2024年高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

2024版新高考新教材版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)3.5

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)

2-|x|,x<2,

1.(2015天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=；函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)

,(x-2)2,x>2,

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

(\x-2|+1,x>0,

答案A由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=、2/c函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)

產(chǎn)f(x)與y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示.

由圖可知函數(shù)y二f(x)與y=g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)所以函數(shù)y二f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,選A.

2.(2014北京文,6,5分)已知函數(shù)f(x)=Zlo曲x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()

X

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+oo)

答案C.丫⑴=6-logJ=6>0,f⑵=3-10822=2〉0，(4)=沁824=|-2<0,二.包含小)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4),

故選C.

3.(2011課標(biāo),10,5分)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=e*+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

G。.(輔

答案C顯然f(x)為定義域R上的連續(xù)函數(shù).如圖作出y=e*與y=3-4x的圖象,由圖象知函數(shù)f(x)=e'+4x-3

的零點(diǎn)一定落在區(qū)間(0怖)內(nèi)，又｛》=%-2<0,《習(xí)=五-1>0.故選C.

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評(píng)析本題考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及求解方法,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬中等難度試題.

L

4.(2。16山東文,15,5分)已知函數(shù)f(x)=g_2mx+的:其中畋若存在實(shí)數(shù)>使得關(guān)于x的

方程f(x)=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

答案(3,+oo)

解析f(x)的圖象如圖所示,

若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,只需dm-mym,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.

方法總結(jié)分段函數(shù)問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題或方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決.

評(píng)析本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于難題.

5.(2016天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=

(x2+(4a-3)x+3a,x<0,

(a>0,且aWD在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)=2~1恰有兩個(gè)不相等

boga(x+1)+1,X>0

的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

4a-3八

0<a<解得在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=|f(x)|

(3a>1,

與y=25的圖象，如圖所示.

YY

方程If(X)I=2彳恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于y=|f(x)|的圖象與y=2行的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則需滿足

3a<2,得a號(hào)綜上可知,

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4a-3

0<；<1,缺少條件是失分的一個(gè)原因；

{3a>1,

(2)由方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍往往利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是解決

這類(lèi)問(wèn)題常用的方法.

評(píng)析本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)與方程,利用數(shù)形結(jié)合思想，將方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是求解這類(lèi)問(wèn)題的常用方法.

6.(2015湖南理,15,5分)已知函數(shù)￡&)=￡"-若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的

,x>a.

取值范圍是.

答案(-8,0)U(1,+8)

解析當(dāng)a<0時(shí)，若x￡(a,+8),則f(x)=x2,當(dāng)b￡(0,a2)時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),分別是

Xi=-V^>

當(dāng)OWaWl時(shí),f(x)的圖象如圖所示，

易知函數(shù)y=f(x)-b最多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，

綜上,(-00,0)U(1,+oo).

2X—a,x<1,

7.(2015北京理，14,5分)設(shè)函數(shù)f(x);

4(%—a)(x—2d),x>1.

①若a=l,則f(x)的最小值為;

②若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案①T②L，l)U[2,+8)

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2X-1x<1

(嶺_；)(x_'2),x",其大致圖象如圖所示:

由圖可知f(x)的最小值為T(mén).

②當(dāng)aWO時(shí),顯然函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)0<a<1時(shí)，易知f(x)在(-8,1)上有一個(gè)零點(diǎn)，要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)xM1時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)

零點(diǎn),結(jié)合圖象可知,2aM1,即ag,則六a〈l;

當(dāng)a?l時(shí),2a>1,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x》l時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，

則要使f(X)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則需要「6)在(-8,1)上無(wú)零點(diǎn)則2-aWO,即42.

綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是段,1)1^2,+8).

8.(2015湖北文13,5分)函數(shù)￡6)=2$5xsin(x+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

答案2

解析f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x；函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=sin2x與ykx?圖象的交點(diǎn)

個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出yFsin2x與y2=x?的圖象如圖所示：

由圖可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

9.(2021北京，15,5分)已知/(x)=|lgxhtv-2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若仁0,則/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)；

②弘<0,使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；

③弘<0,使得/Or)有三個(gè)零點(diǎn)；

④弘乂),使得/(x)有三個(gè)零點(diǎn).

以上正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②④

解析令/(x)=|lgx|-fo-2=0,得|lgx|=心'+2,

令g(x)=|lgx|,h(x)=kx+2,

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所以/W的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)g(x)與/>(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)后=0時(shí)，如圖a,g(x)與Mx)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則/(X)有兩個(gè)零點(diǎn),故①正確；

當(dāng)Q0時(shí)，如圖b,存在〃(x)=垢+2的圖象與函數(shù)g(x)=lgxCr>l)的圖象相切，此時(shí)(x)與g(x)的圖象有兩

個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)04<公時(shí),g(x)與Mx)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),則/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故④正確；

當(dāng)k<0時(shí),如圖c,g(x)與〃(x)的圖象最多有兩個(gè)交點(diǎn),g(x)與/i(x)相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn),如圖d,故②正確,③

不正確.

綜上,正確結(jié)論的序號(hào)為①②④.

圖a

01

圖b

解題指導(dǎo)：由/(%)=0得|lgx\=kx+2,令g(x)=|lgx|,h(x)=履+2,則/(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為g(x)與〃(x)圖象的交點(diǎn)

個(gè)數(shù),再利用圖象解決問(wèn)題.

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3.5函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

五年高考

考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)

1.(2020天津,9,5分，難)已知函數(shù)f(x尸1:若函數(shù)g(x尸f(x)-|kxJ2x|(keR)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍

是()

A.(-8,一加(2e,+8)

一加(0,2>②

C.(-OC,0)U(0,2A/2)

D.(-OO,0)U(2V2,+OO)

答案D

：2折OWx<1,1

2.(2019天津文,8,5分，難)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=zx+a(a￡R)恰有兩個(gè)互異的實(shí)

數(shù)解，則a的取值范圍為()

Z539

C/U

I-91---］u{l}

X4.4D.44

答案D

3.(2021北京,15,5分，中)己知函數(shù)f(x尸|lgx卜kx-2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①當(dāng)k=0吐f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)；

②存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

③存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn);

④存在正數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②④

4.(2019江蘇,14,5分，中)設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇

__________(k(x+2),0<%<1,

函數(shù).當(dāng)x￡(0,2］時(shí),f(x)=Jl—(%-l)2,g(x)={1其中k>0.若在區(qū)間(0,9］上，關(guān)于x的方程

Vx工2,

f(x)=g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.

答案［I-T)

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5.(2022天津,15,5分，難)設(shè)aWR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,用f(x)表示岡-2,x2-ax+3a-5中的較小者.若函數(shù)f(x)至少有3個(gè)

零點(diǎn)，則a的取值范圍為.

答案[10,+oo)

三年模擬

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2023廣東廣州二模，中)已知函數(shù)f(x尸x3-3x+b,且f(x)+f(-x)=4恒成立，若h(x)J?2r-2恰好有1個(gè)零

(.Z—OX,X>Q

點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.S-2)B.[i,l]

C.(-?,-2)u[i1)D.[-2,1)

答案C

2.(2023云南曲靖二模，中)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f<x)+f(x)=^^(e是自然

對(duì)數(shù)的底數(shù))，且f(0尸1,若關(guān)于x的方程f(x)-m=0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.”1}B.(-e^0]U@

C.(-e2,0]D.(-e2,0)

答案B

3.新情境(2023山東日照二模，中)對(duì)于給定的正整數(shù)n(n22),定義在區(qū)間[0,n]上的函數(shù)y=f(x)滿足:當(dāng)0<x<l時(shí)

f(x)=-x?+2x,且對(duì)任意的xe[l,n],都有f(x)=f(x-l)+l.若與n有關(guān)的實(shí)數(shù)％使得方程f(x)=knx在區(qū)間上

有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則關(guān)于x的方程f(x)=k,>x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為()

A.nB.2n-1C.n+ID.2n+1

答案B

4.(2022江蘇南通如皋中學(xué)聯(lián)考,7,中)已知函數(shù)f(x尸卜2+2X,X-°'若關(guān)于x的方程f2(x)-(k+l)xf(x)+kx2=0

(-|2x-l|+l,x>0,

有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A?(詞B.[i,l)u(l,2)

C.(0,l)U(l,2)D.(2,+oo)

答案B

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5.(2022廣東汕頭一模,8,中)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(2+x),且當(dāng)xC［0,2］時(shí)，

(2*-l,0Wx<1,*

f(x)=|?.IT.v,若關(guān)于x的方程mln|x|=f(x)至少有8個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

(/sinX/x<xsn,

A［-iH6-0)u(0,舟

B［喘得

c?(喘,。)u(o喘)

D(焉,白)

答案B

6.新定義(2023山東荷澤一模，難)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x),如果mxoeR,使得f(xo)=xo,則稱(chēng)xo為函數(shù)f(x)

的不動(dòng)點(diǎn).給定函數(shù)f(x)=cosx,g(x)=sinx,已知函數(shù)f(x),f(g(x)),g(f(x))在(0,1)上均存在唯?不動(dòng)點(diǎn)，分別記為

Xl,X2,X34lJ()

A.X3>X|>X2B.X2>X3>X|

C.X2>X|>X3D.X3>X2>X1

答案C

7.(2022廣東中念中學(xué)模擬，難)已知a>l,xi,X2,X3為函數(shù)f(x尸a*?x2的零點(diǎn),xi〈X2〈X3,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

()

A.xi>-1

B.若2X2=XI+X3,則,=V2+1

C.X14-X2<0

2

D.a的取值范圍是(1,次)

答案C

二、多項(xiàng)選擇題

8.(2022湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考(一),11,中)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|,其中a為實(shí)數(shù)，則()

A.函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)0和a

B.若對(duì)于任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)XI,X2,都有告變式>0,則a=0

x2-xl

C.若f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，則a<0或a>2

D.若f(x)=l有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a>2

答案BCD

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9.(2022湖北十堰丹江口一中模擬，中)已知函數(shù)取尸>3設(shè)函數(shù)g(x)=f2(x)-(2t+1)f(x)+t?+t,則

下列說(shuō)法正確的是()

A.若g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則3<t<4

B.存在實(shí)數(shù)t,使得g(x)有5個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)g(X)有6個(gè)零點(diǎn)時(shí),記零點(diǎn)分別為Xl,X2,X3,X4,X5,X6,且XI<X2<X3<X4<X5<X6,則2A+2與+2與+2X"=8

D.對(duì)任意t<0,g(x)恒有2個(gè)零點(diǎn)

答案BC

10.新考法Q023湖北武漢華中師大附中一模,10,中)已知函數(shù)Rx)嗡-10x(x>l),g