江蘇省無錫市水秀中學高二數(shù)學理模擬試題含解析

江蘇省無錫市水秀中學高二數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則其離心率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A2.若自然數(shù)使得作豎式加法均不產生進位現(xiàn)象,則稱為”可連數(shù)”.例如:32是”可連數(shù)”,因32+33+34不產生進位現(xiàn)象;23不是”可連數(shù)”,因23+24+25產生進位現(xiàn)象.那么小于1000的”可連數(shù)”的個數(shù)為(

)A．27

B．36

C.39

D.48參考答案：D略3.若直線l1：y=k（x﹣4）與直線l2關于點（2，1）對稱，則直線l2恒過定點（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2）參考答案：B【考點】恒過定點的直線；與直線關于點、直線對稱的直線方程．【分析】先找出直線l1恒過定點（4，0），其關于點（2，1）對稱點（0，2）在直線l2上，可得直線l2恒過定點．【解答】解：由于直線l1：y=k（x﹣4）恒過定點（4，0），其關于點（2，1）對稱的點為（0，2），又由于直線l1：y=k（x﹣4）與直線l2關于點（2，1）對稱，∴直線l2恒過定點（0，2）．故選B4.若，則的值為（）A．1 B．20 C．35 D．7參考答案：C【考點】D5：組合及組合數(shù)公式．【分析】由條件利用組合數(shù)的性質求得n的值，再根據(jù)n!的定義求得所給式子的值．【解答】解：若，則有n=3+4=7，故===35，故選C．5.已知雙曲線的離心率為，則m=A.4 B.2 C. D.1參考答案：B【分析】根據(jù)離心率公式計算．【詳解】由題意，∴，解得．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，解題關鍵是掌握雙曲線的標準方程，由方程確定．6.下列各數(shù)轉化為十進制后最小的數(shù)為（

）A．111111

B．210

C．1000

D．81參考答案：A7.已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的表面積的比是（） A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2參考答案：D【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）． 【專題】計算題． 【分析】設圓柱的底面半徑，求出圓柱的全面積以及球的表面積，即可推出結果． 【解答】解：設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的全面積是：2πr2+2rπ×2r=6πr2 球的全面積是：4πr2，所以圓柱的全面積與球的表面積的比：3：2 故選D． 【點評】本題考查旋轉體的表面積，是基礎題． 8.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，不同的分法種數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.設函數(shù)的圖像在點處切線的斜率為，則函數(shù)的部分圖像為

參考答案：B略10.如圖，已知平面α∩β=l，A、B是l上的兩個點，C、D在平面β內，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一個動點P，使得∠APD=∠BPC，則P﹣ABCD體積的最大值是（）A． B．16 C．48 D．144參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題．【分析】本題需要借助直二面角的相關知識研究三角形的幾何特征，由題設條件知兩個直角三角形△PAD與△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足為D，令AD=t，將四棱錐的體積用t表示出來，由二次函數(shù)求最值可得出正確選項．【解答】解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足為M，則PM⊥β，令AM=t∈R，在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中，PM是公共邊及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱錐的高為，底面為直角梯形，S==36∴四棱錐P﹣ABCD的體積V==12=48，即四棱錐P﹣ABCD體積的最大值為48，故選C．【點評】本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，解答本題，關鍵是將由題設條件得出三角形的性質、：兩鄰邊的值有2倍的關系，第三邊長度為6，引入一個變量，從而利用函數(shù)的最值來研究體積的最值，是將幾何問題轉化為代數(shù)問題求解的思想，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，則不同的分法的總數(shù)是

．（用數(shù)字作答）參考答案：36【考點】D8：排列、組合的實際應用．【分析】本題是一個分步計數(shù)問題，先選兩個元素作為一個元素，問題變?yōu)槿齻€元素在三個位置全排列，得到結果．【解答】解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，4位同學分到三個不同的班級，每個班級至少有一位同學，先選兩個人作為一個整體，問題變?yōu)槿齻€元素在三個位置全排列，共有C42A33=36種結果，故答案為：36．12.已知直線恒過定點，若點在直線上，則的最小值為

▲

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參考答案：4略13.已知橢圓+=1的長軸在x軸上，若焦距為4，則m等于

．參考答案：4【考點】橢圓的簡單性質．【分析】根據(jù)橢圓+=1的長軸在x軸上，焦距為4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵橢圓+=1的長軸在x軸上，焦距為4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4故答案為：4．14.平面向量為非零向量且與夾角為120°則的取值范圍是．參考答案：（0，]【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】平面向量及應用．【分析】由題意可知給出的兩個向量，不共線，則三個向量構成三角形，在三角形中運用余弦定理得到關系式所以，由有解，利用判別式大于等于0可求|的范圍．【解答】解：由題意可知向量不共線，則，所以，由，且平面向量為非零向量得：．故答案為（0，]．【點評】本題考查了數(shù)量積表示兩個向量的夾角，考查了轉化思想，解答此題的關鍵是把給出的數(shù)學問題轉化為方程有解，是中檔題．15.已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．現(xiàn)給出如下結論：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正確結論的序號是．參考答案：②③【考點】2K：命題的真假判斷與應用；6C：函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，確定函數(shù)的極值點1，3及a、b、c的大小關系，由此可得結論【解答】解：求導函數(shù)可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c設f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案為：②③16.已知雙曲線y2﹣4x2=16上一點M到一個焦點的距離等于2，則點M到另一個焦點的距離為

．參考答案：10【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】將雙曲線的方程化為標準方程，可得a=4，設|MF1|=2，運用雙曲線的定義可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，計算即可得到所求距離．【解答】解：雙曲線y2﹣4x2=16即為﹣=1，可得a=4，設雙曲線的兩焦點為F1，F(xiàn)2，由題意可設|MF1|=2，由雙曲線的定義可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，即有|2﹣|MF2||=8，解得|MF2|=10或﹣6（舍去）．故答案為：10．17.若變量x,y滿足約束條件：，則z=2x+y的最大值為

.參考答案：7三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)，其中．（1）若=2，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個極值點且①求實數(shù)的取值范圍；

②證明．參考答案：(Ⅰ)當a=2時，f（x）=xlnx﹣x2-x，f′（x）=lnx﹣2x，∴f（1）=﹣2，f′（1）=﹣2，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=﹣2x；

……………4分(Ⅱ)①f′（x）=lnx﹣ax，函數(shù)y=f（x）有兩個極值點x1、x2，即f′（x）=lnx﹣ax=0有兩個不同的實根，當a≤0時，f′（x）單調遞增，f′（x）=0不可能有兩個不同的實根；當a＞0時，設h（x）=lnx﹣ax，，若時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，若時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，∴＞0，∴0．

……………8分②

由①知，f(x1)是極小值，f(x2)是極大值∵f′（x）=lnx﹣ax=0

∴l(xiāng)nx1﹣ax1=0，-

………………12分

（其他方法酌情給分）19.設函數(shù)在，處取得極值，且．（Ⅰ）若，求b的值，并求f(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）若，求b的取值范圍．參考答案：解：．①（Ⅰ）當時，由題意知為方程的兩根，所以．由，得．從而，．當時，；當時，．故在單調遞減，在，單調遞增．（Ⅱ）由①式及題意知為方程的兩根，所以．從而，由上式及題設知．考慮，．故在單調遞增，在單調遞減，從而在的極大值為．又在上只有一個極值，所以為在上的最大值，且最小值為．所以，即的取值范圍為．20.已知命題p：不等式a2﹣5a﹣3≥3；命題q：只有一個實數(shù)x滿足不等式x2+2ax+11a≤0，若?p且q是真命題，求a的取值范圍集合．參考答案：【考點】復合命題的真假．【專題】簡易邏輯．【分析】根據(jù)不等式的性質分別求出命題p，q的等價條件，結合復合命題之間的關系進行求解即可．【解答】解：由a2﹣5a﹣3≥3得a2﹣5a﹣6≥0，解得a≥6或a≤﹣1，即p：a≥6或a≤﹣1，￢p：﹣1＜a＜6，若只有一個實數(shù)x滿足不等式x2+2ax+11a≤0，則判別式△=（2a）2﹣4×11a=0，即2a2﹣11a=0，解得a=0或a=，若若?p且q是真命題，則￢p，q都為真命題，則a=0或a=，即a的取值范圍集合為{，0}．【點評】本題主要考查復合命題之間的應用，根據(jù)條件求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．21.（本題滿分12分）某校舉行運動會，為了搞好場地衛(wèi)生，組委會招墓了16名男志愿者和14名女志愿者，調查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運動，其余不喜愛。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表：（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，有多大的把握認為性別與喜愛運動有關？（3）從不喜愛運動的女志愿者中和喜愛運動的女志愿者中各抽取1人參加場地衛(wèi)生工作，求其中不喜愛運動的女生甲及喜愛運動的女生乙至少有一人被選取的概率。參考公式：（其中）

是否有關聯(lián)沒有關聯(lián)90%95%99%參考答案：解：（1）由已知得：

喜愛運動不喜愛運動總計男10616女6814總計1614303分（2）由已知得：，則：則：性別與喜愛運動沒有關聯(lián)。 7分（3）記不喜愛運動的女生甲及喜愛運動的女生乙至少有一人被選取為事件A，由已知得：從不喜愛運動的女志愿者中和喜愛運動的女志愿者中各抽取1人參加場地衛(wèi)生工作共有種方法，其中不喜愛運動的女生甲及喜愛運動的女生乙沒有一人被選取的共有種方法，則： 13分22.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，連接AC、BD交于點O，AC=6，BD=8，E是棱PC上的動點，連接DE.（Ⅰ）求證：平面