新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)15離散型隨機(jī)變量的方差新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

課時(shí)分層作業(yè)(十五)離散型隨機(jī)變量的方差一、選擇題1．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且成功的概率p＝0.5，則E(X)和D(X)分別為()A．0.5和0.25 B．0.5和0.75C．1和0.25 D．1和0.752．已知ξ的分布列為ξ－101P111則在下列各式①E(ξ)＝－13；②D(ξ)＝2327；③P(ξ＝0)＝13中，正確的個(gè)數(shù)是A．0B．1C．2D．33．(多選)投資甲、乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示，表1股票甲收益的分布列收益X/元－102P0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y/元012P0.30.40.3則下列結(jié)論中正確的是()A．投資股票甲的期望收益較小B．投資股票乙的期望收益較小C．投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高D．投資股票乙比投資股票甲的風(fēng)險(xiǎn)高4．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝i)＝13，i＝1，2，3，則D(X)等于(A．13 B．C．1 D．25．(多選)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝ak+1(k＝1，2，5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分別為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差，則下列結(jié)論正確的是(A．P(0<ξ<3.5)＝5B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2D．D(3ξ＋1)＝6二、填空題6．隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ24Pab若E(ξ)＝83，則D(ξ)＝________7．若隨機(jī)變量X的分布列為：X012P11aD(X)為隨機(jī)變量X的方差，則D(3X＋1)＝_______________．8．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表．X－1012Pabc1若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________．三、解答題9．?dāng)?shù)字1，2，3，4，5任意排成一列，如果數(shù)字k恰好在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)巧合．把存在此種情況的數(shù)字的個(gè)數(shù)稱為巧合數(shù)ξ．(1)求巧合數(shù)ξ的分布列；(2)求巧合數(shù)ξ的期望與方差．10．(2023·廣西欽州期中)已知離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，且P(X≥1)＝23，P(X＝3)＝16，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝54，則D(4X－3)＝A．19 B．16C．194 D．711．(2023·浙江寧波十校期末聯(lián)考)將3個(gè)小球放入3個(gè)盒子中，盒子的容量不限，且每個(gè)小球放入各盒子的概率相等．記X為放入后所?？蘸械膫€(gè)數(shù)，Y為放入后不空盒子的個(gè)數(shù)，則()A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)C．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)D．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)12．(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則下列說法正確的是()XxyPyxA．存在x，y∈(0，1)，E(X)>1B．對(duì)任意x，y∈(0，1)，E(X)≤1C．對(duì)任意x，y∈(0，1)，D(X)<E(X)D．存在x，y∈(0，1)，D(X)>113．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P11p則當(dāng)p＝13時(shí)，E(X)＝________；當(dāng)0<p<1時(shí)，D(X)的最大值為________14．有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如表所示，其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度．ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2試比較甲、乙兩種材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)穩(wěn)定性較好)．15．為了解與掌握一些基本的地震安全防護(hù)知識(shí)，某小學(xué)在9月份開學(xué)初對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了為期一周的知識(shí)講座，并事后進(jìn)行了測(cè)試(滿分100分)，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定為“合格”(60分以上包含60分)“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”定為10分，“不合格”定為5分．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示．等級(jí)不合格合格得分[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]頻數(shù)6a24b(1)求a，b，c的值；(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@10人中任選4人，記所選4人的量化總分為ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(3)設(shè)函數(shù)f(ξ)＝EξDξ(其中D(ξ)表示ξ的方差)是評(píng)估安全教育方案成效的一種模擬函數(shù)．當(dāng)f(ξ)≥2.5時(shí)，認(rèn)定教育方案是有效的，否則認(rèn)定教育方案應(yīng)需調(diào)整，試以此函數(shù)為參考依據(jù)．在課時(shí)分層作業(yè)(十五)1．A[∵X服從兩點(diǎn)分布，∴X的分布列為X01P0.50.5∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25．故選A．]2．C[由題意，根據(jù)隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算公式可得：E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16所以①正確；D(ξ)＝-1+132×又由分布列可知P(ξ＝0)＝13，所以③正確．3．BC[甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，則投資股票乙的期望收益較小，投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高．]4．B[因?yàn)镻(X＝i)＝13，i＝1，2，3E(X)＝1×13＋2×13＋3×13所以D(X)＝13×(1－2)2＋13×(2－2)2＋13×(3－2)2＝5．ABC[因?yàn)镻(ξ＝k)＝ak＋1(k＝1，2，5)，a所以P(ξ＝1)＝a1＋1＝a2，P(ξP(ξ＝5)＝a5所以a2＋a3＋a6P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝12＋1因?yàn)镋(ξ)＝1×12＋2×13＋5×16所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，故B選項(xiàng)正確；D(ξ)＝12×(1－2)2＋13×(2－2)2＋16×(5－2)2＝2D(3ξ＋1)＝32D(ξ)＝9×2＝18，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．]6．89[由分布列的性質(zhì)可得，a＋b＝1，又因?yàn)镋(ξ)＝83，所以2a＋4b＝83聯(lián)立①②，解得a＝23，b＝1所以D(ξ)＝23×2-837．6[由題意可知13＋13＋可得a＝13，所以E(X)＝13(0＋1＋2)＝則D(X)＝13[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2]＝2所以D(3X＋1)＝9×23＝6．8．51214[由分布列的性質(zhì)知a＋b＋c＋112＝由均值和方差的計(jì)算公式，得－a＋c＋16＝0，(－1－0)2×a＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112＝1，聯(lián)立①②③，解得a＝512，b＝14，c＝19．解：(1)ξ可能取值為0，1，2，3，5，數(shù)字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的總數(shù)為A55，ξ＝5時(shí)，5個(gè)數(shù)字均在對(duì)應(yīng)位置，有1種排法，所以P(ξ＝5)＝1A55＝1120；ξ＝3，有3個(gè)數(shù)字在對(duì)應(yīng)位置，另外2個(gè)數(shù)字互換位置，P(ξ＝3)＝C53A55＝10120＝112；ξ＝2，有2個(gè)數(shù)字在對(duì)應(yīng)位置，另外3個(gè)數(shù)不在對(duì)應(yīng)位置，所以P(ξ＝2)＝C52×2A55＝20120＝16；則巧合數(shù)ξ的分布列為ξ01235P113111(2)E(ξ)＝0×44120＋1×45120＋2×20120＋3×10120＋5×1120＝1，D(ξ)＝1×44120＋0＋1×20120＋4×1010．A[由題知P(X＝0)＝13，設(shè)P(X＝1)＝a，則P(X＝2)＝23－16－a＝12－a，因此E(X)＝0×13＋1×a＋2×12-a＋X0123P1111則D(X)＝13×0-542＋1因此D(4X－3)＝16D(X)＝19．故選A．]11．C[由題意得X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝A3333＝29，P(X＝1)＝C32A∴E(X)＝0×29＋1×23＋2×D(X)＝0-89Y的可能取值為1，2，3，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝19，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝2P(Y＝3)＝P(X＝0)＝29，∴E(Y)＝1×19＋2×23＋3D(Y)＝1-199∴E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．故選C．]12．BC[依題意可得x＋y＝1，E(X)＝2xy，又2xy≤(x＋y)22＝12，所以E(X)≤12，當(dāng)且僅當(dāng)xD(X)＝(x－2xy)2y＋(y－2xy)2x＝(1－2y)2x2y＋(1－2x)2y2x＝[(1－2y)2x＋(1－2x)2y]yx＝[(2x－1)2x＋(1－2x)2y]yx＝(1－2x)2(x＋y)yx＝(1－2x)2yx，∵0<x<1，∴－1<2x－1<1，∴0<(2x－1)2<1，∴D(X)<yx，即D(X)<12E(X)，∴C∵D(X)＝(1－2x)2yx<xy≤(x＋y)2413．5612E(X)＝0×1-p2＋1×12＋2×p2當(dāng)p＝13時(shí)，E(X)＝1當(dāng)0<p<1時(shí)，D(X)＝0-1+2p22×1-p2+1-當(dāng)且僅當(dāng)p＝12時(shí)，等號(hào)成立，故D(X)的最大值為1214．解：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125．D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165．由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的均值相等，但穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性較好．15．解：(1)由頻率分布直方圖可知，得分在[20，40)的頻率為0.005×20＝0.1，故抽取的學(xué)生答卷數(shù)為60.1＝60，又由頻率分布直方圖可知，得分在[80，100]的頻率為0.2所以b＝60×0.2＝12．又6＋a＋24＋b＝60，得a＋b＝30，所以a＝18．c＝1860×20(2)“合格”與“不合格”的人數(shù)比例為36∶24＝3∶2，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以ξ的可能取值為40，35，30，25，