27 2 2 -27 2 3 復(fù)習(xí)學(xué)案 人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

27.2.2相似三角形的性質(zhì)【筆記】1．相似三角形對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線之比等于________，即相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于________．2．相似三角形的周長(zhǎng)比等于________．3．相似三角形的面積比等于________．【訓(xùn)練】1．若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對(duì)應(yīng)高的比為()A．3∶2B．3∶5C．9∶4D．4∶92．已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為eq\f(3,4)，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)中線的比為()A．3∶4 B．4∶3C．9∶16 D．16∶93．若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1∶4，則它們的周長(zhǎng)之比為()A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．4∶14．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，則S△BDE∶S△ACD＝()第4題圖A．1∶16B．1∶18C．1∶20D．1∶245．如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，若AB＝2，BC＝3，則△FCB′與△B′DG的面積之比為()第5題圖A．9∶4B．3∶2C．4∶3D．16∶96．如圖，ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，CD＝2DE.若△DEF的面積為a，則ABCD的面積為________．(用a的代數(shù)式表示)第6題圖7．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB＝5∶4，則S梯形BCED∶S△ADE＝________.第7題圖8．兩個(gè)相似三角形的面積比為25∶9，其中一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為45，則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為________．9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE∶ED＝2∶1.如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是________．第9題圖10．如果兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別為35cm和14cm，它們的周長(zhǎng)差為60cm，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為________．11．如圖，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一個(gè)相似變換，AC與DF的長(zhǎng)度之比是3∶2.(1)DE與AB的長(zhǎng)度之比是多少？(2)已知直角三角形ABC的周長(zhǎng)是12cm，面積是6cm2，求直角三角形DEF的周長(zhǎng)與面積．第11題圖12．(連云港中考)已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，則下列等式一定成立的是()A.eq\f(BC,DF)＝eq\f(1,2)B.eq\f(∠A的度數(shù),∠D的度數(shù))＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ABC的面積,△DEF的面積)＝eq\f(1,2)D.eq\f(△ABC的周長(zhǎng),△DEF的周長(zhǎng))＝eq\f(1,2)13．(成都中考)如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)A作AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為________．第13題圖14．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.求：在△ABC內(nèi)作正方形，使正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊或頂點(diǎn)上，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－x＋3與x軸交于點(diǎn)C，與直線AD交于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)．(1)求直線AD的解析式；(2)直線AD與x軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，當(dāng)△BOD與△BCE相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．第15題圖答案【筆記】1．相似比相似比2.相似比3.相似比的平方【訓(xùn)練】1—5.AABCD6.12a7.56∶258.75或279.eq\f(7,4)10.100cm和40cm11.(1)由相似變換可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；(2)∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周長(zhǎng)∶△ABC的周長(zhǎng)＝2∶3，S△DEF∶S△ABC＝4∶9，∵直角三角形ABC的周長(zhǎng)是12cm，面積是6cm2，∴△DEF的周長(zhǎng)為8cm，S△DEF＝eq\f(8,3)cm2.12.D13.8，eq\f(56,15)或eq\f(8\r(5),3)第14題圖14.直角三角形內(nèi)接正方形有兩種不同的位置．①如圖1，作CP⊥AB于P，交GF于H，則CH⊥GF，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴eq\f(GF,AB)＝eq\f(CH,CP)，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝10，∵AC·BC＝AB·CP，∴CP＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(8×6,10)＝eq\f(24,5)，設(shè)GF＝x，則CH＝eq\f(24,5)－x，∴eq\f(x,10)＝eq\f(\f(24,5)－x,\f(24,5))，∴x＝eq\f(120,37).②如圖2，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BE,BC)，設(shè)CF＝x，則BE＝6－x，DE＝x，∴eq\f(x,8)＝eq\f(6－x,6)，∴x＝eq\f(24,7).答：△ABC內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為eq\f(120,37)cm或eq\f(24,7)cm.第15題圖15.(1)設(shè)直線AD的解析式為y＝kx＋b，將Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，D(0，1)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)k＋b＝\f(5,3)，,b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝1.))∴直線AD的解析式為y＝eq\f(1,2)x＋1；(2)∵直線AD與x軸的交點(diǎn)為(－2，0)，∴OB＝2，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)，∴OD＝1.∵y＝－x＋3與x軸交于點(diǎn)C(3，0)，∴OC＝3.∴BC＝5.∵△BOD與△BCE相似，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(OD,CE)或eq\f(OB,BC)＝eq\f(OD,CE′)，∴eq\f(\r(5),5)＝eq\f(2,BE)＝eq\f(1,CE)或eq\f(2,5)＝eq\f(1,CE′)，∴BE＝2eq\r(5)，CE＝eq\r(5)或CE′＝eq\f(5,2)，∴E(2，2)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2))).27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例【筆記】1．?dāng)?shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是把生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化的方法之一是畫數(shù)學(xué)示意圖，在畫圖的過程中可以逐漸明確問題中各量的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，進(jìn)而形成解題思路．2．相似三角形的應(yīng)用(1)測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常借助太陽光照射物體形成影子，根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成________或利用相似三角形來解決問題．(2)求不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造__________，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出兩點(diǎn)間的距離．【訓(xùn)練】1．如圖，球從A處射出，經(jīng)球臺(tái)邊擋板CD反射到B，已知AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝50cm，則點(diǎn)E距離點(diǎn)C()A．40cmB．30cmC．20cmD．10cm第1題圖2．已知：如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，要使球恰好能打過而且落在離網(wǎng)5米的位置上(網(wǎng)球運(yùn)行軌跡為直線)，則球拍擊球的高度h應(yīng)為()A．0.9mB．1.8mC．2.7mD．6m第2題圖3．在如圖所示的象棋盤(各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等)中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列哪個(gè)位置處，能使“馬”、“車”、“炮”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形與“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似？()A．①處B．②處C．③處D．④處第3題圖4．興趣小組的同學(xué)要測(cè)量樹的高度．在陽光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)為0.4m，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長(zhǎng)為0.2m，一級(jí)臺(tái)階高為0.3m，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為4.4m，則樹高為()第4題圖A．11.5mB．11.75mC．11.8mD．12.25m5．如圖，李明打網(wǎng)球時(shí)，球恰好打過網(wǎng)，且落在離網(wǎng)4m的位置上，則網(wǎng)球的擊球的高度h為________．第5題圖6．如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫格線上．若線段AB＝4cm，則線段BC＝______cm.第6題圖7．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝________m.第7題圖8．如圖，一油桶高0.8m，桶內(nèi)有油，一根木棒長(zhǎng)1m，從桶蓋小口斜插入桶內(nèi)，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分長(zhǎng)0.8m，則桶內(nèi)油的高度為_____．第8題圖9．如圖，A、B兩地間有一池塘阻隔，為測(cè)量A、B兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C，連接CA、CB的中點(diǎn)D、E.若DE的長(zhǎng)度為30m，則A、B兩地的距離為______m.第9題圖10．(岳陽中考)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長(zhǎng)為5步，股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為12步，問該直角三角形，能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步？”該問題的答案是_________步．第10題圖11．如圖所示為某種型號(hào)的臺(tái)燈的橫截面圖，已知臺(tái)燈燈柱AB長(zhǎng)30cm，且與水平桌面垂直，燈臂AC長(zhǎng)為15cm，燈頭的橫截面△CEF為直角三角形，當(dāng)燈臂AC與燈柱AB垂直時(shí)，沿CE邊射出的光線剛好射到底座B點(diǎn)，若不考慮其他因素，求該臺(tái)燈在桌面可照亮的寬度BD的長(zhǎng)．第11題圖12．如圖1，長(zhǎng)、寬均為3，高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，則圖2中水面高度為()圖1圖2第12題圖A.eq\f(24,5)B.eq\f(32,5)C.eq\f(12\r(34),17)D.eq\f(20\r(34),17)13．有一支夾子如圖所示，AB＝2BC，BD＝2BE，在夾子前面有一個(gè)長(zhǎng)方體硬物，厚PQ為6cm，如果想用夾子的尖端A，D兩點(diǎn)夾住P，Q兩點(diǎn)，那么手握的地方EC至少要張開_______cm.第13題圖14．如圖，為測(cè)量學(xué)校圍墻外直立電線桿AB的高度，小亮在操場(chǎng)上點(diǎn)C處直立高3m的竹竿CD，然后退到點(diǎn)E處，此時(shí)恰好看到竹竿頂端D與電線桿頂端B重合；小亮又在點(diǎn)C1處直立高3m的竹竿C1D1，然后退到點(diǎn)E1處，此時(shí)恰好看到竹竿頂端D1與電線桿頂端B重合．小亮的眼睛離地面高度EF＝E1F1＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m.第14題圖(1)由題意可知△FDM∽△________，△F1D1N∽△__________；(2)求電線桿AB的高度．15．如圖所示，某小組發(fā)現(xiàn)8m高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧形小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測(cè)算小橋所在圓的半徑的活動(dòng)．小剛身高1.6m，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4m，同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)為3m，HF的長(zhǎng)為1m，測(cè)得拱高(弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長(zhǎng))為2m，求小橋所在圓的半徑．第15題圖

答案【筆記】2．(1)比例(2)相似三角形【訓(xùn)練】1—4.CCBC5.1.4m6.127.5.58.0.64m9.6010.eq\f(60,17)11.∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD，∴∠ACB＝∠DBC，又∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△CDB，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)，∴BC2＝AC·BD，在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝152＋302＝1125，∴15BD＝1125，∴BD＝75(cm)．12.A13.314.(1)FBGF1BG(2)∵D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG，∴eq\f(D1N,BG)＝eq\f(F1N,F1G).∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG.∴eq\f(DM,BG)＝eq\f(FM,FG).∵D1N＝DM，∴eq\f(F1N,F1G)＝eq\f(FM,FG)，即eq\f(3,GM＋11)