2023年上海市上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023年上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷1．已知，求x2+y2．2．如圖，已知∠AOX＝30°，OA＝2，AB＝OA，則B的坐標(biāo)為．3．已知a+＝3，b+，c+＝，求abc＝．4．與x軸，y軸交于A，B（k為正整數(shù)），記Sk為S△AOB在對(duì)應(yīng)k時(shí)的大小，則S1+S2+?+S2033＝．5．有九個(gè)方格，把1到9這些正整數(shù)均填入其中，要使任意相鄰的三個(gè)格子的和為3的倍數(shù)種填法．6．在圓O中，AP＝7，BP＝3，求CP＝．7．有一數(shù)列（8項(xiàng)），首項(xiàng)與末項(xiàng)均為1，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)比均為1或2或種．8．x2+y2＝|x|+|y|有組整數(shù)解．9．計(jì)算++．10．在長(zhǎng)方形ABCD中，長(zhǎng)為4，寬為2，M在AD上，且∠MBC＝∠BMN11．三角形三邊為x，y，z，均為正整數(shù)，且符合x(chóng)yz＝2（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）

2023年上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析1．已知，求x2+y2．【分析】先利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求出x+y和xy的值，從而利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵x＝＝＝﹣，y＝＝＝+，∴x+y＝﹣++＝3﹣）（+，∴x8+y2＝（x+y）2﹣8xy＝（2）7﹣2×1＝12﹣5＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，分母有理化，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知∠AOX＝30°，OA＝2，AB＝OA，則B的坐標(biāo)為（﹣1，1+）．【分析】過(guò)A作AM⊥x軸于M，過(guò)B作BN⊥AM于N，在Rt△AOM中，∠AOX＝30°，則AM＝AO＝1，OM＝2×cos30°＝，然后證明Rt△AOM≌Rt△BAN，得AN＝OM＝，BN＝AM＝1結(jié)論得證．【解答】解：過(guò)A作AM⊥x軸于M，過(guò)B作BN⊥AM于N，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵∠AOX＝30°，OA＝2，∴AM＝AO＝1，cos∠AOM＝，∴OM＝2×cos30°＝，∵AB⊥OA，∴∠OAM+∠BAN＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∵AB＝OA，∴Rt△AOM≌Rt△BAN（AAS），∴AN＝OM＝，BN＝AM＝1，∴MN＝AN+AM＝2+，∴N（，7+），∴B（﹣3）故答案為：（﹣8）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形理解題意是關(guān)鍵．3．已知a+＝3，b+，c+＝，求abc＝1．【分析】三個(gè)等式左右相乘，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，把已知等式代入求出abc的值即可．【解答】解：將三個(gè)條件式進(jìn)行相乘，得：（a+）（b+）＝3×17×，整理得：（ab++1+）＝abc+b+a++c+++＝abc++（a+）+（c+）＝abc++3+17+＝abc++＝3×17×＝，∴abc+＝5，整理得：（abc）2﹣2abc+2＝0，解得：abc＝1．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4．與x軸，y軸交于A，B（k為正整數(shù)），記Sk為S△AOB在對(duì)應(yīng)k時(shí)的大小，則S1+S2+?+S2033＝．【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出Sk的值，再將其代入S1+S2+?+S2033中，即可求結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣＝，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，），∴OB＝；當(dāng)y＝8時(shí)，﹣x+，解得：x＝，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，2），∴OA＝，∴Sk＝OA?OB＝??＝（﹣），∴S1+S8+?+S2033＝×（8﹣×（﹣×（﹣×（2﹣+﹣﹣）＝）＝×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及三角形的面積公式，找出Sk＝（﹣）是解題的關(guān)鍵．5．有九個(gè)方格，把1到9這些正整數(shù)均填入其中，要使任意相鄰的三個(gè)格子的和為3的倍數(shù)1296種填法．【分析】可以將9個(gè)格子分成3類(lèi)，即從左到右第1，4，7個(gè)格子，從左到右第2，5，8個(gè)格子，從左到右第3，6，9個(gè)格子，再將同余的三個(gè)數(shù)間隔三個(gè)格子依次放入，再進(jìn)行同余的數(shù)的內(nèi)部排列，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題可知，從左到右第1，4，從左到右第7，5，8個(gè)格子里的數(shù)除以3的余數(shù)都相同，從左到右第3，6，5個(gè)格子里的數(shù)除以3余數(shù)都相同，將同余的三個(gè)數(shù)間隔三個(gè)格子依次放入，再進(jìn)行同余的數(shù)的內(nèi)部排列，則有（3×4）×（3×2）×（5×2）×（3×7）＝6×6×4×6＝1296．故答案為：1296．【點(diǎn)評(píng)】本題考查倍數(shù)，能夠根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵，本題屬于比較難的題目．6．在圓O中，AP＝7，BP＝3，求CP＝．【分析】根據(jù)垂徑定理可得CP＝DP，延長(zhǎng)CP交圓O于點(diǎn)D，連接AD，BC，證明△APD∽△CPB，即可解決問(wèn)題【解答】解：∵OP⊥CP，∴CP＝DP，如圖，延長(zhǎng)CP交圓O于點(diǎn)D，BC，∵∠DAB＝∠BCD，∠APD＝∠CPB，∴△APD∽△CPB，∴＝，∴AP?BP＝CP?DP，∴CP2＝21，∴CP＝（負(fù)值已經(jīng)舍去），故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，解決本題的關(guān)鍵是得到△APD∽△CPB．7．有一數(shù)列（8項(xiàng)），首項(xiàng)與末項(xiàng)均為1，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)比均為1或2或211種．【分析】根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)行計(jì)算求解．【解答】解：設(shè)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為qi（i＝1，2，...，所以q5q2???q7＝5，（1）當(dāng)q1＝q2＝...＝q6＝1時(shí)顯然成立（數(shù)列各項(xiàng)均為1），（2）當(dāng)qi有7個(gè)2時(shí)，必然有2個(gè)﹣，利用分組排列有210種，（3）當(dāng)qi有3個(gè)3時(shí)，必然有3個(gè)﹣，（4）當(dāng)qi有1個(gè)2時(shí)，必然有2個(gè)﹣，綜上有211種數(shù)列，故答案為：211．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化類(lèi)，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．x2+y2＝|x|+|y|有9組整數(shù)解．【分析】根據(jù)偶次冪及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論即可．【解答】解：已知x2+y2＝|x|+|y|，當(dāng)x＝﹣7時(shí)，y＝±1或0；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝±1或0；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝±1或0；綜上，x4+y2＝|x|+|y|由9組整數(shù)解，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查偶次冪及絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合已知條件進(jìn)行正確的分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．9．計(jì)算++．【分析】先對(duì)分母因式分解，通過(guò)十字相乘法和提取公因式即可將原式變形為，通過(guò)拆項(xiàng)可將原式變?yōu)椹?﹣+﹣，化簡(jiǎn)，再根據(jù)異分母分式減法法則進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【解答】解：++＝＝＝﹣+﹣+﹣＝＝【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的加減，正確進(jìn)行變形是本題解題關(guān)鍵．10．在長(zhǎng)方形ABCD中，長(zhǎng)為4，寬為2，M在AD上，且∠MBC＝∠BMN【分析】延長(zhǎng)MN，BC交于點(diǎn)E，則△DMN≌△CEN，得出DM＝CE，由∠MBC＝∠BMN可得ME＝BE，設(shè)MD＝x，MN＝，ME＝2，BE＝4+x，可列方程2＝4+x，解方程即可．【解答】解：延長(zhǎng)MN，BC交于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠NCE＝90°，∵N是中點(diǎn)，∴DN＝CN，∵∠DNM＝∠CNE，∴△DMN≌△CEN（ASA），∴DM＝CE，∵∠MBC＝∠BMN，∴ME＝BE，設(shè)MD＝x，MN＝，BE＝4+x，∴2＝5+x2﹣8x﹣12＝7，解得x＝或（舍去），即MD＝，∴AM＝4﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．11．三角形三邊為x，y，z，均為正整數(shù)，且符合x(chóng)yz＝2（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）【分析】根據(jù)xyz＝2（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）可設(shè)x≥y≥z≥2，然后得出＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）≥（1﹣）3，然后確定z的值，再求x，y的值即可．【解答】解：設(shè)x≥y≥z≥2，∴＝（1﹣