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湖北省宜昌市三峽藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列結(jié)論正確的是()A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則該棱錐可能是正六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線參考答案:D選D.A錯(cuò)誤.如圖(1)所示,由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是棱錐.B錯(cuò)誤.如圖(2)(3)所示,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐.C錯(cuò)誤.若六棱錐的所有棱長都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長必然要大于底面邊長.D正確.2.下列命題中正確的是()A.若a>b,c<d,則a﹣c<b﹣d B.若a>b>0,c<d<0則ac<bdC.若a>b>0,c<0,則>< D.若a>b>0,則a﹣a>b﹣b參考答案:B考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.分析:由不等式的可乘性和可加性,即可判斷A;由不等式的可乘性,以及正向不等式的可積性,即可判斷B;由不等式的可乘性和反比例函數(shù)的性質(zhì),即可判斷C;運(yùn)用舉反例的方法,比如a=1,b=,即可判斷D.解答:解:對(duì)于A.若a>b,c<d,即﹣c>﹣d,則有a﹣c>b﹣d,則A錯(cuò);對(duì)于B.若a>b>0,c<d<0,則﹣c>﹣d>0,則有﹣ac>﹣bd,即ac<bd,則B對(duì);對(duì)于C.若a>b>0,c<0,則0<<,即有>,則C錯(cuò);對(duì)于D.若a>b>0,則可舉a=1,b=,則a﹣a=1,b﹣b=,顯然1<,則D錯(cuò).故選B點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的性質(zhì)及運(yùn)用,考查反例法判斷命題的真假,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.3.對(duì)某同學(xué)的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出的莖葉如圖所示,給出關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績的以下說法:①中位數(shù)為83;②眾數(shù)為83;③平均數(shù)為85;④極差為12.其中正確說法序號(hào)是()A.①② B.③④ C.②③ D.①③參考答案:C【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【專題】計(jì)算題;圖表型;概率與統(tǒng)計(jì).【分析】根據(jù)已知中的莖葉圖,求出中位數(shù),眾數(shù),平均數(shù)及極差,可得答案.【解答】解:由已知中莖葉圖,可得:①中位數(shù)為84,故錯(cuò)誤;②眾數(shù)為83,故正確;③平均數(shù)為85,故正確;④極差為13,故錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是莖葉圖,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.4.直線的傾斜角,直線,則直線的斜率為(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:A5.將三顆骰子各擲一次,設(shè)事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”,B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”,則概率等于:
()
A.
B.
C.
D.參考答案:A略6.已知直線經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn),則直線的方程為(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:C略7.若函數(shù)y=lnx﹣ax的增區(qū)間為(0,1),則a的值是()A.0<a<1B.﹣1<a<0C.a(chǎn)=﹣1D.a(chǎn)=1參考答案:D
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.專題:計(jì)算題.分析:先求導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)大于0,解的x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間,因?yàn)橐阎瘮?shù)的增區(qū)間是(0,1),所以導(dǎo)數(shù)大于0的解集就是(0,1),就可求出a的值.解答:解:對(duì)函數(shù)y=lnx﹣ax求導(dǎo),得,y′=﹣a,令y′>0,﹣a>0,化簡得∵函數(shù)y=lnx﹣ax的增區(qū)間為(0,1),∴當(dāng)x∈(0,1)上y′>0即的解集為(0,1),∵分式不等式的解集的區(qū)間端點(diǎn)是x(1﹣ax)=0的根∴當(dāng)x=1時(shí),1×(1﹣a×1)=0,∴1﹣a=0,a=1故選D點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,另外還考查了已知分式不等式的解集,求參數(shù)的值.8.已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若△ABE是鈍角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(
)A.(1,+∞)
B.(1,2)
C.
D.(2,+∞)參考答案:D9.下列函數(shù)中與函數(shù)奇偶性相同且在(-∞,0)上單調(diào)性也相同的是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C10.已知點(diǎn)是邊長為1的等邊三角形ABC的中心,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線C:y2-=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
。參考答案:12.若雙曲線的漸近線方程為y=,則b等于
.參考答案:113.已知,,,,…,由此你猜想出第n個(gè)數(shù)為.參考答案:【考點(diǎn)】歸納推理.【分析】根號(hào)下由兩個(gè)數(shù)組成,前一個(gè)數(shù)是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,后一個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù),分子與前一項(xiàng)相同,分母是分子的平方減1,從而可猜想第n個(gè)數(shù).【解答】解:∵,,,,…,∴前一個(gè)數(shù)是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,后一個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù),分子與前一項(xiàng)相同,分母是分子的平方減1,∴由此猜想第n個(gè)數(shù)為,故答案為:14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 .參考答案:15.對(duì)于函數(shù),使成立的所有常數(shù)中,我們把的最小值叫做函數(shù)的上確界,則函數(shù)的上確界是
。參考答案:516.已知公差不為零的等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為8,且,則的通項(xiàng)公式
.參考答案:10-2n
設(shè)等差數(shù)列的公差為,可得,解得,故答案為.
17.若變量x,y滿足約束條件:,則2x+y的最大值為
.參考答案:4考點(diǎn):簡單線性規(guī)劃.專題:不等式的解法及應(yīng)用.分析:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距,利用數(shù)形結(jié)合即可求z的取值范圍.解答: 解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分).設(shè)z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直線y=﹣2x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=﹣2x+z的截距最大,此時(shí)z最大.由,解得,即A(1,2),代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=1×2+2=4.即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4.故答案為:4點(diǎn)評(píng):本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,.(I)求橢圓的方程;(II)設(shè)直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值.參考答案:(I)解:設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知得,又由,可得由,從而.所以,橢圓的方程為.(II)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意,,點(diǎn)的坐標(biāo)為由的面積是面積的2倍,可得,從而,即.易知直線的方程為,由方程組消去y,可得.由方程組消去,可得.由,可得,兩邊平方,整理得,解得,或.當(dāng)時(shí),,不合題意,舍去;當(dāng)時(shí),,,符合題意.
所以,的值為.19.棱錐中,底面是矩形,底面,是的中點(diǎn),已知,,,求:(1)求證:PA//平面BED;(2)求異面直線與所成的角的大小.參考答案:
略20.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=,AD=1.(I)求證:CD⊥平面PAC(II)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點(diǎn)E的位置,并證明,若不存在,請(qǐng)說明理由.參考答案:見解析【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定;空間圖形的公理.【專題】計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離.【分析】(I)由面面垂直的性質(zhì)證出PA⊥底面ABCD,可得PA⊥CD.在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理,利用題中數(shù)據(jù)算出CD2+AC2=1=AD2,從而AC⊥CD.最后利用線面垂直的判定定理,即可證出CD⊥平面PAC;(II)取PD的中點(diǎn)F,連結(jié)BE、EF、FC.利用三角形的中位線定理和已知條件BC∥AD且BC=AD,證出四邊形BEFC為平行四邊形,可得BE∥CF.最后利用線面平行判定定理,即可證出BE∥平面PCD.【解答】解:(I)∵∠PAD=90°,∴PA⊥AD.又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA?側(cè)面PAD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,∴PA⊥底面ABCD.∵CD?底面ABCD,∴PA⊥CD.∵在底面ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,PA=AB=BC=,AD=1.∴AC==,∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理,得CD==可得CD2+AC2=1=AD2,得AC⊥CD.又∵PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線,∴CD⊥平面PAC.(II)在PA上存在中點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD,證明如下:設(shè)PD的中點(diǎn)為F,連結(jié)BE、EF、FC,則∵EF是△PAD的中位線,∴EF∥AD,且EF=AD.∵BC∥AD,BC=AD,∴BC∥EF,且BC=EF,∴四邊形BEFC為平行四邊形,∴BE∥CF.∵BE?平面PCD,CF?平面PCD,∴BE∥平面PCD.【點(diǎn)評(píng)】本題在四棱錐中證明線面垂直,并探索線面平行的存在性.著重考查了空間垂直、平行的位置關(guān)系的判斷與證明等知識(shí),屬于中檔題.
21.若函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣lnx在x=1處取得極值.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.參考答案:【考點(diǎn)】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;6D:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)為0列式求得a的值;(2)把(1)中求出的a值代入f(x)=ax2+2x﹣lnx,求其導(dǎo)函數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段,利用導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)求單調(diào)期間,進(jìn)一步求得極值點(diǎn),代入原函數(shù)求得極值.【解答】解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣lnx在x=1處取得極值,∴f′(1)=0,又,∴,解得:a=﹣;(2)f(x)=﹣x2+2x﹣lnx,函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),由==0,解得:x1=1,x2=2.∴當(dāng)x∈(0,1),(2,+∞)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)>0.∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為x∈(0,1),(2,+∞);單調(diào)增區(qū)間為x∈(1,2).f(x)的極小值為f(1)=;f(x)的極大值為f(2)=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓(xùn)練了函數(shù)極值的求法,是中檔題.22.(本小題滿分8分)
某校在高二年級(jí)開設(shè)了,,三個(gè)興趣小組,為了對(duì)興趣小組活動(dòng)的開展情況進(jìn)行調(diào)查,用分層抽樣方法從,,三個(gè)興趣小組的人員中,抽取若干人組成調(diào)查小組,有
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