2023年高考數(shù)學(xué)搶分（新高考專用）第六章 計(jì)數(shù)原理知識(shí)總結(jié)

第六章計(jì)數(shù)原理

、思維導(dǎo)圖

定義：完成一件事有〃類不同方案

分類加法計(jì)算原理=

公式：_N=碼+嗎+...+機(jī)“_.

定義：完成一件事需要”個(gè)步驟

分步乘法計(jì)數(shù)原理n

分類加法計(jì)算原理與公式：N=叫x嗎x…x

n?

分步乘法計(jì)算原理區(qū)別：一個(gè)分類，一個(gè)分步

兩個(gè)計(jì)算原理的關(guān)系及綜合應(yīng)用n綜合應(yīng)用

(1)明確是先分類還是先分步;

(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序.

排列的定義：按一定的順序排成一列

排列數(shù)及其公式：=n(n-l)(n-2)...(n-m+\).

排列=

排烈應(yīng)用題：元素分析法、位置分析法、捆綁法、插空法、整體法

組合的定義：合成一組

組合數(shù)及其公式：=卉.

A,,

計(jì)數(shù)原理排列與組合組合組合數(shù)的性質(zhì)：C：=C,L，C2=C；+C尸

組合應(yīng)用題：直接法、間接法、隔板法

排列、組合綜合應(yīng)用題：先分組后排列

二項(xiàng)式定理的內(nèi)容:.

二項(xiàng)式定理=>

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).

對(duì)稱性C?=C；"；

二項(xiàng)式定理=>,

增減性與最大值；

”楊輝三角形”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)n

各二項(xiàng)式系數(shù)的和；

d+C；+C：+…+C：=2"

二、知識(shí)記誦

知識(shí)點(diǎn)一、計(jì)數(shù)原理

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

概念：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有町種不同的方法，在第2類方案中有機(jī)2種不同的方

法，…，在第〃類方案中有此種不同的方法，那么完成這件事共有N=m,+加2+…+加”種不同的方法(也

稱加法原理)

特征：（1）任何一類方案都能完成這件事；（2）各類方案之間相互獨(dú)立；（3）分類要做到“不重不漏”

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

概念：完成一件事需要〃個(gè)步驟，做第1步有班種不同的方法，做第2步有機(jī)2種不同的方法，…，做第〃

步有加“種不同的方法，那么，完成這件事共有N=gx加，、…、班,種不同的方法（也稱乘法原理）

特征：（1）任何一步都不能單獨(dú)完成這件事；（2）各步之間相互依存；（3）分步要做到''步驟完整”

知識(shí)點(diǎn)二、排列

1.排列：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出加（加＜〃）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個(gè)不同元

素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列

2.排列數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出加（加W”）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從〃個(gè)不同元素中取出，〃個(gè)

元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示

3.排列數(shù)公式：A?=+=-~U'-（.m,neN*,且mW”）

yn—my.

知識(shí)點(diǎn)三、組合

1.組合：一般地，從〃個(gè)不同的元素中取出（加（〃）個(gè)元素合成一組，叫做從“個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元

素的一個(gè)組合

2.組合數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出加（加＜〃）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出加

個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C,：表示

"A'"n（n-l）（n-2Y-（n-m+l]〃!*

3.組合數(shù)公式：一-———.....「/、（m,nwN,且加＜〃）

"A：mlml（n-m）!

4.組合數(shù)的性質(zhì)：⑴C：=CT"；（2）C3=C：+C：i

知識(shí)點(diǎn)四、二項(xiàng)式定理

1.二項(xiàng)式定理

概念：一般地，對(duì)于任意的正整數(shù)〃，

nn2n

都有（0+3"=＜^a+C'na"-'+C^,a-h+.??++??.+C/：,b（neN*）.這個(gè)公式稱為二項(xiàng)式定理,

等號(hào)右邊的式子稱為（a+人）”的二項(xiàng)展開式，（。+3”的二項(xiàng)展開式共有，?+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)

C：（kG{0,1,2,-??,?}）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，稱為二項(xiàng)展開式的第斤+1項(xiàng)，又稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

2.二項(xiàng)展開式的特征:

(1)二項(xiàng)展開式共有“+1項(xiàng)；

(2)二項(xiàng)式系數(shù)依次為組合數(shù)c：,c\,屐,C，…,c;；

(3)各項(xiàng)次數(shù)都等于二項(xiàng)式的嘉指數(shù)〃；

(4)字母。的指數(shù)由〃開始按降幕排列到0,b的指數(shù)由0開始按升基排列到〃

3.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)指該項(xiàng)中除字母外的部分

4.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等

增減性：當(dāng)人＜——時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的

2

最大值：當(dāng)“是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C?取得最大值；當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

n-\M+I

c7，cj相等,且同時(shí)取得最大值

5.二項(xiàng)式系數(shù)和：

(1)二項(xiàng)展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"；

(2)在二項(xiàng)展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等且都等于

三、能力培養(yǎng)

類型一：兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用問題

例1在某種信息傳輸過程中，4個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同的排列表

示不同的信息.若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有2個(gè)對(duì)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為

A.10B.11C.12D.15

解析:方法1:分有0個(gè)時(shí)應(yīng)位置上的數(shù)字相同、1個(gè)對(duì)應(yīng)位顯上的數(shù)字相同、2個(gè)時(shí)應(yīng)位五上的數(shù)字相同

討論：

(1)若有0個(gè)對(duì)應(yīng)位五上的數(shù)字相同.則信息為1001,共有1個(gè).

(2)若有1個(gè)葉應(yīng)位丑上的數(shù)字相同1101,1011,1000.共有4個(gè).

(3)若有2個(gè)時(shí)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，又分為以下情況

①若位笠一與二對(duì)應(yīng)相同，則信息為0101;

②若位五一與三時(shí)應(yīng)相同，則信息為0011；

③若位五一與四對(duì)應(yīng)相同，則信忽為0000;

④若位且二與三對(duì)應(yīng)相同，則信息為1111;

⑤若位里二與四時(shí)應(yīng)相同，則信忠為1100；

⑥若位置三與四時(shí)應(yīng)相同、則信.息為1010.共有6個(gè).

故與信息0110至多有2個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為1+4+6=11.

方法2：若有0個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同.共有1個(gè)：

若有1個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同。共有C：=4（個(gè)）；

若有2個(gè)對(duì)應(yīng)位五上的數(shù)字相同，共有C：=6（個(gè)）.

故符合條件的信息共有1+4+6=11（個(gè)）.

答案:B

解后反思:分類加法計(jì)數(shù)原理的實(shí)質(zhì)是“整體”等于“部分”之和，就是把“整體”（即完成這一件事的

方法）分成若于乒不相交的類，使得每一類中的元素的個(gè)數(shù)易于計(jì)算.

類型二：排列、組合應(yīng)用問題

1.排列、組合應(yīng)用題的解題策略

（1）特殊元素、位置優(yōu)先安排的策略；

（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；

（3）正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；

（4）相鄰問題捆綁處理，不相鄰問題插空處理的策略；

（5）元素定序，先排后除的策略；

（6）排列、組合混合題先組后排策略；

（7）復(fù)雜問題結(jié)構(gòu)模型策略.

2.排列、組合應(yīng)用題是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，常與實(shí)際問題相組合進(jìn)行考查，主要以選擇題的形式出現(xiàn)，

難度以中低檔題目為主.

例2六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有

（）

A.192種B.216種C.240種D.288種

解析：甲在最左端時(shí)，有種不同的排法；乙在最左端時(shí)，最右端可排除甲、乙之外的4人中的任意

1人，有4種排法，中間4個(gè)位置有A：種不同的排法，所以乙在最左端時(shí)，有4A：種不同的排法.由分類

加法計(jì)數(shù)原理可知，共有8+4A：=216（種）不同的排法.

答案：B

規(guī)律總結(jié)：（1）若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他的位置，有倆個(gè)以上的約束條

件時(shí)，往往是考慮一個(gè)條件的同時(shí)要兼顧其他條件.

（2）若以元素為主，需要滿足特殊元素的要求，再處理其他的元素.

例3某小組6個(gè)人排隊(duì)照相留念.

（1）若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？

（2）若分成兩排照相，前排2人，后排4人，但甲必須在前排，乙必須排在后排，有多少種不同的排

法？

（3）若排成一排照相，其中有3名男生和3名女生，且男生不能相鄰，有多少種不同的排法？

分析：（1）排列照相與順序有關(guān)屬于排列問題，先選前排或先選后排均可.

（2）由于甲在前排，乙在后排已確定，故先確定甲和乙的排法，再確定其他人的排法.

（3）由于男生不能相鄰，故男生只能排在女生排成后形成的空隙中，用“插空法”求解.ji

解：（1）分成兩排照相實(shí)際上與排成一排照相一樣，是6個(gè)元素的全排列問題.依照字面要求，分兩

步排也可以.第一步，從6個(gè)人中選2人排在前排，有6種排法；第二步，將余下的4人全排在后排，有A：

種排法，所以共有人父=4=720（種）不同的排法.

（2）采用優(yōu)先法：先確定甲的排法，有￡種；在確定乙的排法，有A：;最后確定其他人的排法，有4：種.因

為這是分步問題，所以用分步乘法計(jì)數(shù)原理，有&A：A：=192（種）不同的排法.

（3）采用“插空法”.先將3名女生排好有4；種排法，在兩端和女士之間形成4個(gè)空位，將3名男生排

入這4個(gè)空位，有用種排法，所以共有A；國(guó)=144（種）不同的排法.

規(guī)律總結(jié)：排列問題中，“相鄰”用“捆綁法”，“不相鄰”用“插空法”，特殊位置或特殊元素用優(yōu)先

安排的策略.

例450件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任取4件.

（1）至少有1件次品的抽法有多少種？

（2）至多有2件次品的抽法有多少種？

分析：由于題目中含有“至少”“至多”等詞，故可用直接法或間接法求解.應(yīng)用直接法求解時(shí)要注意

將所有情況包括在內(nèi)，不要遺漏.

解：（1）方法1（直接法）；抽取的4件產(chǎn)品中至少有1件次品分為1件次品，有2件次品、有3件次

品3種情況:有1件次品的抽將有C3C%利I有兩件次品的抽法有種；有三件次品的抽法有C；Ch種.根

據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，至少有一件次品的抽法共有C；C：7+C；C%+C；C：7=51935（種）

方法2（間接法）：從50件產(chǎn)品中任意取出4件，有C；。種抽法，其中沒有次品的抽法有抽法有C2種，

因此至少有1件次品的抽法共有Qj-Cj=51935（種）.

（2）方法1（直接法）：抽取的4件產(chǎn)品中至多有2件次品的抽法分別為沒有次品、1件次品、2件次品3

種情況，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Cj+=230253（種）抽法.

方法2（間接法）；至多有2件次品，即抽出的4件產(chǎn)品中沒有3件次品全部抽出的情況，所以共有

4-=230253（種）抽法.

規(guī)律總結(jié)：有限制條件的組合問題，主要有“含”與“不含”“至少”與“至多”等問題?，解決方法

有直接法與間接法兩種，解題時(shí)要注意題目中的關(guān)鍵詞語，防止重復(fù)或遺漏.

類型三：二項(xiàng)式一理及其應(yīng)用

二項(xiàng)式定理是歷年高考中的一個(gè)必考內(nèi)容，在高考數(shù)學(xué)中占有重要的地位，解決二項(xiàng)式定理問題的關(guān)

鍵在于抓