標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤

標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤一、本文概述本文旨在探討統(tǒng)計學(xué)中兩個重要的概念：標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤。這兩個概念在數(shù)據(jù)分析、科學(xué)實驗、經(jīng)濟(jì)預(yù)測等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)差用于描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，反映了數(shù)據(jù)的波動性和變化范圍。而標(biāo)準(zhǔn)誤則用于描述樣本均值與總體均值之間的差異，是評估樣本代表性的重要指標(biāo)。本文將詳細(xì)解釋這兩個概念的定義、計算方法及其在實際應(yīng)用中的意義，幫助讀者更好地理解和應(yīng)用這兩個統(tǒng)計工具。我們還將通過實例分析，展示如何在實際問題中運用標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和結(jié)果解讀。二、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及計算標(biāo)準(zhǔn)差，作為統(tǒng)計學(xué)中描述數(shù)據(jù)離散程度的重要參數(shù)，對于理解數(shù)據(jù)的分布特性具有關(guān)鍵作用。標(biāo)準(zhǔn)差，通常用希臘字母σ（sigma）或者英文縮寫SD表示，衡量的是一組數(shù)值與其平均數(shù)之間的離散程度。換句話說，標(biāo)準(zhǔn)差描述的是數(shù)據(jù)點相對于均值（即“中心”點）的波動大小。計算標(biāo)準(zhǔn)差需要遵循一定的步驟。需要確定數(shù)據(jù)集的平均數(shù)（即均值），這是所有數(shù)據(jù)點總和除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量。接下來，對于數(shù)據(jù)集中的每個數(shù)據(jù)點，都需要計算其與均值的差異（即偏差）。這些偏差的平方和（即方差）除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量，就得到了方差。將方差開平方根，就得到了標(biāo)準(zhǔn)差。數(shù)學(xué)公式表達(dá)為：標(biāo)準(zhǔn)差=sqrt[Σ(xi-μ)2/N]，其中xi表示數(shù)據(jù)集中的每一個數(shù)據(jù)點，μ表示數(shù)據(jù)集的平均數(shù)，N表示數(shù)據(jù)點的數(shù)量，Σ表示對所有數(shù)據(jù)點的偏差平方和進(jìn)行求和，sqrt表示開平方根。在實際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常用于衡量一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。標(biāo)準(zhǔn)差越小，表示數(shù)據(jù)點越集中，離散程度越低，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性越高；標(biāo)準(zhǔn)差越大，表示數(shù)據(jù)點越分散，離散程度越高，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性越低。因此，在數(shù)據(jù)分析、風(fēng)險管理、預(yù)測模型等多個領(lǐng)域，標(biāo)準(zhǔn)差都是一個非常重要的統(tǒng)計指標(biāo)。三、標(biāo)準(zhǔn)誤的概念及計算在統(tǒng)計學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)誤（StandardError）是一個重要的概念，它是用來衡量樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）與總體參數(shù)（如總體均值）之間差異的一個指標(biāo)。與標(biāo)準(zhǔn)差不同，標(biāo)準(zhǔn)誤描述的是樣本統(tǒng)計量的抽樣分布，而不是數(shù)據(jù)的離散程度。簡單來說，標(biāo)準(zhǔn)誤反映了樣本統(tǒng)計量在多次抽樣中可能的變化范圍。標(biāo)準(zhǔn)誤的計算通?；跇颖緲?biāo)準(zhǔn)差和樣本量。對于樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤，其計算公式為：標(biāo)準(zhǔn)誤=總體標(biāo)準(zhǔn)差/根號下樣本量。這里需要注意的是，總體標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的，因此在實踐中常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為替代。然而，當(dāng)樣本量較小時，這種方法可能會導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)誤的估計偏大。為了校正這種偏差，可以使用更復(fù)雜的公式，如貝塞爾修正公式，來計算標(biāo)準(zhǔn)誤。標(biāo)準(zhǔn)誤在許多統(tǒng)計應(yīng)用中都有重要作用。例如，在置信區(qū)間的構(gòu)建中，標(biāo)準(zhǔn)誤用于確定區(qū)間寬度；在假設(shè)檢驗中，標(biāo)準(zhǔn)誤則用于計算檢驗統(tǒng)計量的分布和臨界值。因此，理解標(biāo)準(zhǔn)誤的概念和計算方法對于正確應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)知識至關(guān)重要。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們了解了標(biāo)準(zhǔn)誤的定義和計算方法，并認(rèn)識到它在統(tǒng)計推斷中的重要作用。這將有助于我們在后續(xù)的學(xué)習(xí)中更好地理解和應(yīng)用相關(guān)統(tǒng)計概念和方法。四、標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別與聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤都是統(tǒng)計學(xué)中常用的兩個概念，它們用于描述數(shù)據(jù)的離散程度和估計總體參數(shù)的不確定性。盡管兩者在概念上有所關(guān)聯(lián)，但在實際應(yīng)用和解釋上卻存在明顯的區(qū)別。定義與應(yīng)用：標(biāo)準(zhǔn)差主要用于描述數(shù)據(jù)的離散程度，即數(shù)據(jù)點圍繞其均值的離散或分布情況。它反映了數(shù)據(jù)內(nèi)部的波動，不涉及對總體參數(shù)的估計。而標(biāo)準(zhǔn)誤則是用于描述樣本均值與總體均值之間的波動，它反映了樣本均值對總體均值的估計精度。計算公式：標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式基于數(shù)據(jù)集的方差，即數(shù)據(jù)點與均值的差的平方的平均值。而標(biāo)準(zhǔn)誤的計算公式則基于樣本方差和樣本大小，它考慮了樣本大小對估計精度的影響。單位與解釋：標(biāo)準(zhǔn)差通常以原始數(shù)據(jù)的單位表示，如身高數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差可能以厘米為單位。而標(biāo)準(zhǔn)誤則通常以抽樣分布的單位表示，如Z分?jǐn)?shù)或t分?jǐn)?shù)的單位。標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明數(shù)據(jù)越離散；而標(biāo)準(zhǔn)誤越小，說明樣本均值越接近總體均值。盡管標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤在定義、計算和解釋上存在差異，但它們之間也存在密切的聯(lián)系。當(dāng)樣本量足夠大時，標(biāo)準(zhǔn)誤趨向于減少，而標(biāo)準(zhǔn)差則不受樣本大小的影響。在構(gòu)建置信區(qū)間或進(jìn)行假設(shè)檢驗時，標(biāo)準(zhǔn)誤是衡量估計精度的重要指標(biāo)，而標(biāo)準(zhǔn)差則用于評估數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)誤可以通過將標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量的平方根來計算，這體現(xiàn)了兩者在概念上的關(guān)聯(lián)。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤在統(tǒng)計學(xué)中各自承擔(dān)著不同的角色和功能。理解它們的區(qū)別與聯(lián)系有助于我們更準(zhǔn)確地應(yīng)用這兩個概念于實際的數(shù)據(jù)分析和推斷中。五、標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤在統(tǒng)計學(xué)和數(shù)據(jù)分析中扮演著至關(guān)重要的角色，它們的應(yīng)用廣泛且深遠(yuǎn)。理解并正確應(yīng)用這兩個概念，能幫助我們更準(zhǔn)確地解讀數(shù)據(jù)，更科學(xué)地進(jìn)行預(yù)測和決策。標(biāo)準(zhǔn)差常用于衡量數(shù)據(jù)的離散程度。在科學(xué)研究、市場分析和風(fēng)險評估等多個領(lǐng)域，研究者都需要對數(shù)據(jù)的波動性有清晰的認(rèn)識。通過計算標(biāo)準(zhǔn)差，研究者可以了解到數(shù)據(jù)的分布情況，比如是否呈現(xiàn)正態(tài)分布，或者是否有異常值存在。這對于后續(xù)的數(shù)據(jù)處理和分析至關(guān)重要。標(biāo)準(zhǔn)誤在統(tǒng)計學(xué)中常常用于估計參數(shù)的精度。在科研實驗中，研究者常常需要通過樣本數(shù)據(jù)來推斷總體的情況。標(biāo)準(zhǔn)誤可以幫助我們了解樣本均值與總體均值之間的差距，從而判斷樣本的代表性。例如，在醫(yī)學(xué)研究中，通過計算不同樣本組的標(biāo)準(zhǔn)誤，研究者可以比較不同治療方法的療效差異，從而選擇更有效的治療方案。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤在預(yù)測模型中也發(fā)揮著重要作用。在建立預(yù)測模型時，我們需要對模型的預(yù)測精度進(jìn)行評估。標(biāo)準(zhǔn)誤可以作為評估模型預(yù)測能力的重要指標(biāo)之一。通過比較實際觀測值與模型預(yù)測值之間的標(biāo)準(zhǔn)誤，我們可以了解模型的預(yù)測精度，并對模型進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤在決策分析中也具有重要意義。在風(fēng)險決策中，我們需要對可能的風(fēng)險進(jìn)行量化評估。標(biāo)準(zhǔn)差可以幫助我們了解風(fēng)險的大小和波動范圍，而標(biāo)準(zhǔn)誤則可以幫助我們評估決策的準(zhǔn)確性。通過綜合考慮這兩個因素，我們可以做出更加科學(xué)、合理的決策。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤在數(shù)據(jù)分析、科研實驗、預(yù)測模型和決策分析等多個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。正確理解和應(yīng)用這兩個概念，可以幫助我們更好地理解和利用數(shù)據(jù)，提高決策的準(zhǔn)確性和科學(xué)性。六、結(jié)論在統(tǒng)計學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤是兩個極其重要但經(jīng)常被誤解的概念。通過對這兩個概念的深入剖析，我們發(fā)現(xiàn)它們雖然在計算和含義上有所不同，但都扮演著各自重要的角色，對于數(shù)據(jù)分析與解讀有著不可替代的作用。標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)分布離散程度的重要指標(biāo)，它揭示了數(shù)據(jù)的波動性或變異性。在實際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差被廣泛用于風(fēng)險管理、質(zhì)量控制、金融投資等多個領(lǐng)域，幫助決策者更好地理解數(shù)據(jù)的分布特征，從而做出更準(zhǔn)確的決策。而標(biāo)準(zhǔn)誤則更多地與抽樣分布和統(tǒng)計推斷相關(guān)，它是衡量樣本均數(shù)抽樣誤差大小的指標(biāo)。在統(tǒng)計推斷中，標(biāo)準(zhǔn)誤的應(yīng)用尤為關(guān)鍵，它幫助我們估計樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間的差異，進(jìn)而判斷樣本是否具有代表性，以及總體參數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗等。因此，理解和正確運用標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤，對于提升數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計推斷的能力至關(guān)重要。在未來的學(xué)習(xí)和工作中，我們應(yīng)該更加注重這兩個概念的理解和應(yīng)用，以便更好地利用數(shù)據(jù)來揭示事物的本質(zhì)和規(guī)律。我們也要注意區(qū)分它們的差異，避免在實際應(yīng)用中出現(xiàn)混淆或誤用的情況。參考資料：在統(tǒng)計學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到兩個概念：標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤。這兩個術(shù)語雖然相似，但實際上代表了兩種不同的概念，具有不同的用途和含義。標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）是一個用于衡量數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量。具體來說，標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)點到其平均值的距離的平均數(shù)的平方根。我們可以通過以下公式來計算標(biāo)準(zhǔn)差：其中，xi是每個數(shù)據(jù)點，μ是數(shù)據(jù)的平均值，N是數(shù)據(jù)點的數(shù)量。這個公式表示的是，我們把每個數(shù)據(jù)點與其平均值的差取平方，然后把所有的平方值加起來（即求和），最后除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量N，并取平方根。標(biāo)準(zhǔn)差的主要用途是描述數(shù)據(jù)的分散程度，也就是數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，表示數(shù)據(jù)的離散程度越高，數(shù)據(jù)點之間的差異越大。另一方面，標(biāo)準(zhǔn)誤（StandardError）是用于衡量樣本統(tǒng)計量精度的指標(biāo)。具體來說，標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）的標(biāo)準(zhǔn)差。我們可以通過以下公式來計算標(biāo)準(zhǔn)誤：標(biāo)準(zhǔn)誤=sqrt[(1/(N-f))*Σ(xi-μ)^2]其中，xi是每個數(shù)據(jù)點，μ是數(shù)據(jù)的平均值，N是數(shù)據(jù)點的數(shù)量，f是樣本數(shù)量。這個公式表示的是，我們把每個數(shù)據(jù)點與其平均值的差取平方，然后把所有的平方值加起來（即求和），最后除以數(shù)據(jù)點的數(shù)量N減去樣本數(shù)量f（即總數(shù)據(jù)點數(shù)量減去樣本數(shù)量），并取平方根。標(biāo)準(zhǔn)誤的主要用途是描述樣本統(tǒng)計量的精度。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表示樣本統(tǒng)計量越精確，樣本統(tǒng)計量對總體情況的代表性越高。標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤都是重要的統(tǒng)計學(xué)概念，它們分別用于描述數(shù)據(jù)的分散程度和樣本統(tǒng)計量的精度。正確理解和使用這兩個概念，對于我們理解和解釋數(shù)據(jù)，以及制定有效的統(tǒng)計分析計劃至關(guān)重要。標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation），數(shù)學(xué)術(shù)語，是離均差平方的算術(shù)平均數(shù)（即：方差）的算術(shù)平方根，用σ表示。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差，在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度上的測量依據(jù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。在實驗中單次測量總是難免會產(chǎn)生誤差，為此我們經(jīng)常測量多次，然后用測量值的平均值表示測量的量，并用誤差條來表征數(shù)據(jù)的分布，其中誤差條的高度為±標(biāo)準(zhǔn)誤差。這里即標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation），在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度（statisticaldispersion）上的測量。標(biāo)準(zhǔn)差定義是總體各單位標(biāo)準(zhǔn)值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結(jié)果，原則上具有兩種性質(zhì)：為非負(fù)數(shù)值，與測量資料具有相同單位。一個總量的標(biāo)準(zhǔn)差或一個隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，及一個子集合樣品數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差之間，有所差別。簡單來說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。例如，兩組數(shù)的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測量的精確度。當(dāng)要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(yuǎn)（同時與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報遠(yuǎn)離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越小，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分?jǐn)?shù)為45，B組的分?jǐn)?shù)為67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差約為08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差約為16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。如是總體（即估算總體方差），根號內(nèi)除以n（對應(yīng)excel函數(shù)：STDEV.P）；如是抽樣（即估算樣本方差），根號內(nèi)除以（n-1）（對應(yīng)excel函數(shù)：STDEV.S）；所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個數(shù)（或個數(shù)減一，即變異數(shù)），再把所得值開根號，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。深藍(lán)區(qū)域是距平均值一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值（即1）之2%。對于正態(tài)分布，兩個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)（深藍(lán)，藍(lán)）的比率合起來為4%。對于正態(tài)分布，正負(fù)三個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)（深藍(lán)，藍(lán)，淺藍(lán)）的比率合起來為6%。由于標(biāo)準(zhǔn)差的這個性質(zhì)，得出了三西格瑪準(zhǔn)則（three-sigmaguideline）。標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精確度的重要指標(biāo)。說起標(biāo)準(zhǔn)差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標(biāo)。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準(zhǔn)確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結(jié)果的準(zhǔn)確可靠。雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少?？梢韵胂?，一個好的檢測方法，其檢測值應(yīng)該很緊密的分散在真實值周圍。如果不緊密，與真實值的距離就會大，準(zhǔn)確性當(dāng)然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，離散度是評價方法的好壞的最重要也是最基本的指標(biāo)。最直接也是最簡單的方法，即最大值?最小值（也就是極差）來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應(yīng)用。由于誤差的不可控性，因此只由兩個數(shù)據(jù)來評判一組數(shù)據(jù)是不科學(xué)的。所以人們在要求更高的領(lǐng)域不使用極差來評判。其實，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個準(zhǔn)確的離散程度。和越大離散度也就越大。但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負(fù)，對于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負(fù)問題，在數(shù)學(xué)上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符號問題，數(shù)學(xué)上最常用的是另一種方法－－平方，這樣就都成了非負(fù)數(shù)。因此，離均差的平方和成了評價離散度一個指標(biāo)。由于離均差的平方和與樣本個數(shù)有關(guān)，只能反映相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數(shù)的影響，增加可比性，將離均差的平方和求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指標(biāo)。樣本量越大越能反映真實的情況，而算術(shù)平均值卻完全忽略了這個問題，對此統(tǒng)計學(xué)上早有考慮，在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來這就是我們要說的標(biāo)準(zhǔn)差。在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。標(biāo)準(zhǔn)差能很客觀準(zhǔn)確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對于不同的項目，或同一項目不同的樣本，標(biāo)準(zhǔn)差就缺乏可比性了，因此對于方法學(xué)評價來說又引入了變異系數(shù)CV。一組數(shù)據(jù)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差常常同時做為參考的依據(jù)。在直覺上，如果數(shù)值的中心以平均值來考慮，則標(biāo)準(zhǔn)差為統(tǒng)計分布之一“自然”的測量。從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個從n維空間的一個點到一條直線的距離的函數(shù)。舉一個簡單的例子，一組數(shù)據(jù)中有3個值。它們可以在3維空間中確定一個點。想像一條通過原點的直線。如果這組數(shù)據(jù)中的3個值都相等，則點P就是直線L上的一個點，P到L的距離為0，所以標(biāo)準(zhǔn)差也為0。若這3個值不都相等，過點P作垂線PR垂直于L，PR交L于點R，則R的坐標(biāo)為這3個值的平均數(shù)：運用一些代數(shù)知識，不難發(fā)現(xiàn)點P與點R之間的距離（也就是點P到直線L的距離）是|PR|。在n維空間中，這個規(guī)律同樣適用，把3換成n就可以了。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤差都是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個標(biāo)準(zhǔn)值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有著較大的區(qū)別的。首先要從統(tǒng)計抽樣的方面說起?，F(xiàn)實生活或者調(diào)查研究中，我們常常無法對某類欲進(jìn)行調(diào)查的目標(biāo)群體的所有成員都加以施測，而只能夠在所有成員（即樣本）中抽取一些成員出來進(jìn)行調(diào)查，然后利用統(tǒng)計原理和方法對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析出來的數(shù)據(jù)結(jié)果就是樣本的結(jié)果，然后用樣本結(jié)果推斷總體的情況。一個總體可以抽取出多個樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數(shù)據(jù)的平均值。標(biāo)準(zhǔn)差表示的就是樣本數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差就是樣本平均數(shù)方差的開平方，標(biāo)準(zhǔn)差通常是相對于樣本數(shù)據(jù)的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個數(shù)據(jù)觀察值相距平均值有多遠(yuǎn)。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)差受到極值的影響。標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明數(shù)據(jù)越聚集；標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)越離散。標(biāo)準(zhǔn)差的大小因測驗而定，如果一個測驗是學(xué)術(shù)測驗，標(biāo)準(zhǔn)差大，表示學(xué)生分?jǐn)?shù)的離散程度大，更能夠測量出學(xué)生的學(xué)業(yè)水平；如果一個測驗測量的是某種心理品質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)差小，表明所編寫的題目是同質(zhì)的，這時候的標(biāo)準(zhǔn)差小的更好。標(biāo)準(zhǔn)差與正態(tài)分布有密切聯(lián)系：在正態(tài)分布中，1個標(biāo)準(zhǔn)差等于正態(tài)分布下曲線的26%的面積，96個標(biāo)準(zhǔn)差等于95%的面積。這在測驗分?jǐn)?shù)等值上有重要作用。標(biāo)準(zhǔn)誤差表示的是抽樣的誤差。因為從一個總體中可以抽取出無數(shù)多種樣本，每一個樣本的數(shù)據(jù)都是對總體的數(shù)據(jù)的估計。標(biāo)準(zhǔn)誤差代表的就是當(dāng)前的樣本對總體數(shù)據(jù)的估計，標(biāo)準(zhǔn)誤差代表的就是樣本均數(shù)與總體均數(shù)的相對誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤差是由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的開平方來計算的。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)誤差更大的是受到樣本容量的影響。樣本容量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，那么抽樣誤差就越小，就表明所抽取的樣本能夠較好地代表總體。一個正態(tài)分布的總體，抽取n個作為樣本，可以得到樣本平均值，用樣本均值估計總體均值需要考慮樣本均值的方差或標(biāo)準(zhǔn)差（也就是標(biāo)準(zhǔn)誤差）Excel中有STDEV.S、STDEV.P、STDEVA、STDEVPA四個函數(shù)，分別表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體標(biāo)準(zhǔn)差、包含邏輯值運算的樣本標(biāo)準(zhǔn)差、包含邏輯值運算的總體標(biāo)準(zhǔn)差（excel用的是“標(biāo)準(zhǔn)偏差”字樣）。在計算方法上的差異是：樣本標(biāo)準(zhǔn)差^2=樣本方差*（數(shù)據(jù)個數(shù)-1）；總體標(biāo)準(zhǔn)差^2=總體方差*數(shù)據(jù)個數(shù)。⑴stdev函數(shù)可以分解為（假設(shè)樣本數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdev(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1:E10)/(COUNT(A1:E10)-1))⑵stdevp函數(shù)可以分解為（假設(shè)總體數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdevp(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)))標(biāo)準(zhǔn)差指統(tǒng)計上用于衡量一組數(shù)值中某一數(shù)值與其平均值差異程度的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差被用來評估價格可能的變化或波動程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，價格波動的范圍就越廣，股票等金融工具表現(xiàn)的波動就越大。在excel中調(diào)用函數(shù)“STDEV.S”估算樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差反映相對于平均值的離散程度。在投資基金上，一般人比較重視的是業(yè)績，但往往買進(jìn)了近期業(yè)績表現(xiàn)最佳的基金之后，基金表現(xiàn)反而不如預(yù)期，這是因為所選基金波動度太大，沒有穩(wěn)定的表現(xiàn)。衡量基金波動程度的工具就是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差是指基金可能的變動程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，基金未來凈值可能變動的程度就越大，穩(wěn)定度就越小，風(fēng)險就越高。比方說，一年期標(biāo)準(zhǔn)差是30%的基金，表示這類基金的凈值在一年內(nèi)可能上漲30%，但也可能下跌30%。因此，如果有兩只收益率相同的基金，投資人應(yīng)該選擇標(biāo)準(zhǔn)差較小的基金（承受較小的風(fēng)險得到相同的收益），如果有兩只相同標(biāo)準(zhǔn)差的基金，則應(yīng)該選擇收益較高的基金（承受相同的風(fēng)險，但是收益更高）。建議投資人同時將收益和風(fēng)險計入，以此來判斷基金。例如，A基金二年期的收益率為36%，標(biāo)準(zhǔn)差為18%；B基金二年期收益率為24%，標(biāo)準(zhǔn)差為8%，從數(shù)據(jù)上看，A基金的收益高于B基金，但同時風(fēng)險也大于B基金。A基金的"每單位風(fēng)險收益率"為2，而B基金為3。因此，原先僅僅以收益評價是A基金較優(yōu)，但是經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)差即風(fēng)險因素調(diào)整后，B基金反而更為優(yōu)異。另外，標(biāo)準(zhǔn)差也可以用來判斷基金屬性。據(jù)晨星統(tǒng)計，股票基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為14，積極型基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為04；保守配置型基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為86；普通債券基金平均標(biāo)準(zhǔn)差為91；貨幣基金平均標(biāo)準(zhǔn)差則為19；由此可見，越是積極型的基金，標(biāo)準(zhǔn)差越大；而如果投資人持有的基金標(biāo)準(zhǔn)差高于平均值，則表示風(fēng)險較高，投資人不妨在觀賞奧運比賽的同時，也檢視一下手中的基金。股票價格的波動是股票市場風(fēng)險的表現(xiàn)，因此股票市場風(fēng)險分析就是對股票市場價格波動進(jìn)行分析。波動性代表了未來價格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫（Markowitz,1952）。下表是中國和美國部分時段的股票統(tǒng)計指標(biāo)，其中中國證券市場的數(shù)據(jù)由“錢龍”軟件下載，美國證券市場的數(shù)據(jù)取自ECI的“WorldStockExchangeDataDisk”。上證綜指業(yè)績期望值≈（93-13+94+24+86-34-82）/7=6685714因為標(biāo)準(zhǔn)差是絕對值，不能通過標(biāo)準(zhǔn)差對中美直接進(jìn)行對比，而變異系數(shù)可以直接比較。計算可得：變異系數(shù)C·V=標(biāo)準(zhǔn)偏差SD÷平均值MN×100%通過比較可以看出上證波動率變異系數(shù)要大于標(biāo)準(zhǔn)普爾波動率變異系數(shù)，說明長期來講中國股市穩(wěn)定性相對較差，還是一個不太成熟的股票市場。資本結(jié)構(gòu)指的是企業(yè)各種資金來源的比例關(guān)系，是企業(yè)籌資活動的結(jié)果。最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)是指能使企業(yè)資本成本最低且企業(yè)價值最大的資本結(jié)構(gòu)；產(chǎn)權(quán)比率，即借入資本與自有資本的構(gòu)成比例，是反映企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的重要變量。企業(yè)的資產(chǎn)由債務(wù)性資金和權(quán)益性資金組成，但其風(fēng)險等級和收益率各不相同。根據(jù)投資組合理論，投資的多樣化可以分散掉一定的風(fēng)險，因此資金提供者需要決定投資于債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的比例。以便在權(quán)衡風(fēng)險和收益的情況下保證其利益的最大化。理論探索而外部資金提供者利益的最大化也就是企業(yè)價值的最大化，這一投資比例對于企業(yè)融資而言也就是企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)比例。假定某企業(yè)的資金通過發(fā)行債券和股票兩種方式獲得，并且都屬于風(fēng)險性資產(chǎn)。其中債券的收益率為，風(fēng)險通過標(biāo)準(zhǔn)差來衡量；股票的收益率為，風(fēng)險為；股票和債券的相關(guān)系數(shù)為，協(xié)方差為；債券所占的比重為，股票所占比重為（*）。根據(jù)投資組合理論，企業(yè)外部投資者對該企業(yè)投資所獲的期望收益率為，方差為那么究竟在什么比例下企業(yè)的價值才會達(dá)到最大呢？根據(jù)投資組合理論，當(dāng)，且時，才能出現(xiàn)優(yōu)于?？梢?，決定企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的直接因素主要是不同籌資方式的收益率和風(fēng)險以及它們之間的相關(guān)系數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation），數(shù)學(xué)術(shù)語，是離均差平方的算術(shù)平均數(shù)（即：方差）的算術(shù)平方根，用σ表示。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差，在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度上的測量依據(jù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。在實驗中單次測量總是難免會產(chǎn)生誤差，為此我們經(jīng)常測量多次，然后用測量值的平均值表示測量的量，并用誤差條來表征數(shù)據(jù)的分布，其中誤差條的高度為±標(biāo)準(zhǔn)誤差。這里即標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation），在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度（statisticaldispersion）上的測量。標(biāo)準(zhǔn)差定義是總體各單位標(biāo)準(zhǔn)值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結(jié)果，原則上具有兩種性質(zhì)：為非負(fù)數(shù)值，與測量資料具有相同單位。一個總量的標(biāo)準(zhǔn)差或一個隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，及一個子集合樣品數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差之間，有所差別。簡單來說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。例如，兩組數(shù)的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測量的精確度。當(dāng)要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(yuǎn)（同時與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報遠(yuǎn)離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越小，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分?jǐn)?shù)為45，B組的分?jǐn)?shù)為67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差約為08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差約為16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。如是總體（即估算總體方差），根號內(nèi)除以n（對應(yīng)excel函數(shù)：STDEV.P）；如是抽樣（即估算樣本方差），根號內(nèi)除以（n-1）（對應(yīng)excel函數(shù)：STDEV.S）；所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個數(shù)（或個數(shù)減一，即變異數(shù)），再把所得值開根號，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。深藍(lán)區(qū)域是距平均值一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值（即1）之2%。對于正態(tài)分布，兩個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)（深藍(lán)，藍(lán)）的比率合起來為4%。對于正態(tài)分布，正負(fù)三個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)（深藍(lán)，藍(lán)，淺藍(lán)）的比率合起來為6%。由于標(biāo)準(zhǔn)差的這個性質(zhì)，得出了三西格瑪準(zhǔn)則（three-sigmaguideline）。標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精確度的重要指標(biāo)。說起標(biāo)準(zhǔn)差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標(biāo)。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準(zhǔn)確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結(jié)果的準(zhǔn)確可靠。雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少。可以想象，一個好的檢測方法，其檢測值應(yīng)該很緊密的分散在真實值周圍。如果不緊密，與真實值的距離就會大，準(zhǔn)確性當(dāng)然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，離散度是評價方法的好壞的最重要也是最基本的指標(biāo)。最直接也是最簡單的方法，即最大值?最小值（也就是極差）來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應(yīng)用。由于誤差的不可控性，因此只由兩個數(shù)據(jù)來評判一組數(shù)據(jù)是不科學(xué)的。所以人們在要求更高的領(lǐng)域不使用極差來評判。其實，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個準(zhǔn)確的離散程度。和越大離散度也就越大。但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負(fù)，對于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負(fù)問題，在數(shù)學(xué)上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符號問題，數(shù)學(xué)上最常用的是另一種方法－－平方，這樣就都成了非負(fù)數(shù)。因此，離均差的平方和成了評價離散度一個指標(biāo)。由于離均差的平方和與樣本個數(shù)有關(guān)，只能反映相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數(shù)的影響，增加可比性，將離均差的平方和求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指標(biāo)。樣本量越大越能反映真實的情況，而算術(shù)平均值卻完全忽略了這個問題，對此統(tǒng)計學(xué)上早有考慮，在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來這就是我們要說的標(biāo)準(zhǔn)差。在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。標(biāo)準(zhǔn)差能很客觀準(zhǔn)確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對于不同的項目，或同一項目不同的樣本，標(biāo)準(zhǔn)差就缺乏可比性了，因此對于方法學(xué)評價來說又引入了變異系數(shù)CV。一組數(shù)據(jù)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差常常同時做為參考的依據(jù)。在直覺上，如果數(shù)值的中心以平均值來考慮，則標(biāo)準(zhǔn)差為統(tǒng)計分布之一“自然”的測量。從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個從n維空間的一個點到一條直線的距離的函數(shù)。舉一個簡單的例子，一組數(shù)據(jù)中有3個值。它們可以在3維空間中確定一個點。想像一條通過原點的直線。如果這組數(shù)據(jù)中的3個值都相等，則點P就是直線L上的一個點，P到L的距離為0，所以標(biāo)準(zhǔn)差也為0。若這3個值不都相等，過點P作垂線PR垂直于L，PR交L于點R，則R的坐標(biāo)為這3個值的平均數(shù)：運用一些代數(shù)知識，不難發(fā)現(xiàn)點P與點R之間的距離（也就是點P到直線L的距離）是|PR|。在n維空間中，這個規(guī)律同樣適用，把3換成n就可以了。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤差都是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個標(biāo)準(zhǔn)值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有著較大的區(qū)別的。首先要從統(tǒng)計抽樣的方面說起?，F(xiàn)實生活或者調(diào)查研究中，我們常常無法對某類欲進(jìn)行調(diào)查的目標(biāo)群體的所有成員都加以施測，而只能夠在所有成員（即樣本）中抽取一些成員出來進(jìn)行調(diào)查，然后利用統(tǒng)計原理和方法對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析出來的數(shù)據(jù)結(jié)果就是樣本的結(jié)果，然后用樣本結(jié)果推斷總體的情況。一個總體可以抽取出多個樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數(shù)據(jù)的平均值。標(biāo)準(zhǔn)差表示的就是樣本數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差就是樣本平均數(shù)方差的開平方，標(biāo)準(zhǔn)差通常是相對于樣本數(shù)據(jù)的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個數(shù)據(jù)觀察值相距平均值有多遠(yuǎn)。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)差受到極值的影響。標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明數(shù)據(jù)越聚集；標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)越離散。標(biāo)準(zhǔn)差的大小因測驗而定，如果一個測驗是學(xué)術(shù)測驗，標(biāo)準(zhǔn)差大，表示學(xué)生分?jǐn)?shù)的離散程度大，更能夠測量出學(xué)生的學(xué)業(yè)水平；如果一個測驗測量的是某種心理品質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)差小，表明所編寫的題目是同質(zhì)的，這時候的標(biāo)準(zhǔn)差小的更好。標(biāo)準(zhǔn)差與正態(tài)分布有密切聯(lián)系：在正態(tài)分布中，1個標(biāo)準(zhǔn)差等于正態(tài)分布下曲線的26%的面積，96個標(biāo)準(zhǔn)差等于95%的面積。這在測驗分?jǐn)?shù)等值上有重要作用。標(biāo)準(zhǔn)誤差表示的是抽樣的誤差。因為從一個總體中可以抽取出無數(shù)多種樣本，每一個樣本的數(shù)據(jù)都是對總體的數(shù)據(jù)的估計。標(biāo)準(zhǔn)誤差代表的就是當(dāng)前的樣本對總體數(shù)據(jù)的估計，標(biāo)準(zhǔn)誤差代表的就是樣本均數(shù)與總體均數(shù)的相對誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤差是由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的開平方來計算的。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)誤差更大的是受到樣本容量的影響。樣本容量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，那么抽樣誤差就越小，就表明所抽取的樣本能夠較好地代表總體。一個正態(tài)分布的總體，抽取n個作為樣本，可以得到樣本平均值，用樣本均值估計總體均值需要考慮樣本均值的方差或標(biāo)準(zhǔn)差（也就是標(biāo)準(zhǔn)誤差）Excel中有STDEV.S、STDEV.P、STDEVA、STDEVPA四個函數(shù)，分別表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體標(biāo)準(zhǔn)差、包含邏輯值運算的樣本標(biāo)準(zhǔn)差、包含邏輯值運算的總體標(biāo)準(zhǔn)差（excel用的是“標(biāo)準(zhǔn)偏差”字樣）。在計算方法上的差異是：樣本標(biāo)準(zhǔn)差^2=樣本方差*（數(shù)據(jù)個數(shù)-1）；總體標(biāo)準(zhǔn)差^2=總體方差*數(shù)據(jù)個數(shù)。⑴stdev函數(shù)可以分解為（假設(shè)樣本數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdev(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1:E10)/(COUNT(A1:E10)-1))⑵stdevp函數(shù)可以分解為（假設(shè)總體數(shù)據(jù)為A1:E10這樣一個矩陣）：stdevp(A1:E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)))標(biāo)準(zhǔn)差指統(tǒng)計上用于衡量一組數(shù)值中某一數(shù)值與其平均值差異程度的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差被用來評估價格可能的變化或波動程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，價格波動的范圍就越廣，股票等金融工具表現(xiàn)的波動就越大。在excel中調(diào)用函數(shù)“STDEV.S”估算樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差反映相對于平均值的離散程度。在投資基金上，一般人比較重視的是業(yè)績，但往往買進(jìn)了近期業(yè)績表現(xiàn)最佳的基金之后，基金表現(xiàn)反而不如預(yù)期，這是因為所選基金波動度太大，沒有穩(wěn)定的表現(xiàn)。衡量基金波動程度的工具就是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差是指基金可能的變動程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，基金未來凈值可能變動的程度就越大，穩(wěn)定度就越小，風(fēng)險就越高。比方說，一年期標(biāo)準(zhǔn)差是30%的基金，表示這類基金的凈值在一年內(nèi)可能上漲30%，但也可能下跌30%。因此，如果有兩只收益率相同的基金，投資人應(yīng)該選擇標(biāo)準(zhǔn)差較小的基金（承受較小的風(fēng)險得到相同的收益），如果有兩只相同標(biāo)準(zhǔn)差的基金，則應(yīng)該選擇收益較高的基金（承受相同的風(fēng)險，但是收益更高）。建議投資人同時將收益和風(fēng)險計入，以此來判斷基金。例如，A基金二年期的收益率為36%，標(biāo)準(zhǔn)差為18%；B基金二年期收益率為24%，標(biāo)準(zhǔn)差為8%，從數(shù)據(jù)上看，A基金的收益高于B基金，但同時風(fēng)險也大于B基金。A基金的"每單位風(fēng)險收益率"為2，而B基金為3。因此，原先僅僅以收益評價是A基金較優(yōu)，但是經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)差即風(fēng)險因素調(diào)整后，B基金反而更為優(yōu)異。另外，標(biāo)準(zhǔn)差也可以用來判斷基金屬性。據(jù)晨星統(tǒng)計，股票基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為14，積極型基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為04；保守配置型基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為86；普通債券基金平均標(biāo)準(zhǔn)差為91；貨幣基金平均標(biāo)準(zhǔn)差則為19；由此可見，越是積極型的基金，標(biāo)準(zhǔn)差越大；而如果投資人持有的基金標(biāo)準(zhǔn)差高于平均值，則表示風(fēng)險較高，投資人不妨在觀賞奧運比賽的同時，也檢視一下手中的基金。股票價格的波動是股票市場風(fēng)險的表現(xiàn)，因此股票市場風(fēng)險分析就是對股票市場價格波動進(jìn)行分析。波動性代表了未來價格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫（Markowitz,1952）。下表是中國和美國部分時段的股票統(tǒng)計指標(biāo)，其中中國證券市場的數(shù)據(jù)