2023屆廣東省廣州市重點初中高二數(shù)學第二學期期末調研試題（含解析）

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.袋中有大小和形狀都相同的3個白球、2個黑球，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白

球的條件下，第二次取到白球的概率是（）

2.二項式［4—的展開式中的系數(shù)是（）

A.10B.-10D.-5

3.若函數(shù)/（x）=sinCDX-^-）（0<。<10）的圖象與8（%）=85（%+0）（0<°<3）的圖象都關于直線尤=一右對

\3J12

稱，則”與。的值分別為（）

-?7T_7t

A.8,—B.2,—C.8,—D.2,—

12121212

4.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于60°，反證假設正確的是（）

A.假設三內(nèi)角都大于60°B.假設三內(nèi)角都不大于60°

C.假設三內(nèi)角至多有一個大于60°D.假設三內(nèi)角至多有兩個大于60°

5.在A4BC中，a=6,b=T,則等于（）

7Cp,2兀7C7T_57r兀

A.一或一B.一C.一或一D.—

333666

6.已知某幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是（）

1-J1a1310

A.一cnrB.-cmC.—cmD.一cm

23612

7.函數(shù)尸、1=._：：，若,,,；=3=:有8個不相等的實數(shù)根，則,工的取值范圍是

A

-（2\巴司B.p<4]C.（X2通”（、區(qū)旬

8.（2x+l）（x+l>的展開式中*5的系數(shù)為（）

A.1B.9C.10D.11

9.歐拉公式*=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集,

建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式

可知，表示的復數(shù)的虛部為（）

1

A.-C.BD.烏

222

10.已知函數(shù)/(%)=|2%一3|-|2%+1|,g(x)=^5(x-l)+yjl-x,若對X/fe(fo,+oo),玉e[l,7],使

/(r)+aWg(s)(a>0)成立，則實數(shù)的“取值范圍是()

A.(0,2]B.(2,3]C.[3,6]D.[4,-hoo)

11.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間[05上單調遞增的是()

/1\W

A.y=cosxB.y=-x2C.y=-ID.y=|siru|

12.設集合A={1,2,4},B={X|X2-4X+^=0}.若ACB={1},則3=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

（〃是奇數(shù)）

13.在數(shù)列{%}中，4=r,J=%+%+L+%,,貝*吧.

-余（〃是偶數(shù)）

14.在極坐標系中，曲線。：。=2被直線/:夕cos6=l所截得的弦長為.

15.已知/'（X）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，/（x）=2'+21n（x+l>r（0），則/'（1）=.

16.曲線y=-x3+3x2在點（1,2）處的切線方程為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓「：1+4=1（。＞萬＞0,4/€"*）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),,過原點。且斜率為1的直

礦b~

線交橢圓「于A,8兩點，四邊形耳A與B的周長與面積分別為12與三石.

（1）求橢圓「的標準方程；

（2）直線/與圓V+y2=i相切，且與橢圓「交于M,N兩點，求原點到MN的中垂線的最大距離.

18.（12分）如圖，在正四棱柱ABC。-44GA中，已知AB=2,A/=5,

E、F分別為RO、B|B上的點，且DE=B]F=1.

⑴求證：BE_L平面ACF；

（2）求點E到平面ACF的距離.

1

x=-m

2

19.（12分）已知在平面直角坐標系刀，少中，直線/的參數(shù)方程為〈（“為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸

y=——m

2

2>/152,

非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2—22cos6-2=0,點A的極坐標為

37

（1）求直線/的極坐標方程;

（2）若直線/與曲線C交于B,C兩點，求A3C的面積.

20.（12分）已知函數(shù)/（的=壬二竺士且，g（x）=x//（x）—2x.

e'

（1）當。=1時，求函數(shù)g（x）的極值；

（2）討論函數(shù)/（x）的單調性.

21.（12分）已知正三棱柱ABC-A4G中，AB=2,A4=G，點。為AC的中點，點￡在線段上.

4?

(I)當AE:E4,=1:2時，求證OELBC”

(II)是否存在點E，使二面角O—BE—A等于60。？若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由.

22.(10分)在直角坐標系xOy中，已知傾斜角為a的直線/過點A(2,1).以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極

軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為p=2sin。，直線/與曲線C分別交于尸，。兩點.

(1)寫出直線/的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程.

⑵求IAP|?|AQI的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

分別計算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據(jù)條件概率公式求得結果.

【詳解】

記”第一次取到白球”為事件A，貝"(A)=：

記”第一次取到白球且第二次取到白球”為事件8,則P(A8)=3X：=S

5410

3

二在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：夕(卸4)=爺?=普=；

5

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查條件概率的求解問題，易錯點是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯誤的認為每次抽到白球均為等可能事件.

2、B

【解析】

利用二項展開式的通項公式，令X的幕指數(shù)等于-2,即可求出廠2的系數(shù).

【詳解】

由題意，二項式（4—展開式的通項公式為7；+1=G[4）j（—=C；（—l）'x手，

令三上=一2,解得r=3,

2

所以『的系數(shù)為Cf（—Ip=-10.

故選：B

【點睛】

本題主要考查二項展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.

3、D

【解析】

（7T\7171

分析：由題意得。?一行一]=5+%萬，結合0＜。＜10即可求出0,同理可得。的值.

詳解：函數(shù)“無）=$皿（5-1^（0＜/＜10）的圖象與8（力=以%（%+0）（0＜0＜3）的圖象都關于直線.丫=一\對

稱,

(7l\7171.71

/.CD--------------=----FK7T和-----(0—n7i(女,〃￡Z)

I12；3212”

JT

解得口=-10-12攵和°=五+〃萬，

0＜。＜10和0＜。＜3

二女=—1時，＜y=2；

〃=0時，。=五.

故選：D.

點睛：本題主要考查了三角函數(shù)的性質應用，屬基礎題.

4、B

【解析】

反證法的第一步是假設命題的結論不成立，根據(jù)這個原則，選出正確的答案.

【詳解】

假設命題的結論不成立，即假設三角形的內(nèi)角中至少有一個大于60°不成立，即假設三內(nèi)角都不大于60°,故本題選

B.

【點睛】

本題考查了反證法的第一步的假設過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關鍵.

5、D

【解析】

已知兩邊及其中一邊的對角，求另一邊的對角，先由正弦定理求sin8,再求D8.

【詳解】

,.71

由正弦定理U丁熹'可得如武第Ixsin—

3]_

2

71

由b<a,可得N8<NA,所以=w.故選D.

6

【點睛】

本題考查正弦定理的應用.已知兩邊及其中一邊的對角，由正弦定理求另一邊的對角，要注意判斷解的個數(shù).

6、C

【解析】

分析：由三視圖知幾何體是一個三棱錐，三棱錐的底面是一個邊長為1,高為1的三角形，三棱錐的高為1,根據(jù)三棱

錐的體積公式得到結果.

詳解：由三視圖可知，幾何體是一個三棱錐，

11,

三棱錐的底面是一個邊長為高為lc〃?的三角形，面積S=-xlxl=-c/?2,

22

三棱錐的高是1cm,所以V=」xLxl=」cm3

326

故選C.

點睛：當已知三視圖去還原成幾何體直觀圖時，首先根據(jù)三視圖中關鍵點和視圖形狀確定幾何體的形狀，再根據(jù)投影

關系和虛線明確內(nèi)部結構，最后通過三視圖驗證幾何體的正確性.

7、A

【解析】

方程有8個不相等的實數(shù)根指存在8個不同的值；根據(jù)函數(shù)，的圖象，可知方程了=C必存在2

個大于1的不等實根.

【詳解】

若丫,j+3=J有8個不相等的實數(shù)根=關于勺：的二次方程必有兩個大于1的不等實根,

J=ms—12>0.

=?2^<m<4

（,1-m+3>0,

【點睛】

與復合函數(shù)有關的函數(shù)或方程問題，要會運用整體思想看問題；本題就是把所求方程看成是關于,的一元二次方程,

再利用二次函數(shù)根的分布求”的范圍.

8、D

【解析】

根據(jù)組合的知識可求（X+1）’展開式的含.一和/的項，分別乘以（2x+l）的常數(shù)項和一次項，合并同類項即可求解.

【詳解】

因為（x+l）5展開式中含丁項的系數(shù)為以=1,含/項的系數(shù)為仁=5,乘以（2x+l）后含/項的系數(shù)為

1x1+2x5=11,故選D.

【點睛】

本題主要考查了用組合知識研究二項展開式的特定項的系數(shù)，屬于中檔題.

9、C

【解析】

先由題意得到j'=cos2+isin&,進而可求出結果.

33

【詳解】

由題意可得：^cos-+isin-^-+—i,所以虛部為由.

33222

故選C

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的應用，熟記復數(shù)的概念即可，屬于常考題型.

10、A

【解析】

由題意得“對Vfe(-o),”)，玉使/⑺+a?g(s)(a>0)成立”等價于“/(旦皿+。4g。)”,”

/(x)=|2%-3|-|2x+l|=<|(2x-3)—(2x+1)|=4,當且僅當(2x-3).(2x+l)>0時等號成立.

：?/(X)max=4.

在g(x)=J5(x-1)+(7-x中,由f解得lWx?7.

令x=4+3cosa。w［O,乃］,

則g(x)=J5(3+3cose)+，3-3cos6=^5［3+3(2cos2-1-1)］+^3-3(1-2sin21)

=J30cos2'+J6sir)2\=后,(sing+加cos勺=娓?瓜sing+夕)K6,(其中tane=A/^).

???g(x)max=6?

由4+。<6,解得〃<2,

又。>0,故0<〃<2,

???實數(shù)的，取值范圍是(0,2］.選A.

點睛：

(1)對于求產(chǎn)|萬一4+|%—4或)=|什4一忖一。|型的最值問題利用絕對值三角不等式更方便.形如

>'=|x—a|+|x—Z?|的函數(shù)只有最小值，形如>=|葉。］—|》一。|的函數(shù)既有最大值又有最小值.

(2)求函數(shù)的最值時要根據(jù)函數(shù)解析式的特點選擇相應的方法，對于含有絕對值符號的函數(shù)求最值時，一般采用換元

的方法進行，將問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的問題求解.

11、D

【解析】

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的定義和性質，對選項中的函數(shù)逐一驗證判斷即可.

詳解：四個選項中的函數(shù)都是偶函數(shù)，

在［0,1］上A,8,C三個函數(shù)在［0,1］上都遞減，不符合題意，

在［0』上遞增的只有O,而故選D.

點睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調性的性質，意在考查綜合應

用所學知識解決問題的能力.

12、C

【解析】

?.?集合A={1,2,4},3={x|x2—4x+〃?=0},AcB={l}

x=1是方程x?—4x+〃?=0的解，即1—4+僧=0

/.m=3

:.5=^x|x2-4x+m=o|=|x|x2-4x4-3=o|={L3},故選C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13、一

8

【解析】

先根據(jù)分組求和得S”再求極限得結果.

【詳解】

1,（〃是奇數(shù)）

因為4=，5,,所以邑.=（/一看）+（/_］）+L+（p|zr一套）

7,（〃是偶數(shù)）

因此陽S2“=哽'-

故答案為：!

O

【點睛】

本題考查分組求和以及數(shù)列極限，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

14、26

【解析】

將直線和曲線C的方程化為普通方程，可知曲線C為圓，然后計算圓心到直線的距離。和半徑「，則直線截圓所得弦

長為25//一屋。

【詳解】

曲線C的直角坐標方程為d+y2=4,直線/：X=l,所以圓心到直線的距離為d=l,

所求弦長為2G.故答案為：26。

【點睛】

本題考查極坐標方程與普通方程之間的轉化，考查直線與圓相交時弦長的計算，而計算直線截圓所得弦長，有以下幾

種方法：

①幾何法：計算圓心到直線的距離d,確定圓的半徑長廣，則弦長為2尸方；

②弦長公式：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去x或V,得到關于另外一個元的二次方程，則弦長為

J/+1，-X21="之+1+%）2-4X]V或+1，|]

=出1+1,（弘+%）2_4必必（其中人為直線的斜率，且Z/0）；

x=廝+，cosa

③將直線的參數(shù)方程,a為參數(shù),a為直線的傾斜角）與圓的普通方程聯(lián)立，得到關于『的二次方程,

y=y0+/sma

列出韋達定理，則弦長為M-GI=?。?+手）2—4v2。

15、In2

【解析】

分析：先求導，再求r（o）,再求r（i）.

2

詳解：由題得廣（幻=2、In2+—7r（0）,

x+1

2

令x=0得/'（0）=2°In2+--r（0）,/.f（0）=-ln2,

0+1

2

所以/，（1）=？In2+——（~/n2）=/〃2.

1+1

故答案為：ln2.

點睛：（1）本題主要考查求導和導數(shù)值的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力，屬于基礎題。）解答本

題的關鍵是求f'（0）.

16、3x—y—1—0

【解析】

試題分析：因為曠=-1+3/,所以y=-3/+6x,則在（1,2）點處的切線斜率為％=3,所以切線方程為

y-2=3(x-1),即3x-y-1=0；故填3x-y-l=0.

考點：導數(shù)的幾何意義.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

4

17、(1)—+y2=1(2)-

9-3

【解析】

（1）不妨設點A（Xo，y0）是第一象限的點，由四邊形居B的周長求出面積求出方與c關系，再由點A在直線

y=x上，得到七與c關系，代入橢圓方程，求解即可;

（2）先求出直線/斜率不存在時，原點到的中垂線的距離，斜率為0時/與橢圓只有一個交點，直線/斜率存在

時，設其方程為〉=H+加（心0）,利用與圓f+y2=］相切，求出左,機關系，直線/方程與橢圓方程聯(lián)立，求出肱V

中點坐標，得到MN的中垂線方程，進而求出原點到MN中垂線的距離表達式，結合機"關系，即可求出結論.

【詳解】

（1）不妨設點A（x。,%）是第一象限的點，

因為四邊形耳囚丹8的周長為12,所以4。=12,a=3,

因為一es=上石，所以:x2cx2yo=qJL

一?-525

得先=?石，點A為過原點。且斜率為1的直線與橢圓的交點,

5c

即點A在直線y=x上，點A（金遂,二君］在橢圓「上，

\5c5c）

所以2+5,326從ttan436八.7

=1,即—I=9—b^

55b29

36

解得層=1或/0=不（舍）,

所以橢圓的標準方程為二+V=1.

9-

（2）當直線的斜率不存在時，直線為x=±l,

線段MN的中垂線為x軸，原點到x軸的距離為0.

當直線/的斜率存在時，設斜率為攵，依題意可設/:丁=依+訊％/0）,

\m\

因為直線/與圓Y+J?1相切，所以=1,

yjl+k2

y=kx+m

設川（西,乂）,N（9,%），聯(lián)立<

X1+9/=9'

得(1+9爐)d+i8Azm；+9病—9=0,

由d>0,得〃，<9/+1，又因為加2=1+k2,所以后。0,

18/772

所以玉+x=-

21+9小

（9kmm

所以MN的中點坐標為-E,M

所以加的中垂線方程為、一屈=一工1\卜9+k由m

外小r3>8km八

化簡，得x+6+----7=0，

1+9Z

I8kmI

原點到直線中垂線的距離d==為284

VT7F1+9/：-13

+9陽

陽

當且僅當小=9|%|,即|幻=!時，等號成立，

I攵I3

4

所以原點到MN的中垂線的最大距離為］.

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系、點到直線的距離，利用基本不等式求最值，考查邏輯推理、數(shù)學

計算能力，屬于中檔題.

18、（1）見解析（2）-

3

【解析】

分析：（1）以。為原點，。4。。,。2所在直線分別為％，，2軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，要證

明線與面垂直，只需證明這條直線與平面上的兩條直線垂直即可；（2）BE為平面ACT的一個法向量，向量AE在

BE上的射影長即為E到平面ACE的距離，根據(jù)點到面的距離公式可得到結論.

詳解：（1）證明：以。為原點，DA.DC,。。所在直線分別為x、八z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則

0(0,0,0)、4(2,0,0)、5(2,2,0)、C(0,2,0)、01(0,0,5)、E(0,0,l)、尸(2,2,4).

?；#=(-2,2,0)、。=(0,2,4)、蘇=(-2,-2,1).力=(-2,0,1).

=0,?ZfZ=o,

：.BE±AC,BE±AF,ACHAF=A.

.,.8E_L平面ACF.

(2)由(1)知，為平面ACF的一個法向量，

點E到平面ACF的距離〃=衛(wèi)羋=1

屈1、

故點E到平面ACF的距離為;.

點睛：本題主要考查利用空間向量求點到面的距離，屬于中檔題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：(1)觀察

圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；(2)寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；(3)設出相應平面的法向量,

利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；(4)將空間位置關系轉化為向量關系；(5)根據(jù)定理結論求出相

應的角和距離.

19、(1)0=夕eR)(2)孚

【解析】

(1)先消去參數(shù)〃，化為直角坐標方程y=再利用y=Qsin(9,x=Qcose求解.

(X-2夕cos，-2=0

(2)直線與曲線方程聯(lián)立｛—兀，得P2一夕—2=0,求得弦長

忸C|=|月一闖=+6『一42/和點/到直線/的距離d=2"5sin(二一四］，再求A6C的

3\33y

面積.

【詳解】

(1)由已知消去加得y=則psin。=gpcos。，

所以。=3,所以直線/的極坐標方程為6=

p1一2夕cos6-2=0

(2)由<JI9得0~—/?—2=0,

設8,C兩點對應的極分別為,。2，則夕1+夕2=1，P\P1=-2,

所以忸q=|月一同=’(/+夕2)2-4。0=3，

又點A(邛5,4］到直線/的距離4=冬叵sin(二一生］=石

I33J3133；

所以SAM=3怛。|。=之￡

【點睛】

本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標方程及極坐標方程的轉化和直線與曲線的位置關系，還考查了數(shù)形結合的思想和運

算求解的能力，屬于中檔題.

123

20、(I)/(1)極大值=/(_-)--'/(工)極小值=/⑴=—L(D)答案見解析.

【解析】

分析：(1)代入?yún)?shù)值，對函數(shù)求導，研究導函數(shù)的正負，得到函數(shù)的單調性即可；(2)直接對函數(shù)求導，因式分解,

討論s的范圍，進而得到單調區(qū)間.

詳解：

(I)g(x]=xex————2x=x3-x2-x

ex9

g(x)=3x2-2x-l=(3x+l)(x-l),

g'(x)=0,則內(nèi)=_g,4=L

X1。,+8)

~3

/(-)十0-0+

/極大值極小值*

〃x)極大值=H，/(x)極小值=/(I)=T.

(n)r(x)=(2x-a)e'-(：-x+4)e'=-(x-2)(…),

e2xex

當。=2吐r(X)=-(，、.2)-<o,/(為)在(-℃,+<?)單調遞減?

當a<20\)",xe(-℃>,a)e(2.+oo)(%)^0,xe(a,2)W/-(x))0,

貝獷(x)在(-OOM)和(2+8)上單調遞減，在32)上單調遞增.

當a>2時,xe(-oo,2)和xe(a+8)^//(x)^0,XG(2,a)^/(x))0,

財(x)在(-00,2)和(a+00)上單調遞減,在(2,a)上單調遞增.

點睛：這個題目考查的是函數(shù)單調性的研究，研究函數(shù)單調性的方法有：定義法，求導法，復合函數(shù)單調性的判斷方

法，即同增異減，其中前兩種方法也可以用于證明單調性，在解決函數(shù)問題時需要格外注意函數(shù)的定義域.

21、(I)證明見解析；(II)存在點E,當AE=在時，二面角。―BE—A等于60°.

2

【解析】

試題分析：(I)證明：連接。G，=由48?！?4。|為正三棱柱二A45。為正三角形=3。，4。，

又平面ABC_L平面ACCAnBOJ_平面AC&An_LOE.易得OE，DCnDE_L平面

BDC[=>r>￡±BC,.(II)假設存在點E滿足條件，設AE=%由。Q_L平面n1AD,DD,±BD,建立空

間直角坐標系。一孫z,求得平面的一個法向量為

勺=(—”2,0,1),平面ABE的一個法向量為

MM1V2r

=-'---=L=cos60°=—=>m=---<V3?

2>/m2+122

試題解析：(I)證明：連