湖北省宜昌市三峽藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

湖北省宜昌市三峽藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線參考答案：D選D.A錯(cuò)誤．如圖(1)所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯(cuò)誤．如圖(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．D正確．2.下列命題中正確的是（）A．若a＞b，c＜d，則a﹣c＜b﹣d B．若a＞b＞0，c＜d＜0則ac＜bdC．若a＞b＞0，c＜0，則＞＜ D．若a＞b＞0，則a﹣a＞b﹣b參考答案：B考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由不等式的可乘性和可加性，即可判斷A；由不等式的可乘性，以及正向不等式的可積性，即可判斷B；由不等式的可乘性和反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷C；運(yùn)用舉反例的方法，比如a=1，b=，即可判斷D．解答：解：對(duì)于A．若a＞b，c＜d，即﹣c＞﹣d，則有a﹣c＞b﹣d，則A錯(cuò)；對(duì)于B．若a＞b＞0，c＜d＜0，則﹣c＞﹣d＞0，則有﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd，則B對(duì)；對(duì)于C．若a＞b＞0，c＜0，則0＜＜，即有＞，則C錯(cuò)；對(duì)于D．若a＞b＞0，則可舉a=1，b=，則a﹣a=1，b﹣b=，顯然1＜，則D錯(cuò)．故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，考查反例法判斷命題的真假，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．3.對(duì)某同學(xué)的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉如圖所示，給出關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績的以下說法：①中位數(shù)為83；②眾數(shù)為83；③平均數(shù)為85；④極差為12．其中正確說法序號(hào)是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③參考答案：C【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】計(jì)算題；圖表型；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)已知中的莖葉圖，求出中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)及極差，可得答案．【解答】解：由已知中莖葉圖，可得：①中位數(shù)為84，故錯(cuò)誤；②眾數(shù)為83，故正確；③平均數(shù)為85，故正確；④極差為13，故錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是莖葉圖，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．4.直線的傾斜角，直線，則直線的斜率為(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A5.將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則概率等于:

()

A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.已知直線經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)，則直線的方程為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.若函數(shù)y=lnx﹣ax的增區(qū)間為（0，1），則a的值是（）A．0＜a＜1B．﹣1＜a＜0C．a(chǎn)=﹣1D．a(chǎn)=1參考答案：D

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計(jì)算題．分析：先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解的x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，因?yàn)橐阎瘮?shù)的增區(qū)間是（0，1），所以導(dǎo)數(shù)大于0的解集就是（0，1），就可求出a的值．解答：解：對(duì)函數(shù)y=lnx﹣ax求導(dǎo)，得，y′=﹣a，令y′＞0，﹣a＞0，化簡得∵函數(shù)y=lnx﹣ax的增區(qū)間為（0，1），∴當(dāng)x∈（0，1）上y′＞0即的解集為（0，1），∵分式不等式的解集的區(qū)間端點(diǎn)是x（1﹣ax）=0的根∴當(dāng)x=1時(shí)，1×（1﹣a×1）=0，∴1﹣a=0，a=1故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，另外還考查了已知分式不等式的解集，求參數(shù)的值．8.已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A.(1,+∞)

B.(1,2)

C.

D.(2,+∞)參考答案：D9.下列函數(shù)中與函數(shù)奇偶性相同且在(－∞，0)上單調(diào)性也相同的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知點(diǎn)是邊長為1的等邊三角形ABC的中心，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線C:y2-=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

。參考答案：12.若雙曲線的漸近線方程為y=,則b等于

.參考答案：113.已知，，，，…，由此你猜想出第n個(gè)數(shù)為．參考答案：【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】根號(hào)下由兩個(gè)數(shù)組成，前一個(gè)數(shù)是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，后一個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù)，分子與前一項(xiàng)相同，分母是分子的平方減1，從而可猜想第n個(gè)數(shù)．【解答】解：∵，，，，…，∴前一個(gè)數(shù)是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，后一個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù)，分子與前一項(xiàng)相同，分母是分子的平方減1，∴由此猜想第n個(gè)數(shù)為，故答案為：14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 .參考答案：15.對(duì)于函數(shù)，使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值叫做函數(shù)的上確界，則函數(shù)的上確界是

。參考答案：516.已知公差不為零的等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為8，且，則的通項(xiàng)公式

．參考答案：10－2n

設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，解得，故答案為.

17.若變量x，y滿足約束條件：，則2x+y的最大值為

．參考答案：4考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距，利用數(shù)形結(jié)合即可求z的取值范圍．解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．設(shè)z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A（1，2），代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=1×2+2=4．即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4．故答案為：4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值.參考答案：（I）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得由,從而.所以，橢圓的方程為.（II）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，點(diǎn)的坐標(biāo)為由的面積是面積的2倍，可得，從而，即.易知直線的方程為，由方程組消去y，可得.由方程組消去，可得.由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或.當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意.

所以，的值為.19.棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，，，求：（1）求證：PA//平面BED；（2）求異面直線與所成的角的大小.參考答案：

略20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求證：CD⊥平面PAC（II）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置，并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：見解析【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；空間圖形的公理．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（I）由面面垂直的性質(zhì)證出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用題中數(shù)據(jù)算出CD2+AC2=1=AD2，從而AC⊥CD．最后利用線面垂直的判定定理，即可證出CD⊥平面PAC；（II）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)BE、EF、FC．利用三角形的中位線定理和已知條件BC∥AD且BC=AD，證出四邊形BEFC為平行四邊形，可得BE∥CF．最后利用線面平行判定定理，即可證出BE∥平面PCD．【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA?側(cè)面PAD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1．∴AC==，∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理，得CD==可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD．又∵PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面PAC．（II）在PA上存在中點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD，證明如下：設(shè)PD的中點(diǎn)為F，連結(jié)BE、EF、FC，則∵EF是△PAD的中位線，∴EF∥AD，且EF=AD．∵BC∥AD，BC=AD，∴BC∥EF，且BC=EF，∴四邊形BEFC為平行四邊形，∴BE∥CF．∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．【點(diǎn)評(píng)】本題在四棱錐中證明線面垂直，并探索線面平行的存在性．著重考查了空間垂直、平行的位置關(guān)系的判斷與證明等知識(shí)，屬于中檔題．

21.若函數(shù)f（x）=ax2+2x﹣lnx在x=1處取得極值．（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)為0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入f（x）=ax2+2x﹣lnx，求其導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)求單調(diào)期間，進(jìn)一步求得極值點(diǎn)，代入原函數(shù)求得極值．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax2+2x﹣lnx在x=1處取得極值，∴f′（1）=0，又，∴，解得：a=﹣；（2）f（x）=﹣x2+2x﹣lnx，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），由==0，解得：x1=1，x2=2．∴當(dāng)x∈（0，1），（2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0．∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為x∈（0，1），（2，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為x∈（1，2）．f（x）的極小值為f（1）=；f（x）的極大值為f（2）=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)極值的求法，是中檔題．22.（本小題滿分8分）

某校在高二年級(jí)開設(shè)了，，三個(gè)興趣小組，為了對(duì)興趣小組活動(dòng)的開展情況進(jìn)行調(diào)查，用分層抽樣方法從，，三個(gè)興趣小組的人員中，抽取若干人組成調(diào)查小組，有