2022-2023學年高一數(shù)學 人教A版2019必修第一冊 同步講義 第13講 函數(shù)的單調性9種常見題型 含解析

第13講函數(shù)的單調性9種常見題型

【考點分析】

考點一：函數(shù)單調性的定義

如果函數(shù)/(x)對區(qū)間。內的任意的,》2,當*1<尤2時都有/(%|)</(工2)，則/(x)在

。內是增函數(shù)；當王時都有/($)>/(工2)，則/(H在。內時減函數(shù)。

考點二：單調性的定義的?價形式1

設Xι,x,∈[α,",那么,(*)~~/(?x2)〉00/(%)在∣^α,“是增函數(shù)；

xi-x2

/(七)二/(%2)<0o/(χ)在必,可是減函數(shù)；

X1-X2

(百-x2)[∕(%l)-∕(x2)]<OO/(x)在[α,0是減函數(shù)。

(芭-x2)[∕(%l)-∕(x2)]>00/(x)在[a,。]是增函數(shù)。

考點三：函數(shù)單調性的應用

即若/(x)在區(qū)間。上遞增(遞減)且/(xl)</(x2)<≠>xl<x2(x1,x2∈￡>)：

若f(x)在區(qū)間O上遞遞減且/(%l)</(%2)<=>xl>x2.(xl,X2∈￡)).

考點四：函數(shù)單調性的性質

在公共定義域內，則

①增函數(shù)/(x)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

②減函數(shù)/(x)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；

③增函數(shù)/(x)-減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

④減函數(shù)/(x)-增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。

考點五：雙勾函數(shù)及其性質

b

函數(shù)y=ax+-(a>0,b>0)叫做雙勾函數(shù)

X

在一8'一1]或[聆'+8上單調遞增；在卜聆，°或卜上是單調遞減。

考點六：復合函數(shù)單調性的判斷(同增異減)

討論復合函數(shù)V=Hg(X)]的單調性時要注意：

①若u=g(x),y=∕Q)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=∕[g(x)]為增函

數(shù)；

②若"=g(x),)，=/(“)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則y=∕[g(χ)]

為減函數(shù).列表如下:

u=g(x)y=fWy=ZIg(X)J

增增增

減減

增

減減增

復合函數(shù)單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減.

【題型目錄】

題型一：用定義法證明函數(shù)單調性

題型二：抽象函數(shù)單調性的判斷證明

題型三：函數(shù)單調性定義的理解

題型四：基本初等函數(shù)的單調性

題型五：函絕對值函數(shù)的單調性判斷

題型六：已知函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍

題型七：分段函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍

題型八：復合函數(shù)單調性(同增異減)

題型九：抽象函數(shù)單調性解不等式

【典型例題】

題型一：用定義法證明函數(shù)單調性

證明函數(shù)單調性的步驟：

(1)取值:設內，%是/(χ)定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且不<々；

(2)變形:作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

(3)定號:判斷差的正負或商與1的大小關系；

(4)得出結論.

【例1】證明函數(shù)/(x)=x+」在(0,1)上是減函數(shù)。

1(1

i止明：設X],工2￡(°，1)，旦王<尤2'則/(X])——(犬2)=^*-------%2--------

XX-1

(Xl-X2y2

王元2

因為王,彳2G(°，1)，且不<%2，所以XI-X2<0，0<西工2<1，所以/(%)一/(%2)>0，所

以/(%)>/(々)，所以函數(shù)/(χ)=χ+,在(0，1)上是減函數(shù)。

【例2】(2021?湖北黃石?高一期中)已知函數(shù)"x)=2χ2+;(XH0,awR),當α=l時,

用單調性的定義證明/(x)在[2,-)上是增函數(shù).

【答案】證明見解析

解：當時，2任取且玉則

α=l/(x)=2x+-^,ΛPA?e[2,+x>),<Λ2,

=2(%-%)(%+%)+工

/(x2)-∕(xl)=

xx

11.因為占<%,所以乙一七>。，2

-----!?~......——J2≤?>4,2X1X2(XI+X2)-1>0,

所以/(w)-∕α)>o,即/(χ2)>∕(%)?所以/(X)在［2,+∞)上是增函數(shù).

【題型專練】

13

1.(2020?湖南?華容縣教育科學研究室高一期末)已知函數(shù)f(x)=αx-j,且/(-2)=-：.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上的單調性并用定義法加以證明.

【答案】(l)∕(x)=X-J(2)單調遞增，證明見解析

【分析】(1)直接根據(jù)題意代入求值即可；

(2)根據(jù)定義法判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的單調性即可.

1Q1

(1)因為/(—2)=_2嗚=_$所以α=l,所以/(x)=X-L.

(2)函數(shù)在(0,+∞)上單調遞增，證明如下：任取Λ,,Λ2W(0,4∞),且為<七,所以

/(X2)-/(Xl)=X2--------Xl-^7]=(*2-4)+(XX2+1)(工2-玉)

因為電>xl>0,

Ix2J?x?J中2

所以工2-4>0，卬?>。所以F(W)-〃,)>°，即，(工2)>?所以F(X)在(o,+∞)上單

調遞增.

2.(2022?全國?高一專題練習)判斷"x)=x+g在(0,2),(2,+⑹的單調性.

【答案】函數(shù)在(0,2)內單調遞減，在(2,+∞)內單調遞增.

【分析】根據(jù)單調性的定義，假設自變量的大小，作差比較函數(shù)值的大小，進而可判斷單調

性.

【詳解】設0<%<9，

_(4)/4)_z?f44

則X+--x2+—=(XlT2)+--------

IXjIχι)I玉?

=(X1-X2)+4(々F)=(^-χ2)fl--—

4

(1)假如則°<占先<01=>-------<

XIX2

乂藥-為<0：，所以y-%>0bX>必，故函數(shù)單調遞減;

(2)假如2<%<了2：,則%々>4=?’一<1=>-2—8

X1X2XyX2

又占<0?，所以y-必<On夕<當，故函數(shù)單調遞增：

所以函數(shù)在(0,2)內單調遞減，在(2,+s)內單調遞增.

3.(2022.貴州黔西.高一期末)已知函數(shù)/卜)=士的定義域為判斷F(X)在［一1』

上的單調性，并用定義證明；

【答案】“X)在［-1,1］上單調遞增，證明見解析

【分析】設-1?不χ2?1,由>0可證得/(χ)在［τ,ι］上單

調遞增.

【詳解】/(X)在上單調遞增，證明如下：設」？占X2?1,

."0^2____Λ,x2(x∣+l?-xl(?+l)X1X2(x,-x2)+(X2-X1)

,?八2J-Fr不Γ(W+1)G+1)-―(^+1)(√+1)

(X,-Λ2)(X,X2-1)

(■+1)(片+I)；

2

,?xlx2<1,xl-x2<0,Xj+1>0,xl+1>0,?,.∕(x2)-∕(x∣)>0,

??./(可是在［-1,1］上單調遞增.

題型二：抽象函數(shù)單調性的判斷證明

類型一：/(盯)=∕(χ)+∕3型

【例1】己知定義在(0,+∞)上的函數(shù)/(X)對任意X,yW(O,-HX.),恒有/(孫)=/(?)+/3,

且當O<x<l時，/(》)>0.試判斷外力在(0,+8)的單調性，并證明；

解析：設是區(qū)間(0，+8)上的任意兩個實數(shù)，且菁<々，所以

/(?l)-AX2)=f\—??-/(?)=/—>I+/(?)-AX2)=∕∣?I-因為

X],%2w(θ,+∞)且不<工2，所以0<KL<1，所以/?>0,所以/(%)一/(%2)>0.即

x2Π

/(x,)>/(x2).所以/(x)在(0,-8)上單調遞減

【題型專練】

1.已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),當x>l時，/(x)>0,且/(W)=/(x)+∕(y),試

判斷函數(shù)∕jx)在定義域上的單調性。

解析：設%,工2是區(qū)間(0，+8)上的任意兩個實數(shù)，且玉<々，所以

(γ\■

—-??=/&)-f強+?(??),因為

1%)

x”%e(0,+8)且再<々，所以三>1，所以/'里|>0,所以/(玉)一/(x,)<0,即

/(x1)<∕(%2),所以/(x)在(0,心)上單調遞增

2.(2022?全國?高一專題練習)定義在(0,+8)上的函數(shù)”χ)滿足下面三個條件：

①對任意正數(shù)a,b,都有②當x>l時，/(x)<0s③/(2)=-l

⑴求/(1)和的值；

(2)試用單調性定義證明：函數(shù)/(x)在(0,+")上是減函數(shù)；

【答案】⑴〃I)=Oj(I)=2,⑵證明見解析

【分析】(1)賦值計算得解；(2)根據(jù)定義法證明單調性；

【詳解】⑴ky=l得41)=/(1)+/(1),則/(I)=0,而/(4)=/⑵+〃2)=—1-1=-2,

且“4)+∕(T="l)=0,貝"(力=2；

⑵取定義域中的任意的巧，巧，ao<x,<x2,.?A>ι,

x?

/?/λ

當x>l時，/(x)<0.:.f±<0,.?.∕(x2)-/(xl)=y?,?—/(xl)

v??√?x?)

=Fa)+力上]—∕α)=d%?]<o,"(H在(。，+8)上為減函數(shù).

k??√k?i7

類型二：/(χ+y)=∕(χ)+∕(y)型

【例1】已知函數(shù)y=/(Λ)的定義域為R,且對任意的X,yeR均有/(%+>')=/(?)+/(y)，

且對任意的x>0,都有f(x)<0J(3)=-3.

(1)試說明：函數(shù)y=∕(x)是R上的單調遞減函數(shù)；

解析：設和超是區(qū)間(°，+8)上的任意兩個實數(shù)，且所以

x

/(?i)-/fe)=/(??)-f(2-??+??)=/(?,)-[/(%2-x1)+/(?,)]=-f(x2-xl),因為

%∣,x2∈(θ,+∞)且玉<x2,所以W-玉>0.所以/(x2-?∣)<0,所以/(x∣)-/(工2)>0，

即/(x,)>)，所以/(X)在(0,f8)上單調遞減

【題型專練】

1.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且對任意的x,y∈R均有/(x+y)=∕(x)+∕(y),且對任

意的x>0,都有/(x)>0,試判斷函數(shù)/(尤)在定義域上的單調性。

解析：設內是區(qū)間(0，+8)上的任意兩個實數(shù)，且％<血，所以

/(?i)-/(?)=/(X)-/&一玉+玉)=)一[/a-XJ+/(%)]=-/(々f)，因為

xl,x2e(θ,+∞)且玉，所以/一%>θ>所以/(?-??∣)>θ?所以/(%∣)-∕(x2)<0,

即/(X)<)，所以/(%)在(0,÷w)上單調遞增

類型三：/(χ+y)=∕(χ)+∕(y)+%型

【例1】已知/(χ)定義域為R,對任意x,yeR都有/(x+y)=∕(x)+∕(y)-2,且當

尤>0時，/(χ)<2.⑴試判斷/(χ)的單調性，并證明；

解析：設與々是區(qū)間(°，+8)上的任意兩個實數(shù)，且％<%2，所以

[/&一%)+

/(??)-/(?)=/(%)-/&-M+%)=/(??)-fM~2]=-∕(Λ2-X,)+2

ex-χ

因為Xl,X2(θ,+∞)H.Xi<X2>所以工2一%>0，所以fk2i)<2，所以

∕U∣)-∕(?)>θ>即/(χJ>∕(χ2),所以/(χ)在(o,y)上單調遞減

【題型專練】

1.已知/(X)定義域為R,對任意X,y∈R都有/(x+y)=/(x)+/(y)+g,且。當

龍〉;時?，/(x)>0.

⑴試判斷了(x)的單調性，并證明;

解析：設x>0,則x+』>L=∕(x)+d+g=∕(x)+g>O,即

,所以/元+

2212

/W>4任取X],%e(-8,+∞),且不>入2，則%-％2>0，所以

/(?i)=/[(??-X2)+x2]^f↑xl-x2)+/(?)+?>/(?)

即/(XJ>/&)，所以/(X)在(-8,4∞)上單調遞增

題型三：函數(shù)單調性定義的理解(注意對于任意字樣)

【例1】下列命題正確的是()

若對于∈都有

A.VXx27?,xl≠x2,ΛI∕(ΛI)+X2∕(X2)>X]∕(Λ2)+W∕(ΛI),

則函數(shù)y=∕(x)在R上是增函數(shù)

B.若對于?xl,X2ER,x∣≠x2,都有」")—>-1,則函數(shù)y=/(x)+x

XLX2

在R上是增函數(shù)

C.若對于WX∈R,都有/(x+l)<∕(x)成立，則函數(shù)y=∕(x)在R上是增函數(shù)

D.若對于VXG于,都有/(x),g(x)為增函數(shù)，則函數(shù)y=∕(x>g(x)在R上也是

增函數(shù)

【答案】AB

【詳解】選項中∣∣化簡為

A-^∣∕(-^∣)+X2∕(Λ?)>X∕(?)+?∕(x)

(xι-Λ2)(∕(Λi)-∕(x2))>0,

故函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)；

B選項中—')>—1~~———?——~------〉O,

-x

xl2xl-X2

故函數(shù)y=∕(x)+x在R上是增函數(shù)；

C選項中，令/(x)=[x],卜]表示不超過X的最大的整數(shù)，

滿足/(x+l)>∕(x),但/(x)在R上不是增函數(shù)；

D選項中，令/(x)=g(x)=X,但函數(shù)y=∕(x)?g(x)在R上不單調.

【題型專練】

1.(2021?河北?石家莊一中高一期中)給出下列命題，其中是錯誤命題的是()

A.若函數(shù)/S)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域為[0,4].

B.函數(shù)/(x)=1的單調遞減區(qū)間是(-∞,0)(0,+∞)

X

C.若定義在R上的函數(shù)F(X)在區(qū)間(-8,0]上是單調增函數(shù)，在區(qū)間(0,+∞)上也是單調增函

數(shù)，則/(X)在R上是單調增函數(shù).

D.4、々是/O)在定義域內的任意兩個值，且占</，若F(XI)>/(々)，則/3減函數(shù).

【答案】ABC

【解析】對于A,由于/(x)的定義域為[0,2],則由0≤2x≤2可求出/(2x)的定義域；對于

B,反比例函數(shù)的兩個單調區(qū)間不連續(xù)，不能用并集符號連接；對于C,舉反例可判斷：對

于D,利用單調性的定義判斷即可

【詳解】解：對于A,因為/S)的定義域為[0,2],則函數(shù)/(2x)中的2x∈[0,2],x∈[O,l],

所以f(2x)的定義域為[0,1],所以A錯誤；

對于B,反比例函數(shù)f。)=’的單調遞減區(qū)間為(-,O)和(0,田)，所以B錯誤；

X

對于C,當定義在尺上的函數(shù)/(X)在區(qū)間(-∞,0]上是單調增函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上也是單

調增函數(shù)，而/(X)在/?上不一定是單調增函數(shù)，如下圖，顯然，∕d)<∕(0)

所以C錯誤；

對于D,根據(jù)函數(shù)單調性的定義可得該選項是正確的，

故選：ABC

題型四：基本初等函數(shù)的單調性

1.一次函數(shù)：y=京+M女≠0)①當女〉0時，為增函數(shù)②當Z<O時，為減函數(shù)

2.反比例函數(shù)：y=Kk≠0)①當%>0時，/(x)在(-8,0)和(0,4W)上為減函數(shù)②當Z<0時,

X

/(x)在(-8,0)和(0,4W)上為增函數(shù),注意:不能說反比例函數(shù)在定義域為增函數(shù)或者減函數(shù)，

不連續(xù)的函數(shù)一定要注意，不能寫成(-8,0)U(O,+8),只能用“和”或者“，”

3.二次函數(shù)：y-ax2+hx+c(a≠0),看開口方向和對稱軸

【例1】(2022?江蘇?高一)函數(shù)/(x)=L的單調遞減區(qū)間是()

X

A.(-∞,0),(0,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)(0,+∞)D.(-∞,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質得解：

【詳解】解：因為/(幻=’定義域為(-<?,0)”0，+<?),函數(shù)在(-,O)和(0,+∞)上單調遞減，

X

故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(-8,0)和(0,+8);

故選：A

【例2】(2021.全國?高一專題練習)函數(shù)“EHxTI與g(x)=x(x-2)的單調遞增區(qū)間分別

為()

A.[1,+oo),[1,÷∞)B.(-8,1],[1,+∞)

C.(1,+∞),(-∞,1]D.(-∞,+∞),[1,+oo)

【答案】A

【解析】先對F(X),g(χ)進行化簡,再求單調區(qū)間即可.

,入“?II?x-l,x≥l

【詳解】解：/(x)=∣x-l∣=,

—X+1,X<1

??J(6在［l,+8)上單調遞增，

g(x)=x(x-2)=x2-2x=(x-l)2-1,

.?.g(x)在［l,÷oo)上單調遞增,

故選：A.

【例3】(2021.全國?高一單元測試)函數(shù)/(x)=?r匚在()

A.(γo,l)5L+∞)上是增函數(shù)B.(-∞,l)51,+∞)上是減函數(shù)

C.(-∞,D和(1,”)上是增函數(shù)D.(-∞,1)和(l,y)上是減函數(shù)

【答案】C

【分析】分離常數(shù)，作出函數(shù)圖象，觀察即可得出結果.

【詳解】/(?=*=-丁*=-F」=-I-J-=1一-1，函數(shù)的定義域為

1-X1-X1-X秒I-X1-X

(-oo,l)u(l,+∞),

其圖象如下：由圖象可得函數(shù)在(-∞,1)和(l,x>)上是增函數(shù).

【例4】下列結論正確的是

A.函數(shù)=的單調增區(qū)間是(f0,-l]

√x2-l

3?

B.函數(shù)〃X)=木r+?在定義域內單調遞減

C.函數(shù)"x)=x2-2國一3的單調遞增區(qū)間是(TO)Q-)

——4x+1,X<0

D.函數(shù)/(x)=11的單調遞減區(qū)間是［一2,0)U(Ly)

—2XH—,X>1

I2

【答案】C

【詳解】對A,函數(shù)的定義域為/一1>0,解得卜|x<—1或x>l},所以A錯

3x+2

對B∕(x)=―/2??2^∣+^τ，所以/(χ)在(一0°，一；)和(―；，+00

2x+1

分別為減函數(shù)，但不能說/(x)定義域內單調遞減

對c,由題Ef(X)--21力3=杭舄：：：：：

函數(shù)f(χ)的單調增區(qū)間為(τ,0),(|，+8),單調減區(qū)間為(-∞,-ι),(0,1)；

對D,當χ<0時，/(x)=—/一4x+l的開口向下，對稱軸為X=—2,所以/(x)的單調

減區(qū)間為［-2,0),乂當χ>l時，/(x)=—2x+；為減函數(shù)，但中間不能用U這個符號

【例5】(2021?江蘇?高一單元測試)已知〃x)=3-2此g(x)=x2-2x,設

FaH瑞瑞則關于F(X)的說法正確的是()

A.最大值為3,最小值為-1

B.最大值為7-2√7,無最小值

c.單調遞增區(qū)間為(-∞,2-√7)和(ι,G),單調遞減區(qū)間為(2-77,1)和(6,+動

D.單調遞增區(qū)間為(-8,0)和單調遞減區(qū)間為((U)和("+∞)

【答案】BC

【分析】在同一坐標系中由“X)與g(x)的圖象得出函數(shù)尸(X)的圖象，結合圖象即可得出

尸(力的性質，判斷各選項.

【詳解】在同一坐標系中先畫出了(X)與g(X)的圖象，

當〃χ)<g(χ)時,F(X)=∕(4∣表示f(x)的圖象在g(x)的圖象下方就留下了(x)的圖象，

當/(χ)??g(χ)時,尸(X)=g(χ),表示g(χ)的圖象在“X)的圖象下方就留下g(χ)的圖象,

然后根據(jù)定義畫出F(X),

就容易看出F(X)有最大值，無最小值，

故A錯誤，

當x<0時，由3+2x=f-2χ,得x=2+√7(舍)或x=2-√7,

此時尸(x)的最大值為：7-2√7,無最小值，

故B正確，

x>0時，由3—2x=x2—2χ,解得：X=石(―百舍去)，

故F(X)在(-∞,2-⑺，(1,@遞增，在(2-77,1)和(省,+∞)遞減

故C正確，D錯誤，

故選：BC.

【題型專練】

1.下列說法正確的是

A.若當王<%2時，/(χ∣)</(χ2)>則y=/(χ)在/上為增函數(shù)

B.函數(shù)/(x)=χ2在[θ,+χ))上為增函數(shù)

C.函數(shù)/(X)=-L在定義域內為增函數(shù)

X

D.函數(shù)/(x)=L的單調增區(qū)間為(一叫0)D(O,÷∞)

X

【答案】B

【詳解】對A,由函數(shù)單調性的定義知，應為對于任意王,々e/，所以沒有任意二字，不

對

對B,對稱軸為X=O,開口向上，所以函數(shù)/(X)=/在(0,-8)上為增函數(shù)

對C,所以/(x)在(-8,0)和(0,心)上分別為增函數(shù)，但不能說/(x)定義域內單調遞增

對D,7(九)在(-8,0)和(0,48)上分別為減函數(shù)，，但中間不能用口這個符號

2.下列函數(shù)中，滿足“對于任意玉,當€(0,+8),都有了(X上/區(qū))>0”的是

X1-X2

21

A.f[x)=-B./(x)=-3x+lC.f(x)=x2+4x+3D./(x)=x+-

XX

【答案】C

f(x)_f(x\

【詳解】因為“對于任意西(0,-8),都有2/>0”,所以/(X)在(0,ZO)上

X∣一尤2

為增函數(shù)

3.求函數(shù)/(X)=-J的單調區(qū)間為

1+x

【答案】增區(qū)間：(―8,—1)和(τ,+χ)

rrI1_1_1

【詳解】f(x)=」一=」LJ?=1+-l,所以/(χ)的單調遞增區(qū)間為(—8,—1)和

x+1x+1Λ+1

(-1,4W)

9

4.函數(shù)/(X)=-5WJ+/的定義域是［0,2］,則其值域為

Jg-

【答案】一2,三

【詳解】由題意知/(x)在定義域［0,2］上為增函數(shù)，所以當X=O時，

O1O

/Mnlin=Z(O)=-2+0=-2,當χ=2時，/(4_=*2)=—指+4=］

5.(2021?全國?高一課前預習)函數(shù)〃引=一二的單調遞減區(qū)間是______.

X—1

【答案】(—00,1),(1,+∞)

【分析】根據(jù)函數(shù)單調性的定義求得函數(shù)>=一1的單調遞減區(qū)間.

X-I

【詳解】函數(shù)/(力=J~j*的定義域為(一8,1)U(1,÷∞),設X/,也￡(—8,1),且X∕<X2,

則

MH=?^?=?因為打5<1'

所以X2-X∕>0,?/-l<0,X2—1<0,所以於/)—/(X2)>0,即y(X/)?X2).

所以函數(shù)y(χ)在(一S,1)上單調遞減，同理函數(shù)4X)在(I,+oo)上單調遞減.

綜上，函數(shù)4X)的單調遞減區(qū)間是(一8,1),(1,+∞).

故答案為：(一8,1),(1,+∞)

6?(2021?全國.高一課時練習)函數(shù)y=j7+6x-Y的單調遞增區(qū)間為.

【答案】［T3］

【分析】先求函數(shù)的定義域，再由復合函數(shù)的單調性即可求解.

【詳解】由題意可得7+6x—Y≥0,即/-6x-7≤0,解得：-l≤x≤7,

所以函數(shù)y=λ∕7+6x-f的定義域是［T7］,

y=?∣7+6x-X2是由〃=+6x+7和y=〃復合而成，

因為〃=-x2+6x+7對稱軸為x=3,開口向下，

所以"=-V+6χ+7在區(qū)間［T,3］上單調遞增，在區(qū)間［3,7］上單調遞減，

而y=√F單調遞增，

所以y=g+6x-f的單調遞增區(qū)間是,

故答案為：

題型五：函絕對值函數(shù)的單調性判斷

1.注意函數(shù)y=/聞和V=∣∕(xj函數(shù)圖象的畫法

2.當函數(shù)中某一部有絕對值可以考慮通過討論正負去掉絕對值

【例1】(2022?上海金山?高一期末)函數(shù)/(x)=|x—1|的遞增區(qū)間是.

【答案】"，+8)

【分析】畫出函數(shù))，=IX-Il的圖象，數(shù)形結合可得函數(shù)的增區(qū)間.

【詳解】解：函數(shù)y=∣x-1|的圖象如圖所示：

數(shù)形結合可得函數(shù)的增區(qū)間為［1,+∞),

故答案為：［1,+∞).

【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的單調性的判斷,體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，

屬于基礎題.

【例2】(2021?全國?高一專題練習)函數(shù)/(x)=∣x+l∣+∣3-x∣的單調遞減區(qū)間是.

【答案】(-∞,-l］

—2X+2,x≤—1

【分析】由題意結合零點分段法可得/（X）=4,T<X<3,即可得解.

2x-2,x≥3

—2%÷2,%≤—1

【詳解】由題意/(x)=∣x+l∣+∣3-x∣=?4,-l<x<3

2x-2,x≥3

所以函數(shù)/S）的單調遞減區(qū)間為（-∞,-U.

故答案為：（-,-U.

【點睛】本題考查了含絕對值函數(shù)單調區(qū)間的求解，考查了零點分段法的應用與分類討論思

想，屬于基礎題.

【例3】（2020.全國?高一課時練習）求函數(shù)y=-Y+2國+3的單調遞增區(qū)間.

【答案】（-∞,T］和［0,1］

【解析】分類討論去絕對值，求出分段函數(shù)的解析式，轉化為二次函數(shù)的單調性，結合函數(shù)

圖像，即可求解.

~x2,+2.x+3,X2O

【詳解】y=-x2+2∣x∣+3=,

—x~-2.x+3,x<O

作出函數(shù)圖象如圖所示.

，函數(shù)y=一寸+4耳+3的單調遞增區(qū)間是（-∞,—1］和［0,1］.

故答案為：（T?,-1］和［05.

【點睛】本題考查分段函數(shù)和二次函數(shù)的單調性，屬于中檔題.

【例4】（2022?全國?高一專題練習）函數(shù)/（x）=∣x-2IX的單調遞減區(qū)間是.

【答案】口，2］

【解析】由"）=∣T?x=2…*2’分段討論出函數(shù)的單調區(qū)間，從而得出答案?

X2-2χx>2

【詳解】由/(x)=k-2∣?x=?

2x-x2x<2

當了>2時，/（x）=χ2-2X開口向上，對稱軸方程為X=I,所以在（2,+∞）上單調遞增.

當x≤2時，〃x)=2x—d開口向下，對稱軸方程為χ=ι

所以此時“X)在(-8』上單調遞增，在[1,2]上單調遞減.

故答案為：[1,2]

【例5】(2021.全國?高一專題練習)函數(shù)/(x)=∣∕-6x+8∣的單調遞增區(qū)間為()

A.[―3,+∞)B.(-∞,2),(4,+∞)C.(2,3),(4,+∞)D.(―∞,2],[-3,4]

【答案】C

【分析】去絕對值，將/U)化為分段函數(shù)，轉化為二次函數(shù)的單調區(qū)間，即可求解.

2X≤2垢≥4

【詳解】/(x)=∣√-6x+8∣=?X—6x+8

-X2+6x-82<x<4

所以/(?)遞增區(qū)間是(2,3),(4,+8).

故選:C.

【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調性，注意二次函數(shù)單調性的應用，屬于基礎題.

【題型專練】

1.(2020.全國?高一課時練習)關于函數(shù)/(x)=[,下列結論：①函數(shù)在定義域內是減函數(shù)；

②函數(shù)有兩個單調區(qū)間，且單調性不相同；③函數(shù)在(-∞,0)上單調遞減；④函數(shù)的單調區(qū)

間為(-∞,0)5°，”)?其中正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】先求出函數(shù)“H=看的定義域,讓后將“χ)=后寫成分段函數(shù)的形式,再判斷單調

性和求單調區(qū)間即可.

-%>O

【詳解】解:函數(shù)定義域為(F,0)D(0,~),/(x)=Λ=x,

N-L<O

X

定義域區(qū)間不連續(xù)，結論①、④錯誤；

在(-∞,0)上函數(shù)單調遞遞增，結論③錯誤；

函數(shù)在區(qū)間(γ>,o)上遞增，在區(qū)間(0,+∞)上遞減，結論②正確.

故選:A

【點睛】本題考查了分段函數(shù),函數(shù)的單調性和函數(shù)的單調區(qū)間,是基礎題.

2.求函數(shù)/(x)=∣-χ2+4χ+5∣的單調增區(qū)間為

【答案】[一1,2]和[5,+8)

【詳解】畫出函數(shù)/(x)=|——+4x+5|的圖象(如圖所示)可知

3.(2021.全國?高一課時練習)已知函數(shù)AX)=TIXI+2χ,則下列結論正確的是()

A.增區(qū)間是(0,+8)B.減區(qū)間是(9,-I)

C.增區(qū)間是(YO,1)D.增區(qū)間是(-1,1)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，將f(χ)寫成分段函數(shù)的形式，結合二次函數(shù)的性質分段討論/(χ)的單調

性和單調區(qū)間，綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/(?)=rW+2x=：2x，x：0,

Jr+2x,x<0

當x<0時?，/(X)=X2+2X=(X+1)2-1,在區(qū)間(9,-I)上為減函數(shù)，在區(qū)間(-1,0)上為增函

數(shù)；

當x≥0時，/(x)=-χ2+2x=-(x-l)2+l,在區(qū)間［0,1)上為增函數(shù)，在區(qū)間(L+∞)匕為減函

數(shù)；

綜合可得：f(x)在區(qū)間(9,-I)和(1,一)上為減函數(shù)，在區(qū)間(-1/)上為增函數(shù)，

故選：D.

4.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=∕-2W+l的單調遞增區(qū)間是()

A.(-1,0)B.(To)和―)

C.(-00>-1)D.(τ>o,-1)和(0,1)

【答案】B

【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖象求解單調區(qū)間.

(X-I)2,x≥0

【詳解】y=x2-2∣x∣+l=

(x+l)2,x<O

作出其圖象如圖所示:

故選:B

題型六：已知函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍

【例1】已知函數(shù)/(%)=*+2(。一1)工+2在區(qū)間(—8,4］上是減函數(shù)，則實數(shù)”的取值范圍

是

A.α≤-3B.Q≥-3C.a≤5D.Q≥3

【答案】A

【詳解】/(x)的對稱軸為X=—2=—生二D=I—°,因為y(χ)在區(qū)間(—8,4］上是減

2a2

函數(shù)，所以l-a≥4,解得。工一3

【例2】若函數(shù)/(x)=∣2x+a∣的單調增區(qū)間是［3,一。。)，則a=

【答案】。=-6

【詳解】令2x+a=0,可得x=—因為函數(shù)/(x)=∣2x+a∣的單調增區(qū)間是［3,物)，

所以一0=3,解得a=-6

2

【例3】已知函數(shù)/(X)=竺里在區(qū)間(一2,+oo)上是增函數(shù)，試求a的取值范圍。

x+2

【答案】(/'+CO)

【詳解】∕?(x)=?=心+2)+1-2ja+?

x÷2x+2x+2

因為/(X)=竺上?在區(qū)間(一2,+00)上是增函數(shù)，所以1一2。<0,解得a〉L

x+22

【例4】(2021?全國?高一單元測試)已知函數(shù)/(x)=-χ2+2av與g(x)==在區(qū)間［1,2］上

x+1

都是減函數(shù)，那么。€()

A.(0,1)B.［0,l)C.(0,l］D.［0,1］

【答案】C

【分析】二次函數(shù)在區(qū)間U,2］單減，則區(qū)間口,2］在二次函數(shù)的減區(qū)間范圍內，從而求得。的

范圍；反比例函數(shù)在區(qū)間口,2］單調遞減，得a>0,取交集即可

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的表達式可知，/S)的對稱軸為X=。，開口向下，若/S)在區(qū)間口,2］

上是減函數(shù)，則4≤l,g(x)是反比例函數(shù)，若g(%)在區(qū)間口,2]是減函數(shù)，則。>0,所以

O<α≤l

故選：C

【例5】(2021?全國?高一專題練習)已知函數(shù)"x)=2/+4(α-3)x+5,下列關于函數(shù)

的單調性說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)在R上不具有單調性

B.當α=l時，f(x)在(-?,0)上遞減

C.若/(x)的單調遞減區(qū)間是(-∞,-4],則α的值為-1

zz「3"

D.若/(x)在區(qū)間(v,3)上是減函數(shù)，則α的取值范圍是Oq

E./(x)在區(qū)間(3,”)上不可能是減函數(shù)

【答案】BD

【解析】對二次項系數(shù)。分類討論，當α=0時，/(x)=T2x+5,在R上是減函數(shù)；當“0

時，函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，根據(jù)開口方向，和對稱軸的位置，可判斷其單調性，或由單調

性，求參數(shù)，即可得出結論.

【詳解】當q=0時，/(x)=-12x+5,在R上是減函數(shù)，A錯誤；

當α=l時，/(x)=2f-8x+5,其單調遞減區(qū)間是(-∞,2],

因此F(X)在(-∞,0)上遞減,B正確:

2a>0

由的單調遞減區(qū)間是(y,T]得4(a-3)_,

。的值不存在，C錯誤；

在。中，當α=0時，/(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是減函數(shù)：

a>0

3

當αxθ時,由犬…“得0<α≤—

4f

4a

3

所以〃的取值范圍是00,。正確；

_4_

a<0

由/(x)在區(qū)間(3,E)上是減函數(shù)得4(a-3)，

-----------≤3

I4a

解得”()，因此“X)在區(qū)間(3,一)上可能是減函數(shù)，E錯誤.

故選

【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)單調性，以及由單調性求參數(shù)范圍，考查分類討論思

想，屬于中檔題.

【例6】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象過點(—1,3),且不等式/(x)—7x<0的解集為

(I)求/(x)的解析式；

(II)設g(x)=∕(x)-〃a，若g(x)在(2,4)上是單調函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.

解析:(1)由題意可設/(x)-7X=q(x—l),即/(x)="X--(x-l)+7x,由/(x)

的圖象過點(—1,3),可得彳一1-￡|(—l-l)+7χ(-l)=3,解得。=4,所以

/(Λ)=4X2+2X+1

2Ti

(2)g{x)=f{x]-mx=4X2+2X+1-∕71V=4X2+(2-/??)%+1,對稱軸X=........-,因

8

2—7772—777

為g(x)在(2,4)上是單調函數(shù)，所以-------≤2或-------≥4,解得加≤18或m≥34

88

【題型專練】

1.(2021?全國?高一單元測試)函數(shù)/(x)=-χ2+2(l-帆)x+3在區(qū)間(-3,4]上單調遞增，則加

的取值范圍是有()

A.[-3,+8)B.[3,+∞)C.(-∞,5]D.(→>,-3]

【答案】D

【分析】首先求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質得到不等式，解得即可；

【詳解】解：因為函數(shù)"X)=—d+2(l-∕n)x+3,開口向下，對稱軸為X=I-〃?，依題意

l-m≥4,解得m≤-3,即〃I∈(-8,-3]

故選：D

2.(2021.全國?高一課時練習)若函數(shù)/(x)=(3α-l)x+6在(Y>,+∞)上是嚴格增函數(shù)，則實

數(shù)4的取值范圍是.

【答案】(；，+8)

【分析】由題意知函數(shù)是嚴格增函數(shù)，故X前面的系數(shù)大于零，即可得到答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=(3a-l)x+b在(-∞,*o)上是嚴格增函數(shù)，.?.3a-l>0,nα>g.

故答案為：

3.(2021?全國?高一課時練習)若/(X)=H2-以-8是［5,20］上的嚴格減函數(shù)則實數(shù)&的取

值范圍是.

【答案】k≤-

10

【分析】當A=O時，/(x)=TX-8符合題意，當左片0時，求出對