級(jí)數(shù)的收斂性

級(jí)數(shù)的收斂性第1頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月§1級(jí)數(shù)的收斂性第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第2頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、問題的提出第3頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月1.無窮級(jí)數(shù)的定義設(shè)有數(shù)列{un}:u1,u2,…,un,…,則稱表達(dá)示為一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù).其中，un稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).無窮級(jí)數(shù)的概念第4頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若級(jí)數(shù)的每一個(gè)項(xiàng)un均為常數(shù)，則稱該級(jí)數(shù)為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均為同一個(gè)變量的函數(shù)un=un(x),則稱級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).第5頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

下列各式均為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第6頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

下列各式均為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第7頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月2.級(jí)數(shù)的斂散性定義無窮級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和：稱為級(jí)數(shù)的部分和.若存在，則稱級(jí)數(shù)收斂，S稱為級(jí)數(shù)的和：第8頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若不存在(包括為

)，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.第9頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推播放第10頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第11頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第12頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第13頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第14頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第15頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第16頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月周長(zhǎng)為面積為第次分叉：第17頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月于是有結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無界的，而面積有界．雪花的面積存在極限（收斂）．第18頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

討論等比級(jí)數(shù)的斂散性.解：等比級(jí)數(shù)的部分和為：當(dāng)公比|r|<1時(shí)，即第19頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)公比|r|>1時(shí)，當(dāng)公比r=1時(shí)，當(dāng)公比r=

1時(shí)，Sn=a,n為奇數(shù)0,n為偶數(shù),故不存在.

綜上所述，當(dāng)公比|r|<1時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)公比|r|

1時(shí)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散.第20頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：

第21頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月而故，即該級(jí)數(shù)收斂.第22頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月3.收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)稱為收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記為的和S與其部分和Sn的差S

Sn顯然第23頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月二、級(jí)數(shù)收斂的必要條件定理：若級(jí)數(shù)收斂，則必有證設(shè)第24頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.

判別的斂散性.解：由于故該級(jí)數(shù)發(fā)散.第25頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.

證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證

調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和有：第26頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月由數(shù)學(xué)歸納法，得

k=0,1,2,

而故不存在，即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.第28頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若c0為常數(shù)，則有相同的斂散性，且三、無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1第29頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證的部分和為的部分和為故從而同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.第30頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若其和分別為S1和S2，則級(jí)數(shù)且性質(zhì)2第31頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證的部分和為：故第32頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月即級(jí)數(shù)收斂，且第33頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.

因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)第34頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.

問題(1)一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？答：是發(fā)散的.問題(2)兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？答：不一定.第35頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月

在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上或者去掉有限項(xiàng)后，所得到的新的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)的斂散性相同.(但對(duì)收斂級(jí)數(shù)來說，它的和將改變.)性質(zhì)3第36頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證

設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為Sn,去掉級(jí)數(shù)的前面m項(xiàng)后得到的級(jí)數(shù)的部分和為S'k:第37頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月由于Sm當(dāng)m固定時(shí)為一常數(shù)，所以故級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)第38頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)收斂的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變.性質(zhì)4第39頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.

考慮一下幾個(gè)問題：(1)收斂的級(jí)數(shù)去掉括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂嗎？答：不一定.(2)發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)是否仍發(fā)散？答：不一定發(fā)散.(3)如果加括號(hào)后的級(jí)數(shù)仍發(fā)散，原級(jí)數(shù)是否也發(fā)散？答：原級(jí)數(shù)也發(fā)散.第40頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明四、級(jí)數(shù)收斂的必要條件：第41頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.第42頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月討論第43頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月8項(xiàng)4項(xiàng)2項(xiàng)2項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.第44頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法第45頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第46頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答能．由柯西審斂原理即知．第47頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題第48頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題答案第50頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月§2正項(xiàng)級(jí)數(shù)第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第51頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.第52頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法第53頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).第54頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解由圖可知第55頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).第56頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第57頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;第58頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明由比較審斂法的推論,得證.第59頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.第61頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第62頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂發(fā)散第63頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).兩點(diǎn)注意:第64頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解第66頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月比值審斂法失效,改用比較審斂法第67頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月級(jí)數(shù)收斂.第68頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第69頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.第70頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題第71頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題答案第73頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第74頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)正負(fù)相間的一種級(jí)數(shù)，它的一般形式為或其中，un0(n=1,2,…)第75頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(萊布尼茲判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件(1)(2)un

un+1(n=1,2,…)

則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和S的值小于u1.(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)第76頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證只需證明級(jí)數(shù)部分和Sn當(dāng)n時(shí)的極限存在.1)取交錯(cuò)級(jí)前2m項(xiàng)之和由條件(2)：un

un+1，un0,得S2m以及由極限存在準(zhǔn)則：第77頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月2)取交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前2m+1項(xiàng)之和由條件1):綜上所述，有第78頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，又由萊布尼茲判別法，該級(jí)數(shù)是收斂.第79頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，又令x[2,+)，則x[2,+)，故f(x)

[2,+)，即有un

un+1成立，由萊布尼茲判別法，該級(jí)數(shù)收斂.第80頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解原級(jí)數(shù)收斂.第81頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性(1)級(jí)數(shù)的絕對(duì)斂和條件收斂定義：若級(jí)數(shù)對(duì)收斂的；若級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)第82頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：若(即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂)證：

un|un|

從而第83頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)第84頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第85頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)有級(jí)數(shù)若(1)<1時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；(2)>1(包括=)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)=1時(shí)，不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.第86頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：由P一級(jí)數(shù)的斂散性，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第87頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.判別的斂散性，其中，x1為常數(shù).解：記第88頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)|x|<1時(shí)，=|x|<1,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)|x|>1時(shí)，=1,此時(shí)不能判斷其斂散性.由達(dá)朗貝爾判別法：但|x|>1時(shí)，從而，原級(jí)數(shù)發(fā)散.第89頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂?解：由調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性可知，故發(fā)散.但原級(jí)數(shù)是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)：故原級(jí)數(shù)是條件收斂，不是絕對(duì)收斂的.第90頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.任意交換絕對(duì)斂級(jí)數(shù)中各項(xiàng)的位置，其斂散性不變，其和也不變.

性質(zhì)2.兩個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的積仍是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，且其和等于原來兩個(gè)級(jí)數(shù)的和之積.第91頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)判別法定理(迪利赫勒判別法)設(shè)有級(jí)數(shù)任意的n1,有un

un+1,且又n=1,2,…,M>0為與n無關(guān)的常數(shù)，則級(jí)數(shù)若對(duì)收斂.第92頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.判別級(jí)數(shù)的斂散性,其中,x