吉林省長春市農(nóng)安縣合隆中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

吉林省長春市農(nóng)安縣合隆中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是()

A．3

B．11C．38

D．123參考答案：B2.如果執(zhí)行右邊的程序框圖,那么輸出的等于(

)A.2450

B.2500

C.2550

D.2652參考答案：C略3.已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B． C．|a|＞|b| D．2a＞2b參考答案：D【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】由不等式的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，由于a，b為非零實(shí)數(shù)，故可利用特例進(jìn)行討論得出正確選項(xiàng)【解答】解：A選項(xiàng)不正確，當(dāng)a=1，b=﹣2時(shí)，不等式就不成立；B選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1，b=﹣2時(shí)，不等式就不成立；C選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1，b=﹣2時(shí)，不等式就不成立；D選項(xiàng)正確，因?yàn)閥=2x是一個(gè)增函數(shù)，故當(dāng)a＞b時(shí)一定有2a＞2b，故選D．4.對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．設(shè)函數(shù)，則＝（

）A．1

B．2

C．2013

D．2014

參考答案：C5.下列命題中正確的是

(

)

A．一直線與一平面平行,這個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與它平行．

B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行．

C．與兩相交平面的交線平行的直線必平行于這兩個(gè)相交平面．

D．兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,則另一條也與該平面平行．

參考答案：A6.若方程表示一條直線，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．

B．

C．

D．，，參考答案：C

解析：不能同時(shí)為7.已知命題p：?x∈R，sinx＞1，則（）A．?p：?x∈R，sinx≤1 B．?p：?x∈R，sinx≤1C．?p：?x∈R，sinx≤1 D．?p：?x∈R，sinx＞1參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】原命題是特稱命題，其否定為全稱命題，將“存在”改為“任意的”，“＞“改為“≤”即可得答案．【解答】解：∵命題p：“?x∈R，sinx＞1，”是特稱命題，∴?p：?x∈R，sinx≤1故選：C8.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2nan（n∈N+），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）A．a(chǎn)n=2n﹣1 B．a(chǎn)n=2n C．a(chǎn)n= D．a(chǎn)n=參考答案：C分析：由an+1=2nan（n∈N+），可得=2n．利用“累乘求積”即可得出．解答：解：∵an+1=2nan（n∈N+），∴=2n．∴an=?…??a1=2n﹣1?2n﹣2?…?21×1=．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了“累乘求積”、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9.曲線y=﹣2x在點(diǎn)（1，﹣）處切線的傾斜角為（）A．1 B．45° C．﹣45° D．135°參考答案：D【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率與傾斜角的轉(zhuǎn)化，要求曲線在點(diǎn)（1，）處切線的傾斜角，我們可以先求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，并計(jì)算出點(diǎn)（1，）的斜率即該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，然后再計(jì)算傾斜角．【解答】解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲線在點(diǎn)（1，）處切線的斜率為：﹣1故曲線在點(diǎn)（1，）處切線的傾斜角為：135°故選D10.如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為()．A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.變量x、y滿足線性約束條件，則使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，要使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=﹣a＜0．平移直線y=﹣ax+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣ax+z和直線2x+y=2平行時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，此時(shí)﹣a=﹣2，即a=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．12.已知F是雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6）．當(dāng)△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為

．參考答案：12【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；開放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用雙曲線的定義，確定△APF周長最小時(shí)，P的坐標(biāo)，即可求出△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積．【解答】解：由題意，設(shè)F′是左焦點(diǎn)，則△APF周長=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)），直線AF′的方程為與x2﹣=1聯(lián)立可得y2+6y﹣96=0，∴P的縱坐標(biāo)為2，∴△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為﹣=12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義，考查三角形面積的計(jì)算，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．13.已知0＜x＜1則x（3-3x）取最大值時(shí)x的值為__________．參考答案：略14.已知雙曲線﹣=1與﹣=1有相同的離心率，則m=．參考答案：6【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線離心率公式變形可得e2=1+，對(duì)于題目所給的兩個(gè)雙曲線可得：e12=1+=3和e22=1+，兩者離心率相等，可得1+=3，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于雙曲線﹣=1，其離心率e=，則e2===1+，對(duì)于雙曲線﹣=1，其離心率為e1，則e12=1+=3，對(duì)于雙曲線﹣=1，其離心率為e2，則e22=1+，而兩個(gè)雙曲線有相同的離心率，則有1+=3，解可得m=6；故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，要掌握并靈活運(yùn)用雙曲線離心率的計(jì)算公式．15.若圓與圓（a>0）的公共弦的長為，則___________。參考答案：解析：由知的半徑為，由圖可知解之得16.為了分析某籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中發(fā)揮的穩(wěn)定程度，統(tǒng)計(jì)了該運(yùn)動(dòng)員在6場比賽中的得分，用莖葉圖表示如右圖，則該組數(shù)據(jù)的方差為___________．參考答案：17.若內(nèi)一點(diǎn)滿足，則。類比以上推理過程可得如下命題：若四面體內(nèi)一點(diǎn)滿足，則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱錐S﹣ABCD的體積；（2）求證：面SAB⊥面SBC；（3）求SC與底面ABCD所成角的正切值．參考答案：（1）解：∵底面是直角梯形的四棱錐S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．∴四棱錐S﹣ABCD的體積：V====．（2）證明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵BC?面SBC∴面SAB⊥面SBC．（3）解：連接AC，∵SA⊥面ABCD，∴∠SCA就是SC與底面ABCD所成的角．在三角形SCA中，∵SA=1，AC=，∴．…10分考點(diǎn)：直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．專題：綜合題．分析：（1）由題設(shè)條四棱錐S﹣ABCD的體積：V==，由此能求出結(jié)果．（2）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能夠證明面SAB⊥面SBC．（3）連接AC，知∠SCA就是SC與底面ABCD所成的角．由此能求出SC與底面ABCD所成角的正切值．解答：（1）解：∵底面是直角梯形的四棱錐S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．∴四棱錐S﹣ABCD的體積：V====．（2）證明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵BC?面SBC∴面SAB⊥面SBC．（3）解：連接AC，∵SA⊥面ABCD，∴∠SCA就是SC與底面ABCD所成的角．在三角形SCA中，∵SA=1，AC=，∴．…10分點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的體積的求法，面面垂直的證明和直線與平面所成角的正切值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化19.設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母a，故應(yīng)按a的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間；（II）由題設(shè)條件結(jié)合（I），將不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0時(shí)成立轉(zhuǎn)化為k＜（x＞0）成立，由此問題轉(zhuǎn)化為求g（x）=在x＞0上的最小值問題，求導(dǎo)，確定出函數(shù)的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2的定義域是R，f′（x）=ex﹣a，若a≤0，則f′（x）=ex﹣a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．若a＞0，則當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex﹣a＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=ex﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1故當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等價(jià)于k＜（x＞0）①令g（x）=，則g′（x）=由（I）知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為α，則有α∈（1，2）當(dāng)x∈（0，α）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（α，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等價(jià)于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2．20.如圖，菱形與正三角形的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，平面，且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求幾何體的體積.參考答案：（Ⅰ）如圖，過點(diǎn)作于，連接，.平面平面，平面，平面平面于，平面.又平面，，.四邊形為平行四邊形，.平面，平面，平面.（Ⅱ）連接，.由題意，得.平面，平面平面于，平面.，平面，平面，平面，同理，由，可證，平面.于，平面，平面.平面平面，到平面的距離等于的長.為四棱錐的高，.21.給定整數(shù)，設(shè)與直線y=x的一個(gè)交點(diǎn).試證明對(duì)于任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)與直線y=x的一個(gè)交點(diǎn).參考答案：證明：因?yàn)榕c的交點(diǎn)為.顯然有.若