中考數(shù)學(xué)解題技巧 83四邊形中作輔助線造全等

四邊形中作輔助線造全等1、已知：矩形ABCD中，點E、F為對角線AC上兩點，AF＝CE．（1）如圖1，求證：BE∥DF；（2）如圖2，當(dāng)AB＝BE＝AD時，連接DE、BF，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：由（1）得：△AFD≌△CEB，同理：△ABF≌△CDE（SAS），∴△AFD的面積＝△CEB的面積，△ABF的面積＝△CDE的面積，作BG⊥AC于G，如圖2所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，∵△ABC的面積＝AC×BG＝AB×BC，∴BG＝＝＝AB，∴AG＝＝＝AB，∴AE＝2AG＝AB，∵AF＝CE，∴△ABF的面積＝△BCE的面積，CF＝AE＝AB，∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，∴△ABF的面積＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，∵矩形ABCD的面積＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，∴△ABF的面積＝矩形ABCD面積的，∴△ABF的面積＝△CDE的面積＝△ADF的面積＝△BCE的面積＝矩形ABCD面積的．2、如圖1，在正方形ABCD（正方形四邊相等，四個角均為直角）中，AB＝8，P為線段BC上一點，連接AP，過點B作BQ⊥AP，交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延長QC′交AD于點N．（1）求證：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的長；（3）如圖2，延長QN交BA的延長線于點M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．解：（1）證明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，連接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，設(shè)AN＝NC'＝a，則DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：過Q點作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．設(shè)MQ＝BM＝y(tǒng)，則MG＝y(tǒng)﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．3、如圖1，已知正方形ABCD，E是線段BC上一點，N是線段BC延長線上一點，以AE為邊在直線BC的上方作正方形AEFG．（1）連接GD，求證DG＝BE；（2）連接FC，求tan∠FCN的值；（3）如圖2，將圖1中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是線段BC上一動點（不含端點B，C），以AE為邊在直線BC的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．當(dāng)點E由B向C運動時，判斷tan∠FCN的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）如圖1，∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴∠BAE＝∠GAD，∴△BAE≌△GAD（SAS），∴DG＝BE；（2）如圖2，過點F作FM⊥BN于M，則∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，又AE＝EF，∴△BAE≌△MEF（ASA），∴FM＝BE，EM＝AB，又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，∴CM＝FM，在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；（3）如圖2，過點F作FM⊥BN于M，則∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，同理可證∠GAD＝∠FEM，又AG＝EF，∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，∴EM＝AD＝BC＝8，＝，設(shè)BE＝a，則EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，∴CM＝BE＝a，∴＝，∴FM＝，∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值為定值．4、【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．【實踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長是．（2）如圖②，點M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長．【實踐探究】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋轉(zhuǎn)得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，則BN+DM＝5，設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，即正方形ABCD的邊長是6；故答案為：6；（2）EF2＝BE2+DF2，理由如下：如圖②，將△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到△ABH，連結(jié)EH，∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四邊形BMDN是平行四邊形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；（3）如圖③，延長AB至P，使BP＝BN＝1，過P作BC的平行線交DC的延長線于Q，延長AN交PQ于E，連接EM，則四邊形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，設(shè)DM＝x，則MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的長是2．5、已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG＝DE；（2）如圖2，如果正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長是，請求出△BCG的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①連接BE，如圖2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE為等邊三角形，∴∠BDE＝60°；②延長EC交BD于點H，過點G作GN⊥BC于N，如圖3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），∴S△BCG＝BC?GN＝××（﹣1）＝．6、利用“同角的余角相等”可以幫助我們得到相等的角，這個規(guī)律在全等三角形的判定中有著廣泛的運用．（1）如圖①，B，C，D三點共線，AB⊥BD于點B，DE⊥BD于點D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的長．（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，直角頂點C的坐標(biāo)為（1，0），點A的坐標(biāo)為（﹣2，1）．求直線AB與y軸的交點坐標(biāo)．（3）如圖③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若點B坐標(biāo)為（b，0），點A坐標(biāo)為（0，a）．則S四邊形AOBC＝．（只需寫出結(jié)果，用含a，b的式子表示）解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；（2）過點A作AD⊥x軸于D，過點B作BE⊥x軸于E，如圖②所示：∵△ABC為等腰直角三角形∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵點C的坐標(biāo)為（1，0），點A的坐標(biāo)為（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，∴點B的坐標(biāo)為（2，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，將A、B兩點的坐標(biāo)代入，得，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝x+2，當(dāng)x＝0時，解得y＝2，∴直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為（0，2）；（3）過點C作CD⊥y軸于D，CE⊥x軸于E，如圖③所示：∵OC平分∠AOB，∴CD＝CE∴四邊形OECD是正方形∴∠DCE＝90°，OD＝OE，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，∵點B坐標(biāo)為（b，0），點A坐標(biāo)為（0，a），∴OB＝b，OA＝a，∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，即a+DA＝b﹣DA，∴DA＝，∴OD＝OA+DA＝a+＝，∴S四邊形AOBC＝S四邊形AOEC+S△ECB＝S四邊形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，故答案為：．7．如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，點E為直線CD上一動點，將線段EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段EF，連接CF．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)點C、B、F三點共線時，設(shè)EF與AB相交于點G，求線段BG的長；（3）求線段CF的長度的最小值．解（1）如圖1，作DK⊥AB于點K，∵將線段EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段EF，∴∠AEF＝α，AE＝EF，在Rt△DAK中，∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，∴AK＝5，∴DK＝＝＝12，∴S平行四邊形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；（2）如圖2，延長CD至H，作∠AHD＝α，∵∠AHD＝∠ADH＝α，∴AH＝AD＝13，過點A作AM⊥DH于點M，由（1）知AM＝12，∴DM＝＝5，∴DH＝10，∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，∴∠DEA＝∠F，在△AEH和△EFC中，，∴△AEH≌△EFC（AAS），∴EH＝CF，CE＝AH＝13，∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，∵BG∥CE，∴△FBG∽△FCE，∴，即，∴BG＝；（3）如圖3，延長CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，過點F作FM∥BC，交CD于點M，過點FN⊥CD，交CD于點N，由（2）可知∠AEP＝∠EFM，在△EAP和△FEM中．，∴△EAP≌△FEM（AAS），∴EM＝AP＝13，F(xiàn)M＝EP，設(shè)DE＝x，則FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，∴FN＝FM?sinα＝（10+x），MN＝FM?cosα＝（10+x），∴CN＝CM+MN＝12﹣x+（10+x）＝，在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2＝（208x2﹣416x+56836），對稱軸x＝﹣＝1，∴當(dāng)x＝1時，CF的值最小，CF的最小值為．8、如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上任意一點（點E不與點B、C重合），連結(jié)DE，點C關(guān)于DE的對稱點為C1，連結(jié)AC1并延長交DE的延長線于點M，F(xiàn)是AC1的中點，連結(jié)DF．【猜想】如圖①，∠FDM的大小為度．【探究】如圖②，過點A作AM1∥DF交MD的延長線于點M1，連結(jié)BM．求證：△ABM≌△ADM1．【拓展】如圖③，連結(jié)AC，若正方形ABCD的邊長為2，則△ACC1面積的最大值為．解：（1）由對稱得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中點，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDM＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；故答案為：45；（2）∵DF⊥AC1，∴∠DFM＝90°，∵AM1∥DF∴∠MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAM1＝∠BAM，由（1）可知：∠FDM＝45°∵∠DFM＝90°∴∠AMD＝45°，∴∠M1＝45°，∴AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，∵，∴△ABM≌△ADM1（SAS）；（3）如圖，過C1作C1G⊥AC于G，則＝AC?C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，即AC為定值，當(dāng)C1G最大值，△AC1C的面積最大，連接BD交AC于O，當(dāng)C1在BD上時，C1G最大，此時G與O重合，∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，∴C'G＝C1D﹣OD＝2﹣，∴＝AC?C1G＝×2（2﹣）＝2﹣，故答案為：2﹣．9、如圖，已知?ABCD，E是CA延長線上一點，且∠EAB＝90°，AB＝AE，點F是BC下方一點，且FE＝FD，∠EFD＝90°，（1）求證：∠FEA＝∠FDC；（2）若AF＝3，求AC的長．（1）證明：設(shè)AC與DF交于點O，如圖1所示：∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠FDC+∠COD＝90°，∵∠EFD＝90°，∴∠FEA+∠FOE＝90°，又∵∠FOE＝∠COD，∴∠FEA＝∠FDC；（2）解：連接CF，如圖2所示：∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠AFE＝∠CFD，∴∠AFC＝∠EFD＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝AF＝3．10、在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點A（5，0）在x軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，對角線OB＝OA，BC交y軸于點D，且S?OABC＝20．（1）如圖①，求點B的坐標(biāo)：（2）如圖②，點P在線段OD上，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為t，△PAB的面積為S，請用含t的式子表示S；（3）在（2）的條件下，如圖③，點Q在x軸上，點R為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四邊形PQBR為菱形，求t的值并直接寫出點Q的坐標(biāo)．解：（1）∵點A（5，0），OB＝OA，∴OA＝OB＝5，∵S?OABC＝OA×OD＝5OD＝20，∴OD＝4，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴BC∥AO，BC＝AO＝5，∴∠BDO＝90°，∴DB＝＝＝3，∴點B（3，4）；（2）∵點P的縱坐標(biāo)為t，∴OP＝t，∴DP＝4﹣t，∴S＝×（3+5）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×5×t＝﹣t+10；（3）如圖，由（1）知，B（3，4），OA＝5，BC∥OA，∴C（﹣2，4），∴CD＝2取OD的中點E，則DE＝OD＝2，∴DE＝CD，∴∠DCE＝45°，∴∠OCB﹣∠OCE＝45°，∵∠OCB﹣∠CBP＝45°，∴∠OCE＝∠CBP，過點E作EF⊥OC于F，∴∠CFE＝90°＝∠BDP，∴△CFE∽△BDP，∴，在Rt△CDE中，CD＝DE＝2，∴CE＝2，在Rt△ODC中，CD＝2，OD＝4，∴OC＝2，∵CE是△OCD的中線，∴S△OCE＝S△CDO＝××2×4＝2∵S△OCE＝OC?EF＝×EF＝2，∴EF＝，在Rt△CFE中，根據(jù)勾股定理得，CF＝，∴，∴DP＝1，∴OP＝OD﹣DP＝3，∴t＝3，∴P（0，3），設(shè)Q（m，0），∵B（3，4），∴PQ2＝m2+9，BQ2＝（m﹣3）2+16，∵四邊形PQBR為菱形，∴PQ＝BQ，∴m2+9＝（m﹣3）2+16，∴m＝，即Q（，0）．11、知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如圖1，P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H．求證：△ADP≌△HCQ；（2）若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使