高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)課時(shí)訓(xùn)練 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第二章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

第1課時(shí)函數(shù)及其表示

a[基礎(chǔ)過(guò)關(guān)]

J1CHUGUOGUAN-------------------

1.下列對(duì)應(yīng)f是從集合A到集合B的函數(shù)有個(gè).

①A=N,B=N*,f：x—y=|x—2|；

②A={L2,3},B=R,f(l)=f(2)=3,f(3)=4；

③A=[—1,1],B={0},f：x-y=0.

答案：2

2.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是.(填序號(hào))

①y=x—1與y=y](x—1)；

③y=41gx與y=21gx2；

x

④y=lgx—2與y=lg^.

答案：④

解析：①中y=7(x—1)2的表達(dá)式為y=|x-11,與y=x-1表達(dá)式不一致；②中y

=、X—1的定義域?yàn)椋鹸|x21｝,y=-j=的定義域?yàn)椋鹸|x>l｝；③中y=41gx的定義域?yàn)?/p>

y/x—1

｛x|x>0｝,y=21gx?的定義域?yàn)椋鹸|xW0｝；④中兩個(gè)函數(shù)定義域和表達(dá)式都一致.

3.若f(/+l)=x+l,則f(x)=.

答案:X2-2X+2(X^1)

解析：令t=/+l,則X=(t—I))所以f(t)=(t—1尸+1.

4.已知函數(shù)巾(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函

數(shù)，且=巾(1)=8,則巾(x)=.

5

答案：3x+-(xW0)

x

解析：由題可設(shè)巾(x)=ax+g,代入力電=16,6(1)=8,得a=3,b=5.

[3x+2,x<l,

5.已知函數(shù)f(x)=｛21、若f(f(0))=4a,則實(shí)數(shù)a=__________.

[x+ax,xNl,

答案：2

解析：f(0)=3X0+2=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,a=2.

6.現(xiàn)向一個(gè)半徑為R的球形容器內(nèi)勻速注入某種液體，下面圖形中能表示在注入過(guò)程

中容器的液面高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系的是.(填序號(hào))

答案：③

解析：從球的形狀可知，水的高度開(kāi)始時(shí)增加的速度越來(lái)越慢，當(dāng)超過(guò)半球時(shí)，增加的

速度又越來(lái)越快，故③正確.

13【能力提升】

NENGUTISHENG-----------------------------------------

x20,

7.設(shè)函數(shù)一若f(a)+f(—l)=2,則@=.

—x,x<0,

答案：±1

解析：Vf(a)+f(―1)=2,且f(―1)=，I=1,f(a)=1,當(dāng)a20時(shí)，f(a)=y/a

=1,a=l；當(dāng)aXO時(shí)，f(a)=yj—a=l,a=—1.a=±1.

x2+2ax,x22,

8.已知函數(shù)f(x)=一°若f(f(l))>3/，則a的取值范圍是.

[2、+1,x<2,

答案：(-1,3)

解析：由題知，f⑴=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a=9+6a,若f(f⑴)>3a,則

9+6a>3a2,即a2—2a—3<0,解得一l<a<3.

9.已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y均有f(x+y)—f(y)=x(x+2y+l)成立，且f(l)=

求f(0)的值;

(2)試確定函數(shù)f(x)的解析式.

(1)令x=l,y=0,得f⑴一f(0)=2.

又f(1)=0,故f(0)=—2.

⑵令y=0,則f(令一f(0)=x(x+l),

由(1)知，f(x)=x(x+l)+f(0)=x(x+l)—2=x2+x—2.

fx2+l,x20,

10.已知函數(shù)f(x)=1g(x)=x+2.

[Lx<0,

(1)若f(g(a))=g(f(—1)),求a的值；

(2)解不等式f(l—x2)>f(2x).

解：(1)由條件，g(f(—1))=3,g(a)=a+2,

所以f(g(a))=g(f(—1))即為f(a+2)=3.

當(dāng)a+220,即—2時(shí)，(a+2)2+1—3,所以a=—2+，^；

當(dāng)a+2<0,即a<一2時(shí)，顯然不成立.

所以a=-2+y[2.

\1—x2>0,

(2)由f(l—x?)>f(2x),知

[1-X2>2X,

解得一1<X〈鏡一1.

所以不等式的解集為(一1,十一1).

X21

11.是否存在正整數(shù)a、b,使f(x)=-且滿足f(b)=b&f(-b)<一二？若存在,

ax-2b

求出a、b的值；若不存在，說(shuō)明理由.

解：假設(shè)存在正整數(shù)a、b滿足題意.

2b2

*.*f(x)=--x--f(b)=b,—~~-=b,即(a—l)b=2.

ax—2ab—2

fa=3,[a=2,

???a、b￡N*,???或

[b=l[b=2.

2

x11

當(dāng)a=3,b=l.時(shí)，f(x)=3X—2,止匕時(shí)一b=-l,f(-b)=f(-1)=--1=-

因此a=3,b=l不符合題意，舍去；

2211

=xf

當(dāng)a=2,b=2時(shí),f(x)2x~2此時(shí)一b=-2,(—b)=f(—2)=—§〈一]=一耳,

符合題意.

2

x

???存在a=2,b=2滿足條件使f(x)=^~~-

第2課時(shí)函數(shù)的定義域和值域

U【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】

JICHUGUOGUAN

1

1.函數(shù)y

9

答案：q,+8)

f3x—2>0,2/2、

解析：由L?八得x>?故函數(shù)定義域?yàn)閭€(gè)+8.

[2x—1>0,JVJ

2.(2014?蘇錫常鎮(zhèn)二模)函數(shù)y=4(x>e)的值域是

答案：(0,I]

解析：y=4為[e，+8)上單調(diào)遞減函數(shù)，從而函數(shù)值域?yàn)?0,1].

Inx

3.若集合M={y|y=2f},N={y\y=y[x—i},則MGN=.

答案：{y|y>0}

解析：M=yy=e?={y|y>0}，N={y|y》o},

/.MGN={y|y>0}G{y|y20}={y|y>0}.

4.函數(shù)y=，^—x(x21)的值域?yàn)?

答案：(一8,0]

解析：丫=—J+；，因?yàn)閤》l,所以yWO.

5.若函數(shù)y=gx2—2x+4的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b],貝！Jb=

答案：2

解析：y=1x2—2x+4=1(x—2)2+2,顯然f(2b)=2b,結(jié)合b>l,得b=2.

6.已知f(x)=a—4是定義在(-8,+8)上的奇函數(shù)，則f(x)的值域

為.

答案：[―|，—1)u(|,|]

解析：：f(x)=a—Q"是定義在(一8,-l]u[l,+8)上的奇函數(shù)，則滿足f(—

Z—1

1)+f(1)=0,可得a=—?jiǎng)tf(X)=一〈一束二.由x￡(―8,—1]u[1,+8),得0〈2”

2乙乙一1

或2，三2,可得B〈一(一或一|w一1]_1

2x-r-2'

b【能力提升】

NENGUTISHENG-----------------------------------------

7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在［a,b］ID,

使f(x)在［a,b］上的值域?yàn)椋郇Db,—a］,那么y=f(x)叫做對(duì)稱函數(shù).現(xiàn)有f(x)=42—x—

k是對(duì)稱函數(shù)，則k的取值范圍是.

9

答案：［2,-］

解析：由于f(x)=4二一k在(一8,2］上是減函數(shù)，故滿足①.又f(x)在［a,b］上的

?*.a和b是關(guān)于x的方程，二三一1<=—*在(-8,2］上的兩個(gè)不同實(shí)根.令±=近二^,

,199

則乂=2—1?,t20,k=—t2+t+2=—(t--)2+~,/.k的取值范圍是ke［2,-］.

[2X,x<0,

8.若函數(shù)f(x)=J2-,x>0則函數(shù)y=f(f(x))的值域是

答案：J，一加41)

解析：xVO時(shí)，f(x)=2xe(0,1),1<百<1,f(f(x))=—(J

e-1,同

理可得x>0時(shí),f(f(x))￡《，1］.綜上所述，函數(shù)y=f(f(x))的值域是(一1,—1

9.若函數(shù)f(x)=\l(a2—1)x2+(a—1)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

解：由函數(shù)的定義域?yàn)镽,可知對(duì)x￡R,f(x)恒有意義，即對(duì)x￡R,(a2-l)x2+(a-

2

l)x+—7^0恒成立.

a+1

①當(dāng)不一1=0,即a=l(a=—1舍去)時(shí)，有120,對(duì)x￡R恒成立，故a=l符合題

-zfe.

思；

②當(dāng)『一1W0,即aW±l時(shí)，則有

a2-l>0,

<2

△=(a-1)2-4(a2-l)X——^0,

a+1

解得l〈aW9.

綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,9].

10.已知函數(shù)g(x)=#+1,h(x)=(—3,a]),其中a為常數(shù)且a>0,令函

XIo

數(shù)f(x)=g(x)?h(x).

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并求其定義域；

(2)當(dāng)a=；時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.

解：(1)f(x)xe[0,a](a>0).

x十3

19

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,-],令正+l=t,則x=(t—1)：te[1,萬(wàn)],

t1433

f(x)=F(t)=-2~-----：---,當(dāng)t=/時(shí)，t=±2[1,-],又t￡[l,弓]時(shí)，t

t—Zt十4,4t/z

t+--2

+：?jiǎn)握{(diào)遞減，F(xiàn)(t諭JWNF(t)eg,由.即函數(shù)f(x)的值域?yàn)樽壳?

11.設(shè)函數(shù)f(x)=yll—x+^/l+x+-\/l—x.

(1)設(shè)t=gi+x+dl—x,求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)h(t)；

(2)求函數(shù)f(x)的最值.

(1+x20,

解：(1)???A/.一IWxWl,

[l—x20,

t?=(Nl+x+Jl—X)2=2+2^J1—x?￡[2,4],

2

t[y[2,2].由dl-x?：#-].,h(t)=-1t+t—1,t[_y[2f2].

113

(2)由h(t)=5t?+t—l=](t+l)2-2￡[鎘，3],

???f(x)的最大值為3,最小值為

第3課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

a［基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】

J1CHUGUOGUAN-------------------

1.(2014?北京)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是.(填序號(hào))

①y=e-x；②y=x3；③y=lnx；④y=|x|.

答案：②

解析：由定義域?yàn)镽,排除選項(xiàng)③，由函數(shù)單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)①④.

2.函數(shù)y=x—工的單調(diào)增區(qū)間為

X

答案：(一8,0),(0,+°°)

3.已知f(x)=x2+x,貝虹。+")f(2).(填"W”或“2”)

答案：三

解析：???f(x)的對(duì)稱軸方程為X=一〈，；.f(x)在(一；，+8)上為增函數(shù).又^十二》

212/a

2,

4.函數(shù)f(x)=2X+Iogzx,xe［1,2］的值域是.

答案：［2,5］

解析：因?yàn)閒(x)=2，+log2x在區(qū)間［1,2］上為增函數(shù)，所以f(x)e［2,5］.

5.若函數(shù)f(x)=x?+ax與g(x)=’7在區(qū)間(1,2)上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范

X—1

圍是?

答案：［—2,0)

解析:若f(x)在(1,2)上是增函數(shù),則a》一2；若g(x)在(1,2)上是增函數(shù),則a〈0.

6.設(shè)函數(shù)f(x)=|x|x+bx+c,則下列命題正確的是.(填序號(hào))

①當(dāng)b〉0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；

②當(dāng)b〈0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上有最小值；

③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,c)對(duì)稱；

④方程f(x)=0可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根.

答案：①③④

fx2+bx+c,xNO,

解析：當(dāng)b>0時(shí)，f(x)=|x|x+bx+c=|2知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)

[-X+bx+c,x<0

fx2+bx+c,x20,

增函數(shù)，故①正確；當(dāng)b<0時(shí)，f(x)=|x|x+bx+c=1值域是R,故函

〔一x2+bx+c,x<0,

數(shù)f(x)在R上沒(méi)有最小值，故②不正確；若f(x)=|x|x+bx,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(-

x)=-f(x)),也就是說(shuō)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱.而函數(shù)f(x)=|x|x+bx+c的圖

象是由函數(shù)f(x)=|x|x+bx的圖象沿y軸移動(dòng)，故圖象一定是關(guān)于(0,c)對(duì)稱，故③正確；

令b=-2,c=0,則f(x)=|x|x—2x=0,解得x=0,2,一2.故④正確.

「占【能力提升】

NENGUT1SHENG-----------------------------------------

7.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上是單調(diào)增函數(shù).若

f(l)<f(lnx),則x的取值范圍是.

答案：(0,￡|u(e,+8)

解析：|lnx|>l,所以lnx〈一l或lnx>l,所以0〈xX■或x>e.

e

8.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2—x)=f(x),且當(dāng)x》l時(shí)，f(x)=lnx,貝U

f(2)、f(|的大小關(guān)系為.(從小到大排列)

答案：

解析：由f(2—x)=f(x)可知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，又當(dāng)xel時(shí)，f(x)=

Inx,可知當(dāng)x2l時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x<l時(shí)f(x)為減函數(shù).因?yàn)?一1|<|4一1

<|2-1|,所以fW<f《｝f(2).

9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax?+bx+l(a、b￡R).

(1)若f(—1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)20,求實(shí)數(shù)a、b的值；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)x￡［—2,2］時(shí)，g(x)=f(x)—kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取

值范圍.

解：(1)a=l,b=2.

(2)由(1)知,f(x)=X2+2X+L所以g(x)=x2+(2—k)x+l,因?yàn)間(x)在［―2,2］

上是單調(diào)函數(shù)，所以［-2,2］1—8,?或［—2,2］三，+°°｝解得kW—2或k

26.

x

10.已知f(x)=------(xWa).

x-a

(1)若a=—2,試證f(x)在(一8,—2)內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)若a>0且f(x)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

(1)證明：設(shè)x《X2<—2,

EI"\\Xix2(xi—x)

=-2=2

人Jf(X1)-f(X2)X1+2X2+2(X1+2)(X2+2),

*.*(xi+2)(X2+2)>0,xi—X2<0,

f(Xi)<f(X2),

???f(x)在(一8,—2)內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)解：設(shè)l<xi<X2,則

xiX2_______a(X2-Xi)

f(X1)—f(x)

2xi—aX2—a(xi—a)(X2-a)

*.*a>0,x2—xi>0,要使f(xi)—f(X2)>0,

只需(xi—a)(X2—a)>0恒成立，

JaWL

綜上所述，a的取值范圍為(0,1].

11.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n,總有f(m+n)=f(m)?f(n),且

當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<l.

(1)試求f(0)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)A={(x,y)If(x2)?f(y2)>f⑴},B={(x,y)|f(ax—y+^/2)=l,a￡R},若AGB

=，試確定a的取值范圍.

解：(1)在f(m+n)=f(m)?f(n)中，令m=l,n=0,得f(l)=f(l)?f(0).

因?yàn)閒(l)W0,所以f(0)=l.

(2)任取xi、X2^R,且X1<X2.

在已知條件f(m+n)=f(m)?f(n)中，若取m+n=X2,m=xi,則已知條件可化為f+2)

=f(xi)?f(x2—Xi).

由于X2—xi>0,所以0〈f(X2—xi)&L

為比較f(xD,f(x,的大小,只需考慮f(x])的正負(fù)即可.

在f(m+n)=f(m)?f(n)中，令m=x,n=—x,則得f(x)?f(—x)=1.

因?yàn)楫?dāng)X〉。時(shí)，0〈f(x)〈l,所以當(dāng)x〈。時(shí),f(x)=F7^r>l>0.

又f(0)=1,所以綜上可知，對(duì)于任意的xiGR,均有f(xJ>0.

所以f(X2)—f(X1)=f(X1)[f(x2—X1)—l]<0.

所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.

(3)f(x2)-f(y2)>f(l),BPx2+y2<l.

f(ax—y+^/2)=l=f(0),即ax—y+/=0.

冷汽，解得

由AClB=史，得直線ax—y+$=0與圓面x'+y?。無(wú)公共點(diǎn)，所以

一IWaWl.故a的取值范圍為[-1,1]

第4課時(shí)函數(shù)的奇偶性及周期性

[基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】

JICHUGUOGUAN-----------------------------------------

2

1.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一2a,a-3),則a=.

答案：3

解析：(-2a)+(a?-3)=0,且一2a<0.

2.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lgx,貝U￡,(擊力=

答案:-lg2

解析：因?yàn)閒h/j=lg+=一2，所以(-2)=—f(2)=—lg2.

x

3-若函數(shù)f(xf+l)(x—a)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=—

1

答幕2-

解析：由f(―x)=—■f(x)恒成立可得a=*

4.(2014四川)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)xe[—1,1)時(shí)，f(x)=

-4X2+2,—1WX<0,

x,0Wx<l,

答案：1

解析：由題意可知，噂上乖一/二^一另二一(—勺+2=1.

5.設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[―1,1]上，f(x)=

ax+1,-l^x<0,

<bx+2其中a、b￡R.若貝！Ja+3b=.

—nr，oWxWi,wa

、X十1

答案：一10

解析：因?yàn)樾?=0，函數(shù)f(x)的周期為2,所以2)=f卜習(xí).根據(jù)f(X)

ax+1,—lWx〈O,

b+2

=4bx+2得3a+2b=-2.又f(1)=f(—1),得到一0+1=不一，即2a+b=

--r,OWxWl,2

[x+1

0.結(jié)合上面的式子解得a=2,b=—4,所以a+3b=-10.

fx2+x(x20),

6.(2014?蘇州期末)已知f(x)=,、則不等式fix?—x+1)<12的解集

t-x2+xz(x<0),

是.

答案：(-1,2)

解析：由函數(shù)圖象知f(x)為R上的增函數(shù)且f(3)=12.從而X2—X+1V3,即X?一x—2

<0,-l<x<2.

【能力提升】

NENGUTISHENG-----------------------------------------

7.(2014?徐州二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xWO時(shí)，f(x)=-

X2-3X,則不等式f(x—1)>—x+4的解集是.

答案：(4,+°°)

[―X2-3x,xWO,

解析：由題意得f(x)=2c

[x-3x,x>0,

[—(x-1)2—3(x—1),x—IWO,

f(X—1)=\p

〔(x—1)—3(x—1),x—1>0,

[—x2—x+2,xWl,

即f(X-1)=<2-

〔x"一5x+4,x>L

[—x2—x+2>—x+4,[x2—5x+4>—x+4,

所以不等式f(x—1)>—x+4可化為-I或

[xWl,Lx>li,

解得x>4.

8.(2014?新課標(biāo))已知偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，f(3)=3,貝!!f(一

1)=.

答案：3

解析：因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f(3)=f(1).又函數(shù)為偶函數(shù)，所以f(-

D=f(l),故f(—1)=3.

9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；

(2)若f(x)=#(O〈xWl),求xe[—5,—4]時(shí),函數(shù)f(x)的解析式.

(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，得f(x+l)=f(l—x),

即有f(-x)=f(x+2).

又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x).

從而f(x+4)=—f(x+2)=f(x),即f(x)是周期為4的周期函數(shù).

(2)解：由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)=0,當(dāng)xe[—1,0)時(shí)，一xe(0,

1],

故xG[—l,0]時(shí)，f(x)=—

又f(0)=0,xe[-5,-4],x+4e[-1,0],

從而，xe[—5,-4]時(shí)，函數(shù)f(而=一,一x—4.

10.設(shè)函數(shù)f(x)=a-(k-l)a^(a>0且aWl)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).

(1)求k的值；

(2)若f(l)<0,試判斷函數(shù)單調(diào)性，并求使不等式f(x2+tx)+f(4—x)<0對(duì)任意實(shí)數(shù)

x恒成立的t的取值范圍.

解:(1)：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

f(0)=0,1—(k—l)=0,/.k=2.

(2)f(x)=a*—af(a〉0且aWl),

由于由l)〈0,a——<0,0<a<l.

a

/.f(x)在R上是減函數(shù).不等式f(x2+tx)+f(4—x)<0等價(jià)于f(x2+tx)<f(x—4).

x?+tx>x—4f即x?+(t—l)x+4>0T旦成立.

???A=(t-l)2-16<0,解得一3ct<5.

11.設(shè)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x—x2.

(1)求當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式;

(2)請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的正數(shù)a、b,當(dāng)x￡[a,b]時(shí)，g(x)=f(x),且g(x)的值域?yàn)?/p>

K，-?若存在，求出a、b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

_ba_

解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，—x>0,于是f(―x)=2(—x)—(―x)'—2x—x?.

因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(x)=—f(―x)=—(―2x—x2)=2x+x2,即f(x)=2x+x2(x<0).

(2)假設(shè)存在，則由題意知g(x)=2x—x?=—(x—1尸+1,xe［a,b］,a>0,所以

a

r2i

2a—a=一，

ai

a'l,從而函數(shù)g(x)在［a,b］上單調(diào)遞減.于是《所以a、b是方程2x—x?=一的

21x

2b—b"=7，

Ib

兩個(gè)不等正根，方程變形為Y—2/+1=0,即(x—1)(六一x—1)=0,方程的根為x=l或x

=1因?yàn)?〈a〈b,所以a=l,

第5課時(shí)函數(shù)的圖象

［基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】

J1CHUGUOGUAN-------------------

2x+1

i.函數(shù)f(x)=T"圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是

X—1

答案：(1,2)

解析：f(x)=2+--

X—1

2.函數(shù)f(x)=(2—a?)x+a的圖象在區(qū)間［0,1］上恒在x軸上方，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是?

答案：(0,2)

［f(0)>0,

解析：由題意，只需1(1)>()即可.

3.設(shè)f(x)表示一x+6和一2x?+4x+6中較小者，則函數(shù)f(x)的最大值是.

答案：6

解析：在同一坐標(biāo)系中，作出y=-x+6和y=—2x2+4x+6的圖象如圖所示，可觀察

出當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值6.

4.函數(shù)f(x)=|x2—ax—a|(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是

總心「a—)a2+4aaLJa+胃不瓦,

答案：---2------，9和----2------'+0°

5.不等式lg(—x)〈x+l的解集是.

答案：(一1,0)

6.設(shè)D={(x,y)|(x-y)(x+y)WO},記“平面區(qū)域D夾在直線y=—1與y=t(te[—

1,1])之間的部分的面積”為S,則函數(shù)S=f(t)的圖象的大致形狀為.(填序號(hào))

①②

答案：③

解析：如圖平面區(qū)域D為陰影部分，當(dāng)t=-1時(shí)，S=0,排除④；當(dāng)t=一(時(shí)，

排除①②.

U[能力提升]

NENGUT1SHENG-----------------------------------------

7.對(duì)于函數(shù)y=f(x)(xWR),給出下列命題：

①在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(1—x)與y=f(x—1)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱;

②若f(l—x)=f(x—1),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱；

③若f(l+x)=f(x—l),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)；

④若f(l—x)=—f(x—1),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.

其中正確的是.(填序號(hào))

答案：③④

解析：：f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，函數(shù)y=f(X—1)與y=f(1—

x)的圖象可以分別由f(x)與y=f(一x)的圖象向右平移了一個(gè)單位而得到，從而可得函數(shù)y

=f(x—1)與y=f(l—x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；若f(l—x)=f(x—1),令

t=l-x,有f(t)=f(—t),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；若f(l

+x)=f(X—1),則f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x),函數(shù)y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù),

故③正確；若f(l—x)=—f(x—1),則可得f(—1)=—f(t),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，從而

可得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，故④正確.

8.(2014?蘇北四市期末)已知函數(shù)f(x)=x1x—2],則不等式f(鏡一x)Wf⑴的解集

為.

答案：[—1,+8)

解析：f(x)示意圖如下：f(l)=l,令X(X—2)=1,x>2,解得x=M+l,從而

—x)Wf(l),即—+L解得x》一1.

9.作出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)y=|3x-l|；

(2)y=|x—2|(x+1).

⑶一1,x20,

解：(1)y=3—1|=<Qx小圖象如下，其單調(diào)增區(qū)間是(0,+8),單調(diào)減區(qū)

[13,X\O9

間是(一8,0).

(2)由y=|x—2|(x+1)圖象如下，其單調(diào)增區(qū)間是

—8,勺和(2,+8),單調(diào)減區(qū)間是七，2

10.若直線y=2a與函數(shù)y=1，一1|(a>0且aWl)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值

范圍.

解：當(dāng)0<a<l時(shí)，y=|a*—11的圖象如圖1所示，由己知得0<2a<l,即0<a<g.

當(dāng)a>l時(shí)，y=1a*—11的圖象如圖2所示，

由已知可得0<2a<l,即0<a<(,但a>l,故ad.

綜上可知，a的取值范圍為(0,

11.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,并對(duì)一切實(shí)數(shù)x,都滿足f(2+x)=f(2—x).

(1)證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；

(2)若f(x)是偶函數(shù)，且x￡[0,2]時(shí)，f(x)=2x—1,求x￡[―4,0]時(shí)的f(x)的表

達(dá)式.

(1)證明：設(shè)P(xo,yo)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點(diǎn)，則yo=f(xo),點(diǎn)P關(guān)于直線x

=2的對(duì)稱點(diǎn)為P'(4—xo,yo).因?yàn)閒(4—xo)=f(2+(2—xo))=f(2—(2—xo))=f(xo)=

yo,所以P'也在y=f(x)的圖象上，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

(2)解：因?yàn)楫?dāng)x￡[—2,0]時(shí)，-x￡[0,2],

所以f(―x)=—2x—1.

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，

所以f(x)=f(—x)=-2x—1,x￡[—2,0].

當(dāng)x￡[—4,12]時(shí)，4+x￡[0,2],

所以f(4+x)=2(4+x)—l=2x+7.

而f(4+x)=f(—x)=f(x),

所以f(x)=2x+7,x￡[—4,—2].

2x+7,x￡[—4,—2],

所以f(x)=

—2x—1,[-2,0].

第6課時(shí)二次函數(shù)

「占［基礎(chǔ)過(guò)關(guān)］

J1CHUGUOGUAN-------------------

1.函數(shù)y=2x?—8x+2在區(qū)間［―1,3］上的值域?yàn)?

答案：［-6,12］

解析：y=2(x—2V一6.當(dāng)x=2時(shí)，y最小為一6；當(dāng)x=一1時(shí)，y最大為12.

2.設(shè)f(x)=x2+ax+3,不等式f(x)》a對(duì)x￡R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

答案：-6WaW2

解析：依題意，x?+ax+3—aNO對(duì)xGR恒成立，故函數(shù)的圖象恒在x軸的上方或與x

軸最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，從而A=1—4(3—a)W0.

3.二次函數(shù)f(x)=2x?+5,若實(shí)數(shù)pWq,使f(p)=f(q),則f(p+q)=.

答案：5

解析：由f(p)=f(q),知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=字，則f(p+q)=f(0)=5.

4.已知函數(shù)f(x)=ax'+(l—3a)x+a在區(qū)間［1,+8)上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是?

答案:［0,1］

1一Qo

解析：若a=0,滿足題意；若aWO,則a>0且一工一W1.

2a

19

5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2—4x+c的值域是［0,+°°),則一+-的最小值是

ac

答案：3

解析：由二次函數(shù)f(x)=ax?+bx+c的值域?yàn)椋?,+°°),知a>0,且t)2=4ac,從而

ac=4,則nIl&,+9丁1/,丁9a》、2、仁/I義9?二工

6.若函數(shù)f(x)=ax?+bx+6滿足條件f(—l)=f(3),則f(2)的值為

答案：6

解析：由.l)=f⑶知，對(duì)稱軸x=-/=l,則b=-2a,所以f(2)=4a+2b+6

=6.

?！灸芰μ嵘?/p>

NENGUTISHENG-----------------------------------------

7.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a、b、c為實(shí)數(shù)，aWO)的圖象過(guò)點(diǎn)C(t,2),

且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若ACLBC,貝lja=

答案：一上

解析：設(shè)y=a(x—Xi)(x—X2),由條件，a(t—Xi)(t—x2)=2,又AC_LBC,利用斜率關(guān)

22

系得,1,所以a=一萬(wàn).

t—Xit—X2

\—2,x>0,

8.設(shè)函數(shù)f(x)=?一八若f(—4)=f(0),f(—2)=0,則關(guān)于x的不等

[x+bx+c,xWO,

式f(x)Wl的解集為.

答案：{x|-3WxW—1或x>0}

解析：由f(—4)=f(0),得b=4.又f(―2)=0,可得c=4,

fxWO,[x>0,

2或可得一3WxW—1或x>0.

|y+4x+4Wl〔一2W1,

9.已知函數(shù)f(x)=ax?+bx+c(a>0,b￡R,c￡R).

[f(x)，x>0,

(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(—1)=0,且c=l,F(x)=,、八求F(2)

〔一f(x),x<0,

+F(-2)的值；

(2)若a=l,c=0,且|f(x)|在區(qū)間(0,1］上恒成立，試求b的取值范圍.

解：⑴由已知c=l,a—b+c=O,且一白=一已解得a=l,b=2.則f(x)=(x+1)：

\(x+l)2,x>0,

則F(x)=/一、2八故F(2)+F(—2)=(2+l)2+[一(―2+1y]=8.

〔一(x+l)2,x<0.

(2)由題意得f(x)=x?+bx,原命題等價(jià)于一lWx,+bxWl在(0,1]上恒成立，即bW1

x

—x且b^—x在(0,1]上恒成立.