湖南省衡陽市 衡東縣踏莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖南省衡陽市衡東縣踏莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ俑骼忾L相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等．A．① B．② C．①②③ D．③參考答案：C【考點】類比推理．【分析】正四面體中，各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；①正確；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等，②正確；③各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等，③正確．【解答】解：正四面體中，各棱長相等，各側(cè)面是全等的等邊三角形，因此，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；①正確；對于②，∵正四面體中，各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角中，它們有共同的高，底面三角形的中心到對棱的距離相等，∴相鄰兩個面所成的二面角都相等，②正確；對于③，∵各個面都是全等的正三角形，∴各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等，③正確．∴①②③都是合理、恰當(dāng)?shù)模蔬xC．2.從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其中個位數(shù)為0的概率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.已知空間兩不同直線，兩不同平面，下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．若不垂直于，且，則不垂直于參考答案：B對于A，若且，則或，故錯誤；對于B，若且，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；對于C，若且，則，故錯誤；若m不垂直于α，且n?α，則m可以垂直于n，故D錯誤．故選：B

4.用0,1,2,3,4排成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)相鄰，奇數(shù)也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是

（

）

A、20

B、24

C、30

D、36參考答案：A略5.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE，若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的是(

)A．|BM|是定值B．點M在某個球面上運(yùn)動C．存在某個位置，使DE⊥A1CD．存在某個位置，使MB∥平面A1DE參考答案：C考點：平面與平面之間的位置關(guān)系．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：取CD中點F，連接MF，BF，則平面MBF∥平面A1DE，可得D正確；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF?FB?cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，可得A，B正確．A1C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，可得C不正確．解答：解：取CD中點F，連接MF，BF，則MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正確由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，F(xiàn)B=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF?FB?cos∠MFB，所以MB是定值，故A正確．∵B是定點，∴M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，故B正確，∵A1C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，∴存在某個位置，使DE⊥A1C不正確．故選：C．點評：掌握線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理及線面角、二面角的定義及求法是解題的關(guān)鍵．6.用三段論推理：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2＞0”，你認(rèn)為這個推理（）A． 大前提錯誤 B． 小前提錯誤 C． 推理形式錯誤 D． 是正確的參考答案：A略7.設(shè)a，b，c，d∈R，且a＞b，c＜d，則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)﹣c＞b﹣d C．a(chǎn)c＞bd D．＞參考答案：B【考點】不等關(guān)系與不等式．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可選出答案．【解答】解：∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，又a＞b，∴a﹣c＞b﹣d．故答案為B．8.實數(shù)x、y滿足3x2＋2y2=6x，則x2＋y2的最大值為（

）A.B.4

C.

D.5參考答案：B略9.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A．(－1,1]

B．(0,1]

C.[1,+∞)

D．(0,+∞)參考答案：B根據(jù)題意，對于函數(shù)，由于（x>0），可知，當(dāng)y’<0時，則可知0<x<1能滿足題意，故可知單調(diào)減區(qū)間為(0,1]，選B.考點：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

10.一個三棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示(均為真角三角形),則該三棱錐的體積為（

）A.4 B.8 C.16 D.24參考答案：B【分析】根據(jù)三視圖知，三棱錐的一條長為6的側(cè)棱與底面垂直，底面是直角邊為2、4的直角三角形，利用棱錐的體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知三棱錐的側(cè)棱與底垂直，其直觀圖如圖，可得其俯視圖是直角三角形，直角邊長為2，4，，棱錐的體積，故選B.【點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選．那么不同的組隊形式有_________種．參考答案：930分析：分三種情況討論，分別求出甲乙都入選、甲不入選，乙入選、甲乙都不入選,，相應(yīng)的情況不同的組隊形式的種數(shù)，然后求和即可得出結(jié)論.詳解：若甲乙都入選，則從其余人中選出人，有種，男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有種，故共有種；若甲不入選，乙入選，則從其余人中選出人，有種，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有種，故共有種；若甲乙都不入選，則從其余6人中選出人，有種，再全排，有種，故共有種，綜上所述，共有，故答案為.點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.12.已知，且滿足，則的最小值是

參考答案：1813.以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中真命題的序號為

． ①設(shè)A、B為兩個定點，k為正常數(shù)，，則動點P的軌跡為橢圓； ②雙曲線與橢圓有相同的焦點； ③若方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則； ④到定點及定直線的距離之比為的點的軌跡方程為．

參考答案：②③略14.用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺的上、下底面半徑之比是1

4，截取的小圓錐的母線長是cm，則圓臺的母線長

▲

cm．參考答案：915.已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣與共線，則x的值為．參考答案：﹣2【考點】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】求出向量﹣，然后利用向量與共線，列出方程求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（x，﹣1），﹣=（2﹣x，2），又﹣與共線，可得2x=﹣2+x，解得x=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查向量的共線以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，基本知識的考查．16.以下五個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①雙曲線與橢圓有相同的焦點；②方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③設(shè)A、B為兩個定點，為常數(shù)，若，則動點P的軌跡為雙曲線；④過拋物線的焦點作直線與拋物線相交于A、B兩點，則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條。其中真命題的序號為

（寫出所有真命題的序號）參考答案：①④【答案】17.已知實數(shù)1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線+y2=1的離心率為_________．參考答案：或

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，l為拋物線的準(zhǔn)線，點D在l上。（1）求證：“如果A、O、D三點共線，則直線DB與x軸平行”；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.參考答案：（1）證明：設(shè)點A的坐標(biāo)為（，y0），則直線OA的方程為

（y0≠0）

①

拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－

②聯(lián)立①②，可得點D的縱坐標(biāo)為y＝－

③

（3分）因為點F的坐標(biāo)是（，0），所以直線AF的方程為y＝(x－)

④其中y≠p2.聯(lián)立y2＝2px與④，可得點B的縱坐標(biāo)為y＝－

⑤由③⑤可知，DB∥x軸.

當(dāng)y＝p2時，結(jié)論顯然成立.所以，直線DB平行于拋物線的對稱軸.（6分）（2）逆命題：如果DB與x軸平行，則A、O、D三點共線它是真命題，證明如下（8分）因為拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F（，0），所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設(shè)為x＝my＋.代入拋物線方程，得y2－2pmy－p2＝0.若記A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2＝－p2.（10分）因為DB∥x軸，且點D在準(zhǔn)線x＝－上，所以點D的坐標(biāo)為（－，y2），故直線DO的斜率為k＝，即k也是直線OA的斜率，所以直線AD經(jīng)過原點O，即A、O、D三點共線.（12分）略19.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時，解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤1的解集為[0，2]，求證：f（x）+f（x+2）≥2a．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【專題】選作題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時，不等式為|x+2|+|2x﹣1|≥16，分類討論，去掉絕對值，即可解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）先求出a，f（x）=|x﹣1|，于是只需證明f（x）+f（x+2）≥2，即證|x﹣1|+|x+1|≥2，利用絕對值不等式，即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：當(dāng)a=﹣2時，不等式為|x+2|+|2x﹣1|≥16，當(dāng)x≤﹣2時，原不等式可化為﹣x﹣2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣；當(dāng)﹣2＜x≤時，原不等式可化為x+2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣13，不滿足，舍去；當(dāng)x＞時，原不等式可化為x+2+2x﹣1≥16，解之得x≥5；不等式的解集為{x|x≤﹣或x≥5}．（Ⅱ）證明：f（x）≤1即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1解集是[0，2]，所以，解得a=1，從而f（x）=|x﹣1|于是只需證明f（x）+f（x+2）≥2，即證|x﹣1|+|x+1|≥2，因為|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2，所以|x﹣1|+|x+1|≥2，證畢．【點評】本題考查絕對值不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20.已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，斜率為的直線交拋物線于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，且|AB|=9，（1）求該拋物線的方程；（2）O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點，若，求λ的值．參考答案：【考點】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題．【分析】（1）直線AB的方程與y2=2px聯(lián)立，有4x2﹣5px+p2=0，從而x1+x2=，再由拋物線定義得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，則拋物線方程可得．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得設(shè)的坐標(biāo)，最后代入拋物線方程即可解得λ．【解答】解：（1）直線AB的方程是y=2（x﹣），與y2=2px聯(lián)立，有4x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=由拋物線定義得：|AB|=x1+x2+p=9∴p=4，∴拋物線方程是y2=8x．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，∴x1=1，x2=4，y1=﹣2，y2=4，從而A（1，﹣2），B（4，4）．設(shè)=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）又2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．【點評】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基本的分析問題的能力和基礎(chǔ)的運(yùn)算能力．21.如圖，在四棱錐P﹣ABCED中，PD⊥面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=PA=2AD=4，（1）若E為PC中點，求證：PA∥平面BDE（2）求三棱錐D﹣BCP的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析