多邊形及其內(nèi)角和-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

考向23多邊形及其內(nèi)角和

【考點(diǎn)梳理】

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。

2、凸四邊形

把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其它邊都在延長線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。

3、對角線

在四邊形中，連接不相鄰兩個頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對角線。

4、四邊形的不穩(wěn)定性

三角形的三邊如果確定后，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩(wěn)定性。但是四邊形的四邊

確定后，它的形狀不能確定，這就是四邊形所具有的不穩(wěn)定性，它在生產(chǎn)、生活方面有著廣泛的應(yīng)用。

5、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）?180°；

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

6、多邊形的對角線條數(shù)的計算公式

設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則多邊形的對角線條數(shù)為迎二2。

【題型探究】

題型一：認(rèn)識多邊形

1.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.正多邊形都是中心對稱圖形B.正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑

C.邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長都相等D.各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形

2.（2022?福建漳州?福建省漳州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”："割之彌細(xì)，所

失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，

每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，….邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長就

越接近圓的周長.再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比''來計算圓周率.設(shè)圓的半徑為R,圖1中圓內(nèi)接正六

邊形的周長∕（i=6R,則;r≈2=3.再利用圖2圓的內(nèi)接正十二邊形計算圓周率，首先要計算它的周長，下列結(jié)果

正確的是（）

A.∕12=24∕?sin15°B.∕∣2=24∕?cos15°

C.Z12=247?sin30°D.∕12=24∕?cos30°

3.（2019?浙江?寧波市慈湖中學(xué)校考一模）把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分是一個四邊

形，則這張紙片原來的形狀不可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

題型二：多邊形的對角線問題

4.（2022?河北保定?統(tǒng)考一模）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)

的對角線的條數(shù)是（）

A.3B.6C.9D.18

5.（2018?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知一個正〃邊形的每個內(nèi)角為120。，則這個多邊形的對角線

有（）

A.5條B.6條C.8條D.9條

6.（2021?云南普洱?統(tǒng)考一模）如圖，從一個四邊形的同一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引出1條對角線，從五邊形的同一個頂

點(diǎn)出發(fā)，可以引出2條對角線，從六邊形的同一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出3條對角線，....依此規(guī)律，從〃邊形的

同一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出的對角線數(shù)量為（）

A.nB.n—2C.∕ι-3D.2∕?—3

題型三：多邊形的內(nèi)角和問題

7.（2022?云南文山?統(tǒng)考三模）已知某正多邊形的一個外角是60。，則該多邊形的內(nèi)角和是（）

A.360oB.720oC.1080oD.1260°

8.（2022?湖北省直轄縣級單位??？级＃┤鐖D，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為2的圓形噴水池，則這

四個噴水池占去的綠化園地的面積為（）

9.（2022.四川綿陽??？级＃┤鐖D，在正六邊形ABCDE尸中，M,N分別為邊CD,BC的中點(diǎn)，AN與BM相交于

點(diǎn)P,則NAPM的度數(shù)是（）

A.IlO0B.120oC.1180D.122°

題型四：多邊形外角和問題

10.（2022.廣東珠海??？家荒＃┤粢粋€正多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）.

A.6B.7C.8D.9

11.（2022?河北?九年級專題練習(xí)）如圖，六邊形ABeDE尸中，/4NB,ZCND的外角都相等，即

Zl=Z2=Z3=Z4=62o,分別作NDEF和DEE4的平分線交于點(diǎn)P,則一尸的度數(shù)是（）

C.57oD.60o

12.（2022?河北保定?統(tǒng)考三模）如圖，由一個正六邊形和正五邊形組成的圖形中，Nl的度數(shù)應(yīng)是（）

C.820D.94o

題型五：平面鑲嵌問題

13.（2021?貴州銅仁?統(tǒng)考中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、

不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌.工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地

面上鑲嵌（）

A.等邊三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

14.（2022.廣東佛山.西南中學(xué)?？既＃┤鐖D是某小區(qū)花園內(nèi)用正〃邊形鋪設(shè)的小路的局部示意圖，若用4塊正〃邊

形圍成的中間區(qū)域是一個小正方形，則〃=（）

15?（2022?江西撫州?統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)活動課中，我們學(xué)習(xí)過平面鑲嵌，若給出如圖所示的一些邊長均為1的正三

角形、正六邊形卡片，要求必須同時使用這兩種卡片，不重疊、無縫隙地圍繞某一個頂點(diǎn)拼在一起，形成一個平面

圖案，則可拼出的不同圖案共有（）.

A.2種B.3種C.4種

D.5種

題型六：多邊形內(nèi)角和綜合問題

16.（2022?四川涼山??？家荒＃┯形鍙埿螤睢⒋笮『唾|(zhì)地相同的卡片A、B、C、。、E,正面分別寫有一個正多邊

形（所有正多邊形的邊長相等），把五張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，

（1）若從中隨機(jī)抽取一張（不放回），接著再隨機(jī)抽取一張.請你用畫樹形圖或列表的方法列舉出可能出現(xiàn)的所有結(jié)

果；

（2）從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，利用列表或畫樹狀圖計算：與卡片上圖形形狀相對應(yīng)的這兩種地板磚能進(jìn)行平面

鑲嵌的概率是多少？

17.（2022?江西贛州?統(tǒng)考二模）我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做噂鄰角四邊形”.例如：如圖①，NB=NC,

則四邊形488為“等鄰角四邊形”.

（1）定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是.

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形.

（2）深入探究：

①已知四邊形ABeZ）為“等鄰角四邊形”，且NA=120。，ZB=100o,則ND=

②如圖②，在五邊形ABCOE中，DE//BC,對角線8。平分/ABC,求證：四邊形ABZ）E為等鄰角四邊形.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③,在等鄰角四邊形ABCD中，NB=NC,點(diǎn)P為邊BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PMLAB,PNLCD,

垂足分別為M,N.在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，/W+/W的值是否會發(fā)生變化？請說明理由.

18.（2022?江西贛州?統(tǒng)考一模）我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”,例如:如圖1,ZB

=NC,則四邊形ABC。為等鄰角四邊形.

（1）定義理解：已知四邊形ABC。為等鄰角四邊形，且/A=130。，/8=120。，則ND=度.

（2）變式應(yīng)用：如圖2,在五邊形ABCDE中，ED//BC,對角線BE）平分NABc

①求證：四邊形ABOE為等鄰角四邊形；

②若NA+/C+NE=300。，ZBDC=ZC,請判斷CQ的形狀，并明理由.

（3）深入探究：如圖3,在等鄰角四邊形ABCZ）中，∕B=NBCD,CElAB,垂足為E,點(diǎn)P為邊BC上的一動點(diǎn)，

過點(diǎn)P作PNLCD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請說明

理由.

（4）遷移拓展：如圖4,是一個航模的截面示意圖.四邊形ABeo是等鄰角四邊形，ZA=ZABC,E為AB邊上的一

點(diǎn)，ED±AD,EClCB,垂足分別為。、C,AB=2√13dm,Ao=3dm,BD=而dm.ΛΛN分別為AE、BE的中

點(diǎn)，連接。M、CN,求△￡＞加與ACEN的周長之和.

【必刷基礎(chǔ)】

一、單選題

19.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考一模）如果一個多邊形的每個內(nèi)角都是144。，則它的邊數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

20.（2022?江蘇無錫?無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）如果一個多邊形的邊數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍后，其內(nèi)角和增加

了1260。，則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

21.（2022?河北唐山?統(tǒng)考二模）下列圖形中，內(nèi)角和與外角和相等的多邊形是（）

22?（2022?河北邯鄲?校考一模）如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀.圖中所示的是前3個五邊形，要完成這一圓環(huán)

還需（）個五邊形.

A.6B.7C.8D.9

23.（2022?上海?統(tǒng)考中考真題）有一個正〃邊形旋轉(zhuǎn)90后與自身重合，則"為（）

A.6B.9C.12D.15

24.（2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,則這個正多邊形是（）

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

25?（2022?廣西玉林.統(tǒng)考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDE尸的

頂點(diǎn)A處.兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點(diǎn)，

兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（）

A.4B.2√3C.2D.O

26.（2022?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，則/B4C的度數(shù)為

A.28°B.36°C.45°D.72°

27.（2022?四川南充?中考真題）如圖，在正五邊形ABCQE中，以AB為邊向內(nèi)作正aABF,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AE=AFB.NEAF=NCBFC./F=/FAFD.ZC=ZE

28.（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考二模）如圖.在五邊形48Cf）E中，ZBCD=ZEDC,BC=ED,AC=AD.

⑴求證：AB=AE;

⑵當(dāng)NS4￡=8O。，NEDC=90。時，請直接寫出NE的度數(shù)為度.

29.（2022春?浙江?九年級統(tǒng)考）如圖1,正五邊形ABCOE與。。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在。。上.

圖1

圖2

（1）求證：CD是。。的切線;

（2）若。。的半徑為5,求劣弧AC的長度;

（3）如圖2,連接Ao交。。于點(diǎn)F.求證：四邊形ABCF是菱形.

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

30.（2022?福建廈門?廈門雙十中學(xué)?？级＃┤鐖D，正三角形PMN的頂點(diǎn)分別是正六邊形ABCoEF三邊的中點(diǎn),

則正三角形PMN與正六邊形488防的周長之比（）

BE

A.1：2B.2：3

C.3：4D.3：8

31.（2022春?四川南充?九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形ABa）EF的頂點(diǎn)A點(diǎn)在y軸正半軸上，B、C兩點(diǎn)都在X

軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,把正六邊形ABCOEF繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使。點(diǎn)恰好落在X軸上的O'處，下列說

法錯誤的是（）

A.旋轉(zhuǎn)后的正六邊形可由六邊形ABCDEF向右平移2個單位得到

B.旋轉(zhuǎn)前、后兩個正六邊形組成的圖形關(guān)于直線CE、Ao對稱

C.旋轉(zhuǎn)前、后兩個正六邊形重疊部分面積為

D.旋轉(zhuǎn)過程中，E點(diǎn)經(jīng)過的路線長為更兀

7

32.（2022秋?山西陽泉?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正六邊形A8CDEF中，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若A8=4,則CG的

長為（）

,G

B?E

A.5B.6C.7D.8

33.（2022.河北石家莊.石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)A，4,A,.A”為一個正十二邊形相鄰的

四個頂點(diǎn)，則NAA4為（）

A.150B.20oC.250D.30°

二、填空題

34.（2023.陜西西安.陜西師大附中?？家荒＃┱呅蔚囊粋€內(nèi)角是正〃邊形一個外角的5倍，則”等于—

35.（2022?江蘇淮安?淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考二模）如果一個多邊形的每一個外角都是60。，那么這個多邊形的邊

數(shù)是.

36.（2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將一個正六邊形與一個正五邊形如圖放置，頂點(diǎn)A、B、C、。四點(diǎn)共線,

37.（2022?陜西西安??？寄M預(yù)測）一個多邊形的內(nèi)角和為1080。，從該多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)引對角線，可以把

這個多邊形分割成個三角形.

38?（2022?四川資陽?中考真題）小張同學(xué)家要裝修，準(zhǔn)備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面.現(xiàn)已選

定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是.（填一種即可）

39.（2022?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCZJE/中，M,N是對角線BE上的兩點(diǎn)，添加下列條

件中的一個：①BM=EN：②NFAN=4CDM；?AM=DN,④ZAMB=NDNE.能使四邊形AMDN是平行四

邊形的是（填上所有符合要求的條件的序號）.

三、解答題

40.（2023?全國?九年級）如圖，四邊形ABCZ）中，對角線AC,BD有交點(diǎn)，且NABC+NAQC=90。.點(diǎn)E與點(diǎn)C

在3。同側(cè)，連接BE,CE,DE,若AABDSACBE.

⑴求證：DCLCE；

（2）若萼=2，80=20,S*α,=[Sa）-，求BOE的面積

oCo16

41.（2021?河南?九年級專題練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，ABC和AEOC都是等邊三角形，點(diǎn)8、D、E在同一

條直線上，連接AE.

①NAEe的度數(shù)為；

②線段A￡、8D之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）拓展探究：如圖②，C和AEOC都是等腰直角三角形，NACB=NZKE=90。，點(diǎn)8、。、E在同一條直線

上，CM為△￡￡>C中OE邊上的高，連接AE,試求NAEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

(3)解決問題：如圖③，√lfiC和ATOC都是等腰三角形，ZAeB=ZDCE=36。，點(diǎn)8、D,E在同一條直線上,

請直接寫出/E4B+/EcB的度數(shù).

42.(2021?浙江湖州?統(tǒng)考一模)定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.

(1)如圖1,四邊形ABC。是“等對角四邊形“，ZB≠ZD,/8=90。，ZD=105°,則/C=°；

(2)已知，在AABC中，AC=4,BC=3,AB=5,。為AC的中點(diǎn)，E是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCQE是“等對角

四邊形”時.求對角線CE的長；

(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系XOy中，四邊形ABC。為“等對角四邊形”，其頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(-百，0),

(√3,0),頂點(diǎn)8在y軸上，頂點(diǎn)￡)在第四象限內(nèi)，且NAOC=I20。.P為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，拋物線y="χ2+?r+c

(〃>0)過A,C,P三點(diǎn)，當(dāng)滿足NAPC=T/A。C的P點(diǎn)至少有3個時，請直接寫出〃的取值范圍.

43.(2022?江蘇南京?模擬預(yù)測)如圖，ABC和BDE均為等邊三角形,連接AE、CD.

圖1圖2

⑴求證：AE=CD;

(2)連接4。，分別取邊40、CD、AE的中點(diǎn)F、G、H,連接FG、FH,設(shè)∕ABE=α.

①當(dāng)6(ΓVa<180。時(如圖1),求證：NCBE+NGFH=120°；

②當(dāng)（ΓVα<60。時（如圖2）,①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確結(jié)論，并說

明理由.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、正多邊形的對角線、正多邊形的概念判斷即可.

【詳解】解：A、邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形都是中心對稱圖形，邊數(shù)是奇數(shù)的正多邊形不是中

心對稱圖形，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；

B、正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；

C、邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長不都相等，可以以正八邊形為例得出對角線長不都相

等，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；

D、各邊相等的圓外切多邊形不一定是正多邊形，例如，圓外切菱形邊數(shù)正多邊形，故本選

項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

2.A

【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長公式求解即可.

【詳解】解：：十二邊形AHAz是正十二邊形，

.?.NAoA7=30°,

?.?。加，44于加，又OA=OA7,

.?.460M=15°,

1OAO

：正”邊形的周長="?2Rsin衛(wèi)，

n

圓內(nèi)接正十二邊形的周長k=24RSin150,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，求出正十二邊形的周長是解題的

關(guān)鍵.

3.D

【分析】一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或(n+l)邊形或(n-l)邊形,

由此即可解答.

【詳解】當(dāng)剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，

則這張紙片原來的形狀可能是四邊形或三角形或五邊形，不可能是六邊形.

故選D.

【點(diǎn)睛】剪去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰頂點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過一個頂點(diǎn)

和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條.

4.A

【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系可得(“-2"8(r=2x360。再解方程，從

而可得答案.

【詳解】解：設(shè)這個多邊形為〃邊形，則(〃一2>180。=2、360。，

H-2=4,

解得：〃=6,

所以從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)共有〃-3=6-3=3條對角線，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，多邊形的對角線問題，掌握“利

用多邊形的內(nèi)角和為(〃-2>180。,外角和為360?！笔墙忸}的關(guān)鍵.

5.D

【分析】多邊形的每一個內(nèi)角都等于120。，則每個外角是60。，而任何多邊形的外角是360。,

則求得多邊形的邊數(shù);再根據(jù)多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線="-3,即可求得對角線的條數(shù).

【詳解】解：：多邊形的每一個內(nèi)角都等于120。，

每個外角是60度，

則多邊形的邊數(shù)為360o÷60o-6,

則該多邊形有6個頂點(diǎn)，

則此多邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線共有6-3=3條.

這個多邊形的對角線有T(6×3)=9條，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和與外角和及多邊形對角線，掌握求多邊形邊數(shù)的方法是

解本題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】根據(jù)題意可得從〃邊型的同一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引"-3條對角線.

【詳解】解：；從一個四邊形的同一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引出4-3=1條對角線；

從五邊形的同一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出5-3=2條對角線，

從六邊形的同一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出6-3=3條對角線，

，從〃邊型的同一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引〃-3條對角線，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律題，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到規(guī)律求解.

7.B

【分析】根據(jù)題意先求得邊數(shù)，然后根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式即可求解.

【詳解】解：：正多邊形的一個外角是60。，

,該多邊形的邊數(shù)是36Qo÷6θo=6,

???該多邊形的內(nèi)角和是(6—2卜180。=720。.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，正多邊形的外角，掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題

的關(guān)鍵.

8.B

【分析】因?yàn)閳D中的圓形噴水池的內(nèi)角和度數(shù)為360。，為一個圓，利用圓的面積計算公式

求出圓形噴水池的面積即可.

【詳解】解：綠化園地為四邊形，四邊形的內(nèi)角和為360。，陰影部分的面積和為一個圓面

積，故這四個噴水池占去的綠化園地的面積為πx22=4π?

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查多邊形內(nèi)角和以及圓的面積計算方法等知識.

9.B

【分析】根據(jù)正六邊形內(nèi)角和公式求出內(nèi)角，根據(jù)三角形的判定定理證明AABN絲48CM,

通過角的等量替換即可證得.

【詳解】解：：六邊形A6CZ)EF是正六邊形，

NABC=ZBCD=52)?180=⑵。，AB=BC=CD,

6

"：M,N分別為邊CO,BC的中點(diǎn)，

：.BN=CM,

,△ABN會ABCM(SAS),

:./BNP=4CMB,

'：NCBM=ZPBN,

：.NBPN=ZBCD=120°,

NAPM=I20。，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和公式、三角形全等，解題的關(guān)鍵是熟悉并會用內(nèi)角和公式

求角的度數(shù).

10.C

【分析】多邊形的外角和都為360。，根據(jù)題意即可列出方程180。(”-2)=3x360。，算出邊

數(shù)〃即可解決問題.

oo

【詳解】解：根據(jù)題意可得：180(n-2)=3×360t

?*?n—2—6,

"=8,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理以及多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角

和不隨邊數(shù)的變化而變化.

11.B

【分析】根據(jù)多邊形外角和求出N5+N6=112。，根據(jù)角平分線定義進(jìn)而求出

N尸EP+NEFP=I24。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出N尸的度數(shù).

【詳解】解：；N1=N2=N3=N4=62。，多邊形的外角和為360。，

Z5+Z6≈360o-62o×4=l12°,

.?.NDEF+NAFE=248。,

VEP,分別平分NDE尸和/AFE,

：.NFEP=;NDEF,NEFP=；NAFE,

：.NFEP+NEFP=g(NDEF+NAFE)=124°,

ΛZP=56o.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定義，角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和，掌握以上

基礎(chǔ)知識是解決問題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正六邊形和正五邊形的內(nèi)角和內(nèi)角的補(bǔ)角，結(jié)合三角

形內(nèi)角和定理即可求解；

【詳解】解：正六邊形的內(nèi)角為：18()θχ{6-2)=]2o°,內(nèi)角的補(bǔ)角為：60。；

6

180X52

正五邊形的內(nèi)角為：°(-)O＞內(nèi)角的補(bǔ)角為：72°；

5=108

ΛZl=360o-[120o+108o+180o-(72°+60°)]=84°

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式，三角形的內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)知識并正確求解

是解題的關(guān)鍵.

13.C

【分析】進(jìn)行平面鑲嵌就是在同一頂點(diǎn)處的幾個多邊形的內(nèi)角和應(yīng)是360。，因此我們只需

要驗(yàn)證360。是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍即可.

【詳解】解：A、等邊三角形每個內(nèi)角的度數(shù)為60。，360o÷60o≈6,故該項(xiàng)不符合題意；

B、正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)為90。，360o÷90o=4,故該項(xiàng)不符合題意；

C、正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108。，360°÷108o=3∣,故該項(xiàng)符合題意；

D、正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為120。，360°÷120°=3,故該項(xiàng)不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查鑲嵌問題，正確掌握各正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)及鑲嵌的計算方法是解

題的關(guān)鍵.

14.C

【分析】根據(jù)鑲嵌滿足的條件:在小正方形的頂點(diǎn)處可以拼成360。求出正〃邊形的一個內(nèi)角，

進(jìn)而得到一個外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360。即可得出答案.

【詳解】解：正方形的一個內(nèi)角是90。，

二正”邊形的一個內(nèi)角=(360o-90o)÷2=135°,

正〃邊形的一個外角=180°—135°=45°,

.?.n=360o÷45o=8,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，掌握鑲嵌滿足的條件：在小正方形的頂點(diǎn)處可以

拼成360。是解題的關(guān)鍵.

15.B

【分析】正多邊形的組合能否鋪滿地面,關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的兒個角之和能否為360。,

若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿.

【詳解】解：?.?正三角形的內(nèi)角為60。，正六邊形的內(nèi)角為120。，

設(shè)圍繞某一個頂點(diǎn)拼在一起，成一個平面圖案，用X個正三角形、N個正六邊形，則

60ox+l20oy=360o;采用列舉法求解，從x=l,2,3,4來討論求值：

①當(dāng)x=2,y=2時，有兩種圖案，具體是60°,60°,120°,120°或60°,120°,60°,120°；

②當(dāng)x=4,y=l時,有一種圖案，具體是60。,60。,60。,60。,120。；

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了平面鑲嵌(鋪滿)問題，記住幾個常用正多邊形的內(nèi)角并能夠用兩種正多邊

形鑲嵌的幾個組合是解決問題的關(guān)鍵.

16.(1)見解析

【分析】(1)列出圖表即可得到所有的可能情況；

(2)根據(jù)平面鑲嵌的定義，能構(gòu)成平面鑲嵌的多邊形有正三角形與正方形，正三角形與正

六邊形，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解.

(0

解：列表得：

第一次/第二次ABCDE

ABACADAAE

BABCBDBBE

CACBCDCCE

DADBDCDDE

EAEBECEDE

所有出現(xiàn)的結(jié)果共有20種;

(2)

根據(jù)題意得：

ABCDE

AABACADAE

BBABCBDBE

CCACBCDCE

DDADBDCDE

EEAEBECED

由上表可知，共有20種可能的結(jié)果，其中能進(jìn)行平面鑲嵌的結(jié)果有6種，分別是：AB,AD,

BE,BA,DA,EB,

，這兩種地板磚能進(jìn)行平面鑲嵌的概率=捺=?.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及平面鑲嵌的知識，概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比，平面鑲嵌的條件：各個頂點(diǎn)處內(nèi)角和恰好為360。.

17.⑴②④

⑵①40?；?0?；?20。；②見解析

(3)不會發(fā)生變化，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質(zhì)即可解答；

(2)①分當(dāng)NC=No和Nr)=N4、NC=ZB時三種情況求解；

②由DE〃BC得NEf>B=/DBC,根據(jù)對角線BO平分/ABC,得ZABD=NDBC,故

ZABD=ZEDB,即證得四邊形ABQE為等鄰角四邊形；

(3)過C作C",AB于H,過P作PGLCH于G,由PM?LΛ5,CHlAB,PGLCH,

得四邊形PM"G是矩形，得PM=HG,可證明ΔPGC=ACVP,得CG=PN,即有

PM+PN=HG+CG=CH,從而說明在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，PM+/W的值總等于C到AB

的距離，不會變化.

(1)

解：①平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；

②矩形四個角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；

③菱形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；

④等腰梯形的兩個底角相等，是等鄰角四邊形.

綜上，②④是等鄰角四邊形.

故答案為：②④；

(2)

解：①當(dāng)NC=/D時，四邊形ABeD為“等鄰角四邊形”，

VZA=120o,ZB=IOOo,

.?.NC=ND=(360o-120o-l∞o)÷2=70°；

當(dāng)ND=NA=I20。時，四邊形ABCD為“等鄰角四邊形”，

當(dāng)NC=NB=KX)0時，四邊形A8C。為“等鄰角四邊形”，

ZD=360o-120o-IOOo-IOOo=40°；

故答案為：40?；?0?；?20。；

②；DE//BC,

ZEDB=ZDBC,

：對角線80平分NABC,

ZABD=ZDBC,

:.ZABD=ZEDB,

.?.四邊形A雙出為等鄰角四邊形；

(3)

解：在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN的值不會發(fā)生變化，理由如下：

過C作CHj.AB于H,過P作PG_LCH于G,如圖：

VPMVAB,CHIAB,PGlCH,

：.APMH=APGP=AMHG=90°,

二四邊形PM"G是矩形，

：.PM=HG,MH//PG,即A3〃PG,

.?.ZB=NGPC,

,.?ZB=ZNCP,

.?.NGPC=NNCP,

,：PNlCD,

：.NPGC=NGVP=90°,

在ΔPGC和ACWP中，

ZPGC=ZCNP

<NGPC=ZNCP,

CP=PC

,NPGC=bCNP(AAS),

CG=PN,

PM+PN=HG+CG=CH,

即在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，PM+PN的值總等于C到AB的距離，是定值.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

18.(1)55°

(2)①見解析；②ABCO是等邊三角形，理由見解析

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN=CE,理由見解析

(4)(6+2y∕↑3)dm

【分析】(1)由NA=I30。，/B=I20。知不可能還有內(nèi)角與NA、NB相等(否則內(nèi)角和大于

360°),則NC=/￡>,即得NO=55。；

(2)①由ED//BC得NEDB=∕DBC,根據(jù)對角線8。平分NABC得乙ABD=NQBC,故

NABD=NEDB,即證四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②設(shè)∕Ef>8=∕CBC=∕4BD=xtj,

?.IX=60

NBDC=NC=y°,由NA+∕C+∕E=300°得3x+y=240,在ABCD中，x+2)=180,可解得《“，

[y=60

即NoBC=60。，NBDC=NC=60。,故ABCD是等邊三角形;

(3)過尸作PGICE于G,由圖象可得：四邊形PMEG是矩形，再證明APGC畛ZXCWP,

得CG=PN,BRWPM+PN=EG+CG=CE;

(4)作B”"LAZλ由(3)中的結(jié)論可得：ED+EC=BH,設(shè)DH=Xdm,BH2=BD2-DH2=AB2

-AH2,解得X,求得BH,進(jìn)而求出ED+EC,再根據(jù)斜中線定理求得ADEM與ACfiTV的周

長之和.

【詳解】(1)解：；/A=I30°,/8=120°,

根據(jù)”等鄰角四邊形''定義可知：

ZC=ZD,

.?.ZZ>(360o-130o-120o)÷2=55o；

(2)①證明：,JEDHBC,

：.NEDB=NDBC,

；對角線8。平分NABC,

ΛZABD=ZDBC,

NABD=NEDB,

：.四邊形ABDE為等鄰角四邊形，

②解：ABCD是等邊三角形,理由如下：

由①知：NEDB=NDBC=NABD,

設(shè)NEDB=NDBC=NABD=x。,NBDC=NC=y°,

'：NA+NC+NE=300。，

五邊形ABCOE內(nèi)角和為(5-2)x180*540。，

.?.NEDC+NABC=540。-300。=240。，即：3x+產(chǎn)240,

在ABCD中，ZDBC+ZBDC+ZC=180°,即x+2y=180,

J[3x+y=240

由聯(lián)立方程組'12n,

[x+2y=180

fx=60

解得M

[>,=60

，ZDBC=60。,ZBDC=ZC=60o,

二ABCO是等邊三角形；

(3)解：在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN=CE,理由如下:

過戶作PG_LCE于G,如圖：

A

'：PMVAB,CELAB,PGlCEr

：.NPME=NMEG=NEGP=90。,

.?.四邊形PMEG是矩形，

：.PM=EG,MEHPG,ABHPG,

LNB=NGPC,

"：AB=ANCP,

：.ZGPC=ZNCPr

'：PNlCD,

：.NPGC=NCNP=90。,

"：CP=PC,

：ZGCQXCNP(AAS),

.,.CG=PN,

：.PM+PN=EG+CG=CE,

即在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PM+PN的值總等于CE；

(4)作BHLAO,垂足為H,如圖：

由(3)中的結(jié)論可得：ED+EC=BH,

設(shè)DH=xdm,

則AH=AD+DH=(,3+x)dm,

'：BHLAF,

：.ZBHA^90o,

.,.BH2=BD2-DH2=AB2-AH2,

VAB=2√13,AD=3,BD;而,

，(歷)2-√=(2√13)2-(3+X)2,

解得：x=l,

.".BH2=BD2-DH2,

=37-1=36,

.*.BH=6dm,

ΛED+EC=6,

YZADE=ZBCE=90°,

且M、N分別為4E、BE的中點(diǎn)，

：.DM=AM=EM=^AEfCN=BN=EN=gBE,

：./XDEM與ACEN的周長之和

DE+DM+EM+CN+EN+EC

=DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

=DE+EC+AB

—6+2?/r?,

???4DEM與＞CEN的周長之和為(6+2)dm.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義等鄰角四邊形的證明，三角形全等的判定和

性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是作

輔助線，構(gòu)造全等三角形.

19.C

【分析】利用內(nèi)角求出多邊形的每個外角的度數(shù)，根據(jù)外角和求出邊數(shù)即可.

【詳解】解：；一個多邊形的每個內(nèi)角都是144。，

.?.這個多邊形的每個外角都為180。-144。=36。，

???它的邊數(shù)為336=0°10,

36。

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的外角和，多邊形的內(nèi)角與外角為鄰補(bǔ)角的關(guān)系，正確掌握多邊

形的外角和及內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑年P(guān)系是解題的關(guān)鍵.

20.A

【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)內(nèi)角和公式("-2)x180。列方程求解即可.

【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，由題意得

(2n-2)×180=(∕7-2)×180+1260

解得n=7

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

21.C

【分析】根據(jù)任意多邊形的外角和為360。，四邊形的內(nèi)角和也為360。，據(jù)此即可求解.

【詳解】解任意多邊形的外角和為360。，四邊形的內(nèi)角和為(4-2)x180=360。，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和與內(nèi)角和，掌握任意多邊形的外角和為360。是解題的

關(guān)鍵.

22.B

【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(〃-2)?180。求出正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)，再延

長五邊形的兩邊相交于一點(diǎn)，并根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出這個角的度數(shù)，然后根據(jù)周角等于

360。求出完成這一圓環(huán)需要的正五邊形的個數(shù)，然后減去3即可得解.

【詳解】解:五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180o=540o,

所以正五邊形的每一個內(nèi)角為540o÷5=108o,

如圖，延長正五邊形的兩邊相交于點(diǎn)。，

則Z1=360o-l08o×3=360o-324o=36o,

360o÷36o=10,

,/已經(jīng)有3個五邊形，

Λ10-3=7,

即完成這一圓環(huán)還需7個五邊形.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，延長正五邊形的兩邊相交于一點(diǎn)，并求出這個角

的度數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意需要減去已有的3個正五邊形.

23.C

【分析】根據(jù)選項(xiàng)求出每個選項(xiàng)對應(yīng)的正多邊形的中心角度數(shù)，與90一致或有倍數(shù)關(guān)系的

則符合題意.

【詳解】如圖所示，計算出每個正多邊形的中心角，90是30的3倍，則可以旋轉(zhuǎn)得到.

B.

D..1-?

觀察四個正多邊形的中心角，可以發(fā)現(xiàn)正12邊形旋轉(zhuǎn)90。后能與自身重合

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形中心角與旋轉(zhuǎn)的知識，解決本題的關(guān)鍵是求出中心角的度數(shù)并與

旋轉(zhuǎn)度數(shù)建立關(guān)系.

24.C

【分析】設(shè)這個外角是x。，則內(nèi)角是3x。，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程求出外角

的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360。即可求解.

【詳解】解：；一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,

.?.設(shè)這個外角是x。,則內(nèi)角是3x。，

根據(jù)題意得：x+3x=180o,

解得：JC=450,

360°÷45°=8（邊），

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程是解題的

關(guān)鍵.

25.B

【分析】由題意可分別求出經(jīng)過2022秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，然后根據(jù)正多邊形的性

質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：?.'2022÷3=674,2022÷l≈2022,

.?.674÷6=112??…2,2022÷6=337,

.?.經(jīng)過2022秒后，紅跳棋落在點(diǎn)A處，黑跳棋落在點(diǎn)E處,

連接AE,過點(diǎn)尸作尸GLAE于點(diǎn)G,如圖所示：

在正六邊形ABer>￡尸中，AF=EF=2,ZAFE=UOo,

：.AG=-AE,ZFAE=NFEA=30°,

2

.,.FG=-AF=},

2

；?AG=y∣AF2-FG2=√3，

AE=2√3,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的

性質(zhì)，熟練掌握圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

26.B

【分析】根據(jù)題意可得五個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個正五邊形，利用正多邊形內(nèi)角和

可得NEAB=NACO=108。，再由鄰補(bǔ)角得出NACB=/EAC=72。，結(jié)合圖形代入求解即可.

【詳解】解：如圖所示，五個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個正五邊形，

."EM=/AS=W9=儂。，

???ZACB=ZEAC=180°-108°=72°,

NBAC=NEAB-NEAC=I08。-72°=36°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角等，理解題意，熟練掌

握運(yùn)用正多邊形內(nèi)角和的計算公式是解題關(guān)鍵.

27.C

【分析】利用正多邊形各邊長度相等，各角度數(shù)相等，即可逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：：多邊形ABCoE是正五邊形，

，該多邊形內(nèi)角和為：(5-2)×180o=540o,AB=AE,

540°

.?.NC=NE=NE4B=ZABC=-y-=108。，故D選項(xiàng)正確；

,/是正三角形，

Z.FAB=NFBA=NF=60o,AB=AF=FB>

，NEAF=ZEAB-NFAB=108o-60°=48o,NCBF=ZABC-NFBA=108o-60°=48°,

：.NEAF=NCBF,故B選項(xiàng)正確；

VAB^AE,AB=AF=FB,

AE=4尸，故A選項(xiàng)正確；

VZF=60o,ZE4F=48o,

ΛZF≠AEAF,故C選項(xiàng)錯誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握正多邊形“各邊長度相

等，各角度數(shù)相等”是解題的關(guān)鍵.

28?⑴見解析

(2)140°

【分析】(1)根據(jù)AC=4)可得/ACD=NADC,NBCD=NEDC,可得/4CB=N4OE,

進(jìn)而運(yùn)用SAS即可判定全等三角形；

⑵先利用AABC絲Ef)(S4S),得到NB=NE,再利用五邊形的內(nèi)角和即可求解.

(1)

證明：,."AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

又,：NBCD=NEDC,

：.ZACB=ZADE,

'BC=ED

在ZkABC和ZkAED中，<ΛACB=ZADE,

AC=AD

：.ΛABC^∕?AED(SAS),

，AB=AE;

(2)

解：V∕?ABC^ΛAED(SAS),

；?ZB=NE,

,/ZEDC=90o,NBCD=NEDC

：.NBCD=NEDC=90°,

；五邊形的內(nèi)角和=(5-2卜180。=540。,ZBAE=SOo

：.ZBAE+ZBCD+ZEDC+ZB+ZE=540°,

即80o+90o+90o+2ZE=540°,解得ZE=140o,

故答案為：140°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意：兩邊及其夾角對應(yīng)

相等的兩個三角形全等.

29.(1)證明見解析

(2)4%

(3)證明見解析

【分析】(1)證明DABOMDCBO(SSS),進(jìn)而求解即可；

(2)由∕E4O+ZAOC+NOCr>+NO+NE=540。得至IJNAOC=I44。，代入弧長公式計算即

可；

(3)利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到兩組對邊分別平行，證明四邊形ABCF是平行四邊形，而

BA=BC,便可證明結(jié)論.

【詳解】(1)如圖，連接。4、OB、OC

AE是。。的切線

.-.OALAE

.?.AOAE=90°

在AABO和ACBO中

AB=BC

<OA=OC

OB=OB

.?.DABOMDCBO(SSS)

.-.ZBAO=ZBCO

.?.ZOCD^ZOAE=90°

..OCLCD

C力是。。的切線；

(2).ZEAO+ZAOC+AOCD^ΔD+AE=540°

??.ZAOC=144。

??.劣弧4C的長度=144^—=4萬

180

(3)五邊形ABCDE是正五邊形

.?.∕E=/B=Io8°,EA=ED

ΛEAD^36°

"BAD=72。

ZB+ZBAD=↑80°