新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.1排列教師用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

6.2排列與組合6.2.1排列學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解并掌握排列的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(邏輯推理)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽頒獎(jiǎng)儀式上，輔導(dǎo)老師和甲、乙兩名特等獎(jiǎng)獲得者合影留念，師生三人站成一排，輔導(dǎo)老師在正中間時(shí)，甲在左邊和乙在左邊是相同的排列嗎？知識(shí)點(diǎn)排列的概念1．定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．2．兩個(gè)排列相同的充要條件(1)兩個(gè)排列的元素完全相同．(2)元素的排列順序相同．1．如何判斷一個(gè)具體問(wèn)題是不是排列問(wèn)題？[提示](1)首先要保證元素互異性，即從n個(gè)不同元素中，取出m個(gè)不同的元素，否則不是排列問(wèn)題．(2)要保證元素的有序性，即安排這m個(gè)元素時(shí)是有序的，有序就是排列，無(wú)序則不是排列．而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)是變換元素的位置，看結(jié)果是否發(fā)生變化，有變化是有序，無(wú)變化就是無(wú)序．2．同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素能重復(fù)出現(xiàn)嗎？[提示]不能，因?yàn)榻o出的n個(gè)元素互不相同，且抽取的m個(gè)元素是從n個(gè)元素中不重復(fù)地抽取的．1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)兩個(gè)排列的元素相同，則這兩個(gè)排列是相同的排列． ()(2)從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，共有多少種選法屬于排列問(wèn)題． ()(3)有十二名學(xué)生參加植樹(shù)活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問(wèn)題． ()(4)從3，5，7，9中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪屬于排列問(wèn)題． ()(5)從1，2，3，4中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)點(diǎn)屬于排列問(wèn)題． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√[提示](1)因?yàn)橄嗤膬蓚€(gè)排列不僅元素相同，而且元素的排列順序也相同．(2)因?yàn)槿麑W(xué)生參賽的科目不同為不同的選法，每種選法與“順序”有關(guān)，屬于排列問(wèn)題．(3)因?yàn)榉纸M之后，各組與順序無(wú)關(guān)，故不屬于排列問(wèn)題．(4)因?yàn)槿稳〉膬蓚€(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，底數(shù)不同、指數(shù)不同，結(jié)果不同．結(jié)果與順序有關(guān)，故屬于排列問(wèn)題．(5)因?yàn)榭v、橫坐標(biāo)不同，表示不同的點(diǎn)，故屬于排列問(wèn)題．2．下列問(wèn)題中是排列問(wèn)題的是()A．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)B．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加演講比賽C．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)擔(dān)任歌詠比賽評(píng)委D．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)擔(dān)任正、副班長(zhǎng)D[從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)與從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加同一項(xiàng)活動(dòng)，都沒(méi)有順序問(wèn)題，不是排列，而擔(dān)任不同的職務(wù)是排列問(wèn)題．]3．元旦來(lái)臨之際，某寢室四名同學(xué)各有一張賀年卡，并且要送給該寢室的其他一名同學(xué)，但每人都必須得到一張，則不同的送法有________種．9[將4張賀年卡分別記為A，B，C，D，且按題意進(jìn)行排列，用樹(shù)狀圖表示為：由此可知共有9種送法．]類型1排列的概念【例1】判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題．(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹(shù)和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信．[思路導(dǎo)引]判斷是否為排列問(wèn)題[解](1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)題，所以不是排列問(wèn)題．(2)植樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．(3)(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題．(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．(6)A給B寫(xiě)信與B給A寫(xiě)信是不同的，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．所以在上述各題中(2)(5)(6)屬于排列問(wèn)題．判斷一個(gè)問(wèn)題是否為排列問(wèn)題，主要從“取”與“排”兩方面考慮：(1)“取”，檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否重復(fù)；(2)“排”，檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否有順序性，其關(guān)鍵方法是，交換兩個(gè)位置看其結(jié)果是否有變化，有變化就是有順序，無(wú)變化就是無(wú)順序．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．從集合{3，5，7，9，11}中任取兩個(gè)元素，①相加可得多少個(gè)不同的和；②相除可得多少個(gè)不同的商；③作為橢圓x2a2+y2b2＝1中的a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程；④作為雙曲線x2a2-y2②④[因?yàn)榧臃M足交換律，所以①不是排列問(wèn)題；因?yàn)槌ú粷M足交換律，如53≠35，所以②是排列問(wèn)題；若方程x2a2+y2b2＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小一定，故③不是排列問(wèn)題；在雙曲線x2a2-y2類型2排列的列舉問(wèn)題【例2】從4名運(yùn)動(dòng)員中選出3名參加一項(xiàng)比賽，并排定他們的比賽順序，有多少種不同的方法？寫(xiě)出所有排序方式．[解]要解決這個(gè)問(wèn)題，可以分3個(gè)步驟完成．第一步，先選定第一名比賽隊(duì)員，在4名運(yùn)動(dòng)員中任取1名，有4種方法；第二步，選定第二名比賽隊(duì)員，從余下的3名運(yùn)動(dòng)員中任取1名，有3種方法；第三步，選定第三名比賽隊(duì)員，從余下的2名運(yùn)動(dòng)員中任取1名，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的排序方法．若記這4名運(yùn)動(dòng)員分別為a，b，c，d，則24種不同的方法如圖所示．由此可寫(xiě)出所有的排序方式：abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．利用“樹(shù)狀圖”法解決簡(jiǎn)單排列問(wèn)題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹(shù)狀圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問(wèn)題時(shí)，是一種比較有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按“樹(shù)狀圖”寫(xiě)出排列．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．四個(gè)人A，B，C，D坐成一排照相有多少種坐法？寫(xiě)出所有坐法．[解]按照A→B→C→D的順序安排位置，A有4種坐法，B有3種坐法，C有2種坐法，D有1種坐法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，有4×3×2×1＝24(種)坐法．畫(huà)出樹(shù)狀圖．由樹(shù)狀圖可知，所有坐法為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA．類型3排列問(wèn)題與分步問(wèn)題【例3】有3名大學(xué)畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應(yīng)聘．(1)3名大學(xué)畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有多少種不同的招聘方案？(用數(shù)字作答)(2)每家公司至多招聘一名新員工，3名大學(xué)畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有多少種不同的招聘方案？(用數(shù)字作答)[解]將5家招聘員工的公司看成5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3名大學(xué)畢業(yè)生．(1)第一名大學(xué)畢業(yè)生有5種選擇，第二名大學(xué)畢業(yè)生有5種選擇，第三名大學(xué)畢業(yè)生也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知不同的招聘方案共有5×5×5＝125(種)．(2)第一名大學(xué)畢業(yè)生有5種選擇，第二名大學(xué)畢業(yè)生有4種選擇，第三名大學(xué)畢業(yè)生有3種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知不同的招聘方案共有5×4×3＝60(種)．排列與分步問(wèn)題的關(guān)系(1)排列問(wèn)題是分步問(wèn)題；(2)排列問(wèn)題中元素不能重復(fù)選取，而在用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問(wèn)題中，元素是可以重復(fù)選取的．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．用具體數(shù)字表示下列問(wèn)題．(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，其商的個(gè)數(shù)；(2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)；(3)有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，其分配方案的個(gè)數(shù)．[解](1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(個(gè))．(2)因?yàn)榻M成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是“0”．故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字，因此共有3×2×1＝6(個(gè))．(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，故共有5×4×3×2＝120(個(gè))分配方案．1．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，其中可以看作排列問(wèn)題的運(yùn)算種數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4B[因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無(wú)關(guān)，故不是排列問(wèn)題．而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問(wèn)題．故選B．]2．滬寧高鐵線上有六個(gè)大站：上海、蘇州、無(wú)錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門(mén)應(yīng)為滬寧線上的六個(gè)大站(這六個(gè)大站之間)準(zhǔn)備的不同的火車票種數(shù)為()A．15 B．30C．12 D．36B[對(duì)于兩個(gè)大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因?yàn)槊繌堒嚻睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站，因此，每張火車票對(duì)應(yīng)從6個(gè)不同元素(大站)中取出2個(gè)不同元素(起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30(種)．]3．從1，2，3中任取兩個(gè)數(shù)字組成不同的兩位數(shù)有________個(gè)．6[可組成的兩位數(shù)為12，21，13，31，23，32，共有6個(gè)．]4．6個(gè)人走進(jìn)只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有________種不同的坐法．120[坐在椅子上的3個(gè)人是走進(jìn)屋子的6個(gè)人中的任意3個(gè)人，若把人看成元素，將3把不同的椅子當(dāng)成不同的位置，則原問(wèn)題抽象為從6個(gè)元素中取3個(gè)元素占據(jù)3個(gè)不同的位置，顯然是從6個(gè)元素中任取3個(gè)元素的排列問(wèn)題，從而不同的坐法共有6×5×4＝120(種)．]回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．如何理解排列的定義？[提示]無(wú)重復(fù)性，有順序性．2．兩個(gè)排列相同的充要條件是什么？[提示]元素完全相同且元素的排列順序相同．課時(shí)分層作業(yè)(三)排列一、選擇題1．要從甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)人中選出1名班長(zhǎng)和1名副班長(zhǎng)，則不同的選法種數(shù)是()A．20B．16C．10D．6A[先從5個(gè)人中任選1名當(dāng)班長(zhǎng)有5種選法，再?gòu)氖Ｏ?個(gè)人中任選1名當(dāng)副班長(zhǎng)有4種選法，共有5×4＝20(種)選法．]2．(多選)下列問(wèn)題中是排列問(wèn)題的是()A．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組B．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動(dòng)C．從a，b，c，d四個(gè)字母中取出2個(gè)字母D．從1～9這九個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)AD[A是排列問(wèn)題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的學(xué)習(xí)小組與順序有關(guān)；B不是排列問(wèn)題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的活動(dòng)與順序無(wú)關(guān)；C不是排列問(wèn)題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)字母與順序無(wú)關(guān)；D是排列問(wèn)題，因?yàn)槿〕龅?個(gè)數(shù)字還需要按順序排成一列．]3．由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成的首位數(shù)字是1，且恰有三個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)有()A．9個(gè) B．12個(gè)C．15個(gè) D．18個(gè)B[本題要求首位數(shù)字是1，且恰有三個(gè)相同的數(shù)字，用樹(shù)狀圖表示為：由此可知共有12個(gè)．] 4．(多選)用一顆骰子連擲兩次，投擲出的數(shù)字順序排成一個(gè)兩位數(shù)，則()A．可以排出30個(gè)不同的兩位數(shù)B．可以排出36個(gè)不同的兩位數(shù)C．可以排出30個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)D．可以排出36個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)BC[對(duì)于A，B選項(xiàng)，兩位數(shù)中每位上的數(shù)字均為1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，共有這樣的兩位數(shù)6×6＝36(個(gè))．對(duì)于C，D選項(xiàng)，兩位數(shù)中每位上的數(shù)字均為1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中的一個(gè)．第一步，得首位數(shù)字，有6種不同結(jié)果，第二步，得個(gè)位數(shù)字，有5種不同結(jié)果，故可得無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有6×5＝30(個(gè))．]5．從甲、乙等5人中選3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數(shù)有()A．12 B．24C．36 D．48D[記另外3人為丙、丁、戊，則甲不在排頭的排法有：(1)不選甲：(2)選甲：所以共有48種不同的排法．]二、填空題6．車展期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)_______．60[由題意可知，本題為從5個(gè)元素中選3個(gè)元素的排列問(wèn)題，所以安排方法有5×4×3＝60(種)．]7．A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排頭，共有________種不同站法．18[作出樹(shù)狀圖如下：共有18種不同的站法．]8．一次演出，因臨時(shí)有變化，擬在已安排好的4個(gè)節(jié)目的基礎(chǔ)上再添加2個(gè)小品節(jié)目，且2個(gè)小品節(jié)目不相鄰，則不同的添加方法共有________種．20[從原來(lái)的4個(gè)節(jié)目形成的5個(gè)空中選2個(gè)空排列，共有5×4＝20(種)添加方法．]三、解答題9．判斷下列問(wèn)題是不是排列問(wèn)題．(1)從2，3，5，7，9中任取兩數(shù)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，可得多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？(2)空間有10個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則這10個(gè)點(diǎn)共可組成多少個(gè)不同的四面體？(3)某班有10名三好學(xué)生，5名后進(jìn)生，班委會(huì)決定選5名三好學(xué)生對(duì)5名后進(jìn)生實(shí)行一幫一活動(dòng)，共有多少種安排方式？(4)若從10名三好學(xué)生中選出5名和5名后進(jìn)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種安排方式？[解](1)對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)不同，所得的結(jié)果不同，是排列問(wèn)題．(2)四面體與四個(gè)頂點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題．(3)選出的5名三好學(xué)生與5名后進(jìn)生進(jìn)行一幫一活動(dòng)與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題．(4)選出的5名三好學(xué)生與5名后進(jìn)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題．綜上所述，(1)(3)屬于排列問(wèn)題．10．某班上午要上語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育和外語(yǔ)4門(mén)課，又體育老師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是()A．24 B．22C．20 D．12D[分兩步排課：體育可以排第二節(jié)或第三節(jié)兩種排法；其他科目有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)語(yǔ)文、外語(yǔ)、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、語(yǔ)文外語(yǔ)、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、語(yǔ)文共6種排法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有2×6＝12(種)排課方案．]11．四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．6 B．9C．12 D．24B[第一類，0在個(gè)位有2110，1210，1120，共3個(gè)；第二類，0在十位有2101，1201，1102，共3個(gè)；第三類，0在百位有2011，1021，1012，共3個(gè)，故由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為9．]12．字母f，a，c，e總的排列種數(shù)為_(kāi)_______種，若把英語(yǔ)單詞“face”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有_______