第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末題型歸納總結(jié) （解析版）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域經(jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域經(jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性經(jīng)典題型六：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用經(jīng)典題型七：冪函數(shù)經(jīng)典題型八：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域例1．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域是.【答案】【解析】由題意可得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例2．（2023·上海松江·高一?？计谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋ㄓ脜^(qū)間表示）.【答案】/【解析】由題意可得且，故定義域?yàn)椋豪?．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮?shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例4．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，于是有，即函?shù)的定義域，故答案為：例5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?例6．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】由題意得，解得，所以的定義域?yàn)?，故答案為：?．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以；即函?shù)的定義域?yàn)?；由解得，因此的定義域?yàn)?故答案為：例8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥坑梢阎亩x域?yàn)?，所以?duì)于需滿足,解得故答案為：.例9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】因?yàn)?，即，所以，所以，所?故答案為：.例10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，即，得，所以函?shù)的定義域?yàn)?，故答案為：?jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式例11．（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)且，則函數(shù)的解析式為．【答案】【解析】設(shè)，由得，即，所以，解得，所以．故答案為：例12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是二次函數(shù)．且．則．【答案】【解析】設(shè)，則，，所以，又，因此，解得，所以，故答案為：.例13．（2023·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】令，，，即.故答案為：例14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是.【答案】【解析】令，則，由可得，其中，故函數(shù)的解析式是.故答案為：.例15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則.【答案】【解析】令，則且，所以，所以函數(shù)的解析式為.故答案為：例16．（2023·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)滿足，則=.【答案】【解析】設(shè)，，則，則函數(shù).故答案為：例17．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】設(shè)（），則，，（），則.故答案為：例18．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為【答案】【解析】由題意，用代換解析式中的，可得，…….（1）與已知方程，……（2）聯(lián)立（1）（2）的方程組，可得，令，則，所以，所以.故答案為：.例19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則的解析式為.【答案】【解析】，∴將x換成，得，消去，得，即.故答案為經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域例20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3)，(4)【解析】（1）設(shè)，則，所以，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)的值域?yàn)?（3）因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域?yàn)?（4），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)值域?yàn)?例21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).【解析】（1）由于，且；所以可得，因此函數(shù)的值域是．（2）令，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)?（3）易知需滿足，即，即函數(shù)定義域?yàn)?；，由二次函?shù)性質(zhì)可得，所以的值域?yàn)椋?2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）由，可得其對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，則，即，所以函數(shù)的值域?yàn)榍?（4）令，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?例23．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【解析】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（配方法），由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（分離常數(shù)法）

，因?yàn)?，所以，所以故函?shù)的值域?yàn)椋?）（換元法）

設(shè)，則，且，所以，由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?）由知，整理得．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，即．故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?4．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域:(1)，(2)，(3)，(4)【解析】（1）由題意可得：，因?yàn)椋瑒t，所以原函數(shù)的值域?yàn)?（2）因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以原函數(shù)的值域?yàn)?（3）令，解得，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋傻盟栽瘮?shù)的值域?yàn)?（4）設(shè)，則，所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸方程為，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，所以原函數(shù)的值域?yàn)?經(jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性例25．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋以趨^(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；又的圖象是由的圖象向左平移一個(gè)單位，再關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱得到的，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：，，，.例26．（2023·山東·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【解析】由題意可得，即，解得：，所以函數(shù)的定義域是，是由和復(fù)合而成，因?yàn)閷?duì)稱軸為，開口向下，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.例27．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的遞減區(qū)間是.【答案】【解析】將絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù)形式，判斷單調(diào)性.由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：.例28．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，根據(jù)其是由函數(shù)向右平移1個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得到，則在上單調(diào)遞減，由題意得，解得，則的取值范圍為.故答案為：.例29．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，對(duì)任意，均有，記，，則函數(shù)的最小值為．【答案】3【解析】設(shè)，則，又，∴，∵在上單調(diào)遞減，∴，得，得，得或（不合題意），∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立．故答案為：3.例30．（2023·安徽安慶·高一安慶市第七中學(xué)?？计谥校┤粼趨^(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，則，即，同時(shí)在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.例31．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故趨近于時(shí)，趨近于，故不存在最大值；②當(dāng)時(shí)，，故不存在最大值；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故若存在最大值，則，即；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；故答案為：．例32．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則．【答案】#【解析】設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為，所以當(dāng)，即時(shí)，可得函數(shù)，即，此時(shí)方程無(wú)解；當(dāng)且，即時(shí)，函數(shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)，即時(shí)，可得函數(shù)，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.故答案為：#.例33．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，恒有，且，則不等式的解集是.【答案】【解析】，，，則不等式等價(jià)為，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，不等式等價(jià)為，即，解得，不等式的解集為，故答案為：.例34．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的、，且都有成立，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】對(duì)任意的，且都有成立，不妨設(shè)，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，即，，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：．例35．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，且f（x）在（－∞，2）上是增函數(shù)，則f（－1）與f（3）的大小關(guān)系是．【答案】/【解析】依題意得f（3）＝f（1），且－1＜1＜2，由函數(shù)f（x）在（－∞，2）上是增函數(shù)得f（－1）＜f（1）＝f（3）．故答案為：例36．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）證明函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，并指出函數(shù)在區(qū)間上的最值點(diǎn)和最值．【解析】設(shè)任意，且，則有，當(dāng)時(shí)，，所以有，所以函數(shù)在區(qū)間上是遞減的；當(dāng)時(shí)，，所以有，所以函數(shù)在區(qū)間上是遞增的；所以函數(shù)在區(qū)間上處取到最小值，最小值為例37．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1.求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).【解析】設(shè)，則，從而，即，又，即，故f（x）在R上是增函數(shù).例38．（2023·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意的，都有；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立．(1)求；(2)用定義證明的單調(diào)性；【解析】（1）令，則由題意可得，（2）任取且，即，由題意可得，而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞減.例39．（2023·天津·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，因?yàn)椴缓銥?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的解析式?（2）在區(qū)間上的單調(diào)遞減.證明：任取且，只需證明.易知，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減.經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性例40．（2023·新疆巴音郭楞·高一八一中學(xué)?？计谥校┮阎ǎ遥?，．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)證明函數(shù)在上是增函數(shù)．【解析】（1）由已知（，且），，則，；（2）由已知，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)；（3）證明：任取，，且令，即，則，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).例41．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷的單調(diào)性（并用單調(diào)性定義證明）;(3)解不等式.【解析】（1）定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得，又，即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因?yàn)?，則，，故，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù).（3），，，解得，不等式的解集為．例42．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1），定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（2），定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3），定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù).（4），定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（5），定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù).（6），定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故函數(shù)為奇函數(shù).例43．（2023·全國(guó)·高一期中）已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷該函數(shù)的奇偶性；(3)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明.【解析】（1），且，，；（2）由（1）得函數(shù)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為奇函數(shù)．（3）函數(shù)在上是增函數(shù)，任取，，不妨設(shè)，則，且，，，即，在上是增函數(shù).例44．（2023·甘肅白銀·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)若在上為偶函數(shù)，求，的值；(2)設(shè)的定義域?yàn)?，在?）的條件下：①判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性并證明；②若，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】（1）由得，，因?yàn)樵谏鲜桥己瘮?shù)，則，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：，所以，；（2）①函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明如下：由（1）得，，任取滿足，，由于，故，，于是，則則在上單調(diào)遞增.②因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則為奇函數(shù)，由，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.例45．（2023·全國(guó)·高一期中）已知定義在,,上的函數(shù)滿足：①，,,，；②當(dāng)時(shí)，，且．(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在區(qū)間,,上的最大值；(4)求不等式的解集．【解析】（1）令，則，得；再令，則，得．對(duì)于條件，令，則，所以．又函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)．（2）任取，，且，則有．又當(dāng)時(shí)，，而，所以函數(shù)在上是增函數(shù)．（3）．又由（1）知函數(shù)在區(qū)間,,上是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間,,上的最大值為（4），,原不等式等價(jià)于又函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上是增函數(shù)，原不等式又等價(jià)于，即或，不等式的解集為或例46．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其中(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由是定義在上的奇函數(shù)，所以，又時(shí)，，所以時(shí)，，所以，所以函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，，若，由知，在上遞增，不合題意；，，所以在上先減再增，符合函數(shù)在上不單調(diào)，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.例47．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)于任意x，都有．(1)寫一個(gè)滿足條件的并證明；(2)證明是奇函數(shù)；(3)解不等式．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，對(duì)于任意x，都有，這樣的函數(shù)很多，其中一種為：．證明如下：函數(shù)滿足是增函數(shù)，因?yàn)?，所以滿足題意．（2）證明：令，則由，得，即；令，則由，得，即，故是奇函數(shù)．（3）因?yàn)椋?，則，即，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，所以或．所以不等式的解集為.經(jīng)典題型六：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例48．（多選題）（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．，C．有最大值 D．最小值為0【答案】BD【解析】令，即，解得或，所以可知，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B正確；由（或）可知，函數(shù)無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為0，故D正確.故選：BD例49．（多選題）（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，則（

）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)D．不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不確定【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則函數(shù)在和上的單調(diào)性相反，與函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)矛盾，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，則在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，則在上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，其定義域?yàn)?，由題意得，則，所以不具有奇偶性.因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，而在區(qū)間上都是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上的單調(diào)性不確定，故D正確；故選:ABD.例50．（多選題）（2023·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知連續(xù)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，，則（

）A． B．在上的最大值是4C．圖像關(guān)于中心對(duì)稱 D．不等式的解集為【答案】ACD【解析】令，則，即A正確；令，則，又，∴，，則，即C正確；由，即B項(xiàng)錯(cuò)誤；由條件可得，當(dāng)時(shí)，，即在定義域上單調(diào)遞增，，即，即D正確；故選：ACD例51．（多選題）（2023·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則（

）A．在上是增函數(shù) B．C．為奇函數(shù) D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】因?yàn)椋?，即，故A不正確；B正確；因?yàn)?，所以C不正確；因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù)，設(shè)，則，則，即的值域?yàn)?，故D正確.故選：BD例52．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．【答案】ABD【解析】因?yàn)?，，取可得，又，所以，A對(duì)；取可得，因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，C錯(cuò)，B對(duì)；取可得，又，所以，D對(duì)．故選：ABD例53．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：①對(duì)正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)，；③.則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．B．C．不等式的解集為D．若關(guān)于x的不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】因?yàn)閷?duì)正數(shù)，都有，所以，所以，A錯(cuò)誤；由已知，，，所以，又，所以，所以，B正確，任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則，因?yàn)?，所以，又?dāng)時(shí)，，所以，所以，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又不等式可化為，，所以，，（此時(shí)已經(jīng)可以判斷C錯(cuò)誤）所以，，解得，且，故，C錯(cuò)誤；不等式可化為，，所以，，當(dāng)時(shí)，，沒有意義，不滿足要求，（此時(shí)已經(jīng)可以判斷D錯(cuò)誤），當(dāng)時(shí)，，，由已知，，，當(dāng)時(shí)，，所以，若，則且，由已知，，當(dāng)時(shí)，，又，所以不存在滿足條件，所以的取值范圍是，D錯(cuò)誤，故選：ACD.例54．（多選題）（2023·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在定義域內(nèi)內(nèi)的某區(qū)間是增函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則稱在上是“弱增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若則不存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”B．若則存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”C．若則為上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，則在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”；對(duì)于B，在上為增函數(shù)，，易知它在上為減函數(shù)，故存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”；對(duì)于C，為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，故由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，為上增函數(shù)；為偶函數(shù)，其在時(shí)為增函數(shù)，故在時(shí)為減函數(shù).故不是上的“弱增函數(shù)”；對(duì)于D，若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則在上為增函數(shù)，故，故，又在上為減函數(shù)，則由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知，，則綜上有.故選：ABD.例55．（2023·福建漳州·高一?？计谥校┮阎x在區(qū)間上的函數(shù)．(1)若函數(shù)分別在區(qū)間上單調(diào)，試求的取值范圍；（直接寫出答案）(2)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且的取值范圍為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)分別在區(qū)間，上單調(diào)，則只需即可，即，解得；（2）①當(dāng),,時(shí)，，，，由得，，即，，由,，解得，由,，，，，，由，可得．②當(dāng),,，，由，可得，再由，得，把代入得，，且，，，綜上，當(dāng),,時(shí)，；當(dāng),,，．例56．（2023·全國(guó)·高一期中）已知函數(shù)(1)設(shè)在區(qū)間的最小值為，求的表達(dá)式；(2)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）由于，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，當(dāng)即時(shí)，在上為增函數(shù)，；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，在上為減函數(shù),綜上可得．（2），在區(qū)間上任取，則（*）∵在上為增函數(shù)，∴∴（*）可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，在區(qū)間上都成立．即

因?yàn)?，所以，由得，解得；所以?shí)數(shù)a的取值范圍是．例57．（2023·高一單元測(cè)試）已知偶函數(shù)的定義域是的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：在上是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)解不等式.【解析】（1）證明：設(shè)，則，，所以即，所以，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）因?yàn)椋?，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式可化為，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，且，故不等式的解集為.經(jīng)典題型七：冪函數(shù)例58．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)滿足：①在上為增函數(shù)，②對(duì)，都有，求同時(shí)滿足①②的冪函數(shù)的解析式，并求出時(shí)，的值域.【解析】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，解得，又，所以，或．又因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，所以為偶數(shù)．當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以，又因?yàn)樵谏线f增，所以，，故時(shí)，的值域是．例59．（2023·浙江金華·高一?？计谥校┮阎c(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得最小值為5？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由【解析】（1）設(shè)冪函數(shù)，由點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以.（2）函數(shù)，，且二次函數(shù)的圖象是拋物線，對(duì)稱軸是.①當(dāng)，即時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，最小值為，解得，滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，在上先減后增，最小值為，方程無(wú)解；綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得有最小值為.例60．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增.(1)求m和n的值；(2)求滿足不等式的a的取值范圍.【解析】（1）∵是冪函數(shù)，∴，解得m=3.由在上單調(diào)遞增得，解得.∵，∴或.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不合題意.綜上，，.（2）由（1）得，，∴.∵函數(shù)在和上均單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴滿足不等式的條件為或或，解得或，∴滿足不等式的的取值范圍.例61．（2023·江蘇南通·高一海安高級(jí)中學(xué)校考期中）已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求函數(shù)（）的最小值.【解析】（1）因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，有或又函數(shù)是奇函數(shù)，則是奇數(shù)，即有，所以實(shí)數(shù)m的值是.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值是1.例62．（2023·黑龍江七臺(tái)河·高一勃利縣高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)減函數(shù)．(1)求m的值；(2)解關(guān)于a的不等式．【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)減函數(shù)，所以且，解得或，因?yàn)閮绾瘮?shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，故為偶數(shù)，從而只有滿足題意，從而m的值為1.（2）由(1)中知，，則，即，解得或，故不等式的解集為：或.例63．（2023·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)試判斷是否存在正數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題知，，解得或，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不滿足，所以.（2）.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，所以，解得.綜上所述，存在正數(shù)，使得在區(qū)間上的最大值為5.例64．（2023·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意；綜上所述：.（2）由（1）得：在上恒成立，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.例65．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增(1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故或1，當(dāng)時(shí)，不滿足偶函數(shù)，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足偶函數(shù)，故；（2）因?yàn)?，?1)可得，函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，綜上所述：例66．（2023·福建漳州·高一福建省華安縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)在區(qū)間上，的圖象總在函數(shù)圖象的上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又函數(shù)為偶函數(shù)，故，；（2）原題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)得，即，由對(duì)勾函數(shù)圖象特點(diǎn)可知在上單減，故，所以；當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)得，由對(duì)勾函數(shù)圖象特點(diǎn)可知在上單減，，所以，所以例67．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）已知冪函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若均為正數(shù)且，求的最小值.【解析】（1）冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，舍去；當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，滿足.故.（2），，即，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.經(jīng)典題型八：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例68．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元由題設(shè)，，由圖知，故，又，所以．從而，．（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬(wàn)元?jiǎng)t，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).故A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是7萬(wàn)元.例69．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另外投入成本萬(wàn)元，其中，已知每部手機(jī)的售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.(1)求2023年該款手機(jī)的利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以.（2）當(dāng)時(shí)，,∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5792萬(wàn)元.例70．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）黨的二十大報(bào)告提出“積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資源節(jié)約型社會(huì)．日常生活中我們使用的燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，長(zhǎng)壽命，有效降低資源消耗．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，可知生產(chǎn)某種燈需投入的年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入變動(dòng)成本萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足6萬(wàn)件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于6萬(wàn)件時(shí)，．每件產(chǎn)品售價(jià)為6元．假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷量等于當(dāng)年的產(chǎn)量．(1)寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式．（注：年利潤(rùn)年銷售收入固定成本變動(dòng)成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【解析】（1）由題可知，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸為，開口向下，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以年產(chǎn)量為9萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是16萬(wàn)元．例71．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長(zhǎng)規(guī)律，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x（單位：m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S（單位：）．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值，并求出此時(shí)x的值．【解析】（1）由題設(shè)，得，．（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而．故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為．例72．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）黨中央、國(guó)務(wù)院對(duì)節(jié)能減排高度重視，各地區(qū)、各部門認(rèn)真貫徹黨中央、國(guó)務(wù)院關(guān)于“十三五”節(jié)能減排的決策部署，把節(jié)能減排作為轉(zhuǎn)換發(fā)展方式，經(jīng)濟(jì)提質(zhì)增效，建設(shè)生態(tài)文明的重要抓手，取得重要進(jìn)展.新能源汽車環(huán)保、節(jié)能、以電代油，減少排放，既符合我國(guó)國(guó)情，也代表了汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.為了響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，2020年常州某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析：全年需投入固定成本2500萬(wàn)元.每生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬(wàn)元，且.由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)9萬(wàn)元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）請(qǐng)寫出2020年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)＝銷售－成本）（2）當(dāng)2020年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“＝”成立）因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，即2020年生產(chǎn)100百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為1600萬(wàn)元.答：（1）2020年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，即2020年生產(chǎn)100百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為1600萬(wàn)元.例73．（2023·浙江衢州·高一?？茧A段練習(xí)）年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.為降低疫情影響，某廠家擬盡快加大力度促進(jìn)生產(chǎn).已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足千件時(shí)，(萬(wàn)元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于千件時(shí)，(萬(wàn)元).每件商品售價(jià)為萬(wàn)元.通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為萬(wàn)元，則千件商品銷售額為萬(wàn)元，依題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即萬(wàn)元.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即萬(wàn)元，由于，所以當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.例74．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供(萬(wàn)元)的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購(gòu)其生產(chǎn)的全部防護(hù)服.A公司在收到政府x(萬(wàn)元)補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到(萬(wàn)件)，其中k為工廠工人的復(fù)工率().A公司生產(chǎn)t萬(wàn)件防護(hù)服還需投入成本(萬(wàn)元).（1）將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為補(bǔ)貼x(萬(wàn)元)的函數(shù)(政府補(bǔ)貼x萬(wàn)元計(jì)入公司收入)；（2）對(duì)任意的(萬(wàn)元)，當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到多少時(shí)，A公司才能不產(chǎn)生虧損？(精確到0.01).【解析】（1）依題意，，；（2）若對(duì)任意的x∈[0，10]，公司都不產(chǎn)生虧損，則在恒成立，∴，，，設(shè)在上遞增，∴，∴.即當(dāng)工人的復(fù)工率達(dá)到0.65時(shí)，公司不虧損.例75．（2023·山西晉城·高一晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供（萬(wàn)元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購(gòu)其生產(chǎn)的全部防護(hù)服．A公司在收到政府（萬(wàn)元）補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到（萬(wàn)件），其中為工廠工人的復(fù)工率（）．A公司生產(chǎn)萬(wàn)件防護(hù)服還需投入成本（萬(wàn)元）．（1）將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為補(bǔ)貼（萬(wàn)元）的函數(shù)（政府補(bǔ)貼x萬(wàn)元計(jì)入公司收入）；（2）在復(fù)工率為k時(shí)，政府補(bǔ)貼多少萬(wàn)元才能使A公司的防護(hù)服利潤(rùn)達(dá)到最大？【解析】（1）由題意得，即，，．（2），因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以，故政府補(bǔ)貼為萬(wàn)元才能使A公司的防護(hù)服利潤(rùn)達(dá)到最大，最大為萬(wàn)元．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例76．設(shè)函數(shù)，用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】A

【解析】令，解得或，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有最小值，綜上：函數(shù)的最小值為1，故選：例77．已知冪函數(shù)滿足，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由冪函數(shù)的概念可知，，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意，則，其定義域?yàn)榱睿瑒t，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x例78．若定義在R的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C

【解析】定義在R的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所