示.

a=P(/2三外0.10.050.010.0050.001

K2.7063.8416.6357.87910.828

要推斷“A與3有關(guān)系”可按下面的步驟

(1)作2X2列聯(lián)表.

⑵根據(jù)2X2列聯(lián)表計(jì)算士的值.

(3)查對分位數(shù)上作出判斷.如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出/的值后，發(fā)現(xiàn)爐巳女成立,

就稱在犯錯誤的概率不超過a的前提下，可以認(rèn)為A與3不獨(dú)立(也稱為A與5

有關(guān))；或說有1—a的把握認(rèn)為4與3有關(guān).若成立,就稱不能得到前述結(jié)

論.這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).

【重難點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：條件概率與事件的獨(dú)立性

'1.從編號為1-20的20張卡片中依次不放回地抽出兩張，記A：第一次抽到數(shù)字為

6的倍數(shù)，B：第二次抽到的數(shù)字小于第一次，則P（2|A）=（）

A?凝118n7

—C.—D.

191119

【答案】B

【詳解】記事件A：第一次抽到的數(shù)字為6的倍數(shù)；事件8：第二次抽到的數(shù)字小于第一次;

3

則數(shù)字為6的倍數(shù)的數(shù)有：6,12,18,所以尸（A）=《,

第二次抽到的數(shù)字小于第一次的情況分為:

第一次抽到的數(shù)字為6,第二次則抽到12,3,4,5,共5種;

第一次抽到的數(shù)字為12,第二次則抽到111,共11種;

第一次抽到的數(shù)字為18,第二次則抽到1~17,共17種.

5+11+1733

則尸（AB）=

20x19380

33

P(Ag)_380_11

.A)=

p⑷一_但

20

故選：B.

42

2.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是二，刮風(fēng)的概率為TT，在下雨天里，刮風(fēng)的

概率為：，則既刮風(fēng)又下雨的概率為（）

O

3311

A.—B.—C.—D.

451020

【答案】C

【詳解】記4=“下雨”，8="刮風(fēng)”,鉆=“刮風(fēng)又下南”,

47a

則P（A）=X，P（8）=■，尸伊⑶二，

IDIDo

所以尸（陰=尸⑷尸（叫A）=±x：=1

15o10

故選：C

3.某個家庭有三個孩子，已知其中一個孩子是男孩，則另外兩個都是女孩的概率為（）

【答案】A

【詳解】解：由題意，某家庭有三個孩子，已知其中一個孩子是男孩，

基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），（男男男）,

共有7個，

其中另外兩個都是女孩包含的基本事件有：

(男女女)，(女男女)，(女女男)，共有3個，

3

則至少有兩個孩子是女孩的概率是尸=,.

故選：A.

4.某人外出出差，委托鄰居給家里植物澆一次水，設(shè)不澆水，植物枯萎的概率為0.8,澆水,

植物枯萎的概率為0.15.鄰居記得澆水的概率為0.9.則該人回來植物沒有枯萎的概率為()

A.0.785B.0.845C.0.765D.0.215

【答案】A

【詳解】解：記A為事件“植物沒有枯萎”，W為事件“鄰居記得給植物澆水”，

則根據(jù)題意，知尸(W)=0.9,P(W)=0.1,P(A|W)=l-0.8=0.2,P(A|W)=1-0.15=0.85,

因止匕P(A)=P(41W)P(W)+P(A|W)P(W)=0.85x0.9+0.2x0.1=0.785.

故選：A.

i_21

5.若尸(AB)=§,P(A)=-,P(B)=-,則事件A與5的關(guān)系是()

A.事件A與B互斥B.事件A與8對立

C.事件A與8相互獨(dú)立D.事件A與8既互斥又相互獨(dú)立

【答案】C

【詳解】；P(A)=l-P(A)=l-§=§,

/.P(AB)=P(A)P(B)=g/0，

事件A與8相互獨(dú)立、事件A與B不互斥，故不對立.

故選：C

考點(diǎn)二：隨機(jī)變量

^V"［6.下列說法正確的是()

A.離散型隨機(jī)變量的均值是［0』上的一個數(shù)

B.離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平

C.若離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2,則E(2X+1)=4

D.離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=*+W++%

n

【答案】B

【詳解】對于A,離散型隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù)，不一定在［0』上，

故A錯誤，

對于B,散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,

故B正確，

對于C,離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2,

貝|JE(2X+1)=2E(X)+1=5,

故C錯誤，

對于D,離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=之他，

/=1

故D錯誤.

故選：B.

7.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布若尸(X>—2)+P(X24)=l,貝ij〃=()

A.-IB.IC.-2D.2

【答案】B

【詳解】由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3b2),且尸(X>-2)+尸(X1)=l,

而尸(X>-2)+P(XW-2)=1,

所以P(X")=尸(XW-2),

所以〃=生戶=1.

故選：B

8.為了保障我國民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場前必須進(jìn)行兩輪檢測，只有兩輪都合格

才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為第二輪檢測不合

格的概率為，，兩輪檢測是否合格相互之間沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利

40元，若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利

X元,則尸(X2-80)等于()

96c256-608_209

A.-----B.-----C.D.------

625625625625

【答案】c

【詳解】由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為

易知X的取值范圍為{-320,-200,-80,40,160},

設(shè)4表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，

所以尸q==,k=0,l,2,3,4,

96

所以尸(X=-8O)=P(J=2)=C

625

256

產(chǎn)(X=40)=尸(J=3)=C；

625

產(chǎn)(X=160)=尸(4=4)=C：

故尸(XN-80)=尸(X=-80)+尸(X=40)+尸(X=160)=—.

故選：C.

9.在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取的4

個小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

2

A.P(X=1)=-B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

O

C.隨機(jī)變量X服從幾何分布D.￡(x)=|

【答案】C

【詳解】解：由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確;

C1410103o

X的取值分別為0,1,2,3,4,則P(X=0)=^=在，P(x=l)=,=五,

jo14jo,1

C2C23C3C'4C41

尸-2)=高，守k=*而

1Qc3c4)18

/.E(X)=0x—+lx—+2x—+3xF4X

故A,D錯誤.

故選：C.

10.在某校的一次化學(xué)考試中，全體考生的成績近似地服從正態(tài)分布N(80,100),已知成績

在90分以上(含90分)的學(xué)生有32名.則參加考試的學(xué)生總數(shù)約為()

(參考數(shù)據(jù)：尸(〃-crWXW〃+b)=0.6827,P(〃-2bVXW〃+2b)=0.9545,

尸(〃一3<rWXW〃+3cr)=0.9973)

A.202B.205C.206D.208

【答案】A

【詳解】因化學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布N(80,100),顯然期望〃=80,標(biāo)準(zhǔn)差

c=Vioo=io,

于是得尸(X>90)=g[l-P(70WX490)]=；-gp(〃一bWX4〃+b)B0.1587,

所以參加考試的學(xué)生總數(shù)約為32+0.15877202.

故選：A

考點(diǎn)三：統(tǒng)計(jì)模型

某地政府調(diào)查育齡婦女生育意愿與家庭年收入高低的關(guān)系時，隨機(jī)調(diào)查了當(dāng)?shù)?/p>

3000名育齡婦女，用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法處理數(shù)據(jù)，并計(jì)算得/=7.326,則根據(jù)這一數(shù)據(jù)以

及臨界值表，判斷育齡婦女生育意愿與家庭年收入高低有關(guān)系的可信度()

參考數(shù)據(jù)如下：尸(/>10.828)?0.001,P(r>7.879卜0.005,尸(力2>6.635)?0.01,

產(chǎn)(力223.841)土0.05,尸(力？22.706)笈0.1.

A.低于1%B.低于0.5%C.高于99%D.高于99.5%

【答案】C

【詳解】由于*=7.326?(6.635,7.879),

而P[x2*7.879)x0.005,P^2>6.635)?0.01,

所以可信度高于99%.

故選：C

12.通過隨機(jī)詢問相同數(shù)量的不同性別大學(xué)生在購買食物時是否看營養(yǎng)說明，得知有!的男

O

大學(xué)生“不看，，，有;的女大學(xué)生“不看”，若有99%的把握認(rèn)為性別與是否看營養(yǎng)說明之間有

關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為。

A.150B.170C.240D.175

【答案】C

【詳解】設(shè)男女大學(xué)生各有“，人，根據(jù)題意畫出2x2列聯(lián)表，如下圖:

看不看合^計(jì)一

51

男—m—mm

66

21

女—m—mm

33

31

合計(jì)—m—m2m

22

2

5112

2m—mx—m——mx—m

6363

所以42=—,因?yàn)橛?9%的把握認(rèn)為性別與對產(chǎn)品是否滿意

3127

—mx—mxmxm

22

有關(guān),所以丁>6.635,解得2加>179.145,所以總?cè)藬?shù)2根可能為240.

27

故選：C.

13.關(guān)于線性回歸的描述，下列命題錯誤的是()

A.回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心B.殘差平方和越小，擬合效果越好

C.決定系數(shù)R?越接近1,擬合效果越好D.殘差平方和越小，決定系數(shù)R?越小

【答案】D

【詳解】對A,回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心正確；

對B,殘差平方和越小，擬合效果越好正確；

對C,決定系數(shù)K越接近1,擬合效果越好正確；

對D,殘差平方和越小，擬合效果越好，決定系數(shù)4越接近1,故D錯誤；

故選：D

14.由樣本數(shù)據(jù)(占,%),(.％)，，(%,%),對兩個變量y和x進(jìn)行回歸分析，則下列說法

錯誤的是()

A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線￡=%+&必過點(diǎn)(x,y)

B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C.用決定系數(shù)R2來刻畫回歸效果，咒越小，說明模型的擬合效果越好

D.若變量>和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=0.95,變量,和x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系

【答案】c

【詳解】回歸方程必過樣本中心(元月，A正確；

殘差平方和越小，代表估計(jì)值和測量值越接近，即擬合的效果越好，B正確；

心越接近1,模型的擬合效果越好，C錯誤；

若/^0.75,則變量>和元之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，D正確；

故選：C.

15.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y有一組觀測數(shù)據(jù)(%,y)[=1,2,…,8)其回歸直線方程是

y=-x+a,且西+&+…+演=2(%+%+…+%)=6,則當(dāng)彳=一1時，丁的估計(jì)值為().

A.--B.-C.--D.-

8844

【答案】A

【詳解】因?yàn)?+9+…+%=2(%+%+…+%)=6,

scr?_%+%+…+*8_6_3%+%+.??+%_3

所以7-一耳一“,一8-8，

11313A1

因?yàn)榛貧w直線方程是y=所以y=7元+6,所以u=+解得：?=

所以5>=卜+：,所以當(dāng)》=一。時，y的估計(jì)值為：y==

38434J88

故選：A.

【基礎(chǔ)過關(guān)】

一、單選題

1.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(H，"),且P(X>-1)=P(X<5),則下列說法一定正確的是

()

A.〃=3B.〃=2C.<T=3D.(7=2

【答案】B

【詳解】因?yàn)镻(X>-1)=P(X<5),

由正態(tài)分布的對稱性可得〃=—=2,故B正確，A錯誤，

而正態(tài)分布的方差無法確定，故C,D均錯誤.

故選:B.

2.針對某種突發(fā)性的流感病毒，各國的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制疫苗.已知甲、乙兩個機(jī)構(gòu)

各自研制成功的概率分別為g和;，而且兩個機(jī)構(gòu)互不影響，則恰有一個機(jī)構(gòu)研制成功的概

率為()

A.2B.AC.±D.1

20122012

【答案】B

【詳解】依題意，有一個機(jī)構(gòu)研制成功的概率為:=卷.

故選：B

3.“五一”勞動節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為g,p假定三人的

行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()

A.竺B.王”-1

605260

【答案】B

【詳解】:?甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為g,1.

...他們不去北京旅游的概率分別為J2,43,74-

345

?.?至少有1人去北京旅游的對立事件是沒有人去北京旅游，

???至少有1人去北京旅游的概率為：1-三2義；3義4￡==3.

3455

故選：B

4.某市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績自服從正態(tài)分布N(90,4),

已知P(80<JW100)=0.4,若按成績采用分層抽樣的方式抽取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從100

分以上的試卷中抽取的份數(shù)為()

A.60B.40C.30D.15

【答案】C

【詳解】P(^>100)=1x(l-0.4)=0.3,100x0.3=30.

故選：C

5.某工廠生產(chǎn)的零件的尺寸(單位：cm)服從正態(tài)分布A^(50,0.152),任選一個零件，

尺寸在50~50.3cm的概率為()

附：若X~N(〃，4),則

P^JU-CT<X<//+cr)~0.6827,P^JU-2CT<X<ju+2a)~0.9545,P(//-3cr<X<jU+

3b)。0.9973.

A.0.34135

B.0.47725

C.0.6827

D.0.9545

【答案】B

【詳解】由零件的尺寸(單位：cm)服從正態(tài)分布7V(50,0.152),

可知〃=50,cr=0.15,故50.3=50+2x0.15,

由P(〃一2cr4X4〃+2a)y0.9545可得X+=0.47725,

故尺寸在50?50.3cm的概率為0.47725,

故選：B

6.某次國際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得。分，某參賽隊(duì)員比

賽一局勝的概率為。，平局的概率為6,負(fù)的概率為C"ce[0,l)),已知他比賽一局得分

的數(shù)學(xué)期望為1,則浦的最大值為()

A.-B.-—C.~D.一

31226

【答案】B

【詳解】解：由題意，比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為3X4+1X〃+0xc=l,故3a+6=l,

又a,b,ce[0,l),故3”b±2局,解得“64二，當(dāng)且僅當(dāng)%=人即。時等號成

立.

故選：B.

7.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如

圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙是唐朝的兩位投壺游戲參與者，且甲、乙每次投壺投中

2I

的概率分別為2,每人每次投壺相互獨(dú)立.若約定甲投壺2次，乙投壺3次，投中次數(shù)

多者勝，則甲最后獲勝的概率為（）

351

A.—B.—C.—D.

181839

【答案】B

【詳解】由題意可得,甲最后獲勝的情況有3種

①甲投中1次,乙投中0次，則概率為

②甲投中2次,乙投中1次，則概率為

③甲投中2次,乙投中。次，則概率為

2

C；x

lx1小。

所以甲最后獲勝的概率為白1+3白+白1=5白

lolololo

故選：B

8.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必

須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是P,隨機(jī)變量X表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若0<P4；,

則X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是（）

c19c192，|D.

A.2TB.2,--C.2

o4

【答案】A

【詳解】隨機(jī)變量X可能的取值為2,3.

p(X=2)=C%2+c；(l_p)2=2p2_2p+].

2

P(X=3)=C^(l-p)7?+C^(l-Jp)(l-7?)=2jp-2p,

故X的分布列為:

X23

p2p2-2p+l2p-2p2

K.因?yàn)?<W，

故E(X)=2x(2p2_2p+l)+3x(2p_2p2)=_2p2+2p+2=-2

故2<E(X)W工.故選：A.

二、多選題

9.設(shè)X是隨機(jī)變量，那么()

A.若乂~《4,￡|,則E(2X+3)=5

B.若P(XW4)=0.79,貝|P(XW—2)=0.21

c.若xN(32),X=2V+3,則o(y)=i

D.若X-B(4,則0(2X+3)=*

【答案】ABC

【詳解】對于A,因?yàn)閄~B(4,￡|,所以E(X)=〃p=4x；=l,所以

E(2X+3)=2E(X)+3=5,所以A正確，

對于B,因?yàn)閄—N。,")，尸(XW4)=0.79,所以

P(X^-2)=P(X>4)=1-P(X<4)=1-0.79=0.21,所以B正確，

對于C,因?yàn)閤7V(3,22),所以D(x)=4,因?yàn)閄=2P+3,所以。(X)=2。(卜)，所以

o(y)=i,所以C正確，

對于D,因?yàn)樗訸)(X)=4x：x(l-;|=；,所以b(X)=向方=咚，所

以cr(2X+3)=2cr(X)=,所以D錯誤，

故選：ABC

10

10.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量“4有一組觀測數(shù)據(jù)(4y)(7=1,2,3,,10),已知=20,

Z=1

10

Ex=io,則()

i=\

A.數(shù)據(jù)％—2y+l(i=l,2,3,rIO)的平均數(shù)為0

B.若變量工戶的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=2x+&,則實(shí)數(shù)6=-3

C.變量蒼y的樣本相關(guān)系數(shù)廠越大，表示模型與成對數(shù)據(jù)蒼〉的線性相關(guān)性越強(qiáng)

D.變量x，y的決定系數(shù)R2越大，表示模型與成對數(shù)據(jù)x，y擬合的效果越好

【答案】BD

1010

【詳解】解：因?yàn)?=20,工％=10,所以元=2,9=1.

1=1Z=1

對于選項(xiàng)A,x-2yi+\{i=1,2,3,..,10）的平均數(shù)為x-2J+1=2-2+1=1,故選項(xiàng)A錯誤；

對于選項(xiàng)B,若變量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是》=2x+d,貝元=1-4=—3,故選項(xiàng)B

正確；

對于選項(xiàng)C,當(dāng)變量x，y為負(fù)相關(guān)時，相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r越?。ㄔ浇咏?1）,故選

項(xiàng)C錯誤；

對于選項(xiàng)D,變量為y的決定系數(shù)我越大，殘差平方和越小，則變量蒼丫擬合的效果越好,

故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

三、填空題

H.甲乙參加某個五局三勝的比賽，每局他們獲勝的可能性相同，最終勝者將獲得2000元

獎金，前兩局甲獲勝后，因?yàn)槠渌露袛嗔吮荣?，則甲應(yīng)得____元獎金才公平.

【答案】1750

【詳解】因?yàn)樵撐寰秩齽俚谋荣惷烤謨扇双@勝的可能性相同，

所以在前兩局甲獲勝后，甲獲勝的概率為1-仕］=-,甲應(yīng)得2000x1=1750元.

故答案為：1750.

12.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取，并測

零件的直徑尺寸，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件直徑尺寸

無（5）服從正態(tài)分布N（18,4）,若x落在［20,22］內(nèi)的零件個數(shù)為2718,則可估計(jì)所抽取的這

批零件中直徑尤高于22的個數(shù)大約為.（附：若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布

N.,吟,則尸（"一遇聽"+。卜0.6827,尸（〃一2庶史〃+2b）=0.9545,

P（〃-3庶無〃+3b）。0.9973.）

【答案】455

【詳解】解：由正態(tài)分布N（18,4）可知：〃=18,cr=2,.?.〃+b=20,〃+2b=22,

P（20<x<22）=0.9545-0.6827=01359,叩222）=上竽至=0.02275,

直徑x高于22的個數(shù)大約為2718+0.1359x0.02275=455.

故答案為：455

四、解答題

13.某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過三個獨(dú)立項(xiàng)目4民C的測試，如果通過兩個或

三個項(xiàng)目的測試即可被錄用.若甲、乙、丙三人通過A叢C每個項(xiàng)目測試的概率都是

（1）求甲被錄用的概率；

⑵設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為X,求X的分布列.

【答案】⑴二⑵分布列見解析

【詳解】(I)由題意得甲通過兩個項(xiàng)目測試的概率為U=g,

通過三個項(xiàng)目測試的概率為］：=，■,

AQOf)

所以甲被錄用的概率為八+2=9.

92727

20

(2)由(1)得每個人被錄用的概率為二，X的所有可能取值為0,1,2,3,

343

所以P(X=0)=

-19683

980

-6561

2800

6561

8000

P(X=3)=

19683

所以X的分布列為:

X0123

34398028008000

P

196836561656119683

14.為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

未發(fā)病發(fā)病合計(jì)

未注射疫苗20XA

注射疫苗30yB

合計(jì)5050100

2

現(xiàn)從所有試驗(yàn)動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物的概率為.

(1)求2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)X,y,A,8的值；

(2)能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效？

2

P(K<K0]0.050.010.0050.001

K。3.8416.6357.87910.828

n(ad-6c)-

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

【答案】⑴>=10,B=40,x=40,A=60

(2)有99.9%的把握認(rèn)為疫苗有效

(1)

設(shè)“從所有試驗(yàn)動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物”為事件A,由已知得

P(A)=^2=|,所以y=10,代入可得3=40,x=40,A=60.

(2)

,100(20x10-30x40?100000050

K2=_________________J=--------------=——?lo.o7>10.828.

=50x50x40x6050x20x603

所以有99.9%的把握認(rèn)為疫苗有效.

15.5G技術(shù)對社會和國家十分重要.從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機(jī)革命、

電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命.為了解行業(yè)發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)研機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某公

司五年時間里在通信5G技術(shù)上的研發(fā)投入X(億元)與收益y(億元)的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：

研發(fā)投入X(億元)12345

收益y(億元)4556646872

(1)利用相關(guān)系數(shù)r說明是否可以用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系(當(dāng)卜怛［0.75』時，可以

認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性)；

(2)求y關(guān)于尤的線性回歸方程.

參考數(shù)據(jù)：工皮廠方=460,￡卜,-城％-司=66,746?6.78.

1=1Z=1'

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=1——力-------7,線性回歸方程R+&中，

i=li=\

^x.y.-nxy^(x,._

5=號-----h='——二一，a=^-bx,其中，工為樣本平均值.

￡("x)

z=li=l

【答案】⑴答案見解析⑵R6.6x+4L2

(1)

1+2+3+4+5-45+56+64+68+72「

由表中數(shù)據(jù)可得％==3,y=-------------z-------------=61,

5

555

.??2（%一?。?=10,又￡（%一切2=460,2（%一君（%-汾=66,

?=1i=l1=1

5

Z（%-元）（-一9）

?r=I-=―X0.97>0.75

S下710V46

樞（—）Z（—）

Vz=li=l

???y與尤兩個變量高度相關(guān)，可以用線性回歸模型擬合.

（2）

5

-初%-歹）

人OO

由表中數(shù)據(jù)可得6=上％-----------=—=6.6,

MFW

1=1

貝!J6=y-標(biāo)=61—6.6x3=41.2,

$=6.6%+41.2,

故y關(guān)于X的線性回歸方程為y=6.6X+41.2.

【能力提升】

一、單選題

1.為落實(shí)疫情防控“動態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應(yīng)對奧密克戎變異株傳播風(fēng)險(xiǎn)，

確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測.已知該

企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨(dú)立、隨機(jī)的從中抽取3名工人參加核酸檢測.設(shè)

該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有片名不同的工人被抽中，下列結(jié)論不正確的是（）

A.該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為:

4

B.尸仔=3）（尸0=6）

3

C.該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為T

4

D.P（J=4）=*=5）

【答案】B

【詳解】依題意每次抽取，工人甲被抽到的概率P==所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次

的概率為=；,故A正確；

依題意J的可能取值為3、4、5、6,則4=3,意味著第一次從6人中選中的3人，第二次仍然

C311

為這3人，則尸（X）寶C，

C3C3i

同理可得：Pq=6)=消?涓=K，所以P(J=3)=尸(J=6),故B錯誤；

對于C,工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率為=；,

所以工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為I-1-g)=|,故c正確；

4=4,意味著第一次先從6人中選中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人

中的2人，另外一人從沒有抽到的3人中抽取，

C3c2clQ

故概率為：%=4)=皆?巖卷，

C3Q

同理可得：尸偌=5)=者背=此

所以尸(4=4)=/0=5),故D正確.

故選：B.

2.甲、乙兩人弈棋，根據(jù)以往總共20次的對弈記錄，甲取勝10次，乙取勝10次.兩人進(jìn)行

一場五局三勝的比賽，最終勝者贏得200元獎金.第一局、第二局比賽都是甲勝，現(xiàn)在比賽

因意外中止.鑒于公平，獎金應(yīng)該分給甲()

A.100元B.150元C.175元D.200元

【答案】c

【詳解】依題意知：甲乙勝負(fù)的概率都是g,假設(shè)比賽繼續(xù)，甲只需三場中贏得一場即獲得

全額獎金，

甲獲勝的概率尸=1—(1一1]--,.-.200x2=175(元)

\2)88

故選：C

3.一個籠子里關(guān)著7只貓，其中有3只黑貓、4只白貓.到了給貓喂食時間時，把籠子打開一

個小口，使得每次只能鉆出1只貓.貓爭先恐后地往外鉆，如果7只貓都鉆出了籠子，事件4

表示“第左只出籠的貓是黑貓"，左=1,2,…,7,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.P(AA)=1B.尸(4+4)4

C.p⑷A)=：D.P(Al&)=:

【答案】B

A1A6Q

【詳解】由題意，可得P(A*)=U7A=亍，

2/

對于A中，事件A，4表示第1,2只出籠的貓都是黑貓，

A2A51

則P（A4）=三寸=亍，所以A正確；

Aq7

對于B中，事件4+4表示第1只或第2只出籠的貓是黑貓，

3315

則?（A+4）=尸（4）+尸（4）—尸（44）=,+,—,=,，所以B不正確;

對于c中，尸（于聞=或y=-=g,所以c正確；

7

對于D中，表示第5只和第2只貓時黑貓，

1

可得P（A4）=一3二=亍，所以P（A14）=所以D正確，

A]7尸（&）士3

7

故選：B

4.甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃暑假從物理、化學(xué)、生物三個學(xué)科中各自任意選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，

每人選擇各個科目的概率為g,且每人選擇相互獨(dú)立，則至少有兩人選擇物理的前提下甲同

學(xué)選擇物理的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3677

【答案】D

【詳解】記事件A為“至少有兩人選擇物理”，事件B為“甲同學(xué)選擇物理”，則

尸⑷=哨|+山「（叫=37X酒+砥圖喙

5

7

故選：D

5.在乒乓球的一局比賽中，先得n分的一方為勝方，10平后，先得2分的一方為勝方.甲

7

乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，在每一個回合的比賽中，甲得1分的概率為:，現(xiàn)在決勝局比賽中,

甲、乙的比分暫時為9:9,則最終甲以13:11贏得比賽的概率為（）

A64n32c64c32

A?——~B.-----C-------D?------

243243729729

【答案】C

【詳解】由題意可得，甲、乙的比分暫時為9:9后，其后比分為10:10,11:11,13:11

則甲、乙的比分暫時為9:9后，甲乙又進(jìn)行了6場比賽，每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立,

前2場甲一勝一負(fù)，中間2場甲一勝一負(fù)，最后2場甲連勝.

則甲、乙的比分暫時為9:9后，最終甲以13:11贏得比賽的概率為

故選：C

二、填