第二章 直線與圓的方程（壓軸題專練）（解析版）

第二章直線與圓的方程（壓軸題專練）一、選擇題1．已知，若過定點的動直線：和過定點的動直線：交于點（與，不重合），則以下說法錯誤的是（

）A．點的坐標(biāo)為 B．C． D．的最大值為5【答案】D【分析】根據(jù)定點判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.【詳解】因為可以轉(zhuǎn)化為，故直線恒過定點A，故A選項正確；又因為：即恒過定點B，由和,滿足，所以,可得,故B選項正確；所以,故C選項正確;因為,設(shè)為銳角,則,所以,所以當(dāng)時,取最大值,故選項D錯誤.故選：D.2．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值（

）A． B． C．3 D．6【答案】D【分析】根據(jù)動直線方程求出定點的坐標(biāo)，并判斷兩動直線互相垂直，進(jìn)而可得，最后由基本不等式即可求解.【詳解】解：由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點為，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：D.3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（

）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長線相交；【答案】A【分析】根據(jù)題意對一一分析，逐一驗證．【詳解】解：對于，化為：，即點，不在直線上，因此不正確．對于，，則，即過，兩點的直線與直線的斜率相等，又點，不在直線上，因此兩條直線平行，故正確；對于，，則，化為，因此直線經(jīng)過線段的中點，故正確；對于，，則，則點，在直線的同側(cè)，故正確；故選A【點睛】本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．4．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.已知點在直線，點在直線上，且，結(jié)合上述觀點，的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)兩點距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點到點的距離與點到點的距離和，過點作，垂足為，證明，由求目標(biāo)函數(shù)最小值.【詳解】由已知表示點到點的距離，表示點到點的距離，所以，過點作，垂足為，因為直線的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，所以當(dāng)點為線段與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.【點睛】本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進(jìn)一步結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題.5．已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可知圓：，在坐標(biāo)系中找到，應(yīng)用三角線相似將轉(zhuǎn)化到，再利用三角形的三邊關(guān)系確定目標(biāo)式的最大值即可.【詳解】由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標(biāo)系中則，∴，即△△，故，∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長度.∴.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先求出圓方程，找到定點使，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化到其它線段，結(jié)合三角形三邊關(guān)系求目標(biāo)式的最值.6．過點作拋物線的兩條切線，，設(shè)，與軸分別交于點，，則的外接圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)切線方程為：，與拋物線聯(lián)立，表示線段的中垂線方程，可求解圓心坐標(biāo)和半徑，表示圓的方程即可.【詳解】設(shè)過點的拋物線的切線方程為：，即（*），代入得，由得，（1）所以方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，，且，，在（*）中令得，，設(shè)的外接圓圓心為點，則，下求：線段中點橫標(biāo)，縱標(biāo)，線段的中垂線方程為，令得，由（1）知，故，設(shè)的外接圓半徑為，則，所以的外接圓方程為，即.故選：A【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，圓的方程，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.7．已知平面內(nèi)兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由直線方程可得，則點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，得到的軌跡方程為，即，可得，取，則，結(jié)合，可得，進(jìn)而求解.【詳解】由已知過定點，過定點，因為，，所以，即，所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，故圓心為，半徑為3，則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，又，即，取，則，又，所以，所以的最小值為.故選：A.8．已知點為直線：上的動點，過點作圓：的切線，，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用圓切線的性質(zhì)推得四點共圓，，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而確定時取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.【詳解】因為圓：可化為，所以圓心，半徑為，

因為，是圓的兩條切線，則，由圓的知識可知，四點共圓，且，，所以，又，所以當(dāng)最小，即時，取得最小值，此時的方程為，聯(lián)立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，從而確定最小時的坐標(biāo)，從而利用兩圓相減可得相交弦方程的技巧得解.9．（多選）已知為坐標(biāo)原點，，為軸上一動點，為直線：上一動點，則（

）A．周長的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】設(shè)關(guān)于直線：的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，對于A：根據(jù)對稱性可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對于B：根據(jù)點到直線的距離分析判斷；對于C：因為，結(jié)合點到直線的距離分析判斷；對于D：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合點到直線的距離分析判斷.【詳解】設(shè)關(guān)于直線：的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，可知，對于選項A：可得周長，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時，等號成立，所以周長的最小值為，故A錯誤；對于選項B：設(shè)到軸，直線：的距離分別為，則，可得，所以的最小值為，故B正確；對于選項C：因為，設(shè)到直線：的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對于選項D：作，垂足為，因為直線的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確；故選：BCD.二、填空題10．設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值．【答案】9【分析】根據(jù)直線方程求出定點，然后根據(jù)直線垂直，結(jié)合基本不等式求解即可；【詳解】由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點為P，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．【點睛】根據(jù)直線方程求定點，判斷直線垂直，將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式是本題的難點和突破點.11．若恰有三組不全為0的實數(shù)對,滿足關(guān)系式，則實數(shù)t的所有可能的值為．【答案】或或【分析】化簡得到，然后對進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】由已知得，整理得，看成有且僅有三條直線滿足和到直線(不過原點)的距離t相等，又，（1）當(dāng)，此時易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線以及與直線平行的兩條直線和；（2）當(dāng)時，有4條直線l會使得點和到它們的距離相等，注意到l不過原點，所以當(dāng)其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去．設(shè)點A到l的距離為d，①作為增根被舍去的直線l，過原點和A，B的中點，其方程為，此時，符合；②作為增根被舍去的直線l，過原點且與平行，其方程為，此時，符合；綜上，滿足題意的實數(shù)t為或或故答案為：或或【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是化簡得到，將問題轉(zhuǎn)化為有且僅有三條直線滿足和到直線(不過原點)的距離t相等，然后分類討論即得.12．已知?分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.【答案】/【分析】利用線段的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到最小值即為所求.【詳解】由直線與間的距離為得，過作直線垂直于，如圖，

則直線的方程為：，將沿著直線往上平移個單位到點，有，連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點與點距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值為=故答案為：【點睛】思路點睛：（1）合理的利用假設(shè)可以探究取值的范圍，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S是驗證的必要過程.（2）轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決距離最值問題中一種有效的途徑.（3）數(shù)形結(jié)合使得問題更加具體和形象，從而使得方法清晰與明朗.13．在平面直角坐標(biāo)互中，給定兩點，點在軸的正半軸上移動，當(dāng)最大值時，點的橫坐標(biāo)為【答案】【分析】根據(jù)條件結(jié)合圓的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求圓的半徑最小，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】過點三點的圓的圓心在線段的中垂線上，其中為弦所對的圓周角，所以當(dāng)圓的半徑最小時，最大，設(shè)圓心坐標(biāo)為，又由點在軸上移動，當(dāng)圓和軸相切時，取得最大值，設(shè)切點為，圓的半徑為，所以圓的方程為，代入點代入圓的方程，可得，整理得，解得或（舍去），所以點的橫坐標(biāo)的為.故答案為：.14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點，若圓上的點均滿足，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】或【分析】將條件坐標(biāo)化，先轉(zhuǎn)化為恒成立，即圓上所有動點到定點距離的最小值大于，再轉(zhuǎn)化為與圓心距離的不等關(guān)系求解可得.【詳解】設(shè)，由點，即點滿足，即，設(shè)點，即恒成立則，圓上所有點到定點最小值大于，又圓，半徑為，圓上所有點到定點最小值即為：..即，化簡得，解得或.故答案為：或.

15．已知P為直線上一動點，過點P作圓的切線，切點分別為A，B，則當(dāng)四邊形面積最小時，直線的方程為．【答案】【分析】求得四邊形面積最小時點的坐標(biāo)，再根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得直線的方程.【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑，，所以當(dāng)最小，也即垂直時，四邊形面積最小，直線的斜率為，則此時直線的斜率為，則直線的方程為，由，解得，即，對應(yīng)，，以為圓心，半徑為的圓的方程為：，即，由，兩式相減并化簡得，也即直線的方程為.故答案為：

【點睛】研究直線和圓的位置關(guān)系問題，主要思路是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，直線和圓有關(guān)的相切問題，連接圓心和切點的直線，與切線相互垂直.與四邊形面積的最值有關(guān)問題，可先求得面積的表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式來求最值.16．設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為；(2)若a>－1，直線l與x、y軸分別交于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OMN的面積取最小值時，直線l對應(yīng)的方程為.【答案】x－y＝0或x＋y－2＝0x＋y－2＝0【詳解】(1)①當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點時，可得a＋2＝0，解得a＝－2．所以直線l的方程為－x＋y＝0，即x－y＝0；②當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點，即a≠－2且a≠－1時，由條件得，解得a＝0，所以直線l的方程為x＋y－2＝0．綜上可得直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0．(2)在(a＋1)x＋y－2－a＝0（a>－1）中，令，得；令，得．所以．由于，得．所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝0時等號成立．此時直線l的方程為x＋y－2＝0．答案：(1)x－y＝0或x＋y－2＝0

(2)x＋y－2＝0【點睛】用基本不等式求最值時，首先要判斷是否滿足了使用基本不等式的條件，若滿足則可直接利用基本不等式求出最值；若不滿足，則需要對代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，此時要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等變形的技巧，通過變形使得代數(shù)式滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件．三、解答題17．現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)：，其中．為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo)，今對其進(jìn)行如下加工：記，作函數(shù)，使其圖像為逐點依次連接點的折線．(1)求和的值；(2)設(shè)的斜率為，判斷的大小關(guān)系；(3)證明：當(dāng)時，；(4)求由函數(shù)與的圖像所圍成圖形的面積．（用表示）【答案】(1)，(2)(3)見解析(4)【分析】（1）運用代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)斜率公式，結(jié)合已知進(jìn)行判斷即可；（3）要證明，，只需要證明，根據(jù)已知定義，結(jié)合放縮法進(jìn)行證明即可.（4）設(shè)為上折線與軸及直線所圍成圖形的面積，求出，再由求解即可.【詳解】（1），；（2），因為，所以；（3）由于的圖像是連接各點的折線要證明，，只需要證明事實上，當(dāng)時，下面證明對任何，所以，綜上，（4）設(shè)為上折線與軸及直線所圍成圖形的面積則直線與的圖像所圍成圖形的面積為【點睛】關(guān)鍵點睛：在證明，時，關(guān)鍵在于將其轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合題設(shè)定義進(jìn)行證明.18．已知曲線，對坐標(biāo)平面上任意一點,定義,若兩點,，滿足，稱點,在曲線同側(cè)；，稱點,在曲線兩側(cè).(1)直線過原點，線段上所有點都在直線同側(cè)，其中，,求直線的傾斜角的取值范圍；(2)已知曲線，為坐標(biāo)原點，求點集的面積；(3)記到點與到軸距離和為的點的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點,在曲線兩側(cè),求曲線的方程與實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；（3），.【分析】（1）由題意設(shè)出直線方程為，通過新定義，得到，求出斜率范圍，進(jìn)而可求出傾斜角范圍；（2）先由題意得到點集為圓在直線下方內(nèi)部，設(shè)直線與圓的交點為，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；（3）先設(shè)曲線上的動點為，根據(jù)題意得到，化簡整理，即可得出軌跡方程；再由新定義，將化為，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，顯然直線斜率存在，設(shè)方程為，則，因為，，線段上所有點都在直線同側(cè)，則，解得；故傾斜角的范圍是；（2）因為，所以，故，點集為圓在直線下方內(nèi)部，設(shè)直線與圓的交點為，則到的距離為，故，因此，所求面積為：；（3）設(shè)曲線上的動點為，則，化簡得曲線的方程為：，其軌跡為兩段拋物線弧；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故若有，則，解得.【點睛】本題主要考查新定義下直線與圓的綜合，熟記直線與圓位置關(guān)系，以及直線斜率與傾斜角的概念等即可，屬于常考題型.19．如圖，已知，，，直線．(1)證明直線經(jīng)過某一定點，并求此定點坐標(biāo)；(2)若直線等分的面積，求直線的一般式方程；(3)若，李老師站在點用激光筆照出一束光線，依次由（反射點為）、（反射點為）反射后，光斑落在點，求入射光線的直線方程．【答案】(1)證明見解析，定點坐標(biāo)為；(2)；(3)．【分析】（1）整理得到，從而得到方程組，求出定點坐標(biāo)；（2）求出定點在直線上，且，由得到，設(shè)出，由向量比例關(guān)系得到點坐標(biāo)，得到直線方程；（3）作出輔助線，確定關(guān)于和的對稱點，得到，由對稱性得，寫成直線方程.【詳解】（1）直線可化為，令，解得，故直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)為；（2）因為，，，所以，由題意得直線方程為，故直線經(jīng)過的定點在直線上，所以，設(shè)直線與交于點，所以，即，所以，設(shè)，所以，即，所以，，所以，將點坐標(biāo)代入直線的方程，解得，所以直線的方程為；（3）設(shè)關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，直線的方程為，即，直線的方程為，所以，解得，所以，由題意得四點共線，，由對稱性得，所以入射光線的直線方程為，即．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過坐標(biāo)原點且圓心在曲線上．(1)設(shè)直線：與圓交于，兩點，且，求圓的方程；(2)設(shè)直線與（1）中所求圓交于，兩點，點為直線上的動點，直線，與圓的另一個交點分別為，，且，在直線兩側(cè)，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，知，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，解方程可得，討論的取值，求得圓心到直線的距離，即可得到所求圓的方程；（2）設(shè)，，，求得，的坐標(biāo)，和的方程，聯(lián)立圓的方程，運用韋達(dá)定理，．設(shè)，則．設(shè)直線的方程為，代入圓的方程，運用韋達(dá)定理，可得，的關(guān)系，即可得到所求定點．（1）圓過坐標(biāo)原點且圓心在曲線上，設(shè)由，知.所以，解得.當(dāng)時，圓心到直線的距離小于半徑，符合題意；當(dāng)時，圓心到直線的距離大于半徑，不符合題意.所以，所求圓的方程為.（2）設(shè)，，，又知，，所以，．顯然，設(shè)，則．從而直線方程為：，與圓的方程聯(lián)立，消去，可得：，所以，即；同理直線方程為：，與圓的方程聯(lián)立，消去，可得：，所以，即．所以