解三角形與三角函數(shù)綜合類問題（典型例題+練習(xí)）-2023年高考數(shù)學(xué)（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題07解三角形與三角函數(shù)綜合類問題

目錄一覽

一、梳理必備知識(shí)

二、基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)

三、典型例題講解

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

六、高考真題銜接

一、梳理必備知識(shí)

1.正弦定理

-^~=-^-=-^=2R.（其中火為A4BC外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

OQ=27?sinA,h-27?sinB,c=27?sinC;（邊化角）

<=>SinA=-^-,sin3=2,Sine=，-;（角化邊）

2R2R2R

2,余弦定理：

722

b1-+c”-CT

cosA=

2hca2=Z72÷c2-2∕?CCOSA,

4+c2一〃2

<cosB-<h2=a1+c2-2QCCOSB,

2ac

c2=O2+h2-2abcosC.

a2+b2-c2

cosC=

2ab

3?三角形面積公式:

SAABC=^absinC=-^bcsinA=^acsinB=^（α+h+c）r（r為三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）

4.三角形內(nèi)角和定理：

有一工一萬一

在AABC中，A+8+C=;T=C=4(A+8)0C=^^o2C=22(A+5).

222

5.二倍角的正弦、余弦、正切公式

①sin2α=2sinαcosα

②cos2cr=cos2a-sin2a=2cos2a-?=l-2sin2a

，+cos2a=2cos2a

升幕公式：

-cos2a=2sin2a

?osa=^(l+cos26z)

降幕公式：■

dn2a=1(1-cos2a)

?tana

③tan2α=——

l-t.ιn2a

6.

asinx±bcosx=y∣a2+Z?2sin(x±φ)，(其中tan。=,)；

輔助角公式

_______________________________求/(x)=ASinoX+e)+3解析式_______________________________

A8求法

A+B=/(x)mqx

方法一：代數(shù)法,.DΓZ7方法二：讀圖法B表示平衡位置；A表示

[-A+B=f(x)πia

振幅____________________________________

。求法r)τr

方法一：圖中讀出周期T,利用T=/求解；

ω

方法二：若無法讀出周期，使用特殊點(diǎn)代入解析式但需注意根據(jù)具體題意取舍

______________________________________________________________________________________________________

。求法方法一：將最高(低)點(diǎn)代入/(x)=ASin(ox+9)+B求解；

方法二：若無最高(低)點(diǎn)，可使用其他特殊點(diǎn)代入/(x)=ASin(OX+/+B求解；

______________________但需注意根據(jù)具體題意取舍答案.______________________

【常用結(jié)論】

①在ΔΛBC中，a>Z?OSinA>sin8oA>3;

②sin24=sin2B,則A=B則+8=工.

2

③在三角函數(shù)中，SinA>sin3oA>3不成立。但在三角形中，SinA>sin3oA>B成立

二、基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)

一、單選題

1.函數(shù)"x)=CoSQx的最小正周期是()

7171

A.24B.萬C.—D.一

24

【答案】C

【分析】由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求/(x)=gcos4x+g,進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式即可求

解.

【詳解】解：./'(%)=COS2Ix=1+cθs4x=1cos4x+?,

可得f(x)的最小正周期T=4L=]?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的周期公式，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知αe(θ,^tan2—=Coscr,則CoSa=()

2

A.如√5-l

B.5/2-1C?2-?χ∕2D.

22

【答案】B

【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、降次公式求得正確答案.

【詳解】依題意αe(θ,?,tan費(fèi)=CoSα,

.?al-cosa

sm--

I-CoSa

所以2.2----------=cosa,

2a1+cosal+cosa

COS

22

cos2cr÷2coscr-l=O>解得COSa=V^-1，負(fù)根舍去.

故選：B

05

3.已知sinO+2cos2-=-，則sin26=()

24

15n153

A.-----B.—D.

16164

【答案】A

【分析】先利用降塞公式，再利用二倍角公式化簡即得解.

nc51

【詳解】由已知sinO+2cos2—=—,化簡得Sine+l+cos6=-,.?.sin6+cos6=-?

2444

平方得l+sin26=J,所以Sin20=-∣∣?

Io16

故選：A.

XX

4.函數(shù)…7叼的最大值為()

A.1B.√2C.2D.2√2

【答案】B

Xπ

【分析】由兩角和的正弦公式得y=J5sin-÷-,由三角函數(shù)的有界性得到結(jié)果.

44

Xπ

【詳解】y=sin>吟=缶in—+—

44

Xπ

因?yàn)門≤sin—+—≤1,

44

所以

≤V2sin^+^≤√2,

所以函數(shù)y=s%+c若的最大值為0,

故選B.

5.已知函數(shù)/(x)=6sin2x—cos2x,貝IJ()

A./(x)在(4,0)單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線X=F對稱

B./(x)在(-/。)單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線T對稱

C./(X)在[-仁,0)單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線X=弓對稱

D./(x)在(4,0)單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線Y對稱

【答案】B

【分析】化簡/(x)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性確定正確答案.

【詳解】f(x)=GSin2x-cos2x=2sin(2x-看),

由于—J<x<0,-[<2x-所以"x)在(-gθ)單調(diào)遞增，

6266\O√

∕W=2sinJ=l≠±2,所以/(x)不關(guān)于直線X=?對稱.

?O√OO

/W=2sin^=2,所以/(x)關(guān)于直線Y對稱.

故選：B

6.6知函數(shù)∕?(x)=si∏2χ-cos2χ+'Sin2x,XWR,則下列判斷不氐曬的是()

A.-2<∕(x)≤2

B.7(x)在區(qū)間(0,兀)上只有1個(gè)零點(diǎn)

C.F(X)的最小正周期為兀

D.直線X=W為函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸

【答案】B

【分析】利用二倍角公式和輔助角公式變形函數(shù)式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)逐一判斷各選項(xiàng)作答.

【詳解】由題意，f{x}=>∕3sin2x-cos2x=2sin(2x--),

6

對于A,因?yàn)?l≤sin(2x=)≤l,貝lj-242sin(2xq)≤2,即—2≤∕(x)≤2,A正確；

對于B,由/(x)=0得2x0=E,Z∈Z,即X="+三,ZeZ,滿足Xe(O,π)的有三,二，B錯(cuò)誤；

62121212

對于C,“X)的最小正周期為亨=兀，C正確；

對于D,當(dāng)X=?時(shí)，2x4=1，貝廿(少=2,因此X=F是/(x)圖象的一條對稱軸，D正確.

3623?

故選：B

7.若將函數(shù)/(x)的圖象先向左平移g個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的縱坐標(biāo)不變，

6z

得到函數(shù)g(x)=sin(2x+?)的圖象，則()

A./(x)=SinXB./(x)=Sin(X+看)

C./(尤)=Sin(4x+g)D./(x)=Sin(4x+rJ

【答案】B

【分析】/")可看作g(x)反向變換而成.

【詳解】由已知得，/(X)可看作g(x)先將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖

象向右平移B個(gè)單位，

0

則有/(x)=sin[(xq)+g=Sin(X+?).

故選：B

8.將函數(shù)y=Sinx的圖象向右平移g個(gè)長度單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐

標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=√(χ)的圖象，則/(x)的解析式為()

C.cosfiχ÷D.cosflχ-?

（26）（26J

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換以及誘導(dǎo)公式求得正確答案.

【詳解】函數(shù)N=Sinr的圖象向右平移y個(gè)長度單位得到y(tǒng)=sin

再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=sin(；X-S

故選：D

二、填空題

9.函數(shù)y=Cos2X-Sin2X的最小正周期等于.

【答案】兀

【分析】利用降塞公式整理化簡，再由三角函數(shù)的最小正周期T=二求得答案.

ω

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)=cos2X-Sin2X=cos2x-匕等Ξ=∣cos2x-l,故最小正周期等于兀.

故答案為：兀

【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)的最小正周期，屬于基礎(chǔ)題.

10.函數(shù)y=sin(x+1)-sinx(化成Asin(α+e)的形式，且A>0).

3型】v-s?nf?+

【含柒】?-sinX+--

??)

【分析】先利用和的正弦公式展開，再利用輔助角公式化簡可得.

【詳解】y=sin(x+y)-sinx=sinxcos?+cosXSino-Sinx

1√3?√3_-(2萬1

=—sinx+——cosx-sinx=——Sinx+——CoSX=SlnXH------.

2222Ik3J

<2乃I

故答案為：y=sinx÷-yj.

11.已知函數(shù)/(x)=Sine+x)Sine-X)給出下列四個(gè)結(jié)論:

44

①Zu)的值域是［-1,1］；

TT

②∕ω在［0,或上單調(diào)遞減：

③/W是周期為兀的周期函數(shù)

④將/V)的圖象向左平移5個(gè)單位長度后，可得一個(gè)奇函數(shù)的圖象

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【詳解】/(x)=sin(∕+x)sin(∕-x)

44

=(?cosX+?sinχ)(~~CoSx-?sinx)=gcos2?-?sin2x=；cos2x

所以7(x)的值域?yàn)?故①錯(cuò)誤；

JT

令2E≤2x≤π+2E,A∈Z,.?.?π≤x≤—+kπ.k∈Z

2

當(dāng)Z=O時(shí)，/(X)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為[0,自，故②正確；

/(X)的周期7=?=兀，故③正確

ω

Ax)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為

TrlτrI

g(x)=f(x+-)=-cos[2(x+-)]=--cos2x,是偶函數(shù)，故④錯(cuò)誤.故答案為：②?

12.己知函數(shù)/(x)=2cos(a)x+0)(。>0,|同<5)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/(x)圖象上所有的點(diǎn)向

左平移/個(gè)單位長度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得函數(shù)圖象的解

析式為.

【分析】根據(jù)圖象求得“x)=2cos(2x-f,將函數(shù)/(x)圖象上所有的點(diǎn)向左平移已個(gè)單位長度，得

y=2cos(2卜+總用=2cos2x,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得

y=2cosx,即可解決.

【詳解】由題知，函數(shù)/(x)=2cos(s+e)(ω>o,H<^)的部分圖象如圖所示，

I冗Trjr

所以V=hIΓ"即T=兀，所以0=2,

所以〃x)=2CoS(2x+e),

因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)后,2),所以/(目=2CoS+,=2,所以>g=0+2E,keZ,

因?yàn)閼?lt;?，所以0=-f?,所以f(x)=2cos卜x-1],

26V?/

將函數(shù)”力圖象上所有的點(diǎn)向左平移5個(gè)單位長度，得y=2cos(2(x+圖-T=2cos2x,

再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得y=2cosx,

所以所得函數(shù)圖象的解析式為y=2cosx,故答案為：y=2cosx

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

1.已知函數(shù)f(?)=2Λ∕3sinXCOSX-2COS2X.

(I)求函數(shù)y=iog2/(?)的定義域和值域；

(2)已知銳角/BC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若/[^)=0,求等的最大值.

【答案】⑴尋既武+可北心(-w,0]

(2)2

【分析】(D先化簡f*),然后利用真數(shù)大于O可得sin(2x-[)>；,即可求出定義域，繼而求出值域；

(2)先利用(1)可得A=J,結(jié)合銳角三角形可得￡<8<[,然后利用正弦定理進(jìn)行邊變角即可求出答案

3O2

【詳解】(1)f(x)=2>/3sinxcosx-2cos2x=?/?sin2x-cos2x-l=2sin^2x-^-l,

所以要使y=log2∕(X>=log22sinf2x-^-l有意義，

只需2sin(2x-^)-l>0,即sin(2x.)>g,

所以2+2kπ<2x--<—+2kπ,k∈Z,解得-Λ-kπ<x<-+kπ,k∈Z

66662

所以函數(shù)y=Iog2/(χ)的定義域?yàn)樽?也,尹也卜∈Z,

?≠0<2sin∣2x+^?Vl≤l,所以log?/(x)4log21=O,

所以函數(shù)N=Iog2/(χ)的值域?yàn)?-∞,o];

(2)由于/圖=2Sin(A司7=0,所以Sin(Y)=；,

因?yàn)镺<A<g,所以一所以A-F=B即4=弓,

266366?

0<B<-

由銳角ABC可得?,所以m<B<g,

__2π_π62

0<C=------B<一

32

,--^-Zb+csinB+sinC2「.力.(π_A

由正T弦H定LTT理ΠJ可Γ得B---=------=-f=sιnB+sm-+B

aSinA√313J

+

-sinB+-cosB=χ∣3sinB+cosB=2sinf~

22

因?yàn)間<B<],所以[<B+]<亭,所以√5<比≤2,

62363a

所以"的最大值為2.

a

2.已知函數(shù)/(x)=GSin(E+?sin(--x)+sinxcosx.

44

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

Ajr

(2)在ABC中，若/(5-丘)=1,求SinB+SinC的最大值.

【答案】⑴兀；

⑵但

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)，(X),再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出周期作答.

(2)由(D中函數(shù)式求出A,再利用差角的正弦公式、輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.

【詳解】(1)依題意，/(x)=?/?sin(-+?)sin∣--(―+%)]+?sin2Λ=√,3sin(-+x)cos(-+x)+?sin2x

4242442

=~sin(-+2Λ)+?sin2x=?sin2x+—cos2x=sin(2x+—),

222223

所以函數(shù)f(x)的周期為T=E=兀.

(2)由(1)知，/(A-S)=Sin[2?-冬+勺=Sin(A+當(dāng)=1,

2122123O

在.ABC中，OVAV兀，有g(shù)<A+B<?,于是A+g=g,解得A=g,則8+C=§,

6666233

sinB+sinC=sinB÷sin(-?-B)=sinB+?eosB+?^sinB=→inB+?eosB=?f3Sin(B+E),

顯然0v8v§,g<B+B<學(xué)，因此當(dāng)8+2=9BPB=?,(si∏β÷sinC)max=√3,

?666623

所以sinB+sinC的最大值為G.

3.已知函數(shù)F(X)=ACoS(OX+9)(A>0,ω>0,O<φ<π)的部分圖象如圖所示.

(1)求/(x)的解析式以及單調(diào)遞增區(qū)間；

?兀

(2)將/(χ)的圖象向右平移:個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的T倍，縱坐標(biāo)不變,

得到函數(shù)g(x)的圖象，若關(guān)于X的方程g(x)=。在(丁，孚]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

_OO

【答案】⑴/(X)=Zcos^x+：),遞增區(qū)間為4k-∣,4"g,keZ

(2)(-2,√2)

【分析】(1)根據(jù)圖象得到函數(shù)中A=2,最小正周期，進(jìn)而得到。=1，再代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出O=%

得到解析式及遞增區(qū)間；

(2)得到平移后的解析式g(x)=2cos(x+方｝轉(zhuǎn)化為丫=。與y=g(x)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)

合函數(shù)g(x)的單調(diào)性，且4[=8甘)=&,｛裔=一2,得到a的取值范圍.

【詳解】(D設(shè)/S)的最小正周期為T.

由題圖得A=2,T=2x[[-；)=4,

因?yàn)榍校?,所以竺=4,解得0=[?

ω2

TT

所以f(x)=2cos(-x+<o),

即(|,-2)代入解析式得：/圖=2cos《+-=-2,

將r—

結(jié)合圖象可：+。=兀+2E,ZeZ,

4

φ=-+2kπ9kwZ,又OVeV元，Λφ=^~.Λ/(x)=2cos∣→+y

44124

JTTT?I

,

?φ2Λπ—τr≤-x÷-≤2.kjtfZeZ,解得4Z—]≤x≤4k-5,ZeZ,

.?./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為4?-∣,4?-∣,ZeZ.

(2)將/S)的圖象向右平移!單位長度得到y(tǒng)=2cos[gjx-j]+}]=2CoSjlX+弓]的圖象,

4[_214)4J<28)

再將y=2cos(gx+g]圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的g倍(縱坐標(biāo)不變)，

"W2

得到函數(shù)g(x)=2cos的圖象.

V方程g(x)=a在上有兩個(gè)不等實(shí)根，y="與y=g(x)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

函數(shù)g(x)在∣,y上單調(diào)遞減，在?,?上單調(diào)遞增,

且g({Hθ卜日{(diào)篇2

??—2<"≤V2，

即a的取值范圍是(-2,√Σ).

4.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+9)(其中。>0,闞<5)的圖像與X軸交于A、8兩點(diǎn)、A、8兩點(diǎn)間的最短距

離為%且直線x=γ∣是函數(shù)y=/(x)圖像的一條對稱軸.

(1)求F(X)的解析式.

⑵若函數(shù)y=∕(x)-加在T。，,內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【答案】⑴f(x)=sin(2x+')

r√3√ηf1l

(2)me-于W{1}

./

【分析】(1)根據(jù)周期以及對稱軸即可求解。=2和夕=]，

(2)根據(jù)只有一個(gè)交點(diǎn)即可利用函數(shù)圖象求解.

【詳解】⑴由題知A,B兩點(diǎn)間的最短距離為(所以;丁后門二，所以°=2直線X弋是函數(shù)y"(χ)

圖像的一條對稱軸，所以2x]+9=AE(keZ)φ=→kτt(keZ),又因?yàn)橥?，所以展方所?/p>

〃x)=sin(2x+g)

(2)因?yàn)楹瘮?shù).y=〃x)-，〃在Xe[θ,?∣]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以/(x)-m=0在XdOq范圍只有一個(gè)實(shí)

根，即函數(shù)y=sin(2x+：]在Xe0,1的圖像在與直線V="?只有一個(gè)交點(diǎn)，

?X=0,?=sin—=—,?x=-,y=sinfπ+-‰--,

322I?j2

結(jié)合函數(shù)圖象可知：函數(shù)y=sin(2x+]J在xe]θ,∣∣的圖像在與直線V="?只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),

一、解答題

1.(2022?湖南永州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)〃X)=ASin(S+0)(A>0M>0,∣0∣<l)的部分圖象如圖所示.

⑴求/(χ);

⑵將函數(shù)y="χ)圖象向左平移工個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(χ)的圖象，求g(χ)在0,y上的最小值.

【答案】(l)”x)=2Sin(2X+￡|

⑵[T,2]

【分析】(1)由圖象可得A、T,則可得。，再將點(diǎn)(5,2]代入解析式中可求出。的值，從而可求得函數(shù)"x)

的解析式；

(2)先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出g(x),再由X的范圍得cos2x的范圍，可得答案.

【詳解】⑴由最大值可確定A=2,因?yàn)門=5='，所以。=爺=2，

此時(shí)/(x)=2sin(2x+e),代入最高點(diǎn)信,2),可得：sinQ+e)=1,

從而m+e=g+2A?(keZ),結(jié)合網(wǎng)＜1，于是當(dāng)&=0時(shí)，φ=j,

6223

所以/(x)=2sin(2x+5).

(2)由題意，g(x)=∕(x+曰=2Sin[1+曰+號(hào)=2sin(2x+/)=2cos2x,

^"J「17"IΓ1

當(dāng)Xeθ,?時(shí)，2xe0,?，則有8$2》€(wěn)卜],1,

所以g(x)在區(qū)間0,y上的值域?yàn)閇T,2].

2.(2022.河南?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)f(x)=Acos(g+S)(A＞0,。＞0,網(wǎng)磴的部分圖像如圖所示.

(I)求函數(shù)f(χ)的解析式;

(H)在ΔAfiC中，角AB,C的對邊分別是“也c',若(2a-&卜os8=G?cosC,求SinC的取值范

圍.

【答案】(I)”x)=2cos(2x_?)；(∏)(0,3].

【分析】(I)利用函數(shù)的圖象，求出A,通過函數(shù)的周期求出明通過函數(shù)的圖象經(jīng)過(J，2),求出<(>,

6

即可解出函數(shù)f(X)的解析式；

(H)利用(2。一丹CoSB=√?cosC,結(jié)合正弦定理，求出CoSB,利用函數(shù)的解析式求/圖+SinC的表

達(dá)式，通過A的范圍求出函數(shù)的取值范圍.

【詳解】(I)由圖像知，A=2,T=2^--^=π,.?ω=≥=2,

由圖像可知，/仁)=2,Λ2cos(2x.+e)=2,；.COS(O+夕)=?'

.?+φ=2kπ,又丁倒<],=：./(x)=2cos^2x-y^.

(∏)依題設(shè),[2a-?∣3cjcosB=yfibcosC,.?.(2sinA一GSinc?cosB=GSin3cosC,

即2sinAcos8=?/?(sinBcosC+cosBsinC)=GSin(JB+C)=石SinA,

：,CGSB=與,又B∈(0,τr),??.B=?.JA+C=

由(I)知，/(?)+SinC=2cos(A—q[+SinC=COSA+T‰inA+sin(葛一人]

=cosA+V3sinA+—cosA+sinA=3sinfA+工),

22I6)

又?.?Ae(θ,1)，.?.A+會(huì)你，,Λsin^A+^∈(0,l],

.?./(￡]+SinC的取值范圍是(0,3].

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解析式的求法，正弦定理、輔助角公式的化簡應(yīng)用，屬于中檔題.

3.(2022?陜西安康?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=ASin(0x+9)+44>O,0>O,∣夕|苦)的部分圖象如圖所示.

(2)將函數(shù)y=/(x)圖象上所有的點(diǎn)向右平移;個(gè)單位長度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

4

^I3-

倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(χ)的圖象.當(dāng)XW0,七π時(shí)，方程g(x)-。=。恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

O_

xl,x2,x3(xl<x2<x3),求實(shí)數(shù)。的取值范圍以及x∣+2々+W的值.

【答案】(l)f(x)=2sin(2x+g)+3(2)Λ∈[2,3],玉+2々+毛=野

【分析】(1)由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出A=2,B=3,得到最小正周期，求出。=午2兀=2,再

代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，求出e=W,得到函數(shù)解析式；

(2)先根據(jù)平移變換和伸縮變換得到g(x)=2sin1-外+3,令f=χ-gJ-g,2π],換元后利用整體法求

kθ√6L6」

出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，得到αw[2,3],再根據(jù)對稱性得到…2=2χJ]r=M+G=2x三3Jr=3兀，相加后得

至5用+212司+13-￡|=4兀，求出答案.

(A+β=55-15+1

【詳解】(1)由圖示得：λU解得：4=彳=2,3=干=3,

[-Λ÷β=l22

又m=二兀一1兀=三，所以T=兀，所以0=M=2,所以/(x)=2sin(2x+e)+3.

212122T

又因?yàn)閒(x)過點(diǎn)信,5),所以5=2Sin(2*+,+3,即SinC+φ)=l,

TTTT..TT

所以一+0=—+2E,女EZ,解得。=—+2E,&￡Z,

623

又∣S∣<^,所以9=鼻，所以/(x)=2sin∣2x+∣j+3.

(2)y=/(X)圖象上所有的點(diǎn)向右平移:個(gè)單位長度，得到/(X)=2sinp(x用+g+3=2可2萬4)+3,

將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，得到g(x)=2sin(x-e)+3,

ππ_

當(dāng)XG0,—時(shí)，?--e--,2π

6oL?

aπ兀C貝∣(

令t=X——∈——，2兀9j2sin[x—J+3=2sin1+3,

6L6

U-得上單調(diào)遞增，在H碧]上單調(diào)遞減,

令人(f)=2sinf+3,石

在小(當(dāng)，2兀上單調(diào)遞增，

且O2可用+3=2碓)=2S嗚+3=5,

/?(1)=2si∏y+3=l,Λ(2π)=2sin2π+3=3,

^13π^

所以αe[2,3]時(shí)，.當(dāng)Xe0,—時(shí)，方程g(x)-“=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

_O_

因?yàn)椤á?α=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根44，，3&氣</3)，且八也關(guān)于對稱，GG關(guān)于/=與對稱，

3兀

貝U/1+，2=2X5=兀/+A=2x5=3兀,兩b式相力口得：6+2,2+，3=4兀，

即(XI-S')+2(^2-^)+(^3-/)=4^,所以玉+2Λ2+x3

4.(2022?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=ASin(5+⑼+A>0,0>0,|夕∣<j`j的部分

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

^137一

倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.當(dāng)Xe0>—時(shí)，方程g(x)-α=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

O

求實(shí)數(shù)的取值范圍和∣的值.

XI,Λ2,X,(ΛI(xiàn)<X2<Λ?),aX+2j?+X3

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+(J+3

⑵14,3+8],xl+2X2+x3=??-

【分析】(1)根據(jù)圖示，即可確定A和8的值，再由周期確定。，最后將點(diǎn)(看,5)帶入f(x);即可求出答

案.

(2)先根據(jù)題意寫出y=g(x),再根據(jù)X的取值范圍求出X+E的取值范圍.即可根據(jù)y=sinX的對稱性求出

O

%+X,與芻+X3的值.即可求出答案.

(1)解：由圖示得：A=U=2,B=早=3,

又三T:三l兀一1不兀;π三，所以7=%，所以0=29π=2,所以/(x)=2sin(2x+e)+3,

212122T

又因?yàn)镕(X)過點(diǎn)?5所以5=2sin2x^+e+3,即Sin(D=I

所以m+e=g+2k%,zez,解得s=g+2br,&wZ,又|夕|<］，所以⑺=1

o2323

所以/(x)=2Sin(2x+91+3；

(2)解：由已知得g(x)=2sin(x+御+3,

_.?.(TT??_.C

、“c13;T-Lππ1πAπK71π

當(dāng)XE0,——時(shí)，-V+—∈一,—,令∕=x+^6€—,—,貝∣j2SinlXH—∣+3=2sin∕+3,

00663力63I66√

令〃?)=2sinf+3,則

∕z?)=2siq+3=4,力圖=2siq+3=5,h3π3萬lπ

=2sin-+3=1,h2sin^y+3=3+√3,

2

所以何4,3+句,

因?yàn)椤?r)-α=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根r∣∕2,4U<4)，貝壯+4=2xj∣=不小=2萬+八，

所以％+2芍+4=4%，即卜+小+202+看)+(覆+"=4%，

所以占+2々+彳3=等.

5.(2022?浙江紹興?紹興一中模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=SinrCoS(X+J

⑴求函數(shù)/U)的最小正周期和對稱中心；

5TT

(2)若Xe0,[,方程/O)r"=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

O

【答案】⑴最小正周期乃，對稱中心為(券,丘Z

⑵Se(UU0,l}

【分析】(1)先將/(x)通過和差、二倍角公式、輔助角公式化簡，再套用周期和對稱中心的公式即可.

(2)結(jié)合正弦函數(shù)的圖像即可求得答案.

/、，/、.(乃、?(G1.√31z\

(1)/(?)=s?nX?cosJ=sinA-cos?--sin?J=-^-sin2x--(l-cos2x)

y∣31Il?(c吟1

=—sin2x+-cos2x——=-sιn^x+~Σ-7

4442∣k6；4

_2π

所以，最小正周期丁=阿="，

由2x+工=左萬，得X=包一巴

6212

所以，對稱中心為(冷-吉，￡Z.

,、、rC54??.-Tt711?τr

(2)m因?yàn)閄Eθ,-,r所r以l2冗+/《~Σy~Z~,

6666

∏^46

由正弦曲線可得“0,；)?

6.(2022.四川綿陽?鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/OTWox+sinwcoss-*(。>0)的最小

正周期為打.

(I)求函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若/(x)>日，求X取值的集合.

JT!JT

【答案】(D函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為-÷^-+,Λ∈Z;(2)X取值的集合為

π.5乃，7

〈X-------FK7C<X<Fkzττ、Z∈Z〉.

[2424J

【詳解】試題分析：(I)根據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式化簡

/(?)=Sid2s+竄，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式[+2壯≤2x+[≤葺+2值即可求得函數(shù)/(x)的

單調(diào)遞減區(qū)間；(II)/(x)>^.即sin(2x+5]>乎，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得

TTπ3ττ

-+2kπ<2x+-<τ+2kπ,kez,化簡后，寫成集合形式即可.

_、1.c-Js

試題解析：(I)/(x)=gcos%x+sin5cosGX1+cos2ωx+—sιn2ωx----

722

-cos2^x+^sin26υjc=sinf2ωx+^-?,

22I3J

因?yàn)橹芷跒楦餝所以0=1,故〃加"2X+3

πTTATrTr7TT

由一+2Zττ≤2x+-≤2—+2kπ,keZ,得--vkπ<x≤----??kτι,kGZ,

2321212

n7?r

函數(shù)”X)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+kπ,-+kπ,kwZ,

(U)f(x)>號(hào)即Sin,+升等，

由正弦函數(shù)得性質(zhì)得勺+2?<2x+-<-+2kπ,?∈Z,

434

解得--+2kπ<2x<—+2kπ,所以一--+kπ<x<—+kπ,k≡Z

12122424f

則X取值的集合為k---jt-kπ<x<—+kπ,k∈zl.

[2424J

7.(2022?陜西寶雞?寶雞中學(xué)?？寄M預(yù)測)己知/(x)=GSin(τ+0x>sin]∣jτ-(yχ)—cos?<υx(<υ>0)的最

小正周期為T=亓.

⑴求與卜勺值;

(2)在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別是為“，b,。，若(2。-C)COS8=bcosC,求角B的大小以及/(A)

的取值范圍.

【答案】⑴y；(2)B=y,∕(Λ)∈[-l,∣.

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)三角恒等變換的公式，得/(x)=sin(2wx-g)-L根據(jù)周期，得w=l,即

O2

F(X)=Sin(2x-J)-g,即可求解/(")的值；

O23

1冗

(2)根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(2α-c)CoSB=ACosC,可得cosB=^,可得B=g,進(jìn)

而求得SinbA-1],即可求解/(A)的取值范圍.

試題解析:

-COS269X=?∕3sin69xcosωx-cos26?x

=s?n2ωx-?cos2s-?=Sin[2ωx?,由函數(shù)/(x)的最小正周期為T=%，即I^="，得。=1,

(2)V(2tz-c)COsB=bcosC,二由正弦定理可得(2SinA-Sinc)COS5=SinBCoSC,：?

1π

2sinAcosB=SirLBtoSC+cosBSinC=sin(β÷C)=sinA.VsinA>O,ΛcosB=-.Vβ∈(0,Λ-),B=y.V

A+C=π-B=^π,：.Ae^0,∣^?^,2A-會(huì)(一親子J,Λsin