2024年高考總復習數(shù)學：函數(shù)的零點與方程的根

2024版新高考新教材版高考總復習數(shù)學3.5

函數(shù)的零點與方程的根

考點函數(shù)的零點

2-|x|,x<2,

1.(2015天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=；函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)

,(x-2)2,x>2,

的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

(\x-2|+1,x>0,

答案A由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=、2/c函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)

產f(x)與y=g(x)圖象的交點個數(shù),在平面直角坐標系內作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示.

由圖可知函數(shù)y二f(x)與y=g(x)的圖象有2個交點所以函數(shù)y二f(x)-g(x)的零點個數(shù)為2,選A.

2.(2014北京文,6,5分)已知函數(shù)f(x)=Zlo曲x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)間是()

X

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+oo)

答案C.丫⑴=6-logJ=6>0,f⑵=3-10822=2〉0，(4)=沁824=|-2<0,二.包含小)零點的區(qū)間是(2,4),

故選C.

3.(2011課標,10,5分)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=e*+4x-3的零點所在的區(qū)間為()

G。.(輔

答案C顯然f(x)為定義域R上的連續(xù)函數(shù).如圖作出y=e*與y=3-4x的圖象,由圖象知函數(shù)f(x)=e'+4x-3

的零點一定落在區(qū)間(0怖)內，又｛》=%-2<0,《習=五-1>0.故選C.

第1頁共9頁

評析本題考查函數(shù)零點的概念及求解方法,考查學生分析問題、解決問題的能力，屬中等難度試題.

L

4.(2。16山東文,15,5分)已知函數(shù)f(x)=g_2mx+的:其中畋若存在實數(shù)>使得關于x的

方程f(x)=b有三個不同的根，則m的取值范圍是.

答案(3,+oo)

解析f(x)的圖象如圖所示,

若存在實數(shù)b,使得關于x的方程f(x)=b有三個不同的根,只需dm-mym,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.

方法總結分段函數(shù)問題、函數(shù)零點個數(shù)問題或方程根的個數(shù)問題通常采用數(shù)形結合的思想方法來解決.

評析本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結合的思想方法,屬于難題.

5.(2016天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=

(x2+(4a-3)x+3a,x<0,

(a>0,且aWD在R上單調遞減,且關于x的方程|f(x)=2~1恰有兩個不相等

boga(x+1)+1,X>0

的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

4a-3八

0<a<解得在同一直角坐標系下作出函數(shù)y=|f(x)|

(3a>1,

與y=25的圖象，如圖所示.

YY

方程If(X)I=2彳恰有兩個不相等的實數(shù)解等價于y=|f(x)|的圖象與y=2行的圖象恰有兩個交點，則需滿足

3a<2,得a號綜上可知,

第2頁共9頁

4a-3

0<；<1,缺少條件是失分的一個原因；

{3a>1,

(2)由方程解的個數(shù)求參數(shù)范圍往往利用數(shù)形結合思想將問題轉化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題是解決

這類問題常用的方法.

評析本題主要考查分段函數(shù)的單調性及函數(shù)與方程,利用數(shù)形結合思想，將方程解的個數(shù)問題轉化為兩

個函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題是求解這類問題的常用方法.

6.(2015湖南理,15,5分)已知函數(shù)￡&)=￡"-若存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點，則a的

,x>a.

取值范圍是.

答案(-8,0)U(1,+8)

解析當a<0時，若x￡(a,+8),則f(x)=x2,當b￡(0,a2)時,函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點,分別是

Xi=-V^>

當OWaWl時,f(x)的圖象如圖所示，

易知函數(shù)y=f(x)-b最多有一個零點.

當a>l時，f(x)的圖象如圖所示，

綜上,(-00,0)U(1,+oo).

2X—a,x<1,

7.(2015北京理，14,5分)設函數(shù)f(x);

4(%—a)(x—2d),x>1.

①若a=l,則f(x)的最小值為;

②若f(x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案①T②L，l)U[2,+8)

第3頁共9頁

2X-1x<1

(嶺_；)(x_'2),x",其大致圖象如圖所示:

由圖可知f(x)的最小值為T.

②當aWO時,顯然函數(shù)f(x)無零點；

當0<a<1時，易知f(x)在(-8,1)上有一個零點，要使f(x)恰有2個零點，則當xM1時，f(x)有且只有一個

零點,結合圖象可知,2aM1,即ag,則六a〈l;

當a?l時,2a>1,由二次函數(shù)的性質可知,當x》l時，f(x)有2個零點，

則要使f(X)恰有2個零點，則需要「6)在(-8,1)上無零點則2-aWO,即42.

綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是段,1)1^2,+8).

8.(2015湖北文13,5分)函數(shù)￡6)=2$5xsin(x+的零點個數(shù)為.

答案2

解析f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x；函數(shù)f(x)的零點個數(shù)可轉化為函數(shù)y1=sin2x與ykx?圖象的交點

個數(shù),在同一坐標系中畫出yFsin2x與y2=x?的圖象如圖所示：

由圖可知兩函數(shù)圖象有2個交點,則f(x)的零點個數(shù)為2.

9.(2021北京，15,5分)已知/(x)=|lgxhtv-2,給出下列四個結論:

①若仁0,則/(X)有兩個零點；

②弘<0,使得f(x)有一個零點；

③弘<0,使得/Or)有三個零點；

④弘乂),使得/(x)有三個零點.

以上正確結論的序號是.

答案①②④

解析令/(x)=|lgx|-fo-2=0,得|lgx|=心'+2,

令g(x)=|lgx|,h(x)=kx+2,

第4頁共9頁

所以/W的零點個數(shù)即函數(shù)g(x)與/>(x)圖象的交點個數(shù).

當后=0時，如圖a,g(x)與Mx)的圖象有兩個交點，則/(X)有兩個零點,故①正確；

當Q0時，如圖b,存在〃(x)=垢+2的圖象與函數(shù)g(x)=lgxCr>l)的圖象相切，此時(x)與g(x)的圖象有兩

個交點，當04<公時,g(x)與Mx)的圖象有三個交點,則/(x)有三個零點，故④正確；

當k<0時,如圖c,g(x)與〃(x)的圖象最多有兩個交點,g(x)與/i(x)相切時有一個交點,如圖d,故②正確,③

不正確.

綜上,正確結論的序號為①②④.

圖a

01

圖b

解題指導：由/(%)=0得|lgx\=kx+2,令g(x)=|lgx|,h(x)=履+2,則/(x)零點個數(shù)轉化為g(x)與〃(x)圖象的交點

個數(shù),再利用圖象解決問題.

第5頁共9頁

3.5函數(shù)的零點與方程的根

五年高考

考點函數(shù)的零點

1.(2020天津,9,5分，難)已知函數(shù)f(x尸1:若函數(shù)g(x尸f(x)-|kxJ2x|(keR)恰有4個零點，則k的取值范圍

是()

A.(-8,一加(2e,+8)

一加(0,2>②

C.(-OC,0)U(0,2A/2)

D.(-OO,0)U(2V2,+OO)

答案D

：2折OWx<1,1

2.(2019天津文,8,5分，難)已知函數(shù)f(x)=若關于x的方程f(x)=zx+a(a￡R)恰有兩個互異的實

數(shù)解，則a的取值范圍為()

Z539

C/U

I-91---］u{l}

X4.4D.44

答案D

3.(2021北京,15,5分，中)己知函數(shù)f(x尸|lgx卜kx-2,給出下列四個結論:

①當k=0吐f(x)恰有2個零點；

②存在負數(shù)k,使得f(x)恰有1個零點；

③存在負數(shù)k,使得f(x)恰有3個零點;

④存在正數(shù)k,使得f(x)恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是.

答案①②④

4.(2019江蘇,14,5分，中)設f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇

__________(k(x+2),0<%<1,

函數(shù).當x￡(0,2］時,f(x)=Jl—(%-l)2,g(x)={1其中k>0.若在區(qū)間(0,9］上，關于x的方程

Vx工2,

f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是.

答案［I-T)

第6頁共9頁

5.(2022天津,15,5分，難)設aWR,對任意實數(shù)x,用f(x)表示岡-2,x2-ax+3a-5中的較小者.若函數(shù)f(x)至少有3個

零點，則a的取值范圍為.

答案[10,+oo)

三年模擬

一、單項選擇題

1.(2023廣東廣州二模，中)已知函數(shù)f(x尸x3-3x+b,且f(x)+f(-x)=4恒成立，若h(x)J?2r-2恰好有1個零

(.Z—OX,X>Q

點,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.S-2)B.[i,l]

C.(-?,-2)u[i1)D.[-2,1)

答案C

2.(2023云南曲靖二模，中)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),且對任意的實數(shù)x都有f<x)+f(x)=^^(e是自然

對數(shù)的底數(shù))，且f(0尸1,若關于x的方程f(x)-m=0恰有兩個實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.”1}B.(-e^0]U@

C.(-e2,0]D.(-e2,0)

答案B

3.新情境(2023山東日照二模，中)對于給定的正整數(shù)n(n22),定義在區(qū)間[0,n]上的函數(shù)y=f(x)滿足:當0<x<l時

f(x)=-x?+2x,且對任意的xe[l,n],都有f(x)=f(x-l)+l.若與n有關的實數(shù)％使得方程f(x)=knx在區(qū)間上

有且僅有一個實數(shù)解，則關于x的方程f(x)=k,>x的實數(shù)解的個數(shù)為()

A.nB.2n-1C.n+ID.2n+1

答案B

4.(2022江蘇南通如皋中學聯(lián)考,7,中)已知函數(shù)f(x尸卜2+2X,X-°'若關于x的方程f2(x)-(k+l)xf(x)+kx2=0

(-|2x-l|+l,x>0,

有且只有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k的取值范圍為()

A?(詞B.[i,l)u(l,2)

C.(0,l)U(l,2)D.(2,+oo)

答案B

第7頁共9頁

5.(2022廣東汕頭一模,8,中)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(2+x),且當xC［0,2］時，

(2*-l,0Wx<1,*

f(x)=|?.IT.v,若關于x的方程mln|x|=f(x)至少有8個實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是()

(/sinX/x<xsn,

A［-iH6-0)u(0,舟

B［喘得

c?(喘,。)u(o喘)

D(焉,白)

答案B

6.新定義(2023山東荷澤一模，難)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x),如果mxoeR,使得f(xo)=xo,則稱xo為函數(shù)f(x)

的不動點.給定函數(shù)f(x)=cosx,g(x)=sinx,已知函數(shù)f(x),f(g(x)),g(f(x))在(0,1)上均存在唯?不動點，分別記為

Xl,X2,X34lJ()

A.X3>X|>X2B.X2>X3>X|

C.X2>X|>X3D.X3>X2>X1

答案C

7.(2022廣東中念中學模擬，難)已知a>l,xi,X2,X3為函數(shù)f(x尸a*?x2的零點,xi〈X2〈X3,下列結論中錯誤的是

()

A.xi>-1

B.若2X2=XI+X3,則,=V2+1

C.X14-X2<0

2

D.a的取值范圍是(1,次)

答案C

二、多項選擇題

8.(2022湖南新高考教學教研聯(lián)盟聯(lián)考(一),11,中)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|,其中a為實數(shù)，則()

A.函數(shù)f(x)有兩個不同零點0和a

B.若對于任意兩個不同的實數(shù)XI,X2,都有告變式>0,則a=0

x2-xl

C.若f(x)在［0,1］上單調遞增，則a<0或a>2

D.若f(x)=l有三個不同的實數(shù)根，則a>2

答案BCD

第8頁共9頁

9.(2022湖北十堰丹江口一中模擬，中)已知函數(shù)取尸>3設函數(shù)g(x)=f2(x)-(2t+1)f(x)+t?+t,則

下列說法正確的是()

A.若g(x)有4個零點，則3<t<4

B.存在實數(shù)t,使得g(x)有5個零點

C.當g(X)有6個零點時,記零點分別為Xl,X2,X3,X4,X5,X6,且XI<X2<X3<X4<X5<X6,則2A+2與+2與+2X"=8

D.對任意t<0,g(x)恒有2個零點

答案BC

10.新考法Q023湖北武漢華中師大附中一模,10,中)已知函數(shù)Rx)嗡-10x(x>l),g