新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.1條件概率與全概率公式7.1.2全概率公式學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.1.2全概率公式學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)全概率公式．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解全概率公式，會用全概率公式計(jì)算概率．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．了解貝葉斯公式，并會簡單應(yīng)用．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)學(xué)校的“我為祖國獻(xiàn)計(jì)獻(xiàn)策”演講比賽共有20名同學(xué)參加，學(xué)校決定讓參賽選手通過抽簽決定出場順序．不過，張明對抽簽的公平性提出了質(zhì)疑，他的理由是，如果第一個(gè)人抽的出場順序是1號，那么其他人就抽不到1號了，所以每個(gè)人抽到1號的概率不一樣．張明的想法正確嗎？特別地，第一個(gè)抽簽的人抽到1號的概率與第二個(gè)抽簽的人抽到1號的概率是否相等？為什么？知識點(diǎn)1全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組________的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，則對任意的事件B?(1)全概率公式體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即采用化整為零的方式，把各塊的概率分別求出，再相加求和．(2)全概率公式實(shí)質(zhì)上是條件概率性質(zhì)的推廣形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)．*知識點(diǎn)2貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝P(Ai)P(B|Ai)P(1．已知P(BA)＝0.4，P(BA)＝0.2，則P(B)的值為________．2．已知P(B1)＝0.4，P(B2)＝0.4，P(B3)＝0.2，且B1，B2，B3互斥，P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.8，P(A|B3)＝0.7，則P(A)＝________．3．設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為________．類型1兩個(gè)事件的全概率問題【例1】(源自人教B版教材)某次社會實(shí)踐活動中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查．參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13[嘗試解答]兩個(gè)事件的全概率問題求解策略(1)拆分：將樣本空間拆分成對立的兩部分如A1，A2(或A與A)；(2)計(jì)算：利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率；(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(源自北師大版教材)采購員要購買某種電器元件一包(10個(gè))．他的采購方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，而其余包中各含1個(gè)次品，求采購員隨機(jī)挑選一包拒絕購買的概率．類型2多個(gè)事件的全概率問題【例2】甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7．飛機(jī)被一人擊中且擊落的概率為0.2，被兩人擊中且擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率．[嘗試解答]“化整為零”求多事件的全概率問題(1)(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖所示，有三個(gè)箱子，分別編號為1，2，3，其中1號箱裝有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，2號箱裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，3號箱裝有3個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同．某人先從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率以及該球取自幾號箱的可能性最大．類型3全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用【例3】某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的．根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額Ⅰ0.020.15Ⅱ0.010.80Ⅲ0.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志．(1)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少．[嘗試解答]若隨機(jī)試驗(yàn)可以看成分兩個(gè)階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)具體結(jié)果未知，那么：(1)如果要求的是第二階段某一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式．(2)如果第二個(gè)階段的某一個(gè)結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個(gè)結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率．熟記這個(gè)特征，在遇到相關(guān)的題目時(shí)，可以準(zhǔn)確地選擇方法進(jìn)行計(jì)算，保證解題的正確高效．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng)．由長期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5，現(xiàn)有三家的產(chǎn)品混合在一起．(1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？1．有朋自遠(yuǎn)方來，乘火車、船、汽車、飛機(jī)來的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1，0．則他遲到的概率為()A．0.65B．0.075C．0.145D．02．兩臺機(jī)床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，并設(shè)第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為()A．0.21 B．0.06C．0.94 D．0.953．(多選)若0<P(A)<1，0<P(B)<1，則下列等式中成立的有()A．P(A|B)＝PB．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P4．甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球和4個(gè)黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．你能寫出全概率公式嗎？2．什么情況下使用全概率公式？3．你能寫出貝葉斯公式嗎？7.1.2全概率公式[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識點(diǎn)1兩兩互斥i=1知識點(diǎn)2課前自主體驗(yàn)1．0.6[由P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(BA)＝P(A)·P(B|A)，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝P(BA)＋P(BA)＝0.4＋0.2＝0.6．]2．0.82[P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82．]3．0.8[設(shè)公路上經(jīng)過的車為貨車是事件A，經(jīng)過的車是客車為事件B，車需要修理為事件C，且P(A)＝23，P(B)＝13，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝所以P(A|C)＝P(A)P(C|A[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：如果用A與A分別表示居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的，B表示是女生．則根據(jù)已知，有P(A)＝55＋3＝58，P而且P(B|A)＝35，P(B|A)＝1題目所要求的是P(B)．由全概率公式可知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝58×35＋跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：設(shè)事件B1表示“取到的是含有4個(gè)次品的包”，事件B2表示“取到的是含有1個(gè)次品的包”，事件A表示“采購員拒絕購買”，則P(B1)＝310，P(B2)＝710．又由古典概型計(jì)算概率的公式，可知P(A|B1)＝1－P(A|B2)＝1－C9從而由全概率公式，可知P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝310×56＋710因此，采購員隨機(jī)挑選一包拒絕購買的概率為2350例2解：設(shè)事件A表示“飛機(jī)被擊落”，事件Bi表示“飛機(jī)被i人擊中”(i＝0，1，2，3)，依題意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．再設(shè)事件Hi表示“飛機(jī)被第i人擊中”(i＝1，2，3)．則P(B1)＝P(H1H2H3∪H1H2H3＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36．同理P(B2)＝P(H1H2H3∪H1H2H3∪H1H2H3)P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14，P(B0)＝P(H1H2H由全概率公式，可知P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.09×0＋0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458．因此，飛機(jī)被擊落的概率為0.458．跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：設(shè)事件Bi表示“球取自i號箱”(i＝1，2，3)，事件A表示“取得紅球”．由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝13×15＋13再由條件概率知，P(B1|A)＝P(P(B2|A)＝P(P(B3|A)＝P(因此，該球是取自1號箱的概率為18，該球取自3號箱的可能性最大例3解：設(shè)A表示取到的是一只次品，Bi(i＝1，2，3)表示所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的．本題的概率樹形圖如下：易知P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03．(1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.0125．(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝P(AB同理可得P(B2|A)＝0.64，P(B3|A)＝0.12．跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：設(shè)事件A表示取到的產(chǎn)品為正品，B1，B2，B3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)．則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8．(1)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86．(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝P(P(B2|A)＝P(P(B3|A)＝P(由以上3個(gè)數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大．[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]1．C[設(shè)A1＝他乘火車來，A2＝他乘船來，A3＝他乘汽車來，A4＝他乘飛機(jī)來，B＝他遲到．易知A1，A2，A3，A4兩兩互斥，由全概率公式得P(B)＝i=12．D[令B＝取到的零件為合格品，Ai＝零件為第i臺機(jī)床的產(chǎn)品，i＝1，2．由全概率公式得：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝23×0.96＋13×0.93＝0.95．故選D3．BCD[由條件概率的計(jì)算公式知A錯(cuò)誤；由乘法公式知