新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布章末綜合提升教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

第7章隨機變量及其分布章末綜合提升類型1條件概率與全概率公式(1)條件概率是概率的重要內(nèi)容之一，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．在高考中經(jīng)常涉及，一般以選擇和填空的形式考查，試題難度不大，屬基礎(chǔ)題．求條件概率的常用方法為：①定義法，分別求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PAB②借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝nAB(2)(3)掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【例1】某投籃小組共有20名投手，其中一級投手4人，二級投手8人，三級投手8人，一、二、三級投手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9，0.7，0.4．求任選一名投手能通過選拔進入比賽的概率．[解]設(shè)Ai＝“選出的i級投手”，i＝1，2，3，B＝“選出的投手能通過選拔進入比賽”，則A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3兩兩互斥．由題意知P(A1)＝420＝15，P(A2)＝820＝25，P(A3)＝820＝25，且P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7，P(B|則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝15×0.9＋25×0.7＋25×0.4即任選一名投手能通過選拔進入比賽的概率為0.62．類型2分布列、期望與方差的綜合應(yīng)用(1)均值和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛．(2)掌握離散型隨機變量的分布列、均值和方差，重點提升邏輯推理與運算的核心素養(yǎng)．【例2】甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為13(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的分布列、均值及標(biāo)準(zhǔn)差．[解](1)由題意知第三次由乙投籃的概率P＝13×2(2)由題意，得X的所有可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝13×1P(X＝1)＝13×2P(X＝2)＝23×3故X的分布列為X012P171E(X)＝0×19＋1×718＋2×12D(X)＝0-2518∴σ(X)＝DX＝149類型3兩種特殊概率分布的均值與方差(1)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．特別地，若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X服從參數(shù)M，n，N的超幾何分布，則E(X)＝nMN(3)掌握二項分布與超幾何分布的均值與方差，提高數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．二項分布的均值、方差【例3】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為13(1)求機器出現(xiàn)故障臺數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；(2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每名工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．[解](1)設(shè)“機器出現(xiàn)故障”為事件A，則P(A)＝13設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則X～B4，P(X＝0)＝C40×P(X＝1)＝C41×P(X＝2)＝C42×13P(X＝3)＝C43×P(X＝4)＝C44×故X的分布列為X01234P1632881∴E(X)＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×D(X)＝np(1－p)＝4×13×2(2)設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為18，13，8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝89P(Y＝13)＝P(X＝3)＝881P(Y＝8)＝P(X＝4)＝181故Y的分布列為Y18138P881所以E(Y)＝18×89＋13×881＋8×181＝140881故該廠獲利的均值為140881超幾何分布的均值、方差【例4】某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2023年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機抽取了40名本校學(xué)生，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列及均值E(Y)．[解](1)由題圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．(2)隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2，且Y服從超幾何分布，所以P(Y＝0)＝C302CP(Y＝1)＝C101CP(Y＝2)＝C102C所以Y的分布列為Y012P2953所以Y的均值E(Y)＝1×513＋2×352＝類型4正態(tài)分布與二項分布、超幾何分布的綜合應(yīng)用(1)解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時注意以下兩點：①注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率．②注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運用對稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題．(2)掌握正態(tài)分布的實際應(yīng)用問題，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【例5】(2023·廣東茂名聯(lián)考)當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進．高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施．某地區(qū)2022年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時想要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如表．每分鐘跳繩個數(shù)得分[165，175)16[175，185)17[185，195)18[195，205)19[205，215]20(1)現(xiàn)從抽取的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；(2)若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的平均值和方差(結(jié)果四舍五入到整數(shù))，已知樣本方差s2≈77.8(各組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替)．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時的個數(shù)增加10，利用新得的正態(tài)分布模型解決下列問題．(ⅰ)若全年級恰好有1000名學(xué)生，試估計正式測試時每分鐘跳193個及以上的人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))(ⅱ)若在該地區(qū)所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個及以上的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，σ＝77.8≈9，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．[解](1)兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人得分為16分，1人得分為17分，由題圖知，得分為16分的有0.005×10×100＝5(人)，得分為17分的有0.009×10×100＝9(人)，∴兩人得分之和不大于33分的概率P＝C52+(2)(ⅰ)由題意可知，該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)的平均值為170×0.05＋180×0.09＋190×0.5＋200×0.3＋210×0.06＝192.3≈192(個)，∵樣本方差s2≈77.8，∴s≈9，∴正式測試時，μ＝202，σ＝9，∴μ－σ＝193，μ＋σ＝211，∴P(ξ≥193)≈1－1-0.68272又0.84135×1000＝841.35≈841，∴正式測試時每分鐘跳193個及以上的人數(shù)為841．(ⅱ)由(ⅰ)可知在該地區(qū)所有初三畢業(yè)生中任取1人，其每分鐘跳繩個數(shù)為202及以上的概率為12，故ξ～B3P(ξ＝0)＝C301P(ξ＝1)＝C311P(ξ＝2)＝C321P(ξ＝3)＝C331∴ξ的分布列為ξ0123P1331E(ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×1章末綜合測評(二)隨機變量及其分布(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023·江蘇常州期末)某個班級有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團員，女生中有12名團員．在該班中隨機選取一名學(xué)生，如果選到的是團員，那么選到的是男生的概率為()A．411B．58C．4355B[設(shè)事件A為“選到的是團員”，事件B為“選到的是男生”，根據(jù)題意可得，P(A)＝20+1255＝3255，P(AB)＝故P(B|A)＝PABPA＝2032＝52．(2022·湖北武漢月考)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若函數(shù)f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)為偶函數(shù)，則μ＝()A．－12 B．C．12 D．C[∵函數(shù)f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴P(－x≤ξ≤－x＋1)＝P(x≤ξ≤x＋1)，∴μ＝-x+1+x2＝12．故選3．某市公租房的房源位于A，B，C三個片區(qū)．設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，則該市的4位申請人中恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為()A．4[答案]B4．已知ξ的分布列如下表：ξ012P？??？其中，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此計算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤12，正確的個數(shù)是(A．0 B．1C．2 D．3C[設(shè)“？”＝a，“！”＝b，則a，b∈[0，1]，2a＋b＝1，①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正確；②D(ξ)＝(0－1)2a＋(1－1)2b＋(2－1)2a＝a＋a≤1，因此②不正確；③P(ξ＝0)＝a＝1-b2∴正確的個數(shù)是2，故選C．]5．設(shè)隨機變量X的概率分布列為X1234P1m11則P(|X－3|＝1)＝()A．7B[根據(jù)概率分布列的性質(zhì)得出：13＋m＋14+16＝1，所以mX1234P1111所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝512．故選B．6．為弘揚我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動．某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中任意選取1本進行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同．比賽時，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生人數(shù)的均值為()A．12 B．C．32 D．[答案]B7．已知離散型隨機變量X服從二項分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝q，則1p＋1q的最小值為(A．2 B．5C．94 D．C[離散型隨機變量X服從二項分布X～B(n，p)，所以有E(X)＝4＝np，D(X)＝q＝np(1－p)，所以4p＋q＝4，即p＋q4＝1(p>0，q>0)所以1p+1q＝1p+1qp+q4＝54+q4p+pq8．甲、乙兩個盒子中有若干個大小相同的球，甲盒子中有4個紅球和2個白球，乙盒子中有3個紅球和1個白球，同時從甲、乙盒子中各取出兩個球，并進行交換，交換后，記乙盒中紅球個數(shù)為ξ，則E(ξ)＝()A．11C[由題意可得，ξ所有取值為1，2，3，4，ξ＝1表示甲盒中取出2個白球且乙盒中取出2個紅球，則P(ξ＝1)＝C22Cξ＝2表示甲盒中取出2個白球且乙盒中取出1個紅球和1個白球或者甲盒中取出1個紅球和1個白球且乙盒中取2個紅球，P(ξ＝2)＝C22Cξ＝3表示甲盒中取出1個紅球和1個白球且乙盒中取出1個紅球和1個白球或者甲盒中取出2個紅球且乙盒中取出2個紅球，P(ξ＝3)＝C21Cξ＝4表示甲盒中取出2個紅球且乙盒中取出1個紅球和1個白球，P(ξ＝4)＝C42C故E(ξ)＝1×130＋2×310＋3×715＋4×15＝17二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．(2023·遼寧丹東高三上階段測試)假設(shè)某市場供應(yīng)的智能手機中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下：品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率80%90%70%在該市場中任意買一部手機，用A1，A2，A3分別表示買到的智能手機的品牌為甲、乙、其他的事件，B表示買到的手機是優(yōu)質(zhì)品的事件，則()A．P(A1)＝0.5 B．P(B|A2)＝0.9C．P(A1B)＝0.8 D．P(A3B)＝0.7AB[依題意可得P(A1)＝0.5，P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.7，P(A3)＝0.2，則P(A1B)＝P(B|A1)P(A1)＝0.8×0.5＝0.4，P(A3B)＝P(B|A3)P(A3)＝0.7×0.2＝0.14．故選AB．]10．已知隨機變量X的分布列如下表：X－101Pa1b記“函數(shù)f(x)＝3sinx+X2π(x∈R)是偶函數(shù)”為事件A，則(A．P(A)＝23 B．E(X)＝C．E(X)＝23－2a D．E(X2)＝ACD[因為函數(shù)f(x)＝3sinx+X2π(x∈R)所以X2π＝π2＋kπ，k∈所以X＝2k＋1，k∈Z，又因為X＝－1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P(A)＝a＋b＝1－13＝2E(X)＝－1×a＋0×13＋1×b＝b－a＝23－2易知隨機變量X2的可能取值為0，1，且P(X2＝0)＝13，P(X2＝1)＝a＋b＝2所以E(X2)＝0×13＋1×23＝故選ACD．]11．已知A＝B＝{1，2，3}，分別從集合A，B中各隨機取一個數(shù)a，b，得到平面上一個點P(a，b)，事件“點P(a，b)恰好落在直線x＋y＝n上”對應(yīng)的隨機變量為X，P(X＝n)＝Pn，X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X)，D(X)，則()A．P4＝2P2 B．P(3≤X≤5)＝7C．E(X)＝4 D．D(X)＝4BCD[由題意得對應(yīng)的點P有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，∴對應(yīng)的X的可能取值為2，3，4，5，6，P(X＝2)＝19，P(X＝3)＝29，P(X＝4)＝39，P(X＝5)＝29，P(X＝對于A，P4＝P(X＝4)＝39＝13≠2P2＝29對于B，P(3≤X≤5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝29+39+對于C，E(X)＝2×19＋3×29＋4×39＋5×29＋6×19對于D，D(X)＝(2－4)2×19＋(3－4)2×29＋(4－4)2×39＋(5－4)2×29＋(6－4)2×19＝4312．已知X～N(μ，σ2)，f(x)＝12πσe-x-μA．曲線y＝f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積小于1B．函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x＝μ對稱C．P(X>μ－σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)D．函數(shù)F(x)＝P(X>x)在R上單調(diào)遞增BC[選項A，曲線y＝f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積等于1，所以A不正確；選項B，f(x＋μ)＝12f(μ－x)＝12所以f(x＋μ)＝f(μ－x)，所以函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x＝μ對稱，所以B正確；選項C，因為P(μ－σ<X<μ)＝P(μ<X<μ＋σ)，所以P(X>μ－σ)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(μ<X<μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)，所以C正確；選項D，由正態(tài)曲線可知，當(dāng)x越大時，P(X>x)越小，即函數(shù)F(x)＝P(X>x)隨x的增大而減小，是減函數(shù)，所以D不正確．]三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．13．一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量ξ，則P(13≤ξ≤53)＝47[設(shè)二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有k2個，總數(shù)為∴ξ的分布列為ξ123P421P13≤ξ≤53＝P(ξ14．某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為12；第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為710；若前兩次未打破，第三次落下時打破的概率為9103200[記事件Ai(i＝1，2，3)＝“透鏡落下第i次時打破”，事件B＝“透鏡落下三次未打破”．因為B＝A11-12115．某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎且相應(yīng)獲獎概率是以a1為首項，公比為2的等比數(shù)列，相應(yīng)獎金是以700元為首項，公差為－140元的等差數(shù)列，則a1＝________，參與該游戲獲得獎金的均值為________元．17500[由分布列的性質(zhì)得a1＋2a1＋4a1＝1，所以a1＝17，從而2a1＝27，4a1＝4X700560420P124所以E(X)＝700×17＋560×27＋420×47＝500(元16．某商場為了吸引顧客舉辦了一次有獎競猜活動，活動規(guī)則如下：兩人一組，在一輪競猜活動中，每人兩次競猜機會，若兩人猜對的次數(shù)之和不少于三次就可以獲得一張獎券．小藍和她的媽媽在同一小組，小藍和她媽媽猜中的概率分別為p1，p2，兩人是否猜中相互獨立．若p1＋p2＝32，則當(dāng)小藍和她媽媽獲得一張獎券的概率最大時，p154[由題意知小藍和她媽媽獲得一張獎券的概率P＝2p11-p1p22化簡，得P＝－3(p1p2)2＋3p1p2．∵p1＋p2≥2p1p2，當(dāng)且僅當(dāng)p1＝p2∴p1p2≤916，∴當(dāng)p1p2＝12時，Pmax＝34，此時p12+p22＝(p1＋p2)2－2p1p2＝四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)(2023·江蘇連云港高二期中)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，丙袋中有4個白球和4個紅球．先隨機取一只袋，再從該袋中先隨機取1個球不放回，接著再從該袋中取1個球．(1)求第一次取出的球為紅球的概率；(2)求在第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．[解](1)設(shè)第一次取出的球為紅球為事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋分別為事件B1，B2，B3，則P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝13，由全概率公式可得P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝25×(2)設(shè)第二次取出的球是白球為事件C，由全概率公式可得P(AC)＝P(AC|B1)P(B1)＋P(AC|B2)P(B2)＋P(AC|B3)P(B3)＝25×3所以P(C|A)＝PACPA＝3118．(本小題滿分12分)某花店每天以8元/枝的價格從鮮花種植基地購進若干枝百合，然后以10元/枝的價格出售．若有剩余，則將剩余的鮮花以4元/枝的價格退回種植基地．為了確定進貨數(shù)量，該花店統(tǒng)計了近50天的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量/枝100110120130140150160頻數(shù)51088775以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率．(1)求該花店鮮花日需求量n(單位：枝)的分布列；(2)若該花店一天進貨130枝，記花店當(dāng)天獲得的利潤為X(單位：元)，求X的分布列．[解](1)花店鮮花日需求量n(單位：枝)的分布列為：n100110120130140150160P0.10.20.160.160.140.140.1(2)當(dāng)日需求量不低于130枝時，花能夠全部賣出，利潤為X＝2×130＝260，概率為0.16＋0.14＋0.14＋0.1＝0.54，當(dāng)日需求量為120枝時，剩余10枝沒有賣出，利潤為X＝2×120－4×10＝200，當(dāng)日需求量為110枝時，剩余20枝沒有賣出，利潤為X＝2×110－4×20＝140，當(dāng)日需求量為100枝時，剩余30枝沒有賣出，利潤為X＝2×100－4×30＝80，所以獲得的利潤X的分布列為X80140200260P0.10.20.160.5419．(本小題滿分12分)在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從正態(tài)分布X～N(95，225)．(1)試求考試成績X位于區(qū)間[65，125]內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有3000名考生，試估計考試成績位于區(qū)間[80，110]內(nèi)的考生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．[解]∵X～N(95，225)，∴μ＝95，σ＝15．(1)∵μ－2σ＝95－2×15＝65，μ＋2σ＝95＋2×15＝125，又P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，∴P(65≤X≤125)≈0.9545，(2)∵μ－σ＝95－15＝80，μ＋σ＝95＋15＝110，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，∴P(80≤X≤110)≈0.6827，∴考試成績位于區(qū)間[80，110]內(nèi)的考生人數(shù)為3000×0.6827≈2048．20．(本小題滿分12分)某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，有第一、第二和第三三道工序，三道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié)果只有A，B兩個等級．三道工序的加工結(jié)果直接決定該儀器的等級：三道工序的加工結(jié)果均為A級時，產(chǎn)品為一等品；第三工序的加工結(jié)果為A級，且第一、第二工序至少有一道工序的加工結(jié)果為B級時，產(chǎn)品為二等品；其余情況均為三等品．每一道工序加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)如表二所示：表一工序第一工序第二工序第三工序概率0.50.750.8表二等級一等品二等品三等品利潤2385(1)若一件產(chǎn)品的利潤為η萬元，求η的分布列和均值；(2)因第一工序加工結(jié)果為A級的概率較低，工廠計劃通過增加檢測成本的方式對第一工序進行改良，假如改良過程中，每件產(chǎn)品檢測成本增加x(0≤x≤4)萬元(即每件產(chǎn)品利潤相應(yīng)減少x萬元)時，第一工序加工結(jié)果為A級的概率增加19x．[解](1)由題意可知，η的所有可能取值為23，8，5，產(chǎn)品為一等品的概率為0.5×0.75×0.8＝0.3，產(chǎn)品為二等品的概率為(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，產(chǎn)品為三等品的概率為1－0.3－0.5＝0.2，所以η的分布列為η2385P0.30.50.2均值E(η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9．(2)改良方案對一件產(chǎn)品利潤的均值不會產(chǎn)生影響，理由如下：設(shè)改良后一件產(chǎn)品的利潤為ξ萬元，則ξ的所有可能取值為23－x，8－x，5－x，由題意可知，改良過程中，一等品的概率為0.5+19x×0.75×0.8＝0.3二等品的概率為1－0.5+19x×0.75]×0.8＝0.5三等品的概率為1－0.3+x15-所以E(ξ)＝0.3+x15(23－x)＋0.5-x15(8－x)＋0.2＝6.9-0.3x+2315x-因為E(ξ)＝E(η)，所以改良