第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 章末題型歸納總結(jié) （解析版）

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算經(jīng)典題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用經(jīng)典題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用經(jīng)典題型四：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用經(jīng)典題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用經(jīng)典題型六：指對(duì)冪比較大小經(jīng)典題型七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算例1．（2023·上海靜安·高一?？计谥校?）已知正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值，并求出此時(shí)，的值.（2）已知，，試用，表示，【解析】（1）因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，所以的最小值為4，此時(shí)，又，即.（2）因?yàn)?，，，?．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校校考期中）（1）求值：；（2）已知，求的值．【解析】（1）原式；（2）因?yàn)?，所以，所以?．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.例4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）求值：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）例5．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知，，均為正數(shù)，且．(1)若，求實(shí)數(shù)的值(2)求證：．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)?，，均為正?shù)，所以，則，，，由，得，，.（2）證明：由（1），，，．.例6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解下列各題：(1)解不等式：；(2)計(jì)算：(3)設(shè)是非零實(shí)數(shù)，已知的值.【解析】（1）因?yàn)?，則，即，所以，等價(jià)于，解得或，故的解集為.（2）.（3）因?yàn)?，，所以，所以，則，所以，，所以.例7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)，，用，表示下列各對(duì)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）．（2）．（3）．經(jīng)典題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，定義域?yàn)椋灰驗(yàn)?，所以，故，所以為奇函?shù)，排除B，當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，、均趨向于正無(wú)窮大，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除D，由，，則，排除C.故選：A.例9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】因?yàn)橛?，根?jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，排除B、D；時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除A．故選：C．例10．（2023·福建·高考真題）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，函數(shù)為減函數(shù)，從而有；法一：由圖象，函數(shù)與軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，令，得，由，即，解得.法二：函數(shù)圖象可看作是由向左平移得到的，則，即.故選：D.例11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一?三?四象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)的的圖像經(jīng)過(guò)第一?三?四象限，可得，所以，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故選：A.例12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且其在區(qū)間上的值域?yàn)椋洕M足該條件的實(shí)數(shù)、所形成的實(shí)數(shù)對(duì)為點(diǎn)，則由點(diǎn)P構(gòu)成的點(diǎn)集組成的圖形為（

）A．線段AD B．線段ABC．線段AD與線段CD D．線段AB與線段BC【答案】C【解析】函數(shù)|的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值1，令，得或，因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?，所以或則有序?qū)崝?shù)對(duì)在坐標(biāo)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的圖形為題圖中的線段AD與線段CD，故選：C.例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）指數(shù)函數(shù)與的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是下降的，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是上升的，所以.故選：C.例14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是冪函數(shù)，，故則，令，即，得，故過(guò)定點(diǎn).故選：例15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知曲線且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【答案】C【解析】曲線且中，由，得，因此該曲線過(guò)定點(diǎn)，即，于是，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16.故選：C經(jīng)典題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例16．（2023·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：因?yàn)?，即，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除；當(dāng)時(shí)，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除；又，所以排除A.故選：D.例17．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，，所以是非奇非偶函?shù)，排除A、B，函數(shù)的零點(diǎn)是，當(dāng)時(shí)，，排除D．故選：C．例18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】的定義域?yàn)榍?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除A，D，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤，故選：C.例19．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，?/p>

，∴為奇函數(shù)，令，則，其中

，故，排除,令，，其中，故，排除,故選：.例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】變形為：，即在上恒成立，若，此時(shí)在上單調(diào)遞減，，而當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C例21．（2023·云南紅河·高一?？计谥校┤A羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥纾f(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來(lái)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動(dòng)個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象只有選項(xiàng)C符合.故選：C.例22．（2023·河南鄭州·高三校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象過(guò)的定點(diǎn)（其中均大于0），則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)圖象過(guò)的定點(diǎn)為，將其代入直線方程得，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故有最小值4.故選：C.例23．（2023·浙江溫州·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，恒等于0，恒等于1，故恒等于，所以的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)是.故選：B經(jīng)典題型四：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例24．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）是奇函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)符合題意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因?yàn)?，故，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，.例25．（2023·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)求函數(shù)的值域.【解析】（1）因?yàn)?，若，則，令，則方程為，解得或（舍去），所以，解得.（2）因?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故的值域.例26．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)求在上的值域.【解析】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，即，解得.（2）由（1）可知，易知在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞減，所以是上的減函數(shù).因?yàn)?，，所以在上的值域?yàn)?例27．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求函數(shù)，在上的值域.【解析】，令，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，∴，的對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，∴在上的值域?yàn)?例28．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域是.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于m的不等式.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，因此在上恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）由（1）知，則指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，解得或，所以原不等式的解集為.經(jīng)典題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例29．（2023·天津?yàn)I海新·高一天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)用定義證明函數(shù)在上為減函數(shù)；(2)若（其中，），求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，且當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）任取，，且，即則，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）由（1）得在上為減函數(shù)，又，則，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，不成立，綜上所述；（3）由（1）得在上為減函數(shù)，則在上也為減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)恒成立，即，解得.例30．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若函數(shù)的圖象在直線上方，求的取值范圍；(3)若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）∵，所以，即，即，即，即，∴，對(duì)任意恒成立，所以，.所以，.（2）函數(shù)的圖象在直線上方，等價(jià)于對(duì)任意的成立，即.即對(duì)任意的成立.令，在上單調(diào)減，而，所以，由此.（3），令，則，.①當(dāng)，即時(shí)，在遞增，從而，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，在遞增，從而，則；③，即時(shí)，在遞減，從而，則舍去.綜上：.例31．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)用定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(2)如果對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）對(duì)任意，且，則，因?yàn)閯t，可得，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù).（2）令，則，由題意可得：對(duì)一切恒成立，當(dāng)時(shí)，則，符合題意，；當(dāng)時(shí)，可得，令，由（1）知在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以；綜上所述：的取值范圍為.例32．（2023·廣東深圳·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的最大值，并給出函數(shù)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；(2)解不等式.【解析】（1）設(shè)，則，對(duì)稱軸為，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.（2）因?yàn)?，所以，解得或，即或，所以不等式的解集為?例33．（2023·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）當(dāng)時(shí)，要使對(duì)數(shù)有意義，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】（1）有意義，則，解得：或，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為或；（2），即，所以=①，兩邊同乘x得，即②，當(dāng)或時(shí)，②的解為，此時(shí)代入①，，符合要求；當(dāng)且時(shí)，②的解為或，若是①的解，則，即；若是①的解，則，即；要使方程①有且僅有一個(gè)解，則綜上：有且僅有一個(gè)解，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.例34．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋唬?），由，得，所以的定義域?yàn)椋稳?，且，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以在上的單調(diào)遞增，所以由，得，解得，所以的解集為.例35．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1），由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，即，即恒成立，∴.所以不等式為，解得：，所以原不等式的解集是.（2）由題得恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，所以恒成立，令，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故.∴.∵對(duì)任意的恒成立，且，∴.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.經(jīng)典題型六：指對(duì)冪比較大小例36．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果，那么，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于1，所以，設(shè)，由指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，時(shí)函數(shù)值小于1，所以，設(shè)，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，時(shí)函數(shù)值小于0，所以，所以.故選：C例37．（2023·云南曲靖·高一?？计谥校┰O(shè)，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，∴，∵冪函數(shù)為增函數(shù)，∴，∴，∵對(duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，∴，即，∴.故選：A.例38．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，其中，，，則判斷a，b，c的大小是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】；，，，，則又在R上單調(diào)遞增，則，即故選：B例39．（2023·廣東惠州·高一惠州市惠陽(yáng)高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）已知，，，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增，且，所以，即，由題意可知，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增，且，所以，即，所以.故選:B.例40．（2023·貴州遵義·高一遵義航天高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，所以．故選：C．例41．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則，，的大小排序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：設(shè).則，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故選：D例42．（2023·天津南開(kāi)·高一天津二十五中統(tǒng)考期末）設(shè)，，，則、、的大小順序是A． B． C． D．【答案】D【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系，可得出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.對(duì)數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則.因此，.故選：D.例43．（2023·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè),為正數(shù)，且則（）A． B．C． D．和的大小不能確定【答案】B【解析】,為正數(shù)，且故:令可得:即:可得:即:則,故:故選:B.例44．（2023·甘肅武威·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的大小為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選C.例45．（2023·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）已知，，，則的大小為A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可判斷，，，設(shè)，先對(duì)比，看成，由函數(shù)單調(diào)遞減得再對(duì)比，看成，函數(shù)在第一象限為增函數(shù)，故所以故選A例46．（2023·陜西延安·高一?？茧A段練習(xí)）三個(gè)數(shù)，，的大小順序是A． B．C． D．【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：，，，所以，故選D.例47．（2023·甘肅張掖·高一甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)校考期中）設(shè)，，，則、、的大小順序?yàn)锳． B． C． D．【答案】A【解析】由于指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則.由于對(duì)數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即.由于對(duì)數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即.因此，，故選A.經(jīng)典題型七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根例48．（2023·福建福州·高一福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，且，若，此時(shí)當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，由，得，此時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，要使恰有2個(gè)零點(diǎn)，則只需當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)即可，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，只有一個(gè)零點(diǎn)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以要使?dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，則且，得，此時(shí)或，綜上，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D例49．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，，，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C例50．（2023·新疆和田·高一和田地區(qū)第二中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)，若有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，解得或，如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)零點(diǎn)，故直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以，且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.例51．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.例52．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】令．①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得；②當(dāng)時(shí)，，由，解得，．作出函數(shù)，直線，，的圖象如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．故選：D．例53．（2023·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)與的圖象上不存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)與的圖象上不存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程為，則方程在上無(wú)解，即在上無(wú)解，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以的值域?yàn)楣蕦?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.例54．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，令，，函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，易知.因?yàn)榈膱D象過(guò)，則只需保證和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)與的圖象恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，得，由，得或（舍去），故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.例55．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，，．若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】恰有2個(gè)零點(diǎn)，則有，即，故函數(shù)的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖，平移直線，可以看出當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．故選：C．例56．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖，若，由，即，即，即，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，令，則，所以，.故選：D.例57．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別是，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，，得，，，則為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別做出，，和的圖像，如圖所示，由圖可知，，故選：A．例58．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為，則（

）A．6 B． C．2 D．【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過(guò)沿軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再經(jīng)過(guò)向右平移1個(gè)單位，可得的圖象，最終經(jīng)過(guò)沿軸翻折變換，可得的圖象，如下圖：則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，令，則，由圖可知，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)等于，一個(gè)大于，又因?yàn)榈淖钚〉牧泓c(diǎn)為，且，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)等于，一個(gè)等于，根據(jù)韋達(dá)定理得，，即，，則．故選：B．例59．（2023·安徽·高一安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，即，同理，，是方程的兩個(gè)根，其中，，，可得，，，即，，故選：C．例60．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則1是的一個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)有兩種情形：①1是方程的根，則，即，此時(shí)方程有1，兩個(gè)根，故有1，兩個(gè)不同的零點(diǎn)；②1不是方程的根，則方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則，得，此時(shí)，故有1，兩個(gè)不同的零點(diǎn)；綜上，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則或，所以是有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件，故選：A.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例61．若函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

A． B． C． D．【答案】B

【解析】令，則原方程等價(jià)為作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知當(dāng)，時(shí)，函數(shù)和各有兩個(gè)交點(diǎn)．要使方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，令，則由根的分布可得，①當(dāng)，時(shí)，，解得②當(dāng)且時(shí)，，解得；③當(dāng)且時(shí)，可得，解得綜上，b的取值范圍為故選例62．（2022·湖北省·模擬題）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】由關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為：，令，得，則方程在上有解，作出與的圖象，如圖所示：因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，由圖像可知，函數(shù)向右平移時(shí)，與函數(shù)的圖像總有交點(diǎn)，所以綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選例63．（2022·江西省·其他類型）若對(duì)R，使得且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】若且對(duì)任意的都成立，①當(dāng)時(shí)，由，得到，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故要使得對(duì)任意成立，有，即得②當(dāng)時(shí)，變形為，即得，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，要使得對(duì)任意成立，即有，即，即得因此，結(jié)合題意可知要使得對(duì)R，使得且恒成立，?、佗趦煞N情況下a取值范圍的交集可知故選例64．（2022·江蘇省蘇州市·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，則，由題意可得，解得故選例65．（2022·河南省鄭州市·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)若函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)與有4個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，其中的頂點(diǎn)為，則②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，其中的頂點(diǎn)為，則故a的取值范圍是故選例66．（2023·山東省濰坊市·期末考試）已知函數(shù)若函數(shù)有七個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由題意，函數(shù)畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象無(wú)交點(diǎn)，即無(wú)解；當(dāng)時(shí)，與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即有4個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)根．令，則或，由圖易知有4個(gè)根，所以要使函數(shù)有7個(gè)不同的零點(diǎn)，則有3個(gè)根，所以或故選②轉(zhuǎn)化與化歸思想例67．（2023·浙江省衢州市·期末考試）已知函數(shù)，若且，則abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】作出函數(shù)

的圖像如圖所示：由于

，且a，b，c互不相等，顯然，則有，，，

，即，則abc的取值范圍是故選例68．（2023·重慶市·期末考試）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C

【解析】令，則，令，即，轉(zhuǎn)化為和直線的交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出和直線的圖象，如圖所示：由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為，，則，，再考慮以x為未知數(shù)的方程，的實(shí)數(shù)根，時(shí)有一個(gè)根，為；時(shí)，時(shí)有3個(gè)不等實(shí)根，時(shí)有一個(gè)，時(shí)有兩個(gè)．綜上可得的實(shí)根個(gè)數(shù)為4，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是故選例69．（2022·浙江省溫州市·期中考試）已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意x，都有，則滿足不等式的x的取值范圍為

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】是定義在