新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析章末綜合提升學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析章末綜合提升類型1線性回歸分析1．回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．其基本步驟為通過散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)選擇經(jīng)驗(yàn)回歸方程的類型，然后通過一定的規(guī)則確定出相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，通過一定的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，最后應(yīng)用于實(shí)際或?qū)︻A(yù)報(bào)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)．2．主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．【例1】下面給出了根據(jù)我國2016～2022年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖(2016～2022年的年份代碼x分別為1～7)．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖，分析經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果．(精確到0.01)[嘗試解答]類型2獨(dú)立性檢驗(yàn)1．獨(dú)立性檢驗(yàn)研究的問題是有多大把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．為此需先列出2×2列聯(lián)表，從表格中可以直觀地得到兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系．另外等高堆積條形圖能更直觀地反映兩個(gè)分類變量之間的情況．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想是可以先假設(shè)二者無關(guān)系，求隨機(jī)變量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設(shè)，否則，接受假設(shè)．2．通過計(jì)算χ2的值，進(jìn)而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．【例2】某校鼓勵(lì)即將畢業(yè)的大學(xué)生到西部偏遠(yuǎn)地區(qū)去支教，該校學(xué)生就業(yè)部針對(duì)即將畢業(yè)的男、女生是否愿意到西部支教進(jìn)行問卷調(diào)查，得到的情況如表所示：性別支教合計(jì)愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合計(jì)70100(1)完成上述2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析愿意去西部支教是否與性別有關(guān)．[嘗試解答]類型3概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用1．概率與統(tǒng)計(jì)作為考查學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)，它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性．2．主要培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．【例3】某公司對(duì)40名試用員工進(jìn)行業(yè)務(wù)水平測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績?cè)u(píng)定是否正式錄用以及正式錄用后的崗位等級(jí)，測(cè)試分筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)．筆試環(huán)節(jié)所有40名試用員工全部參加；參加面試環(huán)節(jié)的員工由公司按規(guī)則確定．公司對(duì)40名試用員工的筆試得分(筆試得分都在[75，100]內(nèi))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到如下頻率分布直方圖和2×2列聯(lián)表．業(yè)務(wù)水平性別合計(jì)男女優(yōu)(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合計(jì)40(1)請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別是否有關(guān)；(2)公司決定：在筆試環(huán)節(jié)中得分低于85分的試用員工直接淘汰，得分不低于85分的試用員工都正式錄用．筆試得分在[95，100]內(nèi)的崗位等級(jí)直接定為一級(jí)(不必參加面試環(huán)節(jié))；筆試得分在[90，95)內(nèi)的崗位等級(jí)初定為二級(jí)，但有25的概率在面試環(huán)節(jié)將二級(jí)晉升為一級(jí)；筆試得分在[85，90)內(nèi)的崗位等級(jí)初定為三級(jí)，但有3①若甲已被公司正式錄用，求甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率；②若乙在筆試環(huán)節(jié)的崗位等級(jí)初定為二級(jí)，求甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率．參考公式：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，nα0.150.100.050.010xα2.0722.7063.8416.635[嘗試解答]類型4化歸與轉(zhuǎn)化思想在非線性回歸分析中的應(yīng)用1．轉(zhuǎn)化與化歸思想主要體現(xiàn)在非線性回歸分析中．在實(shí)際問題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，故要選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化．2．主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．【例4】(2023·江西上饒期末)某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x1234y56.53122.7517.8x5678y15.9514.51312.5對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，考慮用反比例函數(shù)模型y＝a＋bx和指數(shù)型函數(shù)模型y＝cedx也分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合．已求得用指數(shù)型函數(shù)模型擬合的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝48.376×e-0.195x，lny與x的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝－0.929(1)求用反比例函數(shù)模型擬合的y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)保留整數(shù))；(2)用樣本相關(guān)系數(shù)判斷這兩個(gè)模型中哪一個(gè)的擬合效果更好(精確到0.001)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；(3)根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本平均數(shù)y作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，若非原料成本y在[μ－σ，μ＋σ]之外，說明該成本異常，并稱落在[μ－σ，μ＋σ]之外的成本為異樣成本，此時(shí)需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因．試判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因．參考數(shù)據(jù)其中uuui=1i=1i=10.340.1151.531845777.555i=10.61193.19493.0630.70513.9參考公式：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a中，b樣本相關(guān)系數(shù)r=.[嘗試解答]章末綜合提升例1解：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)均勻分布在一條直線附近，且隨著x的增大，y增大，故y與x成線性相關(guān)，且為正相關(guān)．(2)依題意，x＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)yb＝＝4517-7×a＝y(tǒng)－bx≈153.43－7.89×4所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝7.89x＋121.87．(3)由殘差圖可以看出，殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)測(cè)精度較高．例2解：(1)2×2列聯(lián)表如下：性別支教合計(jì)愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合計(jì)7030100(2)零假設(shè)H0：支教與性別相互獨(dú)立，即是否愿意去西部支教與性別無關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝100×(300-800)250×根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為是否愿意去西部支教與性別有關(guān)聯(lián)，因此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，女生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為3050＝0.6，2050＝男生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為4050＝0.8，1050＝由0.40.2＝2可見，女生不愿意去支教的頻率是男生不愿意去支教的頻率的2倍于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為女生不愿意去支教的概率明顯大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明顯與性別有關(guān)．例3解：(1)由題圖可知，得分不低于90分的人數(shù)為40×(0.04＋0.02)×5＝12，所以補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下：業(yè)務(wù)水平性別合計(jì)男女優(yōu)(得分不低于90分)8412良(得分低于90分)161228合計(jì)241640零假設(shè)為H0：“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別無關(guān)．計(jì)算得χ2＝40×(8×12-4根據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別無關(guān)．(2)由題圖可知，不低于85分的試用員工的人數(shù)為40×(0.06＋0.04＋0.02)×5＝24，崗位等級(jí)直接定為一級(jí)的概率為0.02×崗位等級(jí)初定為二級(jí)的概率為0.04×崗位等級(jí)初定為三級(jí)的概率為0.06×①甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率為16＋1②若乙的最終崗位等級(jí)為二級(jí)，則甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)或二級(jí)，其概率為1－12若乙的最終崗位等級(jí)為一級(jí)，則甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)，其概率為310故甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率為12例4解：(1)令u＝1x，則y＝a＋bx可轉(zhuǎn)化為y＝a＋易得y＝1848所以b＝＝93.06-8×所以a＝y(tǒng)－bu＝23所以y＝6＋50u，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝6＋50x(2)設(shè)y與1x的樣本相關(guān)系數(shù)為r2＝93.06-8×0.34×231.53因?yàn)閨r1|<|r2|，所以這兩個(gè)模型中反比例函數(shù)模型的擬合效果更